À propos de cette page
Ces exercices corrigés sur « Arithmétique : PGCD et nombres premiers » en troisième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de troisième et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : Diviseurs et multiples d'un nombre, Les critères de divisibilité, Les nombres premiers, Décomposer en produit de facteurs premiers. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en troisième.
Entraîne-toi par niveau. Chaque exercice teste une partie du cours. Cherche d'abord seul, puis clique sur « Voir le corrigé ».
Facile
Ex. 1Donne la liste de tous les diviseurs de :
a) 18
b) 20
c) 36
a) 1 · 2 · 3 · 6 · 9 · 18.
b) 1 · 2 · 4 · 5 · 10 · 20.
c) 1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 9 · 12 · 18 · 36. On cherche par paires : 1×18, 2×9, 3×6…
Ex. 2Réponds par oui ou non :
a) 7 est-il un diviseur de 56 ?
b) 4 divise-t-il 30 ?
c) 45 est-il un multiple de 9 ?
a) Oui (56 = 7 × 8).
b) Non (30 ÷ 4 = 7 reste 2).
c) Oui (45 = 9 × 5).
Ex. 3Sans poser de division, dis si 252 est divisible par :
a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
a) Oui (finit par 2, donc pair).
b) Oui (2+5+2 = 9, divisible par 3).
c) Non (ne finit pas par 0 ou 5).
d) Oui (2+5+2 = 9, divisible par 9).
Ex. 4Parmi ces nombres, lesquels sont premiers ?
2 · 9 · 11 · 15 · 17 · 21 · 23
Premiers : 2 · 11 · 17 · 23. (9 = 3×3, 15 = 3×5, 21 = 3×7 ne sont pas premiers.)
Ex. 5Vrai ou faux :
a) 1 est un nombre premier.
b) 2 est le seul nombre premier pair.
c) Tous les nombres impairs sont premiers.
a) Faux (1 n'a qu'un seul diviseur).
b) Vrai.
c) Faux (9 est impair mais pas premier).
Ex. 6Décompose en produit de facteurs premiers :
a) 12
b) 30
c) 50
a) 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3.
b) 30 = 2 × 3 × 5.
c) 50 = 2 × 5 × 5 = 2 × 5².
Ex. 7Donne tous les diviseurs communs de 12 et 18, puis leur PGCD.
Diviseurs de 12 : 1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 12. Diviseurs de 18 : 1 · 2 · 3 · 6 · 9 · 18.
Communs : 1 · 2 · 3 · 6. PGCD(12 ; 18) = 6.
Ex. 8Calcule par la liste des diviseurs :
a) PGCD(8 ; 12)
b) PGCD(10 ; 15)
c) PGCD(14 ; 21)
a) 4.
b) 5.
c) 7.
Ex. 9Simplifie ces fractions (en divisant par un diviseur commun visible) :
a) 48
b) 69
c) 1015
a) 48 = 12 (÷4).
b) 69 = 23 (÷3).
c) 1015 = 23 (÷5).
Ex. 10Ces deux nombres sont-ils premiers entre eux ?
a) 4 et 9
b) 6 et 8
c) 7 et 10
a) Oui : PGCD = 1.
b) Non : ils ont 2 en commun (PGCD = 2).
c) Oui : PGCD = 1.
Moyen
Ex. 11Combien le nombre 48 a-t-il de diviseurs ? Donne-les tous.
1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 8 · 12 · 16 · 24 · 48 → 10 diviseurs. (Paires : 1×48, 2×24, 3×16, 4×12, 6×8.)
Ex. 12Le nombre 91 est-il premier ? Justifie.
Non. 91 = 7 × 13. Il a donc 4 diviseurs (1, 7, 13, 91), ce n'est pas un nombre premier.
Ex. 13Décompose en facteurs premiers :
a) 84
b) 120
c) 225
a) 84 = 2² × 3 × 7.
b) 120 = 2³ × 3 × 5.
c) 225 = 3² × 5² (225 = 9 × 25).
Ex. 14Calcule le PGCD à partir des décompositions :
a) 36 = 2²×3² et 60 = 2²×3×5
b) 90 = 2×3²×5 et 75 = 3×5²
a) Communs : 2² et 3 → PGCD = 4 × 3 = 12.
b) Communs : 3 et 5 → PGCD = 3 × 5 = 15.
