Devoir surveillé : Fonction exponentielle et fonction logarithme népérien

1. a)${\displaystyle \frac{e^{2x+3}}{e^{x-1}}}=e^{(2x+3)-(x-1)}=e^{x+4}$. (1 pt) (1)
2. b)$72=8\times 9=2^3\times 3^2$, donc $\ln 72=\ln \left(2^3\right)+\ln \left(3^2\right)=3\ln 2+2\ln 3$. (1 pt) (1)
3. c)$\ln \left(e^4\right)=4$ et $e^{\ln 5}=5$ (fonctions réciproques), donc la somme vaut $4+5=9$. (1 pt) (1)
4. d)$\ln \left({\displaystyle \frac{1}{e^2}}\right)=\ln \left(e^{-2}\right)=-2$ et $\ln \sqrt{e}=\ln \left(e^{1/2}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc le résultat est $-2-2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=-3$. (1 pt) (1)

Méthode — Pour simplifier un logarithme, on décompose d'abord le nombre en produit de puissances de nombres premiers, puis on applique $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ et $\ln \left(a^n\right)=n\ln a$.

1. a)$e^{3x-1}=4⟺3x-1=\ln 4⟺x={\displaystyle \frac{1+\ln 4}{3}}={\displaystyle \frac{1+2\ln 2}{3}}\approx 0,80$. (1 pt) (1)
2. b)L'équation a un sens si $2x-1>0$, soit $x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Alors $\ln (2x-1)=3⟺2x-1=e^3⟺x={\displaystyle \frac{1+e^3}{2}}\approx 10,54$, qui vérifie bien $x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$. $\mathcal{S}=\left\{{\displaystyle \frac{1+e^3}{2}}\right\}$. (1 pt) (1)
3. c)La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$ : $e^{-x}<{\displaystyle \frac{1}{8}}⟺-x<\ln {\displaystyle \frac{1}{8}}=-3\ln 2⟺x>3\ln 2$. $\mathcal{S}=]3\ln 2;+\infty [$. (1 pt) (1)
4. d)La fonction $\exp$ est strictement croissante : pour $x>0$, $\ln x\le 2⟺x\le e^2$. $\mathcal{S}=\left]0;e^2\right]$. (1 pt) (1)
5. e)Avec $X=e^x>0$ : $X^2-3X+2=0$, $\Delta =9-8=1$, $X={\displaystyle \frac{3\pm 1}{2}}$, soit $X=1$ ou $X=2$ (tous deux strictement positifs). $e^x=1⟺x=0$ et $e^x=2⟺x=\ln 2$. $\mathcal{S}=\{0;\ln 2\}$. (1 pt) (1)

Piège — Avant de résoudre une équation avec $\ln$, on écrit la condition d'existence ($2x-1>0$ ici) et on vérifie à la fin que la solution trouvée la respecte.

1. a)$f=e^u$ avec $u(x)=x^2-3x$, $u^{\prime }(x)=2x-3$ : $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)e^{u(x)}=(2x-3)e^{x^2-3x}$. (1 pt) (1)
2. b)Dérivée d'un produit : $g^{\prime }(x)=2x\ln x+x^2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$. (1 pt) (1)
3. c)$h=\ln u$ avec $u(x)=x^2+1>0$ sur $ℝ$ : $h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}}={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$. (1 pt) (1)
4. d)Par croissances comparées, $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x^n}}=+\infty$ pour tout entier $n$ ; avec $n=3$, la limite vaut $+\infty$. (1 pt) (1)
5. e)Forme indéterminée « $\infty -\infty$ » : on factorise, $x-\ln x=x(1-{\displaystyle \frac{\ln x}{x}})$. Par croissances comparées ${\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$ et, par produit, $\underset{x\to +\infty }{lim}(x-\ln x)=+\infty$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — La dérivée de $e^u$ est $u^{\prime }{e}^u$ et non $e^{u^{\prime }}$ : on garde l'exponentielle intacte et on multiplie par la dérivée de l'exposant.

