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Fonction logarithme népérien
La fonction ln, réciproque de l’exponentielle : propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée, variations et limites, croissances comparées, fonctions ln(u).
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Que vaut ln 1 ?
- A. 1
- B. 0
- C. e
- D. non défini
Réponse
B. 0 — e⁰ = 1, donc ln 1 = 0.
Que vaut ln e ?
- A. 0
- B. e
- C. 1/e
- D. 1
Réponse
D. 1 — e¹ = e, donc ln e = 1.
Que vaut e^(ln 3) ?
- A. 3e
- B. ln 3
- C. 3
- D. e³
Réponse
C. 3 — Pour tout x > 0, e^(ln x) = x : ici e^(ln 3) = 3.
Que vaut ln(e⁻⁴) ?
- A. −4
- B. 4
- C. e⁻⁴
- D. −1/4
Réponse
A. −4 — Pour tout réel x, ln(eˣ) = x : ln(e⁻⁴) = −4.
Quel est l’ensemble de définition de la fonction ln ?
- A. ℝ
- B. [0 ; +∞[
- C. ]1 ; +∞[
- D. ]0 ; +∞[
Réponse
D. ]0 ; +∞[ — ln est la réciproque de exp, dont les valeurs sont les réels strictement positifs : ln est définie sur ]0 ; +∞[ ; ln 0 n’existe pas.
Si 0 < x < 1, alors ln x est :
- A. strictement positif
- B. strictement négatif
- C. nul
- D. non défini
Réponse
B. strictement négatif — ln est strictement croissante et ln 1 = 0 : pour x < 1, ln x < ln 1 = 0.
Pour a > 0 et b > 0, ln(ab) est égal à :
- A. ln a × ln b
- B. ln a − ln b
- C. ln a + ln b
- D. (ln a)ᵇ
Réponse
C. ln a + ln b — C’est la relation fonctionnelle : le logarithme transforme un produit en somme.
Quelle est la dérivée de ln sur ]0 ; +∞[ ?
- A. x ↦ 1/x
- B. x ↦ ln x
- C. x ↦ x
- D. x ↦ eˣ
Réponse
A. x ↦ 1/x — ln′(x) = 1/x, strictement positive : ln est strictement croissante.
Que vaut la limite de ln x quand x tend vers 0 par valeurs positives ?
- A. 0
- B. 1
- C. +∞
- D. −∞
Réponse
D. −∞ — Quand x se rapproche de 0 par valeurs positives, ln x tend vers −∞ : l’axe des ordonnées est asymptote.
Pour a > 0, ln √a est égal à :
- A. 2 ln a
- B. ½ ln a
- C. √(ln a)
- D. ln a − 2
Réponse
B. ½ ln a — √a = a^(1/2), et 2 ln √a = ln((√a)²) = ln a : donc ln √a = ½ ln a.
Dans un repère orthonormé, la courbe de ln est la symétrique de celle de exp par rapport à :
- A. l’axe des abscisses
- B. l’axe des ordonnées
- C. la droite d’équation y = x
- D. le point de coordonnées (1 ; 1)
Réponse
C. la droite d’équation y = x — ln et exp sont réciproques l’une de l’autre : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x.
Pour a > 0 et b > 0, ln(a/b) est égal à :
- A. ln a − ln b
- B. ln a / ln b
- C. ln a × ln b
- D. ln(a − b)
Réponse
A. ln a − ln b — Le logarithme transforme un quotient en différence : ln(a/b) = ln a − ln b.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
ln 27 est égal à :
- A. 27 ln 3
- B. 3 ln 3
- C. 9 ln 3
- D. ln 3 + 3
Réponse
B. 3 ln 3 — 27 = 3³, donc ln 27 = 3 ln 3.
La solution de l’équation eˣ = 10 est :
- A. x = e¹⁰
- B. x = 10/e
- C. x = 10 ln e
- D. x = ln 10
Réponse
D. x = ln 10 — 10 > 0 : eˣ = 10 ⟺ x = ln 10 ≈ 2,30. (10 ln e vaut 10, qui n’est pas solution.)
La solution de l’équation ln(3x) = ln 12 est :
- A. x = 36
- B. x = 9
- C. x = 4
- D. x = ln 4
Réponse
C. x = 4 — Pour x > 0, ln(3x) = ln 12 ⟺ 3x = 12 ⟺ x = 4.
Le plus petit entier n tel que 0,7ⁿ ≤ 0,1 est :
- A. 7
- B. 6
- C. 8
- D. 10
Réponse
A. 7 — n ln 0,7 ≤ ln 0,1 ⟺ n ≥ ln 0,1 / ln 0,7 ≈ 6,46 (le sens change car ln 0,7 < 0), donc n = 7.
La dérivée de x ↦ ln(3x² + 1) est :
- A. 1/(3x² + 1)
- B. 6x
- C. 6x/(3x² + 1)
- D. 3x²/(3x² + 1)
Réponse
C. 6x/(3x² + 1) — (ln u)′ = u′/u avec u(x) = 3x² + 1 > 0 et u′(x) = 6x.
Si f(x) = x² ln x sur ]0 ; +∞[, alors f′(x) est égal à :
- A. 2x ln x + 1
- B. 2x ln x + x
- C. 2x ln x
- D. x ln x + 2x
Réponse
B. 2x ln x + x — Dérivée d’un produit : (x² ln x)′ = 2x × ln x + x² × 1/x = 2x ln x + x. Le terme x² × 1/x vaut x, pas 1.
ln(e⁵/e²) est égal à :
- A. 5/2
- B. ln 3
- C. 7
- D. 3
Réponse
D. 3 — e⁵/e² = e³ et ln(e³) = 3.
Une équation de la tangente à la courbe de ln au point d’abscisse 1 est :
- A. y = x − 1
- B. y = x
- C. y = x + 1
- D. y = x/e
Réponse
A. y = x − 1 — ln 1 = 0 et ln′(1) = 1 : y = 1 × (x − 1) + 0 = x − 1.
L’équation (ln x)² = 4 a pour solutions :
- A. x = e⁴ seulement
- B. x = e² seulement
- C. x = 2e ou x = −2e
- D. x = e² ou x = e⁻²
Réponse
D. x = e² ou x = e⁻² — (ln x)² = 4 ⟺ ln x = 2 ou ln x = −2 ⟺ x = e² ou x = e⁻² : ne pas oublier la racine négative.
Que vaut la limite de (ln x)/x quand x tend vers +∞ ?
