Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Fonction logarithme népérien
Définition, propriétés algébriques et étude complète de ln — Analyse (Terminale spécialité)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quel est le domaine de définition de $\ln(x)$ ?
- A. $\mathbb{R}$
- B. $[0\,;\,+\infty[$
- C. $]0\,;\,+\infty[$
- D. $]-\infty\,;\,0[$
Réponse
C. $]0\,;\,+\infty[$ — ln est défini uniquement pour des arguments strictement positifs.
Quelle est la valeur de $\ln(1)$ ?
- A. $1$
- B. $0$
- C. $e$
- D. $-1$
Réponse
B. $0$ — ln(1) = 0 est une valeur fondamentale.
Quelle est la valeur de $\ln(e)$ ?
- A. $0$
- B. $e$
- C. $1$
- D. $\frac{1}{e}$
Réponse
C. $1$ — ln(e) = 1 par définition.
$e^{\ln(3)} = $ ?
- A. $\ln(3)$
- B. $3$
- C. $3e$
- D. $e^3$
Réponse
B. $3$ — e^{ln(a)} = a pour tout a > 0.
La fonction $\ln$ est :
- A. décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$
- B. croissante sur $]0\,;\,+\infty[$
- C. constante
- D. définie sur $\mathbb{R}$
Réponse
B. croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ — ln est strictement croissante car sa dérivée 1/x est positive.
$\ln(ab)$ est égal à :
- A. $\ln(a) \times \ln(b)$
- B. $\ln(a) + \ln(b)$
- C. $\ln(a) - \ln(b)$
- D. $\frac{\ln a}{\ln b}$
Réponse
B. $\ln(a) + \ln(b)$ — Propriété : ln(ab) = ln(a) + ln(b).
Quelle est la dérivée de $\ln(x)$ ?
- A. $\ln(x)$
- B. $x$
- C. $\frac{1}{x}$
- D. $e^x$
Réponse
C. $\frac{1}{x}$ — (ln x)' = 1/x.
$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = $ ?
- A. $0$
- B. $1$
- C. $+\infty$
- D. $-\infty$
Réponse
D. $-\infty$ — En 0⁺, ln(x) tend vers -∞ (asymptote verticale).
$\ln(e^4) = $ ?
- A. $4$
- B. $e^4$
- C. $4e$
- D. $\frac{1}{4}$
Réponse
A. $4$ — ln(e^k) = k, donc ln(e^4) = 4.
$\ln\left(\frac{1}{e}\right) = $ ?
- A. $e$
- B. $1$
- C. $-1$
- D. $0$
Réponse
C. $-1$ — ln(1/e) = ln(e^{-1}) = -1.
Quelle égalité est correcte ?
- A. $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$
- B. $\ln(a-b)=\ln a-\ln b$
- C. $\ln(a^2)=2\ln a$
- D. $\ln(2a)=2\ln a$
Réponse
C. $\ln(a^2)=2\ln a$ — ln(a^n) = n·ln(a). Les autres formules sont fausses.
La courbe de $\ln$ admet :
- A. une asymptote horizontale en $y=0$
- B. une asymptote verticale en $x=0$
- C. une asymptote oblique
- D. aucune asymptote
Réponse
B. une asymptote verticale en $x=0$ — lim_{x→0⁺} ln(x) = -∞ donc x = 0 est une asymptote verticale.
Niveau moyen — 12 questions
La dérivée de $\ln(3x+1)$ est :
- A. $\frac{3}{3x+1}$
- B. $\frac{1}{3x+1}$
- C. $3\ln(3x+1)$
- D. $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x}$
Réponse
A. $\frac{3}{3x+1}$ — (ln u)' = u'/u avec u = 3x+1, u' = 3.
La dérivée de $x\ln(x)$ est :
- A. $\ln(x)$
- B. $\ln(x)+1$
- C. $\frac{1}{x}$
- D. $x+\ln x$
Réponse
B. $\ln(x)+1$ — Produit : (x·ln x)' = ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1.
Résoudre $\ln(x) = 2$ :
- A. $x = 2e$
- B. $x = e^2$
- C. $x = 2$
- D. $x = \sqrt{e}$
Réponse
B. $x = e^2$ — ln(x) = 2 ⟺ x = e^2.
$\ln(8) + \ln(3) - \ln(6) = $ ?