1. a)$e$ est une constante, donc $f^{\prime }(x)=e^x-e$. (1 pt) (1,2)
2. b)$f^{\prime }(x)>0⟺e^x>e⟺x>\ln e=1$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante). De même $f^{\prime }(x)<0⟺x<1$ et $f^{\prime }(1)=0$. (1 pt) (1,2)
3. c)En $-\infty$ : $e^x\to 0$ et $-ex\to +\infty$, donc $\underset{x\to -\infty }{lim}f(x)=+\infty$ (0,5 pt). En $+\infty$ : forme indéterminée ; $f(x)=x({\displaystyle \frac{e^x}{x}}-e)$ et ${\displaystyle \frac{e^x}{x}}\to +\infty$ (croissances comparées), donc $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$ (1 pt). (1,2)
4. d)$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;1]$, strictement croissante sur $[1;+\infty [$ ; tableau : $+\infty$ en $-\infty$, minimum $f(1)=e-e=0$ en $x=1$, puis $+\infty$ en $+\infty$. (1,5 pt) (1,2)
5. e)Le minimum de $f$ sur $ℝ$ est $0$, donc $f(x)\ge 0$, c'est-à-dire $e^x\ge ex$ pour tout réel $x$. En divisant par $e>0$ : ${\displaystyle \frac{e^x}{e}}=e^{x-1}\ge x$. (1 pt) (1,2)

Astuce — Pour démontrer une inégalité $A(x)\ge B(x)$, on étudie la différence $A(x)-B(x)$ : si son minimum vaut $0$, l'inégalité est prouvée d'un seul coup pour tout $x$.

1. a)$\ln 12+\ln {\displaystyle \frac{3}{4}}=\ln (12\times {\displaystyle \frac{3}{4}})=\ln 9$ et $2\ln 3=\ln 9$, donc $A=\ln 9-\ln 9=0$. (1 pt) (1)
2. b)$B={\displaystyle \frac{e^{2\ln 3}}{e^{\ln 2}}}={\displaystyle \frac{{\left(e^{\ln 3}\right)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$. (1 pt) (1)
3. c)$e^{-x}>0$, donc le signe est celui de $1-\ln x$ ; $1-\ln x>0⟺\ln x<1⟺x<e$. L'expression est strictement positive sur $]0;e[$, nulle en $e$, strictement négative sur $]e;+\infty [$. (1 pt) (1)
4. d)Sens si $3-x>0$, soit $x<3$. Alors $\ln (3-x)\ge 0=\ln 1⟺3-x\ge 1⟺x\le 2$. Comme $x\le 2$ entraîne $x<3$ : $\mathcal{S}=]-\infty ;2]$. (1 pt) (1)

Méthode — Un produit contenant $e^{-x}$ a toujours le signe de l'autre facteur, puisqu'une exponentielle est strictement positive : on n'écrit même pas sa ligne dans le tableau de signes.

1. a)Faux. Contre-exemple : $a=b=1$ donne $\ln 2\ne 0=\ln 1+\ln 1$. La propriété exacte est $\ln (ab)=\ln a+\ln b$. (1 pt) (1)
2. b)Faux. L'équation n'a de sens que si $x>0$ et $x-2>0$, soit $x>2$. Alors $\ln (x(x-2))=\ln 3⟺x^2-2x-3=0⟺(x+1)(x-3)=0$. La valeur $-1$ ne vérifie pas $x>2$ : seule $3$ convient, $\mathcal{S}=\{3\}$. (1 pt) (1)
3. c)Vrai. Pour tout réel $x$, $x+1>x$, donc $e^x\ge x+1>x$ : l'inégalité stricte $e^x>x$ est bien établie. (1 pt) (1)
4. d)Faux. Le dénominateur tend aussi vers $+\infty$ : forme indéterminée. On pose $X=\sqrt{x}$ ; alors $\ln x=\ln \left(X^2\right)=2\ln X$ et ${\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}}}=2{\displaystyle \frac{\ln X}{X}}$. Quand $x\to +\infty$, $X\to +\infty$ et ${\displaystyle \frac{\ln X}{X}}\to 0$ (croissances comparées) : la limite vaut $0$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Résoudre l'équation « combinée » sans avoir écrit l'ensemble de définition de départ fait apparaître des solutions parasites, comme $-1$ ici.

