Fonction logarithme népérien

Simplifier chaque écriture (résultat exact).

1. $\ln (e^9)=$
   Pour tout réel $x$, $\ln (e^x)=x$ : $\ln (e^9)=9$.
2. $e^{\ln 0,6}=$
   Pour tout $x>0$, $e^{\ln x}=x$ ; ici $0,6>0$, donc $e^{\ln 0,6}=0,6$.
3. $\ln (e^{-1,5})=$
   $\ln (e^x)=x$ vaut pour tout réel $x$, même négatif : $\ln (e^{-1,5})=-1,5$.
4. $e^{\ln 13}+\ln (e^2)=$
   $e^{\ln 13}=13$ et $\ln (e^2)=2$ : la somme vaut $15$.

Résoudre chaque équation, puis donner la solution arrondie au centième.

1. $e^x=45⟺x\approx$
   $45>0$, donc $e^x=45⟺x=\ln 45\approx 3,81$.
2. $\ln x=1,4⟺x\approx$
   $\ln x=1,4⟺x=e^{1,4}\approx 4,06$, qui est bien strictement positif.
3. $\ln x=-0,5⟺x\approx$
   $x=e^{-0,5}\approx 0,61$. Une valeur de $\ln x$ négative correspond à un $x$ compris entre $0$ et $1$.
4. $e^x=0,2⟺x\approx$
   $0,2>0$, donc $x=\ln 0,2\approx -1,61$ : une exponentielle peut valoir un nombre entre $0$ et $1$, l’exposant est alors négatif.

Courbes de ln et de exp dans un repère orthonormé ; signe de ln.

1. Démontrer que le symétrique $B$ du point $A(2,5;\ln 2,5)$ par rapport à la droite d’équation $y=x$ est sur la courbe de exp. Abscisse de $B$, arrondie au centième :
   Rédaction attendue. Le point $A(2,5;\ln 2,5)$ est sur la courbe de ln. La symétrie par rapport à la droite $y=x$ échange abscisse et ordonnée : $B(\ln 2,5;2,5)$. Or $e^{\ln 2,5}=2,5$ car $2,5>0$ : l’ordonnée de $B$ est l’image de son abscisse par exp, donc $B$ est sur la courbe de exp. Son abscisse vaut $\ln 2,5\approx 0,92$.
2. Le point $C(-1;e^{-1})$ est sur la courbe de exp. Son symétrique par rapport à $y=x$ est sur la courbe de ln ; son ordonnée vaut
   Le symétrique est $D(e^{-1};-1)$, et $\ln (e^{-1})=-1$ : $D$ est bien sur la courbe de ln, d’ordonnée $-1$.
3. Parmi les quatre nombres $\ln 0,7$ ; $\ln 1,3$ ; $\ln {\displaystyle \frac{e}{3}}$ ; $\ln 1$, combien sont strictement négatifs ?
   $\ln x<0$ exactement quand $0<x<1$. $0,7<1$ : négatif. $1,3>1$ : positif. ${\displaystyle \frac{e}{3}}\approx 0,91<1$ (car $e<3$) : négatif. $\ln 1=0$ n’est pas strictement négatif. Il y en a donc $2$.

Équations : appliquer l’équivalence $\ln a=b⟺a=e^b$ en soignant l’ensemble de définition.

1. Démontrer que l’équation $\ln (2x-1)=2$ admet une unique solution sur $]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$, et la donner arrondie au centième :
   Rédaction attendue. $\ln (2x-1)$ existe si et seulement si $2x-1>0$, soit $x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Pour $x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $\ln (2x-1)=2⟺2x-1=e^2$ $⟺x={\displaystyle \frac{e^2+1}{2}}$. Cette valeur est strictement supérieure à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ (car $e^2>0$) : l’équation a une unique solution, $x={\displaystyle \frac{e^2+1}{2}}\approx 4,19$.
2. Nombre de solutions réelles de l’équation $e^x+3=1$ :
   $e^x+3=1⟺e^x=-2$. Or $e^x>0$ pour tout réel $x$ : l’équation n’a aucune solution ($0$ solution).
3. Le point de la courbe de ln d’ordonnée $3$ a pour abscisse (arrondie au centième)
   On cherche $x>0$ tel que $\ln x=3$, soit $x=e^3\approx 20,09$.

Écrire chaque nombre sous la forme $a\ln 2+b\ln 3$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs (une case par entier).

