Arithmétique : nombres premiers et fraction irréductible

Complète.

1. $551=19\times$
   $551÷19$ : $29$, il reste $0$. Donc $551=19\times 29$ : $551$ est un multiple de $19$ et de $29$.
2. $14$ est un de $266$ (écris « multiple » ou « diviseur »)
   $266=14\times 19$ : $266$ est un multiple de $14$, donc $14$ est un diviseur de $266$.
3. Reste de la division euclidienne de $600$ par $23$ :
   $23\times 26=598$ et $23\times 27=621$ dépasse $600$ : $600=23\times 26+2$, le reste est $2$.
4. Le plus petit diviseur de $203$ autre que $1$ :
   $203$ est impair, $2+0+3=5$ n’est pas dans la table de $3$, et il ne se termine ni par $0$ ni par $5$. Mais $203=7\times 29$ : c’est $7$.

Voici cinq nombres : $3468$ ; $7290$ ; $5125$ ; $4716$ ; $9801$. Recopie ceux qui conviennent, dans l’ordre de l’énoncé.

1. Divisibles par $4$ : ;
   Deux derniers chiffres : $68=4\times 17$ (oui) ; $90=4\times 22+2$ (non) ; $25=4\times 6+1$ (non) ; $16=4\times 4$ (oui) ; $01$ (non).
2. Divisibles par $9$ : ; ;
   Sommes des chiffres : $21$ ; $18$ ; $13$ ; $18$ ; $18$. Seules les sommes $18$ sont dans la table de $9$.
3. Divisibles par $6$ : ; ;
   $6=2\times 3$ : il faut un nombre pair dont la somme des chiffres est dans la table de $3$. $3468$ (somme $21$), $7290$ (somme $18$) et $4716$ (somme $18$) conviennent ; $5125$ et $9801$ sont impairs.

Raisonne avec les critères et les diviseurs.

1. $52◻4$ est divisible par $12$ : □ =
   $12=3\times 4$. Pour $4$ : $◻4$ doit être dans la table de $4$, donc □ $=0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$. Pour $3$ : $5+2+4+◻=11+◻$ doit valoir $12$, $15$ ou $18$, donc □ $=1$, $4$ ou $7$.
   Seul □ $=4$ convient : $5244=12\times 437$.
2. Nombre de diviseurs de $135$ :
   $135=1\times 135=3\times 45=5\times 27=9\times 15$ ($2$, $4$, $6$, $7$, $8$, $10$ à $14$ ne conviennent pas).
   Diviseurs : $1$ ; $3$ ; $5$ ; $9$ ; $15$ ; $27$ ; $45$ ; $135$, soit $8$.
3. Le plus petit nombre de quatre chiffres divisible par $2$, par $3$ et par $5$ :
   Divisible par $2$ et par $5$ : il se termine par $0$. Pour $3$ : $1000$ (somme $1$), $1010$ (somme $2$), $1020$ (somme $3$). C’est $1020=30\times 34$.

Donne le plus petit diviseur premier du nombre (écris le nombre lui-même s’il est premier).

1. $133$ :
   Ni par $2$, ni par $3$ ($1+3+3=7$), ni par $5$ ; $133=7\times 19$ : c’est $7$.
2. $97$ :
   Ni par $2$, ni par $3$ ($9+7=16$), ni par $5$, ni par $7$ ($97=7\times 13+6$). $11\times 11=121$ dépasse $97$ : $97$ est premier.
3. $143$ :
   Ni par $2$, ni par $3$ ($1+4+3=8$), ni par $5$, ni par $7$ ($143=7\times 20+3$) ; $143=11\times 13$ : c’est $11$.
4. $177$ :
   $177$ est impair et $1+7+7=15$ est dans la table de $3$ : $177=3\times 59$, c’est $3$.

Réponds par un nombre.

1. Pour savoir si $403$ est premier, le plus grand nombre premier qu’il suffit d’essayer :
   $19\times 19=361$ ne dépasse pas $403$, mais $23\times 23=529$ le dépasse : on essaie $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
2. Le plus petit diviseur premier de $403$ :
   Ni par $2$, ni par $3$ ($4+0+3=7$), ni par $5$, ni par $7$ ($403=7\times 57+4$), ni par $11$ ($403=11\times 36+7$) ; $403=13\times 31$ : c’est $13$.
3. Nombre de nombres premiers compris entre $70$ et $90$ :
   $71$, $73$, $79$, $83$ et $89$ : $5$ nombres. Les autres nombres impairs sont composés : $75$, $77=7\times 11$, $81=9\times 9$, $85$, $87=3\times 29$.

Raisonne.