1. a)On pose $X=\ln x$ : $f(x)=X^2-2X=X(X-2)$. En $0^{+}$, $X\to -\infty$ et $X-2\to -\infty$, donc, par produit, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=+\infty$. En $+\infty$, $X\to +\infty$ et $X-2\to +\infty$ : $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$. (1 pt) (1)
2. b)$(\ln x{)}^2$ est de la forme $u^2$, de dérivée $2u^{\prime }u=2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\times \ln x$. Donc $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{2(\ln x-1)}{x}}$. (1 pt) (1)
3. c)Sur $]0;+\infty [$, ${\displaystyle \frac{2}{x}}>0$ : $f^{\prime }(x)$ a le signe de $\ln x-1$, négatif sur $]0;e[$, nul en $e$, positif sur $]e;+\infty [$. $f$ décroît de $+\infty$ à $f(e)=1-2=-1$, puis croît vers $+\infty$. Minimum : $-1$, atteint en $x=e$. (1 pt) (1)
4. d)$f(x)=0⟺\ln x(\ln x-2)=0⟺\ln x=0$ ou $\ln x=2⟺x=1$ ou $x=e^2$. $\mathcal{S}=\left\{1;e^2\right\}$. (1 pt) (1)
5. e)$f(1)=0-0=0$ et $f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{2(0-1)}{1}}=-2$. Tangente : $y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=-2(x-1)$, soit $y=-2x+2$. (1 pt) (1)
6. f)Avec $X=\ln x$ : $X^2-2X-3\le 0$. $\Delta =4+12=16$, racines ${\displaystyle \frac{2\pm 4}{2}}$, soit $-1$ et $3$ ; le trinôme (coefficient $1>0$) est négatif entre ses racines : $-1\le \ln x\le 3⟺e^{-1}\le x\le e^3$ (exp strictement croissante). $\mathcal{S}=\left[e^{-1};e^3\right]$. (1 pt) (1)

Astuce — Quand une expression ne dépend de $x$ qu'à travers $\ln x$, le changement de variable $X=\ln x$ la ramène à un polynôme ; on revient à $x$ en appliquant l'exponentielle.

1. a)$T(0)=20+70e^0=20+70=90$ (0,5 pt). $T(10)=20+70e^{-0,5}\approx 20+70\times 0,6065\approx 62,5$ °C. (0,5 pt) (1,2)
2. b)$T^{\prime }(t)=70\times (-0,05)e^{-0,05t}=-3,5e^{-0,05t}$ (0,5 pt). Une exponentielle est strictement positive, donc $T^{\prime }(t)<0$ : $T$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty [$ (le café refroidit). (0,5 pt) (1,2)
3. c)$-0,05t\to -\infty$ quand $t\to +\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{lim}{e}^X=0$, donc $\underset{t\to +\infty }{lim}T(t)=20$ (0,5 pt). À long terme, la température du café se rapproche de celle de la pièce. (0,5 pt) (1,2)
4. d)$T(t)\le 50⟺70e^{-0,05t}\le 30⟺e^{-0,05t}\le {\displaystyle \frac{3}{7}}⟺-0,05t\le \ln {\displaystyle \frac{3}{7}}$ ($\ln$ strictement croissante) $⟺t\ge -20\ln {\displaystyle \frac{3}{7}}=20\ln {\displaystyle \frac{7}{3}}$ (on divise par $-0,05<0$, l'inégalité change de sens) (1 pt). $20\ln {\displaystyle \frac{7}{3}}\approx 16,946$ min, soit environ $16$ min $57$ s. (0,5 pt) (1,2)
5. e)$T(t)-20=70e^{-0,05t}$, donc $-0,05(T(t)-20)=-3,5e^{-0,05t}=T^{\prime }(t)$ (1 pt). La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart entre la température du café et celle de la pièce : plus le café est chaud, plus il refroidit vite. (0,5 pt) (1,2)

Piège — En divisant une inégalité par le nombre négatif $-0,05$, on change son sens : c'est l'oubli le plus coûteux dans les problèmes de seuil.

1. a)Soit $\phi (x)=\ln x-x+1$ sur $]0;+\infty [$. ${\phi }^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-1={\displaystyle \frac{1-x}{x}}$, du signe de $1-x$ : $\phi$ croît sur $]0;1]$, décroît sur $[1;+\infty [$, et son maximum est $\phi (1)=0$. Donc $\phi (x)\le 0$, soit $\ln x\le x-1$ pour tout $x>0$. (1 pt) (1)
2. b)Pour $x>0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0$ : on applique a) à ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, d'où $\ln {\displaystyle \frac{1}{x}}\le {\displaystyle \frac{1}{x}}-1$, soit $-\ln x\le {\displaystyle \frac{1}{x}}-1$, donc $\ln x\ge 1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$. (1 pt) (1)
3. c)On prend $x=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}>0$. Par a) : $\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})\le {\displaystyle \frac{1}{n}}$. Par b) : $\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})\ge 1-{\displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{n}}}=1-{\displaystyle \frac{n}{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$. (1 pt) (1)
4. d)En multipliant par $n>0$ : ${\displaystyle \frac{n}{n+1}}\le n\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})\le 1$. Or ${\displaystyle \frac{n}{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{n}}}\to 1$ ; par le théorème des gendarmes, $n\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})\to 1$ (0,5 pt). La fonction $\exp$ étant continue en $1$, $u_n\to e^1=e$. (0,5 pt) (1)

Méthode — Une inégalité démontrée pour tout $x>0$ peut être appliquée à ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ ou à $1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$ : ce changement de point de vue fournit gratuitement de nouvelles inégalités, puis un encadrement.