1. $\ln 54=$ $\ln 2+$ $\ln 3$
   $27=3^3$, donc $54=2\times 3^3$ et $\ln 54=\ln 2+3\ln 3$.
2. $\ln 96=$ $\ln 2+$ $\ln 3$
   $96=32\times 3=2^5\times 3$, donc $\ln 96=5\ln 2+\ln 3$.
3. $\ln {\displaystyle \frac{4}{9}}=$ $\ln 2+$ $\ln 3$
   $\ln {\displaystyle \frac{4}{9}}=\ln (2^2)-\ln (3^2)$ $=2\ln 2-2\ln 3$.
4. $\ln {\displaystyle \frac{1}{24}}=$ $\ln 2+$ $\ln 3$
   $24=2^3\times 3$, et $\ln {\displaystyle \frac{1}{24}}=-\ln 24$ $=-3\ln 2-\ln 3$.

Simplifier (résultat exact ; une fraction s’écrit avec « / »).

1. $\ln (e^2\sqrt{e})=$
   $\ln (e^2\sqrt{e})=\ln (e^2)+\ln \sqrt{e}$ $=2+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$.
2. $\ln {\displaystyle \frac{1}{e^3}}=$
   $\ln {\displaystyle \frac{1}{e^3}}=-\ln (e^3)=-3$.
3. $e^{2\ln 5}=$
   $2\ln 5=\ln (5^2)=\ln 25$, donc $e^{2\ln 5}=e^{\ln 25}=25$.
4. ${\displaystyle \frac{\ln (e^6)}{\ln (e^2)}}=$
   ${\displaystyle \frac{\ln (e^6)}{\ln (e^2)}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$. Ce n’est pas $\ln {\displaystyle \frac{e^6}{e^2}}=4$ : un quotient de logarithmes ne se simplifie pas en logarithme d’un quotient.
5. $e^{-\ln 8}=$
   $e^{-\ln 8}={\displaystyle \frac{1}{e^{\ln 8}}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

Regrouper en un seul logarithme.

1. Démontrer que $A=\ln (3+2\sqrt{2})$ $+\ln (3-2\sqrt{2})$ est un entier : $A=$
   Rédaction attendue. $2\sqrt{2}=\sqrt{8}<\sqrt{9}=3$, donc $3-2\sqrt{2}>0$ ; et $3+2\sqrt{2}>0$. Les deux logarithmes existent et, d’après la relation $\ln a+\ln b=\ln (ab)$ pour $a>0$, $b>0$ : $A=\ln ((3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}))$ $=\ln (9-(2\sqrt{2}{)}^2)$ $=\ln (9-8)=\ln 1=0$.
2. $B=\ln 50-2\ln 5=\ln$
   $2\ln 5=\ln 25$, donc $B=\ln {\displaystyle \frac{50}{25}}=\ln 2$.
3. $C={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 64+\ln {\displaystyle \frac{3}{8}}=\ln$
   ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 64=\ln \sqrt{64}=\ln 8$, donc $C=\ln (8\times {\displaystyle \frac{3}{8}})=\ln 3$.

Expressions contenant une variable : attention aux conditions d’existence.

1. Pour $x>0$, $\ln (e^2{x}^3)-3\ln x=$
   $\ln (e^2{x}^3)=\ln (e^2)+\ln (x^3)$ $=2+3\ln x$ (car $e^2>0$ et $x^3>0$). Il reste $2$.
2. Démontrer que pour tout réel $x$, $\ln (1+e^x)$ $=x+\ln (1+e^{-x})$. Contrôle : pour $x=0$, chaque membre vaut $\ln$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $1+e^x=e^x(e^{-x}+1)$, car $e^x\times e^{-x}=e^0=1$. Les nombres $e^x$ et $1+e^{-x}$ sont strictement positifs, donc $\ln (1+e^x)$ $=\ln (e^x)+\ln (1+e^{-x})$ $=x+\ln (1+e^{-x})$. Pour $x=0$ : $\ln (1+1)=\ln 2$ et $0+\ln (1+1)=\ln 2$.
3. Pour $x>1$, $\ln (x^2-1)-\ln (x-1)=\ln (u)$ avec $u=$ (expression en $x$)
   Pour $x>1$, $x-1>0$ et $x+1>0$, donc $\ln (x^2-1)=\ln ((x-1)(x+1))$ $=\ln (x-1)+\ln (x+1)$ : il reste $\ln (x+1)$. Pour $x<-1$, $\ln (x^2-1)$ existe mais pas $\ln (x-1)$ : la formule exige des facteurs strictement positifs.

