Puissances : exposants négatifs et écriture scientifique

Calcule.

1. $2^{11}=$
   $2^{11}$ est le produit de onze facteurs égaux à $2$ : $2^{10}=1024$, puis $1024\times 2=2048$.
2. $(-4{)}^3=$
   $(-4)\times (-4)\times (-4)=-64$ : exposant impair, résultat négatif.
3. $-7^2=$
   Sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur $7$ : $-7^2=-(7\times 7)=-49$.
4. $0,6^2=$
   $0,6\times 0,6=0,36$ : plus petit que $0,6$, car $0,6$ est entre $0$ et $1$.
5. ${19}^0=$
   Pour toute base différente de $0$, l’exposant $0$ donne $1$ : ${19}^0=1$.
6. $(-1{)}^{30}=$
   $30$ est pair : $(-1{)}^{30}=1$.

Écris en écriture décimale.

1. ${10}^{-6}=$
   $6$ chiffres après la virgule, le dernier étant le $1$ : ${10}^{-6}=0,000001$.
2. $3,08\times {10}^5=$
   La virgule se décale de $5$ rangs vers la droite : $3,08\times {10}^5=308000$.
3. $47\times {10}^{-4}=$
   La virgule se décale de $4$ rangs vers la gauche : $47\times {10}^{-4}=0,0047$.
4. $0,2\times {10}^3=$
   La virgule se décale de $3$ rangs vers la droite : $0,2\times {10}^3=200$.

Convertis en remplaçant le préfixe par sa puissance de 10. Donne l’écriture décimale.

1. $9$ GW $=$ W
   $1$ GW $={10}^9$ W : $9$ GW $=9\times {10}^9$ W $=9000000000$ W.
2. $40$ µm $=$ m
   $1$ µm $={10}^{-6}$ m : $40$ µm $=40\times {10}^{-6}$ m $=0,00004$ m.
3. $2,7$ mg $=$ g
   $1$ mg $={10}^{-3}$ g : $2,7$ mg $=2,7\times {10}^{-3}$ g $=0,0027$ g.
4. $350$ Mo $=$ Go
   $1$ Go $={10}^9$ octets $={10}^3$ Mo, donc $1$ Mo $={10}^{-3}$ Go : $350$ Mo $=350\times {10}^{-3}$ Go $=0,35$ Go.

Écris en écriture décimale.

1. $2^{-2}=$
   $2^{-2}={\displaystyle \frac{1}{2^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$.
2. $5^{-1}=$
   $5^{-1}={\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2$ : l’inverse de $5$.
3. $4^{-3}=$
   $4^3=64$, donc $4^{-3}={\displaystyle \frac{1}{64}}=0,015625$.
4. ${20}^{-1}=$
   ${20}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{20}}=0,05$.
5. $1^{-7}=$
   $1^7=1$, donc $1^{-7}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$.

Écris sous la forme d’une puissance : donne l’exposant $n$.

1. ${\displaystyle \frac{1}{2^7}}=2^n$ : $n=$
   ${\displaystyle \frac{1}{2^7}}$ est l’inverse de $2^7$ : c’est $2^{-7}$, $n=-7$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{9\times 9\times 9}}=9^n$ : $n=$
   $9\times 9\times 9=9^3$, donc ${\displaystyle \frac{1}{9^3}}=9^{-3}$ : $n=-3$.
3. $0,125=2^n$ : $n=$
   $0,125={\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2^3}}=2^{-3}$ : $n=-3$.
4. ${\displaystyle \frac{1}{49}}=7^n$ : $n=$
   $49=7^2$, donc ${\displaystyle \frac{1}{49}}=7^{-2}$ : $n=-2$.
5. ${\displaystyle \frac{1}{243}}=3^n$ : $n=$
   $243=3\times 3\times 3\times 3\times 3=3^5$, donc ${\displaystyle \frac{1}{243}}=3^{-5}$ : $n=-5$.

Attention au signe et aux fractions. Donne une écriture décimale.

1. $(-2{)}^{-3}=$
   $(-2{)}^3=-8$, donc $(-2{)}^{-3}={\displaystyle \frac{1}{-8}}=-0,125$ : négatif, car la base est négative et l’exposant impair.
2. $-2^{-2}=$
   L’exposant ne porte que sur $2$ : $-2^{-2}=-{\displaystyle \frac{1}{2^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-0,25$.
3. ${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-2}=$
   On retourne la fraction : ${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-2}=3^2=9$.
4. $0,1^{-3}=$
   $0,1^3=0,001$, donc $0,1^{-3}={\displaystyle \frac{1}{0,001}}=1000$.
5. ${\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{-1}=$
   L’inverse de ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ est ${\displaystyle \frac{5}{2}}=2,5$.

