Puissances : exposants négatifs et écriture scientifique

Rappels de 4e (puissance aⁿ, a¹ et a⁰, signe d’une puissance, puissances de 10, préfixes de nano à giga), puissance d’exposant négatif d’un nombre quelconque (a⁻ⁿ = 1/aⁿ, l’inverse de aⁿ), produits et quotients de puissances d’un même nombre, écriture scientifique (écrire, comparer, ordre de grandeur, produits, quotients et sommes) et problèmes avec des puissances et des nombres très grands ou très petits.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés avec des puissances : un film à télécharger, un médicament dont la quantité est divisée par 2 toutes les 6 heures, les fourmis comparées aux humains, les grains de sable d’une plage, les formats de papier de A0 à A6 et le nombre d’octets d’une vidéo sur un écran 4K.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère les grandeurs, leurs unités et ce qu’on cherche (« combien de fois », « en écriture scientifique », un arrondi).
Je convertis toutes les données dans la même unité : chaque préfixe devient une puissance de 10.
Je calcule en regroupant les nombres a et les puissances de 10 ; « combien de fois plus grand » → une division ; une quantité divisée par 2 à chaque étape → × 2⁻ⁿ.
Je contrôle avec un ordre de grandeur, j’arrondis a à la fin, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Le téléchargement★★★Facile

Un film pèse

4, 5

Go. On rappelle que

1

= 10^{9}

octets et que

1

octet

= 8

bits. La connexion permet de télécharger

2, 5 \times 10^{7}

octets par seconde.

1. Taille du film en octets, en écriture décimale :
$4, 5$ Go $= 4, 5 \times 10^{9}$ octets : la virgule se décale de $9$ rangs vers la droite, $4 500 000 000$ octets (quatre milliards et demi).
2. Durée du téléchargement, en secondes :
$\frac{4, 5 \times 10^{9}}{2, 5 \times 10^{7}} = 1, 8 \times 10^{9 - 7} = 1, 8 \times 10^{2} = 180$ s.
3. Cette durée, en minutes :
$180 \div 60 = 3$ : le téléchargement dure $3$ min.
4. Taille du film en bits, en écriture scientifique : $a =$ et $n =$
$4, 5 \times 10^{9} \times 8 = 36 \times 10^{9} = 3, 6 \times 10^{10}$ bits.

Problème 2 · Le médicament★★★Moyen

Dans cet exemple, la quantité d’un médicament présente dans le sang d’un patient est divisée par

2

toutes les

6

heures. À

8

h, elle vaut

800

mg.

1. Quantité de médicament à $20$ h, en mg :
De $8$ h à $20$ h, il y a $12$ h, soit $2$ périodes de $6$ h : $800 \div 2 \div 2 = 800 \times 2^{- 2} = \frac{800}{4} = 200$ mg.
2. À $8$ h le lendemain, la quantité s’écrit $800 \times 2^{n}$ : $n =$
$24$ h $= 4 \times 6$ h : la quantité a été divisée $4$ fois par $2$ , c’est-à-dire multipliée par $2^{- 4}$ . $n = - 4$ .
3. Calcule cette quantité, en mg :
$800 \times 2^{- 4} = \frac{800}{2^{4}} = \frac{800}{16} = 50$ mg.
4. On mesure la quantité toutes les $6$ heures ( $14$ h, $20$ h, $2$ h…). Au bout de combien d’heures, à partir de $8$ h, une mesure donne-t-elle pour la première fois moins de $10$ mg ?
Mesure après $6$ périodes : $800 \times 2^{- 6} = \frac{800}{64} = 12, 5$ mg (encore plus de $10$ mg) ; après $7$ périodes : $800 \times 2^{- 7} = \frac{800}{128} = 6, 25$ mg. C’est la $7$ ᵉ mesure : $7 \times 6 = 42$ h.

Problème 3 · Fourmis contre humains★★★Moyen

Une étude publiée en 2022 estime qu’il y a environ

2 \times 10^{16}

fourmis sur Terre. On prend une masse moyenne de

3 \times 10^{- 6}

kg par fourmi. L’ONU estimait la population mondiale à environ

8, 2 \times 10^{9}

habitants en 2024 ; on prend une masse moyenne de

62

kg par habitant.