Résoudre chaque équation (une seule solution, valeur exacte décimale).

1. $\ln (4x)=\ln 18⟺x=$
   Pour $x>0$ : $\ln (4x)=\ln 18⟺4x=18$ $⟺x=4,5$, qui est bien positif.
2. $e^{x+2}=e^{-3x}⟺x=$
   $e^a=e^b⟺a=b$ : $x+2=-3x⟺4x=-2$ $⟺x=-0,5$.
3. $\ln (x-5)=0⟺x=$
   Pour $x>5$ : $\ln (x-5)=0=\ln 1$ $⟺x-5=1⟺x=6$.
4. $e^{1-x}=1⟺x=$
   $1=e^0$, donc $1-x=0$ et $x=1$.

Inéquations : compléter la borne, arrondie au centième.

1. $\ln x⩽1,2⟺0<x⩽$
   ln est strictement croissante : $\ln x⩽1,2=\ln (e^{1,2})$ $⟺x⩽e^{1,2}\approx 3,32$, avec $x>0$.
2. $e^x<7⟺x<$
   $7=e^{\ln 7}$ et exp est strictement croissante : $x<\ln 7\approx 1,95$.
3. $e^{-2x}⩾9⟺x⩽$
   $e^{-2x}⩾9⟺-2x⩾\ln 9$ $⟺x⩽-{\displaystyle \frac{\ln 9}{2}}=-\ln 3$ $\approx -1,10$ : en divisant par $-2<0$, le sens change.

Équations avec ensemble de définition.

1. Démontrer que l’équation $\ln (x^2-9)=\ln (8x)$ a une seule solution : $x=$
   Rédaction attendue. L’équation a un sens si et seulement si $x^2-9>0$ et $8x>0$, c’est-à-dire $x>3$ (car $x^2>9$ et $x>0$). Pour $x>3$, ln étant strictement croissante : $\ln (x^2-9)=\ln (8x)$ $⟺x^2-9=8x$ $⟺x^2-8x-9=0$. $\Delta =64+36=100$, d’où $x={\displaystyle \frac{8+10}{2}}=9$ ou $x={\displaystyle \frac{8-10}{2}}=-1$. Seul $9>3$ convient : $𝒮=\{9\}$.
2. $2\ln x=\ln (2x+15)$ : la solution est $x=$
   Il faut $x>0$ (et alors $2x+15>0$). $2\ln x=\ln (x^2)$, donc $x^2=2x+15$, soit $x^2-2x-15=0$, de racines $5$ et $-3$. Seul $5>0$ convient.
3. $e^{2x}-3e^x-4=0$ : la solution, arrondie au centième, est $x\approx$
   On pose $X=e^x>0$ : $X^2-3X-4=0$, de racines $X=4$ et $X=-1$. Comme $X>0$, seule $e^x=4$ convient : $x=\ln 4=2\ln 2\approx 1,39$.

Seuils : donner le plus petit entier $n$ qui convient.

1. Plus petit entier $n$ tel que $1,{07}^n>3$ : $n=$
   $1,{07}^n>3⟺n\ln 1,07>\ln 3$ $⟺n>{\displaystyle \frac{\ln 3}{\ln 1,07}}\approx 16,24$, le sens étant conservé car $\ln 1,07>0$. Le plus petit entier est $17$.
2. Plus petit entier $n$ tel que $1-0,8^n⩾0,999$ : $n=$
   $1-0,8^n⩾0,999⟺0,8^n⩽0,001$ $⟺n\ln 0,8⩽\ln 0,001$ $⟺n⩾{\displaystyle \frac{\ln 0,001}{\ln 0,8}}\approx 30,96$ (sens changé : $\ln 0,8<0$). Donc $n=31$.
3. Démontrer que $5\times 0,{75}^n<0,01$ $⟺n>{\displaystyle \frac{\ln 0,002}{\ln 0,75}}$, puis donner le plus petit entier $n$ qui convient :
   Rédaction attendue. En divisant par $5>0$ : $5\times 0,{75}^n<0,01$ $⟺0,{75}^n<0,002$. Les deux membres sont strictement positifs et ln est strictement croissante : $⟺\ln (0,{75}^n)<\ln 0,002$ $⟺n\ln 0,75<\ln 0,002$. Comme $0<0,75<1$, $\ln 0,75<0$ : en divisant, le sens change, $⟺n>{\displaystyle \frac{\ln 0,002}{\ln 0,75}}$. Or ${\displaystyle \frac{\ln 0,002}{\ln 0,75}}\approx 21,6$ : le plus petit entier est $n=22$.