Écris sous la forme d’une seule puissance : donne l’exposant $n$.

1. $4^3\times 4^{-5}=4^n$ : $n=$
   Produit : $3+(-5)=-2$, donc $4^3\times 4^{-5}=4^{-2}$.
2. ${\displaystyle \frac{7^2}{7^6}}=7^n$ : $n=$
   Quotient : $2-6=-4$, donc ${\displaystyle \frac{7^2}{7^6}}=7^{-4}$ (quatre facteurs $7$ restent au dénominateur).
3. $(3^{-2}{)}^4=3^n$ : $n=$
   Puissance d’une puissance : $-2\times 4=-8$, donc $(3^{-2}{)}^4=3^{-8}$.
4. $6^{-1}\times 6^{-2}=6^n$ : $n=$
   Produit : $-1+(-2)=-3$, donc $6^{-1}\times 6^{-2}=6^{-3}$.
5. ${\displaystyle \frac{2^{-3}}{2^{-7}}}=2^n$ : $n=$
   Quotient : $-3-(-7)=-3+7=4$, donc ${\displaystyle \frac{2^{-3}}{2^{-7}}}=2^4$.

Écris sous la forme d’une seule puissance, puis donne la valeur.

1. ${\displaystyle \frac{2^{-4}\times 2^9}{2^3}}=$
   $2^{-4}\times 2^9=2^5$ ($-4+9=5$), puis ${\displaystyle \frac{2^5}{2^3}}=2^2=4$.
2. $5^{-3}\times 5^5\times 5^0=$
   $-3+5+0=2$ : $5^2=25$.
3. ${\displaystyle \frac{{10}^4\times {10}^{-6}}{{10}^{-5}}}=$
   ${10}^4\times {10}^{-6}={10}^{-2}$, puis ${\displaystyle \frac{{10}^{-2}}{{10}^{-5}}}={10}^{-2-(-5)}={10}^3=1000$.
4. ${\displaystyle \frac{3^5\times 3^{-2}}{3^4}}=$ (écris une fraction)
   $3^5\times 3^{-2}=3^3$, puis ${\displaystyle \frac{3^3}{3^4}}=3^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Bases différentes, sommes : calcule et donne une écriture décimale.

1. $4^{-2}\times {25}^{-2}=$
   Même exposant : $4^{-2}\times {25}^{-2}=(4\times 25{)}^{-2}={100}^{-2}={\displaystyle \frac{1}{10000}}=0,0001$.
2. $8\times 2^{-5}=$
   $8=2^3$, donc $8\times 2^{-5}=2^3\times 2^{-5}=2^{-2}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$.
3. $2^{-1}+2^{-2}=$
   Une somme ne se regroupe pas : $2^{-1}+2^{-2}=0,5+0,25=0,75$.
4. $9^2\times 3^{-3}=$
   $9=3^2$, donc $9^2=3^4$ et $3^4\times 3^{-3}=3^1=3$.

Écris en écriture scientifique $a\times {10}^n$ : donne $a$, puis $n$.

1. $63000000$ : $a=$ et $n=$
   La virgule vient se placer après le $6$ : elle se décale de $7$ rangs vers la gauche. $63000000=6,3\times {10}^7$.
2. $0,000804$ : $a=$ et $n=$
   La virgule vient se placer après le $8$ : $4$ rangs vers la droite, le nombre est plus petit que $1$. $0,000804=8,04\times {10}^{-4}$ (le zéro du milieu se garde).
3. $27,5$ : $a=$ et $n=$
   La virgule vient se placer après le $2$ : $1$ rang vers la gauche. $27,5=2,75\times {10}^1$.
4. $0,6$ : $a=$ et $n=$
   La virgule vient se placer après le $6$ : $1$ rang vers la droite, le nombre est plus petit que $1$. $0,6=6\times {10}^{-1}$.

Corrige, compare, donne un ordre de grandeur.

