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Fonction exponentielle
Définition, propriétés algébriques et analytiques, dérivée — programme de Spécialité Maths Terminale
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Fonction exponentielle » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition et premières propriétés, Propriétés algébriques, Dérivée — fonctions composées avec exp, Sens de variation et représentation graphique. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Définition et premières propriétés
Définition. Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
$$f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1$$
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, où $e \approx 2{,}718$ est la constante de Neper.
$$f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1$$
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, où $e \approx 2{,}718$ est la constante de Neper.
Notation. On écrit indifféremment $\exp(x)$ ou $e^x$. La notation $e^x$ rappelle que la fonction exponentielle se comporte comme une puissance de $e$.
Propriétés immédiates :
- $e^0 = 1$ (par définition).
- $e^x \gt 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (la fonction exponentielle est toujours strictement positive).
- $(e^x)' = e^x$ (la dérivée est elle-même).
Attention ! La fonction exponentielle ne s'annule jamais : $e^x \neq 0$ pour tout réel $x$.
Valeurs remarquables.
- $e^0 = 1$
- $e^1 = e \approx 2{,}718$
- $e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368$
- $e^2 \approx 7{,}389$
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Propriétés algébriques
Propriétés algébriques. Pour tous réels $a$ et $b$ :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Addition des exposants | $e^{a+b} = e^a \times e^b$ |
| Soustraction des exposants | $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ |
| Opposé | $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ |
| Multiple d'exposant | $\left(e^a\right)^n = e^{na}$ pour tout entier $n$ |
Exemples de calcul.
- $e^3 \times e^{-1} = e^{3+(-1)} = e^2$
- $\dfrac{e^5}{e^2} = e^{5-2} = e^3$
- $\left(e^2\right)^3 = e^6$
- $e^x \times e^{-x} = e^0 = 1$
Attention ! $e^{a+b} = e^a \times e^b$ mais $e^{a \times b} \neq e^a \times e^b$. Ne pas confondre addition et multiplication des exposants.
Astuce — simplification. Pour simplifier une expression avec des exponentielles, regrouper les exposants : $e^{2x} \times e^{3x} = e^{5x}$, et $\dfrac{e^{4x}}{e^x} = e^{3x}$.
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Dérivée — fonctions composées avec exp
Dérivée de la fonction exponentielle.
- $(e^x)' = e^x$
- Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle : $(e^u)' = u' \cdot e^u$
Exemples de dérivation.
- $f(x) = e^{3x}$ : on pose $u = 3x$, $u' = 3$, donc $f'(x) = 3e^{3x}$.
- $g(x) = e^{x^2}$ : on pose $u = x^2$, $u' = 2x$, donc $g'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$.
- $h(x) = e^{-x+1}$ : $u = -x+1$, $u' = -1$, donc $h'(x) = -e^{-x+1}$.
- $k(x) = x^2 e^x$ : dérivée d'un produit, $k'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = x(2+x)e^x$.
Factorisation. Quand on obtient une dérivée de la forme $A \cdot e^u + B \cdot e^u$, on factorise par $e^u$ (qui est non nul) : $e^u(A + B)$.
Attention ! Ne pas confondre $(e^u)' = u' e^u$ avec $(x^n)' = n x^{n-1}$. Ces règles s'appliquent à des types de fonctions différents.
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Sens de variation et représentation graphique
Puisque $(e^x)' = e^x \gt 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $e^x$ | $0^+$ | $\nearrow$ | $1$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
Propriétés graphiques.
- La courbe passe par $(0, 1)$ car $e^0 = 1$.
- La courbe passe par $(1, e) \approx (1; 2{,}718)$.
- La tangente en $x = 0$ a pour pente $e^0 = 1$ (droite $y = x + 1$).
- La courbe est convexe (concave vers le haut) car $f''(x) = e^x \gt 0$.
- L'axe des abscisses ($y = 0$) est une asymptote horizontale en $-\infty$.
Représentation graphique de $y = e^x$ et de sa tangente en $x = 0$ d'équation $y = x + 1$. La courbe est strictement croissante et toujours au-dessus de l'axe des abscisses.
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Limites et croissances comparées
Limites de la fonction exponentielle.
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
- $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ (l'axe des abscisses est asymptote)
Croissances comparées. Pour tout entier $n \geq 0$ :
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance)
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0$
- $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$
Exemple d'application. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2 + 3x}$.
On écrit $\dfrac{e^x}{x^2 + 3x} = \dfrac{e^x}{x^2} \cdot \dfrac{x^2}{x^2 + 3x}$. La croissance comparée donne $\dfrac{e^x}{x^2} \to +\infty$ et $\dfrac{x^2}{x^2+3x} \to 1$, donc la limite est $+\infty$.