Calculer le nombre dérivé demandé (fonctions définies sur $]0;+\infty [$, sauf mention ; une fraction s’écrit avec « / »).

1. $f(x)=4\ln x+x$ : $f\prime (2)=$
   $f\prime (x)={\displaystyle \frac{4}{x}}+1$, donc $f\prime (2)=2+1=3$.
2. $m(x)=3-5\ln x$ : $m\prime (5)=$
   $m\prime (x)=-{\displaystyle \frac{5}{x}}$, donc $m\prime (5)=-1$.
3. $g(x)=x^2\ln x$ : $g\prime (1)=$
   Dérivée d’un produit : $g\prime (x)=2x\ln x+x^2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$ $=2x\ln x+x$. Donc $g\prime (1)=0+1=1$.
4. $k(x)={\displaystyle \frac{x}{\ln x}}$ sur $]1;+\infty [$ : $k\prime (e^2)=$
   Dérivée d’un quotient : $k\prime (x)={\displaystyle \frac{\ln x-x\times \frac{1}{x}}{(\ln x{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{\ln x-1}{(\ln x{)}^2}}$. Avec $\ln (e^2)=2$ : $k\prime (e^2)={\displaystyle \frac{2-1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Déterminer chaque limite (aucune n’est une forme indéterminée). Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(3-\ln x)=$
   $\ln x\to -\infty$ en $0^{+}$, donc $-\ln x\to +\infty$ ; par somme, la limite est $+\infty$.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}(\ln x+{\displaystyle \frac{1}{x}})=$
   $\ln x\to +\infty$ et ${\displaystyle \frac{1}{x}}\to 0$ : par somme, $+\infty$.
3. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(\ln x-{\displaystyle \frac{1}{x}})=$
   $\ln x\to -\infty$ et $-{\displaystyle \frac{1}{x}}\to -\infty$ : « $-\infty -\infty$ » n’est pas indéterminée, la limite est $-\infty$.
4. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}=$
   Le dénominateur tend vers $-\infty$ : par quotient, ${\displaystyle \frac{1}{\ln x}}\to 0$.

Tangentes et inégalité.

1. La tangente à la courbe de ln au point d’abscisse $2$ a pour coefficient directeur
   Le coefficient directeur est $\ln \prime (2)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. Cette tangente coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $p$. Valeur de $p$ arrondie au centième :
   $y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2)+\ln 2$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}x-1+\ln 2$. Donc $p=\ln 2-1\approx -0,31$.
3. Démontrer que pour tout $x>0$, $\ln x⩽{\displaystyle \frac{x}{e}}$, en étudiant $g(x)={\displaystyle \frac{x}{e}}-\ln x$. La fonction $g$ atteint son minimum en $x=$
   Rédaction attendue. $g$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et $g\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{e}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{x-e}{ex}}$. Comme $ex>0$, $g\prime (x)$ a le signe de $x-e$ : $g$ est décroissante sur $]0;e]$ et croissante sur $[e;+\infty [$. Elle atteint donc son minimum en $x=e$, et $g(e)={\displaystyle \frac{e}{e}}-\ln e=1-1=0$. Ainsi $g(x)⩾0$ pour tout $x>0$, c’est-à-dire $\ln x⩽{\displaystyle \frac{x}{e}}$ : la courbe de ln est sous sa tangente au point d’abscisse $e$.

Soit $f(x)=\ln x-2\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty [$.

1. On a $f\prime (x)={\displaystyle \frac{1-\sqrt{x}}{x}}$. Valeur de $f\prime (4)$ :
   $f\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-2\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{x}}{x}}$ (car ${\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$). Donc $f\prime (4)={\displaystyle \frac{1-2}{4}}=-0,25$.
2. Démontrer que $f$ admet un maximum sur $]0;+\infty [$. Valeur de ce maximum :
   Rédaction attendue. Pour $x>0$, le dénominateur $x$ est positif, donc $f\prime (x)$ a le signe de $1-\sqrt{x}$. Or $1-\sqrt{x}>0⟺\sqrt{x}<1$ $⟺x<1$ (la racine carrée est croissante). Donc $f$ est croissante sur $]0;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty [$ : elle admet un maximum en $x=1$, égal à $f(1)=\ln 1-2\sqrt{1}=-2$.
3. On en déduit $\ln x<2\sqrt{x}$, puis, pour $x⩾1$, $0⩽{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}⩽{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}$. Pour $x=10000$, ce majorant vaut
   ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{10000}}}={\displaystyle \frac{2}{100}}=0,02$. Comme $f(x)⩽-2<0$, $\ln x<2\sqrt{x}$ ; on divise par $x>0$. Pour $x⩾1$, $\ln x⩾0$. Le majorant ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}$ tend vers $0$ : par le théorème des gendarmes, on retrouve $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$.

