Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Fonction exponentielle

Définition, propriétés algébriques et analytiques, dérivée — programme de Spécialité Maths Terminale

La fonction exponentielle modélise tout ce qui croît ou décroît à vitesse proportionnelle à sa valeur : il faut savoir la manipuler algébriquement, la dériver sous la forme e^u, connaître ses limites et résoudre les équations qu'elle engendre.

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Définitions

Fonction exponentielle : unique fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ . Notée $\exp$ , avec $\exp (x) = e^{x}$ .
Nombre e : $e = \exp (1) \approx 2, 718$ .
Signe : $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ (y compris $e^{- x}$ ).

Formules

$e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ ; $e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}$ ; $e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ ; $(e^{a})^{n} = e^{n a}$ .
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ et $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ .
$e^{x} \geq x + 1$ pour tout $x$ (tangente en 0 : $y = x + 1$ ).
$u_{n} = e^{a n}$ est géométrique de raison $e^{a}$ .

Variations et limites

$\exp$ est strictement croissante sur $ℝ$ : $e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$ et $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ .
${lim}_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ (asymptote $y = 0$ ), ${lim}_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ .
Croissances comparées : ${lim}_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + \infty$ et ${lim}_{x \to - \infty} x^{n} e^{x} = 0$ .
$t \mapsto e^{k t}$ est croissante si $k > 0$ , décroissante si $k < 0$ ; solutions de $y^{'} = k y$ : $C e^{k t}$ .

Méthodes

Signe : factoriser par $e^{u (x)} > 0$ , étudier le facteur restant.
Équation : se ramener à $e^{u} = e^{v}$ puis $u = v$ ; pour $e^{2 x}$ et $e^{x}$ , poser $X = e^{x} > 0$ et écarter les racines négatives.
Étude de $(a x + b) e^{c x}$ : dériver, factoriser par l'exponentielle, tableau de variations, limites par croissance comparée.
Forme indéterminée : factoriser par le terme dominant ou revenir à $\frac{e^{x}}{x^{n}}$ , $x^{n} e^{x}$ .

Pièges

$e^{a + b} \neq e^{a} + e^{b}$ ; $(e^{x})^{2} = e^{2 x} \neq e^{x^{2}}$ .
Ne jamais écrire $e^{- x} < 0$ .
Ne pas oublier $u^{'}$ dans $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ .
$x e^{x}$ en $- \infty$ est une forme indéterminée : sa limite $0$ vient de la croissance comparée.
Un coefficient $k$ dans $e^{k t}$ n'est pas un taux : le taux par unité de temps est $e^{k} - 1$ .

L'essentiel

L'exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1 ; elle est strictement positive et strictement croissante.
e^(a+b) = e^a × e^b, e^(−a) = 1/e^a, (e^a)^n = e^(na).
(e^u)' = u' e^u.
En +∞, e^x/x^n tend vers +∞ ; en −∞, x^n e^x tend vers 0 : l'exponentielle l'emporte.
e^u = e^v équivaut à u = v ; pour tout x, e^x ≥ x + 1.

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