1. a)On multiplie par $e^x>0$ : $e^{2x}-6=e^x$. Avec $X=e^x>0$ : $X^2-X-6=0⟺(X-3)(X+2)=0$. $X=-2$ est exclu ($X>0$), donc $e^x=3$ et $\mathcal{S}=\{\ln 3\}$. (1 pt) (1)
2. b)Sens si $x+1>0$, $x-1>0$ et $3x-3>0$, soit $x>1$. Alors l'inéquation s'écrit $\ln ((x+1)(x-1))\le \ln (3(x-1))⟺x^2-1\le 3x-3⟺x^2-3x+2\le 0⟺(x-1)(x-2)\le 0⟺1\le x\le 2$. Avec $x>1$ : $\mathcal{S}=]1;2]$. (1 pt) (1)
3. c)Sens si $e^{2x}>1$, soit $x>0$. Alors $\ln (e^{2x}-1)=\ln \left(2e^x\right)⟺e^{2x}-1=2e^x$. Avec $X=e^x$ : $X^2-2X-1=0$, $\Delta =8$, $X=1\pm \sqrt{2}$. Seul $X=1+\sqrt{2}$ est positif, et $1+\sqrt{2}>1$ donne bien $x=\ln (1+\sqrt{2})>0$. $\mathcal{S}=\left\{\ln (1+\sqrt{2})\right\}$. (1 pt) (1)
4. d)$\ln (1+e^x)-x=\ln (1+e^x)-\ln \left(e^x\right)=\ln {\displaystyle \frac{1+e^x}{e^x}}=\ln (e^{-x}+1)$ (0,5 pt). Quand $x\to +\infty$, $e^{-x}\to 0$ et, par continuité de $\ln$ en $1$, la limite vaut $\ln 1=0$ : la droite d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe de $x\mapsto \ln (1+e^x)$ en $+\infty$. (0,5 pt) (1)

Astuce — Écrire $x=\ln \left(e^x\right)$ permet de regrouper $\ln (\dots )-x$ en un seul logarithme : une forme indéterminée devient une limite immédiate.

1. a)$N(0)={\displaystyle \frac{1000}{1+9}}=100$ (0,5 pt). $e^{-0,4t}\to 0$ quand $t\to +\infty$, donc $N(t)\to {\displaystyle \frac{1000}{1}}=1000$ : la culture part de $100$ bactéries et sa taille se stabilise vers $1000$. (0,5 pt) (1,2)
2. b)$N={\displaystyle \frac{1000}{v}}$ avec $v(t)=1+9e^{-0,4t}$, $v^{\prime }(t)=-3,6e^{-0,4t}$. Donc $N^{\prime }(t)=-{\displaystyle \frac{1000v^{\prime }(t)}{v(t{)}^2}}={\displaystyle \frac{3600e^{-0,4t}}{{(1+9e^{-0,4t})}^2}}$ (0,5 pt). Numérateur et dénominateur sont strictement positifs : $N$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$. (0,5 pt) (1,2)
3. c)$N(t)\ge 800⟺1+9e^{-0,4t}\le {\displaystyle \frac{1000}{800}}=1,25⟺e^{-0,4t}\le {\displaystyle \frac{0,25}{9}}={\displaystyle \frac{1}{36}}⟺-0,4t\le -\ln 36⟺t\ge {\displaystyle \frac{\ln 36}{0,4}}=5\ln 6$ (0,5 pt). $5\ln 6\approx 8,96$ h : environ $8$ h $58$ min. (0,5 pt) (1,2)
4. d)Posons $u=9e^{-0,4t}$, de sorte que $N={\displaystyle \frac{1000}{1+u}}$. Alors $1-{\displaystyle \frac{N}{1000}}=1-{\displaystyle \frac{1}{1+u}}={\displaystyle \frac{u}{1+u}}$, d'où $0,4N(1-{\displaystyle \frac{N}{1000}})=0,4\times {\displaystyle \frac{1000}{1+u}}\times {\displaystyle \frac{u}{1+u}}={\displaystyle \frac{400u}{(1+u{)}^2}}={\displaystyle \frac{3600e^{-0,4t}}{{(1+9e^{-0,4t})}^2}}=N^{\prime }(t)$. (1,5 pt) (1,2)
5. e)On a $N^{\prime }(t)=\psi (N(t))$ avec $\psi (y)=0,4y-0,0004y^2$, trinôme de coefficient dominant négatif, maximal en $y={\displaystyle \frac{0,4}{2\times 0,0004}}=500$ (0,5 pt). $N$ est continue, strictement croissante, de $N(0)=100$ vers $1000$ : elle prend la valeur $500$ une seule fois, quand $1+9e^{-0,4t}=2⟺e^{-0,4t}={\displaystyle \frac{1}{9}}⟺t={\displaystyle \frac{\ln 9}{0,4}}=5\ln 3\approx 5,49$ h (0,5 pt). Vitesse maximale : $\psi (500)=0,4\times 500\times 0,5=100$ bactéries par heure. (0,5 pt) (1,2)