Limites de référence : donner chaque limite.

1. $\underset{x\to +\infty }{lim}(7+{\displaystyle \frac{\ln x}{x}})=$
   Par croissance comparée, ${\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\to 0$ ; par somme, la limite est $7$.
2. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}3x\ln x=$
   $x\ln x\to 0$ en $0^{+}$ (croissance comparée) ; par produit par $3$, la limite est $0$.
3. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{x\ln x-1}{x+1}}=$
   $x\ln x\to 0$, donc le numérateur tend vers $-1$ ; le dénominateur tend vers $1$. Par quotient : $-1$.
4. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{\ln x}{x^3}}=$
   Croissance comparée généralisée : ${\displaystyle \frac{\ln x}{x^n}}\to 0$ en $+\infty$ pour tout entier $n⩾1$, ici $n=3$.

Formes indéterminées : factoriser par le terme dominant. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to +\infty }{lim}(x^2-5\ln x)=$
   Pour $x>0$, $x^2-5\ln x=x^2(1-5{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}})$. La parenthèse tend vers $1$ et $x^2\to +\infty$ : $+\infty$.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}(4\ln x-x)=$
   $4\ln x-x=x(4{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}-1)$. La parenthèse tend vers $-1$ et $x\to +\infty$ : par produit, $-\infty$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x+\ln x}{x}}=$
   ${\displaystyle \frac{x+\ln x}{x}}=1+{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\to 1+0=1$.
4. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x(1+\ln x)=$
   Forme « $0\times \infty$ ». On développe : $x+x\ln x$, et $x\to 0$, $x\ln x\to 0$ : la limite est $0$.

Justifier chaque limite. Une fraction s’écrit avec « / ». Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{3\ln x+x}{2x-1}}=$
   Rédaction attendue. Le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ». Pour $x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$, on divise numérateur et dénominateur par $x$ : ${\displaystyle \frac{3\ln x+x}{2x-1}}={\displaystyle \frac{3\frac{\ln x}{x}+1}{2-\frac{1}{x}}}$. Par croissance comparée, $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$, donc le numérateur tend vers $1$ ; et ${\displaystyle \frac{1}{x}}\to 0$, donc le dénominateur tend vers $2$. Par quotient, la limite est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(x\ln x-2x+1)=$
   $x\ln x\to 0$ (croissance comparée), $-2x\to 0$ : par somme, la limite est $1$.
3. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}=$
   Ce n’est pas une forme indéterminée : $\ln x\to -\infty$ et $x^2\to 0^{+}$. Par quotient, ${\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}=\ln x\times {\displaystyle \frac{1}{x^2}}\to -\infty$.

Changement de variable ou factorisation astucieuse.

1. En posant $X=\sqrt{x}$ : $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{x}\ln x=$
   $X=\sqrt{x}\to 0^{+}$ quand $x\to 0^{+}$, et $\ln x=\ln (X^2)=2\ln X$. Donc $\sqrt{x}\ln x=2X\ln X\to 0$ par croissance comparée.
2. En posant $X=\sqrt{x}$ : $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{(\ln x{)}^2}{x}}=$
   $X\to +\infty$ et ${\displaystyle \frac{(\ln x{)}^2}{x}}={\displaystyle \frac{(2\ln X{)}^2}{X^2}}={\left(2{\displaystyle \frac{\ln X}{X}}\right)}^2$. Or ${\displaystyle \frac{\ln X}{X}}\to 0$, donc la limite est $0$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{\ln (x^3)}{\ln (x+1)}}=$ (indication : $\ln (x+1)=\ln x+\ln (1+\frac{1}{x})$)
   $\ln (x^3)=3\ln x$ et, pour $x>1$, $\ln (x+1)=\ln x+\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$. On divise par $\ln x>0$ : le quotient vaut ${\displaystyle \frac{3}{1+\frac{\ln (1+1/x)}{\ln x}}}$. Or $\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})\to \ln 1=0$ et $\ln x\to +\infty$ : la limite est $3$.