- A. $\ln(5)$
- B. $\ln(4)$
- C. $2\ln(2)$
- D. $\ln(9)$
Réponse
C. $2\ln(2)$ — ln(8×3/6) = ln(4) = ln(2²) = 2ln(2).
Sur $]0\,;\,+\infty[$, la fonction $f(x)=\ln(x)-x$ a un maximum en :
- A. $x=0$
- B. $x=e$
- C. $x=1$
- D. $x=2$
Réponse
C. $x=1$ — f'(x) = 1/x - 1 = 0 ⟺ x = 1. Maximum car f'' < 0.
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = $ ?
- A. $1$
- B. $+\infty$
- C. $0$
- D. $-\infty$
Réponse
C. $0$ — Croissances comparées : ln est négligeable devant x.
La dérivée de $(\ln x)^2$ est :
- A. $2\ln x$
- B. $\frac{2}{x}$
- C. $\frac{2\ln x}{x}$
- D. $\frac{1}{x^2}$
Réponse
C. $\frac{2\ln x}{x}$ — Composition : 2·ln(x)·(1/x) = 2ln(x)/x.
Résoudre $\ln(2x-1) = \ln(x+3)$ :
- A. $x=2$
- B. $x=4$
- C. $x=1$
- D. $x=3$
Réponse
B. $x=4$ — 2x-1 = x+3 ⟹ x = 4 (vérifier conditions d'existence ✓).
$\ln(\sqrt[3]{e^6}) = $ ?
- A. $3$
- B. $2$
- C. $6$
- D. $\frac{1}{3}$
Réponse
B. $2$ — e^6^{1/3} = e^2, donc ln(e^2) = 2.
La primitive de $\frac{2x}{x^2+1}$ est :
- A. $\frac{2}{(x^2+1)^2}$
- B. $2\ln(x^2+1)+C$
- C. $\ln(x^2+1)+C$
- D. $\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$
Réponse
C. $\ln(x^2+1)+C$ — C'est de la forme u'/u avec u = x²+1, u' = 2x : primitive = ln(x²+1)+C.
L'équation $\ln^2(x) - \ln(x) = 0$ a pour solutions :
- A. $x=1$ seulement
- B. $x=e$ seulement
- C. $x=1$ et $x=e$
- D. $x=0$ et $x=1$
Réponse
C. $x=1$ et $x=e$ — ln(x)(ln(x)-1)=0 ⟹ ln(x)=0 (x=1) ou ln(x)=1 (x=e).
Quel est le signe de $\ln(0{,}5)$ ?
- A. Positif
- B. Nul
- C. Négatif
- D. Indéfini
Réponse
C. Négatif — 0,5 < 1 et ln est croissante, donc ln(0,5) < ln(1) = 0.
Niveau difficile — 13 questions
$\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = $ ?
- A. $0$
- B. $-\infty$
- C. $+\infty$
- D. $1$
Réponse
A. $0$ — Croissances comparées en 0⁺ : x·ln(x) → 0.
L'équation $e^x = x$ a :
- A. aucune solution
- B. exactement une solution
- C. exactement deux solutions
- D. une infinité de solutions
Réponse
A. aucune solution — On étudie f(x) = e^x - x : f'(x) = e^x - 1 = 0 ⟹ x = 0, f(0) = 1 > 0 et f → +∞ dans les deux sens : pas de solution.
La dérivée de $\ln|x|$ vaut :
- A. $|x|$
- B. $\frac{1}{|x|}$
- C. $\frac{1}{x}$
- D. $\frac{-1}{x}$
Réponse
C. $\frac{1}{x}$ — Sur ℝ\{0}, (ln|x|)' = 1/x.
Quelle inégalité est vraie pour tout $x \gt 0$ ?
- A. $\ln(x) \geq x$
- B. $\ln(x) \leq x-1$
- C. $\ln(x) \geq x+1$
- D. $\ln(x) = x-1$
Réponse
B. $\ln(x) \leq x-1$ — Étude de f(x) = x-1-ln(x) : minimum en x=1, f(1)=0, donc f(x)≥0 soit ln(x) ≤ x-1.
Résoudre $\ln(x) \geq 3$ :
- A. $x \geq 3$
- B. $x \geq e^3$
- C. $x \gt e^3$
- D. $0 \lt x \leq e^3$
Réponse
B. $x \geq e^3$ — ln croissante : ln(x) ≥ 3 ⟺ x ≥ e^3 (et x > 0, compatible).
La primitive de $\dfrac{\ln(x)}{x}$ est :
- A. $\frac{1}{x^2}$
- B. $\ln(x)^2 + C$
- C. $\frac{(\ln x)^2}{2}+C$
- D. $\frac{\ln x}{2}+C$
Réponse
C. $\frac{(\ln x)^2}{2}+C$ — Posons u = ln(x), u' = 1/x : ∫ u·u' dx = u²/2 + C = (ln x)²/2 + C.
Étudier le signe de $2\ln(x) + 1$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : il est positif pour :
- A. $x \gt \frac{1}{2}$
- B. $x \gt e^{1/2}$
- C. $x \gt \frac{1}{\sqrt{e}}$
- D. $x \gt \sqrt{e}$
Réponse
D. $x \gt \sqrt{e}$ — 2ln(x)+1 > 0 ⟺ ln(x) > -1/2 ⟺ x > e^{-1/2} = 1/√e. Or √e = e^{1/2}, donc x > √e est faux : la bonne réponse est x > 1/√e = e^{-1/2}.
$\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2+1) = $ ?
- A. $0$
- B. $2$
- C. $+\infty$
- D. $1$
Réponse
C. $+\infty$ — x²+1 → +∞ et ln est croissante non bornée, donc ln(x²+1) → +∞.
L'équation $\ln(x^2) = 4$ a pour solutions :
- A. $x = e^2$
- B. $x = e^4$
- C. $x = e^2$ ou $x = -e^2$
- D. $x = 2$ ou $x = -2$
Réponse
C. $x = e^2$ ou $x = -e^2$ — ln(x²) = 4 ⟺ 2ln|x| = 4 ⟺ ln|x| = 2 ⟺ |x| = e² ⟺ x = ±e².
Quel est le tableau de variations de $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?
- A. f décroissante puis croissante, minimum en $x=e$
- B. f croissante puis décroissante, maximum en $x=e$
- C. f toujours croissante
- D. f toujours décroissante
Réponse
B. f croissante puis décroissante, maximum en $x=e$ — f'(x) = (1-ln x)/x² = 0 ⟺ x = e. f' > 0 pour x < e, f' < 0 pour x > e : maximum en x = e.
Calculer $\int_e^{e^3} \frac{1}{x} dx$ :
- A. $2$
- B. $3$
- C. $e^3 - e$
- D. $\frac{1}{e^2}$
Réponse
A. $2$ — [ln x]_e^{e³} = ln(e³) - ln(e) = 3 - 1 = 2.
Résoudre $\ln(x+1) - \ln(x-1) = \ln(3)$ :
- A. $x=1$
- B. $x=2$
- C. $x=3$
- D. $x=4$
Réponse
B. $x=2$ — ln((x+1)/(x-1)) = ln(3) ⟺ (x+1)/(x-1) = 3 ⟺ x+1 = 3x-3 ⟺ x = 2. Conditions : x > 1 ✓.
Le nombre de solutions de $\ln(x) + x = 0$ est :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $3$
Réponse
B. $1$ — f(x) = ln(x)+x est strictement croissante sur ]0;+∞[. f(0⁺) = -∞, f(1) = 1 > 0 : une unique solution par le TVI dans ]0;1[.
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