On écrit $\dfrac{e^x}{x^2 + 3x} = \dfrac{e^x}{x^2} \cdot \dfrac{x^2}{x^2 + 3x}$. La croissance comparée donne $\dfrac{e^x}{x^2} \to +\infty$ et $\dfrac{x^2}{x^2+3x} \to 1$, donc la limite est $+\infty$.
Moyen mnémotechnique. « L'exponentielle bat toute puissance » en $+\infty$, et « l'exponentielle tue toute puissance » en $-\infty$ (au sens : $x^n e^x \to 0$).
La fonction $e^x$ dépasse définitivement $x^2$ et $x$ : illustration des croissances comparées.
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Équations et inéquations avec exp
Résolution d'équations. Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante et bijective de $\mathbb{R}$ vers $]0;+\infty[$, on a :
- $e^a = e^b \Leftrightarrow a = b$ (injectivité)
- $e^a \lt e^b \Leftrightarrow a \lt b$ (croissance stricte)
Exemples.
- Équation : $e^{2x-1} = e^{x+3}$
$\Leftrightarrow 2x - 1 = x + 3 \Leftrightarrow x = 4$. - Inéquation : $e^{x^2} \leq e^{2x}$
$\Leftrightarrow x^2 \leq 2x \Leftrightarrow x^2 - 2x \leq 0 \Leftrightarrow x(x-2) \leq 0 \Leftrightarrow x \in [0; 2]$. - Changement de variable : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$
On pose $X = e^x \gt 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$, soit $(X-1)(X-2) = 0$, donc $X = 1$ ou $X = 2$.
$e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ ; $e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$. Solutions : $\{0 ; \ln 2\}$.
Attention ! Lors d'un changement de variable $X = e^x$, ne jamais oublier la condition $X \gt 0$ et ne pas accepter $X \leq 0$ comme solution.
Méthode. Si l'équation contient $e^{2x}$ et $e^x$, penser au changement de variable $X = e^x$ pour se ramener à un polynôme en $X$.
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Modélisation et applications
La fonction exponentielle modélise de nombreux phénomènes naturels : croissance de populations, décroissance radioactive, charge d'un condensateur, etc.
Modèles classiques.
- Croissance exponentielle : $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$ avec $k \gt 0$ (croissance) ou $k \lt 0$ (décroissance).
- Demi-vie : Le temps $T$ tel que $N(T) = \dfrac{N_0}{2}$ vérifie $e^{kT} = \dfrac{1}{2}$.
Exemple — désintégration radioactive. Une substance radioactive obéit à la loi $N(t) = N_0 \cdot e^{-0{,}2t}$ ($t$ en heures).
• À $t = 0$ : $N(0) = N_0$.
• La masse est divisée par 2 quand $e^{-0{,}2t} = \frac{1}{2}$, soit $-0{,}2t = -\ln 2$, donc $t = \dfrac{\ln 2}{0{,}2} \approx 3{,}47$ h.
• À $t = 0$ : $N(0) = N_0$.
• La masse est divisée par 2 quand $e^{-0{,}2t} = \frac{1}{2}$, soit $-0{,}2t = -\ln 2$, donc $t = \dfrac{\ln 2}{0{,}2} \approx 3{,}47$ h.
Étude de fonction. Soit $f(x) = (x-1)e^x$.
$f'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$.
Comme $e^x \gt 0$ : $f'(x) \lt 0$ si $x \lt 0$, $f'(0) = 0$, $f'(x) \gt 0$ si $x \gt 0$.
$f$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$, croissante sur $[0;+\infty[$, minimum en $x = 0$ : $f(0) = -1$.
$f'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$.
Comme $e^x \gt 0$ : $f'(x) \lt 0$ si $x \lt 0$, $f'(0) = 0$, $f'(x) \gt 0$ si $x \gt 0$.
$f$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$, croissante sur $[0;+\infty[$, minimum en $x = 0$ : $f(0) = -1$.
Astuce — factorisation par $e^x$. Pour étudier le signe de $f'(x) = P(x) \cdot e^x$, il suffit d'étudier le signe du polynôme $P(x)$, car $e^x \gt 0$ toujours.
L'essentiel
- Définition : $\exp$ est l'unique fonction dérivable telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$.
- Propriétés algébriques : $e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{a-b} = e^a/e^b$, $e^{-a} = 1/e^a$.
- Dérivée : $(e^x)' = e^x$ ; $(e^u)' = u' e^u$.
- Variations : strictement croissante sur $\mathbb{R}$, toujours positive, $\lim_{-\infty} e^x = 0$, $\lim_{+\infty} e^x = +\infty$.
- Croissances comparées : $\frac{e^x}{x^n} \to +\infty$ et $x^n e^{-x} \to 0$ en $+\infty$.
- Équations : $e^a = e^b \Leftrightarrow a = b$ ; penser au changement de variable $X = e^x$.
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