Calculer le nombre dérivé demandé (une fraction s’écrit avec « / »).

1. $f(x)=\ln (4x+1)$ : $f\prime (2)=$
   $(\ln u{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec $u(x)=4x+1$ : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{4}{4x+1}}$, donc $f\prime (2)={\displaystyle \frac{4}{9}}$.
2. $f(x)=\ln (7-2x)$ : $f\prime (3)=$
   $f\prime (x)={\displaystyle \frac{-2}{7-2x}}$, donc $f\prime (3)={\displaystyle \frac{-2}{1}}=-2$.
3. $f(x)=\ln (x^3+1)$ : $f\prime (1)=$
   $u(x)=x^3+1$, $u\prime (x)=3x^2$ : $f\prime (1)={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
4. $f(x)=\ln (e^{2x}+3)$ : $f\prime (0)=$
   $u(x)=e^{2x}+3>0$ et $u\prime (x)=2e^{2x}$ : $f\prime (0)={\displaystyle \frac{2}{1+3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Ensembles de définition : compléter la borne.

1. $\ln (6-2x)$ existe si et seulement si $x<$
   $6-2x>0⟺x<3$.
2. $\ln (x^2-16)$ est défini sur $]-\infty ;-4[\cup ]$ $;+\infty [$
   $x^2-16>0⟺x^2>16$ $⟺x<-4$ ou $x>4$.
3. $\ln (x+2)+\ln (1-x)$ est défini sur $]$ $;1[$
   Il faut $x+2>0$ et $1-x>0$, soit $-2<x<1$.
4. $\ln (e^x-1)$ est défini sur $]$ $;+\infty [$
   $e^x-1>0⟺e^x>1=e^0$ $⟺x>0$.

Soit $f(x)=\ln (x^2+6x+11)$.

1. Démontrer que $f$ est définie sur $ℝ$ et qu’elle admet un minimum. Ce minimum est atteint en $x=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $x^2+6x+11=(x+3{)}^2+2⩾2$ $>0$ : $f$ est définie et dérivable sur $ℝ$, avec $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2x+6}{x^2+6x+11}}$. Le dénominateur est strictement positif, donc $f\prime (x)$ a le signe de $2x+6$ : $f\prime (x)<0$ pour $x<-3$ et $f\prime (x)>0$ pour $x>-3$. $f$ est décroissante sur $]-\infty ;-3]$ et croissante sur $[-3;+\infty [$ : elle admet un minimum en $x=-3$.
2. La valeur de ce minimum est $\ln$
   $f(-3)=\ln (9-18+11)$ $=\ln 2$.
3. Pour $g(x)=\ln (2x-1)$, la tangente au point d’abscisse $1$ a pour coefficient directeur
   $g\prime (x)={\displaystyle \frac{2}{2x-1}}$, donc $g\prime (1)=2$. (La tangente a pour équation $y=2(x-1)+\ln 1=2x-2$.)

Soit $f(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{x+1}{x+3}}\right)$ sur $]-1;+\infty [$. Une fraction s’écrit avec « / ». Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{a}{(x+1)(x+3)}}$ et que $f$ est strictement croissante. Valeur de $a$ :
   Rédaction attendue. Sur $]-1;+\infty [$, $x+1>0$ et $x+3>0$ : le quotient est strictement positif et $f(x)=\ln (x+1)-\ln (x+3)$. Donc $f\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+3}}$ $={\displaystyle \frac{(x+3)-(x+1)}{(x+1)(x+3)}}$ $={\displaystyle \frac{2}{(x+1)(x+3)}}$, d’où $a=2$. Le dénominateur est un produit de deux nombres strictement positifs : $f\prime (x)>0$ et $f$ est strictement croissante sur $]-1;+\infty [$.
2. $f\prime (0)=$
   $f\prime (0)={\displaystyle \frac{2}{1\times 3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
3. Quand $x$ tend vers $+\infty$, $f(x)$ tend vers
   ${\displaystyle \frac{x+1}{x+3}}={\displaystyle \frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}}\to 1$, et par composition $f(x)\to \ln 1=0$ : la droite $y=0$ est asymptote horizontale.
4. $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f(x)=$
   Quand $x\to -1^{+}$, $x+1\to 0^{+}$ et $x+3\to 2$, donc ${\displaystyle \frac{x+1}{x+3}}\to 0^{+}$. Par composition avec $\underset{X\to 0^{+}}{lim}\ln X=-\infty$, $f(x)\to -\infty$.