1. Le plus grand nombre premier inférieur à $200$ :
   $199$ : ni par $2$, ni par $3$ ($1+9+9=19$), ni par $5$, ni par $7$ ($199=7\times 28+3$), ni par $11$ ($199=11\times 18+1$), ni par $13$ ($199=13\times 15+4$). $17\times 17=289$ dépasse $199$ : il est premier.
2. Le plus petit nombre composé impair qui n’est divisible ni par $3$ ni par $5$ :
   Les nombres impairs composés sont $9$, $15$, $21$, $25$, $27$, $33$, $35$, $39$, $45$, $49$… Tous ceux avant $49$ sont divisibles par $3$ ou par $5$ ; $49=7\times 7$ ne l’est pas.
3. De combien de façons peut-on écrire $35$ comme la somme de deux nombres premiers ?
   $35$ est impair : la somme de deux nombres impairs est paire, donc l’un des deux nombres est pair. Le seul nombre premier pair est $2$, et $35-2=33=3\times 11$ n’est pas premier. Aucune façon : $0$.

Décompose en produit de facteurs premiers. Écris les facteurs dans l’ordre croissant, séparés par ×, par exemple 2×5×5.

1. $90=$
   $90=2\times 45=2\times 3\times 15=2\times 3\times 3\times 5$, soit $2\times 3^2\times 5$.
2. $130=$
   $130=2\times 65=2\times 5\times 13$, et $13$ est premier.
3. $147=$
   $1+4+7=12$ : $147=3\times 49=3\times 7\times 7$, soit $3\times 7^2$.
4. $175=$
   $175=5\times 35=5\times 5\times 7$, soit $5^2\times 7$.

Avec des exposants.

1. $1350=2^a\times 3^b\times 5^c$ : $a=$ ; $b=$ ; $c=$
   $1350÷2=675$ ; $675÷3=225$ ; $225÷3=75$ ; $75÷3=25$ ; $25÷5=5$ ; $5÷5=1$. Donc $1350=2\times 3^3\times 5^2$.
2. $2662=2^a\times {11}^b$ : $a=$ ; $b=$
   $2662÷2=1331$ ; $1331÷11=121$ ; $121÷11=11$ ; $11÷11=1$. Donc $2662=2\times {11}^3$.
3. $3528=2^a\times 3^b\times 7^c$ : $a=$ ; $b=$ ; $c=$
   $3528÷2=1764$ ; $1764÷2=882$ ; $882÷2=441$ ; $441÷3=147$ ; $147÷3=49$ ; $49÷7=7$ ; $7÷7=1$. Donc $3528=2^3\times 3^2\times 7^2$.

Utilise la décomposition.

1. $N=2^4\times 3\times 5^2$. Sans calculer $N$, $N÷40=$
   $40=2^3\times 5$ : ses facteurs sont dans $N$. On les retire : il reste un facteur $2$, le $3$ et un facteur $5$, et $2\times 3\times 5=30$.
2. Le plus petit nombre entier par lequel multiplier $600$ pour obtenir le carré d’un nombre entier :
   $600=2^3\times 3\times 5^2$. Pour que tous les exposants soient pairs, il manque un facteur $2$ et un facteur $3$ : on multiplie par $2\times 3=6$. $600\times 6=3600=2^4\times 3^2\times 5^2={60}^2$.
3. Nombre de diviseurs de $2^2\times 3^3$ :
   Un diviseur contient $1$, $2$ ou $2^2$ (trois choix) et $1$, $3$, $3^2$ ou $3^3$ (quatre choix). Dans le tableau, $3\times 4=12$ cases : $12$ diviseurs.

Rends irréductible en supprimant les facteurs communs. Réponds sous la forme a/b.

1. ${\displaystyle \frac{2^3\times 3\times 11}{2\times 3^2\times 5}}=$
   Facteurs communs : $2\times 3$. Il reste ${\displaystyle \frac{2^2\times 11}{3\times 5}}={\displaystyle \frac{44}{15}}$.
2. ${\displaystyle \frac{3^2\times 5\times 13}{3\times 5^2\times 13}}=$
   Facteurs communs : $3\times 5\times 13$. Il reste ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.
3. ${\displaystyle \frac{2\times 5^2\times 7}{2^2\times 7^2}}=$
   Facteurs communs : $2\times 7$. Il reste ${\displaystyle \frac{5^2}{2\times 7}}={\displaystyle \frac{25}{14}}$.

Décompose, puis rends irréductible. Réponds sous la forme a/b.

1. ${\displaystyle \frac{312}{728}}=$
   ${\displaystyle \frac{312}{728}}={\displaystyle \frac{2^3\times 3\times 13}{2^3\times 7\times 13}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$ (on a supprimé $2^3\times 13=104$).
2. ${\displaystyle \frac{1155}{1785}}=$
   $1155=3\times 5\times 7\times 11$ et $1785=3\times 5\times 7\times 17$ : ${\displaystyle \frac{1155}{1785}}={\displaystyle \frac{11}{17}}$.
3. ${\displaystyle \frac{1024}{1536}}=$
   $1024=2^{10}$ et $1536=2^9\times 3$ : il reste ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Réponds sous la forme a/b ou par un nombre.

1. Dans un collège, $168$ élèves sur $588$ sont externes. Proportion d’externes, sous forme irréductible :
   ${\displaystyle \frac{168}{588}}={\displaystyle \frac{2^3\times 3\times 7}{2^2\times 3\times 7^2}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$ (on a supprimé $2^2\times 3\times 7=84$).
2. Le plus petit nombre entier $n$ plus grand que $1$ pour lequel ${\displaystyle \frac{n}{90}}$ est irréductible :
   $90=2\times 3^2\times 5$ : $n$ ne doit contenir ni $2$, ni $3$, ni $5$. $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$ ne conviennent pas ; $7$ convient.
3. ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{7}{30}}$, sous forme irréductible :
   $12=2^2\times 3$ et $30=2\times 3\times 5$ : dénominateur commun $2^2\times 3\times 5=60$. ${\displaystyle \frac{25}{60}}+{\displaystyle \frac{14}{60}}={\displaystyle \frac{39}{60}}={\displaystyle \frac{3\times 13}{2^2\times 3\times 5}}={\displaystyle \frac{13}{20}}$.

Réponds avec les décompositions.

1. Le plus grand diviseur commun de $2^3\times 3^2\times 5$ et de $2^2\times 3^3\times 7$ :
   Facteurs communs, avec le plus petit exposant : $2^2\times 3^2=36$.
2. Le plus petit multiple commun non nul de $2\times 3^2$ et de $2^2\times 3\times 5$ :
   Tous les facteurs, avec le plus grand exposant : $2^2\times 3^2\times 5=180$.
3. Le plus grand diviseur commun de $3\times 5\times 7$ et de $2\times 11\times 13$ :
   Aucun facteur premier commun : le seul diviseur commun est $1$.

On répartit $210$ billes rouges et $294$ billes bleues dans des sacs identiques, en utilisant toutes les billes.

1. Le plus grand nombre de sacs possible :
   $210=2\times 3\times 5\times 7$ et $294=2\times 3\times 7^2$ : facteurs communs $2\times 3\times 7=42$.
2. Dans chacun de ces sacs : billes rouges et billes bleues
   $210÷42=5$ et $294÷42=7$.
3. On ajoute $35$ billes vertes à répartir aussi dans les sacs. Le plus grand nombre de sacs devient :
   $35=5\times 7$ : le seul facteur premier commun aux trois décompositions est $7$. On peut faire $7$ sacs.

Se retrouver.

1. Une roue de $24$ dents entraîne une roue de $54$ dents. Nombre de dents qui passent avant que les repères se retrouvent :
   $24=2^3\times 3$ et $54=2\times 3^3$ : plus petit multiple commun $2^3\times 3^3=216$.
2. Nombre de tours faits alors par la roue de $24$ dents :
   $216÷24=9$ tours (et $216÷54=4$ tours pour la grande roue).
3. Deux feux passent au vert ensemble, puis l’un toutes les $90$ s et l’autre toutes les $105$ s. Au bout de combien de secondes passent-ils de nouveau ensemble au vert ?
   $90=2\times 3^2\times 5$ et $105=3\times 5\times 7$ : $2\times 3^2\times 5\times 7=630$ s, soit $10$ min $30$ s.

Réponds par un nombre.

1. $\text{PGCD}(84;12)=$
   $84=12\times 7$ : $12$ divise $84$, donc $\text{PGCD}(84;12)=12$.
2. Pour $\text{PGCD}(611;247)$, reste de la première division d’Euclide :
   On divise le plus grand par le plus petit : $247\times 2=494$ et $247\times 3=741$ dépasse $611$. Donc $611=247\times 2+117$, le reste est $117$.
3. $\text{PGCD}(35;36)=$
   $35$ et $36$ sont consécutifs : un diviseur commun diviserait $36-35=1$. Ils sont premiers entre eux.

Utilise l’algorithme d’Euclide.

1. $\text{PGCD}(527;341)=$
   $527=341\times 1+186$ ; $341=186\times 1+155$ ; $186=155\times 1+31$ ; $155=31\times 5+0$. Le dernier reste non nul est $31$.
2. ${\displaystyle \frac{527}{341}}$ sous forme irréductible (a/b) :
   $527÷31=17$ et $341÷31=11$ : ${\displaystyle \frac{527}{341}}={\displaystyle \frac{17}{11}}$.
3. $\text{PGCD}(1456;1088)=$
   $1456=1088\times 1+368$ ; $1088=368\times 2+352$ ; $368=352\times 1+16$ ; $352=16\times 22+0$. Le dernier reste non nul est $16$.

Raisonne.

1. Deux nombres ont pour PGCD $12$. Combien ont-ils de diviseurs communs ?
   Les diviseurs communs sont exactement les diviseurs du PGCD : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $12$, soit $6$.
2. Combien de nombres entiers $n$ de $1$ à $20$ vérifient $\text{PGCD}(n;20)=1$ ?
   $20=2^2\times 5$ : $n$ et $20$ sont premiers entre eux quand $n$ n’est ni pair ni multiple de $5$. $1$, $3$, $7$, $9$, $11$, $13$, $17$, $19$ : $8$ nombres.
3. Le plus grand nombre entier $n$ inférieur à $100$ tel que $\text{PGCD}(n;100)=1$ :
   $100=2^2\times 5^2$. $99=3^2\times 11$ ne contient ni $2$ ni $5$ : $\text{PGCD}(99;100)=1$ (ils sont d’ailleurs consécutifs).