Fiche de révision : puissances & écriture scientifique

Rappels de 4e (puissance aⁿ, a¹ et a⁰, signe d’une puissance, puissances de 10, préfixes de nano à giga), puissance d’exposant négatif d’un nombre quelconque (a⁻ⁿ = 1/aⁿ, l’inverse de aⁿ), produits et quotients de puissances d’un même nombre, écriture scientifique (écrire, comparer, ordre de grandeur, produits, quotients et sommes) et problèmes avec des puissances et des nombres très grands ou très petits.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Puissances : exposants négatifs et écriture scientifique

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Nombres et calculs · Puissances)

La démarche pour calculer avec des puissances

1. Je regarde la base et l’exposant. Exposant positif : je compte les facteurs. Exposant négatif : je prends l’inverse, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ . Le signe vient de la base, jamais de l’exposant.

2. Même base ? Je regroupe : j’ajoute les exposants pour un produit, je soustrais celui du bas pour un quotient, je multiplie pour une puissance de puissance. Sinon, je calcule chaque puissance.

3. Écriture scientifique : je regroupe les nombres $a$ et les puissances de $10$ , puis je vérifie que $1 \leq a < 10$ .

Le réflexe — un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif ; les exposants ne se regroupent que pour des produits et des quotients d’un même nombre.

Cas 1 · Rappels de 4e : puissances et puissances de 10

Réflexe — je compte les facteurs ; base négative entre parenthèses : exposant pair → positif, impair → négatif ; $10^{- n}$ a $n$ chiffres après la virgule.

Exemple 1. Calculer $(- 3)^{4}$ et $- 3^{4}$ .

$(- 3)^{4} = (- 3) \times (- 3) \times (- 3) \times (- 3) = 81$ : exposant pair, résultat positif.

$- 3^{4} = - (3 \times 3 \times 3 \times 3) = - 81$ : sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur $3$ .

Exemple 2. Convertir $36$ nm en mètres.

$36$ nm $= 36 \times 10^{- 9}$ m : la virgule se décale de $9$ rangs vers la gauche, $36$ nm $= 0, 000 000 036$ m.

Attention — $a^{0} = 1$ et non $0$ ; $10^{- 4}$ est positif : $0, 000 1$ .

Cas 2 · Puissances d’exposant négatif

Réflexe — je calcule $a^{n}$ , puis je prends l’inverse ; pour une fraction, je la retourne.

Exemple 1. Calculer $5^{- 3}$ et ${(\frac{3}{4})}^{- 1}$ .

$5^{- 3} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125} = 0, 008$ .

${(\frac{3}{4})}^{- 1} = \frac{4}{3}$ : l’inverse de $\frac{3}{4}$ .

Exemple 2. Écrire $\frac{1}{11 \times 11 \times 11}$ sous la forme d’une puissance.

$\frac{1}{11 \times 11 \times 11} = \frac{1}{11^{3}} = 11^{- 3}$ .

Attention — $5^{- 3}$ n’est pas $- 125$ : c’est un inverse, pas un opposé.

1 / 2

benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Cas 3 · Calculer avec des puissances d’un même nombre

Réflexe — produit → $+$ ; quotient → exposant du haut moins exposant du bas ; puissance de puissance → $\times$ .

Exemple. Écrire $B = \frac{2^{- 3} \times 2^{7}}{2^{- 1}}$ sous la forme d’une puissance de $2$ , puis calculer.

$2^{- 3} \times 2^{7} = 2^{4}$ ( $- 3 + 7 = 4$ ), puis $\frac{2^{4}}{2^{- 1}} = 2^{4 - (- 1)} = 2^{5}$ .

$B = 2^{5} = 32$ .

Attention — $4 - (- 1) = 5$ : je mets les exposants négatifs entre parenthèses ; et $3^{2} + 3^{3}$ ne se regroupe pas.

Cas 4 · Écriture scientifique : écrire, comparer, calculer

Réflexe — un seul chiffre non nul avant la virgule ; je compare d’abord les exposants ; je regroupe les $a$ et les puissances de $10$ .

Exemple 1. Écrire $0, 000 46$ et $512 \times 10^{3}$ en écriture scientifique.

$0, 000 46 = 4, 6 \times 10^{- 4}$ (virgule décalée de $4$ rangs vers la droite).

$512 \times 10^{3} = 5, 12 \times 10^{2} \times 10^{3} = 5, 12 \times 10^{5}$ .

Exemple 2. Calculer $C = \frac{9 \times 10^{5}}{1, 5 \times 10^{- 2}}$ .

$C = \frac{9}{1, 5} \times 10^{5 - (- 2)} = 6 \times 10^{7}$ .

Attention — $35 \times 10^{4}$ est juste mais n’est pas scientifique : $3, 5 \times 10^{5}$ .

Cas 5 · Problèmes en écriture scientifique

Réflexe — même unité, calcul en écriture scientifique, arrondi à la fin, contrôle par un ordre de grandeur.

Exemple. Combien de fois $6 \times 10^{8}$ est-il plus grand que $1, 2 \times 10^{3}$ ?

$\frac{6 \times 10^{8}}{1, 2 \times 10^{3}} = 5 \times 10^{5}$ : il est $500 000$ fois plus grand.

Attention — l’affichage 4.1E−6 se lit $4, 1 \times 10^{- 6}$ .

Les pièges

Confondre exposant négatif et nombre négatif : $9^{- 1} = \frac{1}{9}$ , pas $- 9$ .
Oublier les parenthèses : $- 8^{2} = - 64$ mais $(- 8)^{2} = 64$ .
Multiplier les exposants d’un produit : $3^{2} \times 3^{4} = 3^{6}$ , pas $3^{8}$ .
Regrouper une somme : $10^{4} + 10^{2} = 10 100$ , ce n’est pas $10^{6}$ .
Laisser $a \geq 10$ : $45 \times 10^{- 3}$ s’écrit $4, 5 \times 10^{- 2}$ en écriture scientifique.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour calculer avec des puissances : regarder la base et le signe de l’exposant, regrouper les puissances d’un même nombre, remettre un résultat en écriture scientifique. Des exemples corrigés pour chaque cas, de (−3)⁴ à un « combien de fois plus grand », et les cinq pièges classiques, comme confondre exposant négatif et nombre négatif.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs