Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Fonction logarithme népérien
Définition, propriétés algébriques et étude complète de ln — Analyse (Terminale spécialité)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calculs algébriques
/ 4 pts- Simplifier les expressions suivantes (1 pt chacune) :
a) $A = \ln(e^3) + \ln(e^{-1})$
b) $B = \ln(8) + \ln(3) - \ln(12)$
c) $C = e^{2\ln(5)}$
d) $D = \ln\!\left(\sqrt{\dfrac{e^4}{e^2}}\right)$
Exercice 2 — Équations et inéquations
/ 5 pts- 1. (2 pts) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x+3) + \ln(x-1) = \ln(5)$ en précisant les conditions d'existence.
- 2. (3 pts) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln^2(x) - 5\ln(x) + 6 \leq 0$.
Exercice 3 — Dérivées et étude de variations
/ 5 pts- Soit $f(x) = x^2 - 2\ln(x)$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$.
- a) (1 pt) Calculer $f'(x)$.
- b) (1 pt) Déterminer le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
- c) (1 pt) Calculer $f(1)$. Qu'en déduire ?
- d) (1 pt) Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
- e) (1 pt) Dresser le tableau de variations complet de $f$.
Exercice 4 — Primitive et calcul intégral
/ 3 pts- a) (1 pt) Vérifier que $F(x) = x\ln(x) - x$ est une primitive de $\ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
- b) (2 pts) En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx$.
Exercice 5 — Problème de modélisation
/ 3 pts- La population d'une ville est modélisée par $P(t) = 50\,000 \cdot e^{0{,}02t}$, où $t$ est le nombre d'années depuis 2020.
- a) (1 pt) Quelle était la population en 2020 ?
- b) (1 pt) Déterminer l'année à partir de laquelle la population dépasse 100 000 habitants. (Donner une valeur approchée au dixième.)
- c) (1 pt) Exprimer $t$ en fonction de $P$ à l'aide de $\ln$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Calculs algébriques
Corrigé :
a) $\ln(e^3)+\ln(e^{-1}) = 3 + (-1) = 2$
b) $\ln(8)+\ln(3)-\ln(12) = \ln\!\left(\dfrac{8\times 3}{12}\right) = \ln(2)$
c) $e^{2\ln 5} = e^{\ln(5^2)} = 5^2 = 25$
d) $\ln\!\left(\sqrt{e^{4-2}}\right) = \ln(\sqrt{e^2}) = \ln(e) = 1$
Exercice 2 — Équations et inéquations
Corrigé :
1. Conditions : $x+3 \gt 0$ et $x-1 \gt 0$, soit $x \gt 1$.
$\ln((x+3)(x-1)) = \ln(5) \Rightarrow (x+3)(x-1)=5 \Rightarrow x^2+2x-3=5 \Rightarrow x^2+2x-8=0$.
$\Delta = 4+32=36$, $x = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$, soit $x=2$ ou $x=-4$.
Seul $x=2 \gt 1$ convient. Solution : $x = 2$.
2. Condition : $x \gt 0$. Poser $X = \ln(x)$.
$X^2-5X+6 \leq 0 \Rightarrow (X-2)(X-3) \leq 0 \Rightarrow 2 \leq X \leq 3$.
$2 \leq \ln(x) \leq 3 \Rightarrow e^2 \leq x \leq e^3$. Solution : $x \in [e^2\,;\,e^3]$.
Exercice 3 — Dérivées et étude de variations
Corrigé :
a) $f'(x) = 2x - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2(x^2-1)}{x} = \dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}$. Sur $]0\,;\,+\infty[$, $(x+1) \gt 0$ et $x \gt 0$, donc le signe est celui de $(x-1)$.
b) $f'(x) \lt 0$ si $0 \lt x \lt 1$ (décroissante), $f'(1)=0$, $f'(x) \gt 0$ si $x \gt 1$ (croissante). Minimum en $x=1$.
c) $f(1) = 1 - 2\ln(1) = 1$. C'est le minimum de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$, donc $f(x) \geq 1$ pour tout $x \gt 0$, soit $x^2 - 2\ln(x) \geq 1$.
d) $\lim_{0^+} x^2 = 0$ et $\lim_{0^+} \ln(x) = -\infty$, donc $\lim_{0^+} f(x) = 0 - 2(-\infty) = +\infty$. $\lim_{+\infty} x^2 = +\infty$ et $x^2 \gg \ln(x)$, donc $\lim_{+\infty} f(x) = +\infty$.
e) Tableau : $]0\,;\,+\infty[$, décroissant jusqu'à $x=1$ (min $f(1)=1$), croissant ensuite. Limites $+\infty$ aux deux bords.
Exercice 4 — Primitive et calcul intégral
Corrigé :
a) $F'(x) = \ln(x) + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)$. Donc $F$ est bien une primitive de $\ln$.
b) $\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx = [x\ln(x)-x]_1^{e^2}$
$= \left(e^2 \cdot \ln(e^2) - e^2\right) - \left(1 \cdot \ln(1) - 1\right)$
$= (e^2 \cdot 2 - e^2) - (0 - 1)$
$= 2e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$
Exercice 5 — Problème de modélisation
Corrigé :
a) $P(0) = 50\,000 \cdot e^0 = 50\,000$ habitants.
b) $P(t) \gt 100\,000 \Leftrightarrow e^{0{,}02t} \gt 2 \Leftrightarrow 0{,}02t \gt \ln(2) \Leftrightarrow t \gt \dfrac{\ln 2}{0{,}02} \approx \dfrac{0{,}6931}{0{,}02} \approx 34{,}7$ ans.
Cela correspond à l'année $2020 + 35 = 2055$.
c) $P = 50\,000 \cdot e^{0{,}02t} \Rightarrow e^{0{,}02t} = \dfrac{P}{50\,000} \Rightarrow 0{,}02t = \ln\!\left(\dfrac{P}{50\,000}\right) \Rightarrow t = 50\ln\!\left(\dfrac{P}{50\,000}\right)$.
Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Fonction logarithme népérien » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Calculs algébriques/ 4 pts
- Exercice 2 — Équations et inéquations/ 5 pts
- Exercice 3 — Dérivées et étude de variations/ 5 pts
- Exercice 4 — Primitive et calcul intégral/ 3 pts
- Exercice 5 — Problème de modélisation/ 3 pts
Notions évaluées
Définition et premières propriétés, Propriétés algébriques, Dérivée de la fonction logarithme, Variations et représentation graphique, Limites et croissances comparées, Équations et inéquations logarithmiques.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonction logarithme népérien » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Fonction logarithme népérien » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit Définition et premières propriétés, Propriétés algébriques, Dérivée de la fonction logarithme, Variations et représentation graphique.
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