Ex. 15Calcule avec l'algorithme d'Euclide :
a) PGCD(48 ; 36)
b) PGCD(60 ; 45)
a) 48 = 36×1 + 12 ; 36 = 12×3 + 0 → 12.
b) 60 = 45×1 + 15 ; 45 = 15×3 + 0 → 15.
Ex. 16Rends irréductibles, en divisant par le PGCD :
a) 3660
b) 4575
a) PGCD(36 ; 60) = 12 → 3660 = 35.
b) PGCD(45 ; 75) = 15 → 4575 = 35.
Ex. 17La fraction 1435 est-elle irréductible ? Si non, simplifie-la.
Non : PGCD(14 ; 35) = 7. 1435 = 25 (÷7). 2 et 5 sont premiers entre eux → irréductible.
Ex. 18Détermine si ces nombres sont premiers entre eux (calcule leur PGCD) :
a) 15 et 28
b) 24 et 36
a) 15 = 3×5, 28 = 2²×7 : aucun facteur commun → PGCD = 1 → premiers entre eux.
b) PGCD(24 ; 36) = 12 ≠ 1 → non.
Ex. 19Trouve le plus petit nombre, supérieur à 1, qui divise à la fois 84 et 90.
84 et 90 sont tous deux pairs et de somme de chiffres divisible par 3. Le plus petit diviseur commun > 1 est 2.
Ex. 20Un nombre premier p vérifie 20 < p < 30. Donne tous les nombres possibles.
23 et 29. (21 = 3×7, 22 et 24…28 pairs ou multiples, 25 = 5², 27 = 3³.)
Difficile
Ex. 21Calcule avec l'algorithme d'Euclide :
a) PGCD(168 ; 60)
b) PGCD(414 ; 138)
a) 168 = 60×2 + 48 ; 60 = 48×1 + 12 ; 48 = 12×4 + 0 → 12.
b) 414 = 138×3 + 0 → 138 (138 divise 414).
Ex. 22Calcule PGCD(315 ; 825) par les facteurs premiers, puis rends 315825 irréductible.
315 = 3² × 5 × 7 et 825 = 3 × 5² × 11. Communs : 3 et 5 → PGCD = 15.
315825 = 2155 (÷15). 21 = 3×7 et 55 = 5×11 → irréductible.
Ex. 23On donne 1 386 = 2 × 3² × 7 × 11. Combien ce nombre a-t-il de diviseurs ? (Indice : on multiplie les (exposant + 1).)
Exposants : 1, 2, 1, 1 → (1+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 2 × 3 × 2 × 2 = 24 diviseurs.
Ex. 24Deux nombres ont pour décompositions 2³ × 3 × 5 et 2² × 3³ × 5. Donne leur PGCD.
Facteurs communs avec le plus petit exposant : 2², 3¹, 5¹ → PGCD = 4 × 3 × 5 = 60.
Ex. 25Vrai ou faux, en justifiant :
a) Si PGCD(a ; b) = 1 alors a et b sont tous deux premiers.
b) Deux nombres pairs ne sont jamais premiers entre eux.
a) Faux : 8 et 9 ont pour PGCD 1 mais ne sont pas premiers.
b) Vrai : deux nombres pairs ont toujours 2 en commun, donc PGCD ≥ 2.
Ex. 26Trouve deux entiers dont le PGCD est 6 et dont l'un vaut 24. Donne deux réponses différentes.
L'autre nombre doit être un multiple de 6, dont le PGCD avec 24 vaut exactement 6.
Exemples : 24 et 18 (PGCD = 6) ou 24 et 30 (PGCD = 6). Mais pas 24 et 12 : PGCD = 12.
Ex. 27Montre que 357442 n'est pas irréductible et simplifie-la (utilise Euclide).
442 = 357×1 + 85 ; 357 = 85×4 + 17 ; 85 = 17×5 + 0 → PGCD = 17.
357442 = 2126 (÷17). 21 et 26 sont premiers entre eux → irréductible.
Ex. 28Un nombre N s'écrit N = 2² × 3 × 5 × k où k est premier et k > 5. Sachant que PGCD(N ; 60) = 60, que peut-on dire ? Donne le plus petit N possible.
60 = 2² × 3 × 5 divise N (tous ses facteurs sont dans N), donc PGCD(N ; 60) = 60 ✓.
Le plus petit premier k > 5 est 7 → N = 2² × 3 × 5 × 7 = 420.