Erreur fréquente — La vitesse de croissance est $N^{\prime }(t)$, pas $N(t)$ : l'instant où la population croît le plus vite n'est pas celui où elle est la plus grande, mais celui où elle atteint la moitié de sa valeur limite.

1. a)$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}}={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$, du signe de $1-\ln x$ : $g$ strictement croissante sur $]0;e]$, strictement décroissante sur $[e;+\infty [$, maximum $g(e)={\displaystyle \frac{1}{e}}$ (1 pt). En $0^{+}$ : $\ln x\to -\infty$ et ${\displaystyle \frac{1}{x}}\to +\infty$, donc $g(x)\to -\infty$ ; en $+\infty$ : $g(x)\to 0$ par croissances comparées. (0,5 pt) (1,2)
2. b)Pour $x>0$, $\ln x=mx⟺g(x)=m$. Sur $]0;e]$, $g$ est continue et strictement croissante de $-\infty$ à ${\displaystyle \frac{1}{e}}$ ; sur $]e;+\infty [$, strictement décroissante de ${\displaystyle \frac{1}{e}}$ vers $0$, avec $g(x)>0$ (car $\ln x>0$). Par le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone) : si $m>{\displaystyle \frac{1}{e}}$, aucune solution ; si $m={\displaystyle \frac{1}{e}}$, une seule ($x=e$) ; si $0<m<{\displaystyle \frac{1}{e}}$, deux (une dans $]1;e[$, une dans $]e;+\infty [$) ; si $m\le 0$, une seule, dans $]0;1]$. (1,5 pt) (1,2)
3. c)$\pi >e$ et $g$ est strictement décroissante sur $[e;+\infty [$, donc $g(\pi )<g(e)$, soit ${\displaystyle \frac{\ln \pi }{\pi }}<{\displaystyle \frac{1}{e}}$, d'où $e\ln \pi <\pi$. Par stricte croissance de $\exp$ : ${\pi }^e=e^{e\ln \pi }<e^{\pi }$. (1 pt) (1,2)
4. d)Comme $e^x>0$ et $a>0$, toute solution vérifie $x>0$. La fonction $x\mapsto e^x$ est une bijection de $ℝ$ sur $]0;+\infty [$ ; avec $t=e^x$, $x=\ln t$ et l'équation devient $t=a\ln t⟺{\displaystyle \frac{\ln t}{t}}={\displaystyle \frac{1}{a}}$, c'est-à-dire $\ln t={\displaystyle \frac{1}{a}}t$ : les solutions en $x$ et en $t$ se correspondent une à une (0,5 pt). On applique b) avec $m={\displaystyle \frac{1}{a}}>0$ : si $a>e$ (${\displaystyle \frac{1}{a}}<{\displaystyle \frac{1}{e}}$), deux solutions ; si $a=e$, une seule ($t=e$, soit $x=1$) ; si $0<a<e$, aucune. (1 pt) (1,2)
5. e)Pour $a=e$, la droite $y=ex$ touche la courbe de $\exp$ en un seul point, $(1;e)$ : c'est la tangente en $1$, puisque $y=e^1(x-1)+e^1=ex$. Pour $a>e$ la droite coupe la courbe deux fois, pour $a<e$ elle passe en dessous. (0,5 pt) (1,2)

Piège — Dans une discussion selon un paramètre, le cas limite ($m={\displaystyle \frac{1}{e}}$) et le cas $m\le 0$ doivent être traités à part : ce sont eux qu'on oublie le plus souvent.