Arithmétique : nombres premiers et fraction irréductible

C. 667 est un multiple de 23 — 667 = 23 × 29 : 667 est dans la table de 23, c’est un multiple de 23 (et de 29) ; 23 et 29 sont des diviseurs de 667, pas l’inverse.

B. la somme de ses chiffres est un multiple de 9 — Pour 9, on additionne tous les chiffres. 19 se termine par 9 sans être divisible par 9, et 12 est divisible par 3 sans l’être par 9.

D. 83 — 91 = 7 × 13, 87 = 3 × 29 et 57 = 3 × 19. 83 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, et 11 × 11 = 121 dépasse 83 : il est premier.

D. n’est pas un nombre premier — 1 n’a qu’un seul diviseur, lui-même : il n’est pas premier. Le plus petit nombre premier est 2.

A. 12 — 12 = 2² × 3 : ses facteurs sont dans la décomposition. 18 = 2 × 3² demande deux facteurs 3, 16 = 2⁴ quatre facteurs 2, et 10 = 2 × 5 contient 5, qui n’y est pas.

B. 2² × 3 × 5 — 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Les autres produits valent aussi 60, mais 4, 15, 30 et 10 ne sont pas premiers.

A. 2 — 2 a exactement deux diviseurs, 1 et 2. Tout autre nombre pair est divisible par 2 : il a au moins trois diviseurs. 0 et 4 ne sont pas premiers.

B. seul 1 divise à la fois son numérateur et son dénominateur — On ne peut plus la simplifier : numérateur et dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1. 25/36 est irréductible sans qu’aucun des deux nombres soit premier, et 3/6 ne l’est pas.

A. 2/3 — On supprime un facteur 2 et un facteur 3 en haut et en bas : il reste 2 en haut et 3 en bas, soit 2/3.

D. 8 — 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 : il y en a 8. 1, 9 et 15 ne sont pas premiers.

B. 11 — 11 × 11 = 121 ne dépasse pas 151, mais 13 × 13 = 169 le dépasse : on essaie 2, 3, 5, 7 et 11. Aucune division ne tombe juste : 151 est premier.

D. 7 — 35 = 5 × 7 et 14 = 2 × 7 : le seul facteur premier commun est 7.

B. 2² × 3² × 5 — 180 = 4 × 45 = 2² × 3² × 5. 2 × 3² × 5² = 450, 2³ × 3 × 5 = 120, et 15 n’est pas premier.

C. 18 — 72 = 2³ × 3² et 54 = 2 × 3³ : facteurs communs, plus petit exposant, 2 × 3² = 18. 6 et 9 sont des diviseurs communs, mais pas les plus grands ; 36 ne divise pas 54.

D. 4/7 — 84 = 2² × 3 × 7 et 147 = 3 × 7² : on supprime 3 × 7 = 21, il reste 4/7. 12/21 et 28/49 sont égales mais se simplifient encore ; 7/4 est l’inverse.

A. le carré de 72 — Les exposants sont pairs : 5 184 = (2³ × 3²)² = 72². 36² = 1 296 et 12³ = 1 728.

C. 2 × 5 — Facteurs communs aux deux décompositions, avec le plus petit exposant : 2 et 5, soit 2 × 5 = 10. 2³ × 5² × 7 × 11 est un multiple commun.

D. 13 — 13 × 13 = 169 ne dépasse pas 221, mais 17 × 17 = 289 le dépasse : on s’arrête à 13. D’ailleurs 221 = 13 × 17 n’est pas premier.

B. 1 — 125 = 5³ et 64 = 2⁶ n’ont aucun facteur premier commun : leur seul diviseur commun est 1.

C. 18 — 126 = 2 × 3² × 7 et 90 = 2 × 3² × 5 : facteurs communs 2 × 3² = 18 sachets, de 7 bonbons et 5 sucettes. 36 ne divise ni 126 ni 90.

A. 24 — 8 = 2³ et 12 = 2² × 3 : tous les facteurs, plus grand exposant, 2³ × 3 = 24. 48 et 96 sont des multiples communs plus grands ; 4 est un diviseur commun.

C. 2, 3, 5, 5 — 150 ÷ 2 = 75 (il note 2) ; 75 ÷ 3 = 25 (il note 3) ; 25 n’est pas divisible par 3 ni par 4 ; 25 ÷ 5 = 5 (il note 5) ; 5 ÷ 5 = 1 (il note encore 5). Il note 2, 3, 5, 5 : c’est la décomposition de 150 en 2 × 3 × 5².

B. 49/90 — 49 = 7² et 90 = 2 × 3² × 5 : aucun facteur commun. 51/85 se simplifie par 17, 57/76 par 19 et 65/91 par 13.

B. 140 dents — 20 = 2² × 5 et 35 = 5 × 7 : plus petit multiple commun 2² × 5 × 7 = 140 dents. 700 = 20 × 35 est un multiple commun plus grand ; 70 n’est pas un multiple de 20.

D. 437 = 323 × 1 + 114 — On divise le plus grand nombre par le plus petit : quotient 1, reste 114. Les égalités avec « × 2 − 209 » et « 114 × 3 + 95 » sont justes, mais ce ne sont pas la division de 437 par 323 ; et 114 n’est pas le PGCD, seulement le premier reste.

C. 19 — 437 = 323 × 1 + 114 ; 323 = 114 × 2 + 95 ; 114 = 95 × 1 + 19 ; 95 = 19 × 5 + 0. Le dernier reste non nul est 19 (437 = 19 × 23 et 323 = 17 × 19).

B. le dernier reste non nul — On divise jusqu’à obtenir un reste nul ; le PGCD est le reste juste avant, le dernier reste non nul.

A. 12 — 3 et 4 n’ont aucun facteur premier commun : le nombre contient 3 et 2² dans sa décomposition, il est divisible par 3 × 4 = 12. 12 lui-même n’est pas divisible par 24.

B. 12 — 4 = 2² et 6 = 2 × 3 : sa décomposition contient 2² et 3, donc 12 le divise. Mais 12 lui-même n’est divisible ni par 24 ni par 36 : 4 et 6 ont le facteur 2 en commun.

D. 1 — Ce sont deux nombres consécutifs : un diviseur commun diviserait leur différence, 1. Ils sont premiers entre eux.

C. 11 × 17 × 19 — 3 553 = 11 × 323 et 323 = 17 × 19. 11 × 323 et 17 × 209 valent bien 3 553, mais 323 et 209 = 11 × 19 ne sont pas premiers ; 53 × 67 = 3 551.

C. 12 — Un diviseur contient 1, 2, 2² ou 2³ (quatre choix) et 1, 5 ou 5² (trois choix) : 4 × 3 = 12 diviseurs.

A. 11/13 — 1 309 = 7 × 11 × 17 et 1 547 = 7 × 13 × 17 : on supprime 7 × 17, il reste 11/13. 187/221 et 77/91 lui sont égales mais se simplifient encore.

B. a est un multiple de b — Les seuls diviseurs de b sont 1 et b : la fraction se simplifie quand b divise aussi a, c’est-à-dire quand a est un multiple de b, et seulement dans ce cas.

B. 2² × 3³ — Facteurs communs 2 et 3, chacun avec le plus petit exposant : 2² × 3³. 7 n’est que dans le second nombre.

A. 20 h 02 min 24 s — 36 = 2² × 3² et 48 = 2⁴ × 3 : plus petit multiple commun 2⁴ × 3² = 144 s = 2 min 24 s. 12 s est le plus grand diviseur commun, et 36 × 48 = 1 728 s = 28 min 48 s n’est pas le premier rendez-vous.