1. $0,74\times {10}^9$ en écriture scientifique : $a=$ et $n=$
   $0,74=7,4\times {10}^{-1}$, donc $0,74\times {10}^9=7,4\times {10}^{-1+9}=7,4\times {10}^8$.
2. $5200\times {10}^{-11}$ en écriture scientifique : $a=$ et $n=$
   $5200=5,2\times {10}^3$, donc $5200\times {10}^{-11}=5,2\times {10}^{3-11}=5,2\times {10}^{-8}$.
3. $3,9\times {10}^{-6}$ $8\times {10}^{-7}$ (écris $<$ ou $>$)
   Les exposants sont différents : $-6>-7$, donc $3,9\times {10}^{-6}>8\times {10}^{-7}$ (même si $3,9<8$).
4. $6,05\times {10}^4$ $6,5\times {10}^4$ (écris $<$ ou $>$)
   Même exposant : on compare $6,05$ et $6,50$ ; $6,05<6,5$, donc $6,05\times {10}^4<6,5\times {10}^4$.
5. Ordre de grandeur de $6,7\times {10}^{-8}$ : ${10}^n$ avec $n=$
   $6,7$ est plus proche de $10$ que de $1$ : $6,7\times {10}^{-8}\approx 10\times {10}^{-8}={10}^{-7}$.

Calcule et donne le résultat en écriture scientifique : $a$, puis $n$.

1. $(4\times {10}^{-5})\times (3,5\times {10}^8)$ : $a=$ et $n=$
   $(4\times 3,5)\times {10}^{-5+8}=14\times {10}^3=1,4\times {10}^4$.
2. ${\displaystyle \frac{1,2\times {10}^6}{8\times {10}^{-3}}}$ : $a=$ et $n=$
   ${\displaystyle \frac{1,2}{8}}\times {10}^{6-(-3)}=0,15\times {10}^9=1,5\times {10}^8$.
3. $(5\times {10}^{-3}{)}^2$ : $a=$ et $n=$
   $(5\times {10}^{-3}{)}^2=5^2\times {10}^{-6}=25\times {10}^{-6}=2,5\times {10}^{-5}$.
4. $6\times {10}^{-3}+8\times {10}^{-4}$ : $a=$ et $n=$
   Même puissance de $10$ : $60\times {10}^{-4}+8\times {10}^{-4}=68\times {10}^{-4}=6,8\times {10}^{-3}$.

Une calculatrice affiche ces résultats. Lis-les.

1. 9.2E12 $=9,2\times {10}^n$ : $n=$
   E12 veut dire « × ${10}^{12}$ » : $9,2\times {10}^{12}$.
2. 4.06E−5, en écriture décimale :
   $4,06\times {10}^{-5}$ : la virgule se décale de $5$ rangs vers la gauche, $0,0000406$.
3. 7.5E3, en écriture décimale :
   $7,5\times {10}^3=7500$ (et non $7,5^3$).

Petits problèmes : calcule en écriture scientifique.

1. Combien de fois $9\times {10}^7$ est-il plus grand que $3\times {10}^{-2}$ ? $a=$ et $n=$ (écriture scientifique)
   ${\displaystyle \frac{9\times {10}^7}{3\times {10}^{-2}}}=3\times {10}^{7-(-2)}=3\times {10}^9$ : trois milliards de fois.
2. Un fichier de $2,4$ Go est copié à la vitesse de $8\times {10}^7$ octets par seconde. Durée de la copie, en secondes :
   $2,4$ Go $=2,4\times {10}^9$ octets. ${\displaystyle \frac{2,4\times {10}^9}{8\times {10}^7}}=0,3\times {10}^2=30$ : la copie dure $30$ s.
3. Une feuille d’aluminium a une épaisseur de $2\times {10}^{-5}$ m. Combien de feuilles faut-il empiler pour obtenir $1$ cm ?
   $1$ cm $={10}^{-2}$ m. ${\displaystyle \frac{{10}^{-2}}{2\times {10}^{-5}}}=0,5\times {10}^3=500$ feuilles.

Des puissances en situation.

1. On coupe une ficelle de $1$ m en deux et on garde une moitié, puis on recommence. Après $10$ coupes, sa longueur est $2^n$ m : $n=$
   Chaque coupe divise la longueur par $2$ : après $10$ coupes, $1\times 2^{-10}=2^{-10}$ m.
2. Longueur de cette ficelle après $10$ coupes, en mm, arrondie au centième :
   $2^{10}=1024$, donc $2^{-10}$ m $={\displaystyle \frac{1}{1024}}$ m $={\displaystyle \frac{1000}{1024}}$ mm $\approx 0,98$ mm : moins d’un millimètre.
3. Dans un tournoi, la moitié des joueurs est éliminée à chaque tour. Il y a $512$ joueurs au départ, soit $512\times 2^{-k}$ après $k$ tours. Combien de tours faut-il pour qu’il ne reste qu’un vainqueur ?
   $512=2^9$, donc après $9$ tours il reste $2^9\times 2^{-9}=2^0=1$ joueur : $9$ tours.