Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Puissances & écriture scientifique
Puissances d'un nombre, puissances de 10 et écriture scientifique pour manier les très grands et très petits nombres — programme de 3e
Calculer avec des puissances, manier les puissances de 10 et écrire ou comparer les très grands et très petits nombres en écriture scientifique.
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Définitions
- aⁿ = a × a × … × a (n facteurs) ; a = base, n = exposant.
- a¹ = a ; a⁰ = 1 ; a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (un inverse, pas un négatif).
- (−2)⁴ = 16 mais −2⁴ = −16 ; exposant pair → positif, impair → signe de la base.
- 2⁻³ = 1/8 = 0,125 ; 0,5² = 0,25.
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Puissances de 10
- 10ⁿ = 1 suivi de n zéros : 10⁶ = 1 000 000.
- 10⁻ⁿ = un 1 au n-ième rang après la virgule : 10⁻³ = 0,001.
- kilo 10³, méga 10⁶, giga 10⁹ ; milli 10⁻³, micro 10⁻⁶, nano 10⁻⁹.
- × 10ⁿ : virgule de n rangs vers la droite ; × 10⁻ⁿ : vers la gauche.
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Règles de calcul
- aᵐ × aⁿ = am+n ; aᵐ ÷ aⁿ = am−n ; (aᵐ)ⁿ = am×n.
- aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ.
- Aucune règle pour les sommes : 10⁴ + 10⁴ = 2 × 10⁴.
- Exemples : 10⁻³ × 10⁸ = 10⁵ ; 10² ÷ 10⁷ = 10⁻⁵ ; (10⁻²)³ = 10⁻⁶.
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Écriture scientifique
- Forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule).
- Placer la virgule après le premier chiffre non nul, compter les rangs : vers la gauche → n > 0, vers la droite → n < 0.
- 4 620 000 = 4,62 × 10⁶ ; 0,00073 = 7,3 × 10⁻⁴ ; 125 × 10⁴ = 1,25 × 10⁶.
- Produit ou quotient : regrouper les a, puis les puissances de 10, puis remettre en forme.
- Somme : mettre à la même puissance de 10 d'abord.
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Comparer et estimer
- Comparer les exposants d'abord, puis les a : 1,2 × 10⁻³ > 9,8 × 10⁻⁴.
- Ordre de grandeur = puissance de 10 la plus proche.
- Pour vérifier un résultat, estimer l'exposant avant de calculer.
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Pièges à éviter
- 2³ = 8, pas 6 ; 3⁴ = 81, pas 12.
- Un exposant négatif ne donne pas un nombre négatif.
- 10³ × 10⁴ = 10⁷ (pas 10¹²) ; (10²)³ = 10⁶ (pas 10⁵).
- 45 × 10⁻³ n'est pas une écriture scientifique : 4,5 × 10⁻².
- Comparer les a avant les exposants.
L'essentiel
- aⁿ : n facteurs a ; a⁰ = 1 ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- Produit : on ajoute les exposants ; quotient : on soustrait ; puissance de puissance : on multiplie.
- Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
- Pour comparer, regarder l'exposant d'abord.
- Somme de puissances de 10 : même exposant d'abord, jamais de règle automatique.
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