- A. +∞
- B. 1
- C. 0
- D. −∞
Réponse
C. 0 — Croissance comparée : ln x croît moins vite que x, le quotient tend vers 0.
L’équation ln x = ln 5 + ln 2 a pour solution :
- A. x = 10
- B. x = 7
- C. x = 2,5
- D. x = 25
Réponse
A. x = 10 — ln 5 + ln 2 = ln(5 × 2) = ln 10, donc x = 10.
L’inéquation ln x > 2 équivaut à :
- A. x > 2e
- B. x > e²
- C. x > 2
- D. x > ln 2
Réponse
B. x > e² — ln x > 2 = ln(e²) ⟺ x > e², car ln est strictement croissante.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
L’égalité ln(x²) = 2 ln x est vraie pour :
- A. tout réel x
- B. tout réel x > 0
- C. tout réel x ≠ 0
- D. tout réel x < 0
Réponse
B. tout réel x > 0 — ln(x²) existe pour x ≠ 0, mais 2 ln x n’existe que pour x > 0. En général, ln(x²) = 2 ln|x|.
L’ensemble de définition de f(x) = ln(x − 1) + ln(x + 1) est :
- A. ]0 ; +∞[
- B. ℝ privé de −1 et 1
- C. ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[
- D. ]1 ; +∞[
Réponse
D. ]1 ; +∞[ — Il faut x − 1 > 0 et x + 1 > 0 en même temps, soit x > 1. Ce n’est pas l’ensemble de définition de ln(x² − 1).
Quand x tend vers 0 par valeurs positives, x ln x − ln x tend vers :
- A. 0
- B. −∞
- C. +∞
- D. une forme indéterminée
Réponse
C. +∞ — x ln x tend vers 0 (croissance comparée) et −ln x tend vers +∞ : par somme, +∞. Ce n’est pas une forme indéterminée.
L’équation ln x = x − 1 admet :
- A. aucune solution
- B. exactement deux solutions
- C. la seule solution x = 1
- D. une infinité de solutions
Réponse
C. la seule solution x = 1 — La fonction x ↦ x − 1 − ln x a pour minimum 0, atteint seulement en x = 1 : la courbe de ln ne touche sa tangente en 1 qu’en ce point.
e^(3 ln 2) est égal à :
- A. 6
- B. 8
- C. e⁶
- D. 3e²
Réponse
B. 8 — 3 ln 2 = ln(2³) = ln 8, donc e^(3 ln 2) = e^(ln 8) = 8.
Sur ]−∞ ; 0[, la dérivée de x ↦ ln(−x) est :
- A. x ↦ 1/x
- B. x ↦ −1/x
- C. x ↦ −1
- D. x ↦ ln x
Réponse
A. x ↦ 1/x — (ln u)′ = u′/u avec u(x) = −x > 0 et u′(x) = −1 : −1/(−x) = 1/x. Garder seulement u′ = −1, c’est oublier de diviser par u.
Que vaut la limite de x ln x quand x tend vers 0 par valeurs positives ?
- A. 0
- B. −∞
- C. +∞
- D. 1
Réponse
A. 0 — Forme « 0 × ∞ » levée par croissance comparée : x ln x tend vers 0 en 0⁺.
Le plus petit entier n tel que 0,4ⁿ < 0,001 est :
- A. 7
- B. 6
- C. 9
- D. 8
Réponse
D. 8 — n ln 0,4 < ln 0,001 ⟺ n > ln 0,001 / ln 0,4 ≈ 7,54 (le sens change car ln 0,4 < 0) : n = 8.
ln(1/√e) est égal à :
- A. −2
- B. −1/2
- C. 1/2
- D. −e/2
Réponse
B. −1/2 — 1/√e = e^(−1/2), donc ln(1/√e) = −1/2.
L’ensemble de définition de x ↦ ln(ln x) est :
- A. ]0 ; +∞[
- B. ]e ; +∞[
- C. [1 ; +∞[
- D. ]1 ; +∞[
Réponse
D. ]1 ; +∞[ — Il faut x > 0 et ln x > 0, soit x > 1 ; en x = 1, ln(ln 1) = ln 0 n’existe pas.
Sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est :
- A. concave
- B. convexe
- C. ni concave ni convexe
- D. convexe puis concave
Réponse
A. concave — ln″(x) = −1/x² < 0 sur tout l’intervalle : ln est concave et sa courbe est sous ses tangentes.
Pour a > 0 et b > 0, laquelle de ces égalités est toujours vraie ?
- A. ln(a + b) = ln a + ln b
- B. ln a × ln b = ln(ab)
- C. ln(a³) = 3 ln a
- D. ln a / ln b = ln(a/b)
Réponse
C. ln(a³) = 3 ln a — ln(aⁿ) = n ln a pour n entier : seule ln(a³) = 3 ln a est toujours vraie. Les trois autres sont fausses : avec a = b = e, ln(2e) ≠ 2, ln e × ln e = 1 ≠ ln(e²) = 2, et ln e / ln e = 1 ≠ ln(e/e) = 0.
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