1. Masse totale des fourmis, en kg, en écriture scientifique : $a =$ et $n =$
$2 \times 10^{16} \times 3 \times 10^{- 6} = (2 \times 3) \times 10^{16 - 6} = 6 \times 10^{10}$ kg.
2. Masse totale des humains, en kg, en écriture scientifique ( $a$ arrondi au dixième) : $a \approx$ et $n =$
$8, 2 \times 10^{9} \times 62 = 508, 4 \times 10^{9} = 5, 084 \times 10^{11} \approx 5, 1 \times 10^{11}$ kg.
3. Combien de fois la masse des humains est-elle plus grande que celle des fourmis ? (arrondi à l’unité)
On garde la valeur non arrondie : $\frac{5, 084 \times 10^{11}}{6 \times 10^{10}} = \frac{5, 084}{6} \times 10^{1} \approx 0, 847 \times 10 = 8, 47$ : environ $8$ fois.
4. Nombre de fourmis par habitant, en écriture scientifique ( $a$ arrondi au dixième) : $a \approx$ et $n =$
$\frac{2 \times 10^{16}}{8, 2 \times 10^{9}} \approx 0, 244 \times 10^{7} \approx 2, 4 \times 10^{6}$ : environ $2, 4$ millions de fourmis par habitant.

Problème 4 · Les grains de sable★★★Difficile

Une plage mesure

2

km de long et

50

m de large ; le sable a

1

m d’épaisseur. On assimile un grain de sable à un cube de

0, 5

mm d’arête.

1. Volume de sable de la plage, en m³, en écriture scientifique : $a =$ et $n =$
$2$ km $= 2 000$ m. $2 000 \times 50 \times 1 = 100 000 = 1 \times 10^{5}$ m³.
2. Arête d’un grain, en m, en écriture scientifique : $a =$ et $n =$
$0, 5$ mm $= 0, 000 5$ m $= 5 \times 10^{- 4}$ m.
3. Volume d’un grain, en m³, en écriture scientifique : $a =$ et $n =$
$(5 \times 10^{- 4})^{3} = 5^{3} \times 10^{- 12} = 125 \times 10^{- 12} = 1, 25 \times 10^{- 10}$ m³.
4. Nombre de grains de sable de la plage, en écriture scientifique : $a =$ et $n =$
$\frac{1 \times 10^{5}}{1, 25 \times 10^{- 10}} = 0, 8 \times 10^{5 - (- 10)} = 0, 8 \times 10^{15} = 8 \times 10^{14}$ grains.

Problème 5 · Les formats de papier★★★Difficile

Une feuille au format A0 a une aire de

1

m². En la coupant en deux parties égales, on obtient deux feuilles A1 ; en coupant une feuille A1 en deux, deux feuilles A2, et ainsi de suite jusqu’au format A4 et au-delà. Ainsi, une feuille obtenue après

n

découpes a une aire de

2^{- n}

m² : c’est le format « A suivi du nombre

n

» (par exemple, une feuille A3 a une aire de

2^{- 3}

m²).

1. Aire d’une feuille A1, en m² :
$2^{- 1} = \frac{1}{2} = 0, 5$ m².
2. Aire d’une feuille A4, en m² (écriture décimale) :
$2^{- 4} = \frac{1}{2^{4}} = \frac{1}{16} = 0, 062 5$ m².
3. Cette aire, en cm² ( $1$ m² $= 10^{4}$ cm²) :
$0, 062 5 \times 10^{4} = 625$ cm².
4. Combien de feuilles A6 peut-on découper dans une feuille A0 ?
$\frac{2^{0}}{2^{- 6}} = 2^{0 - (- 6)} = 2^{6} = 64$ feuilles.
5. Un papier de « $80$ g/m² » pèse $80$ g par mètre carré. Masse d’un paquet de $500$ feuilles A4 de ce papier, en kg :
Aire totale : $500 \times 0, 062 5 = 31, 25$ m². Masse : $31, 25 \times 80 = 2 500$ g $= 2, 5$ kg.

Problème 6 · L’écran 4K★★★Difficile

Un écran « 4K » affiche

3 840

pixels en largeur et

2 160

pixels en hauteur. On suppose que la couleur de chaque pixel est codée sur

24

bits, que

1

octet

= 8

bits, et qu’une vidéo non compressée affiche

60

images par seconde.

1. Nombre de pixels de l’écran, en écriture scientifique ( $a$ arrondi au dixième) : $a \approx$ et $n =$
$3 840 \times 2 160 = 8 294 400 \approx 8, 3 \times 10^{6}$ pixels.
2. Nombre d’octets pour une image :
$24$ bits $= 3$ octets par pixel : $8 294 400 \times 3 = 24 883 200$ octets.
3. Nombre d’octets pour une seconde de vidéo, en écriture scientifique ( $a$ arrondi au dixième) : $a \approx$ et $n =$
$24 883 200 \times 60 = 1 492 992 000 \approx 1, 5 \times 10^{9}$ octets par seconde.
4. Une heure de cette vidéo non compressée, en Go ( $1$ Go $= 10^{9}$ octets), arrondie à l’unité :
$1$ h $= 3 600$ s : $1 492 992 000 \times 3 600 = 5 374 771 200 000$ octets $\approx 5, 374 8 \times 10^{12}$ octets, soit environ $5 375$ Go : c’est pourquoi les vidéos sont compressées.

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