Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Fonction exponentielle
Définition, propriétés algébriques et analytiques, dérivée — programme de Spécialité Maths Terminale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calculs algébriques
/ 4 pts- Simplifier sous la forme $e^k$ : $\dfrac{e^5 \times e^{-2}}{e}$. (1 pt)
- Simplifier : $\left(e^{-1}\right)^3 \times e^4$. (1 pt)
- Résoudre $e^{x+2} = e^{3x-4}$. (1 pt)
- Résoudre l'inéquation $e^{2-x} \leq e^{1+x}$. (1 pt)
Exercice 2 — Dérivées et dérivée d'une composée
/ 5 pts- Calculer la dérivée de $f(x) = e^{2x^2 - 3x}$. (2 pts)
- Calculer la dérivée de $g(x) = (3x - 2)e^x$. Factoriser le résultat. (2 pts)
- Calculer la dérivée de $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}$. (1 pt)
Exercice 3 — Étude de la fonction $f(x) = (x-2)e^x + 1$
/ 6 pts- Calculer $f'(x)$ et le factoriser. (2 pts)
- Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. (2 pts)
- Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Justifier. (1 pt)
- Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement une solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ et donner un encadrement au dixième. On donne $f(-1) \approx -0{,}27$ et $f(0) = -1$, $f(1) \approx -0{,}28$, $f(2) = 1$. (1 pt)
Exercice 4 — Limites et croissances comparées
/ 5 pts- Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^4 + 2x}{e^x}$. Justifier. (1 pt)
- Calculer $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x)e^x$. Justifier. (1 pt)
- En déduire la limite de $f(x) = (x^2 + x)e^x - 3$ en $-\infty$. (1 pt)
- Justifier que $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x} = 3$. (2 pts)
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Calculs algébriques
Corrigé :
1. $\dfrac{e^5 \times e^{-2}}{e} = \dfrac{e^{5-2}}{e^1} = \dfrac{e^3}{e} = e^{3-1} = e^2$.
2. $(e^{-1})^3 \times e^4 = e^{-3} \times e^4 = e^{-3+4} = e^1 = e$.
3. $e^{x+2} = e^{3x-4} \Leftrightarrow x+2 = 3x-4 \Leftrightarrow 6 = 2x \Leftrightarrow x = 3$.
4. $e^{2-x} \leq e^{1+x} \Leftrightarrow 2-x \leq 1+x \Leftrightarrow 1 \leq 2x \Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{2}$. Solution : $x \in \left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
Exercice 2 — Dérivées et dérivée d'une composée
Corrigé :
1. $u = 2x^2 - 3x$, $u' = 4x - 3$, donc $f'(x) = (4x-3)e^{2x^2-3x}$.
2. $g'(x) = 3e^x + (3x-2)e^x = (3x+1)e^x$.
3. $h'(x) = \dfrac{e^x(x^2+1) - e^x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{(x-1)^2 e^x}{(x^2+1)^2}$.
Exercice 3 — Étude de la fonction $f(x) = (x-2)e^x + 1$
Corrigé :
1. $f'(x) = e^x + (x-2)e^x = (x-1)e^x$.
2. $e^x \gt 0$ toujours. $f'(x) \lt 0$ si $x \lt 1$, $f'(1) = 0$, $f'(x) \gt 0$ si $x \gt 1$. Tableau : $f$ décroissante sur $]-\infty;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$. Minimum $f(1) = (1-2)e + 1 = 1 - e \approx -1{,}72$.
3. $\lim_{x \to -\infty} (x-2)e^x = 0$ (croissances comparées), donc $f(x) \to 1$. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car $(x-2)e^x \to +\infty$).
4. $f$ est continue. Elle décroît de $1$ vers le min $\approx -1{,}72$ puis croît vers $+\infty$. En $x \to -\infty$, $f \to 1 \gt 0$, et min $\lt 0$. Par TVI, $f$ s'annule une fois sur $]-\infty;1[$ et une fois sur $]1;+\infty[$. Chercher sur $]1;2[$ : $f(1) \approx -1{,}72 \lt 0$ et $f(2) = 1 \gt 0$, donc $\alpha \in ]1;2[$. Encadrement : $\alpha \in ]1{,}5 ; 2[$ (ou plus précis selon les valeurs fournies).
Exercice 4 — Limites et croissances comparées
Corrigé :
1. Croissances comparées avec $n = 4$ : $\frac{x^4+2x}{e^x} \leq \frac{x^4 + 2x^4}{e^x} = \frac{3x^4}{e^x} \to 0$ pour $x$ grand. Limite = $0$.
2. $(x^2+x)e^x = x^2 e^x + xe^x$. Croissances comparées : $x^n e^x \to 0$ en $-\infty$. Limite = $0$.
3. $f(x) = (x^2+x)e^x - 3 \to 0 - 3 = -3$.
4. $\frac{e^{3x}-1}{x} = 3 \cdot \frac{e^{3x}-1}{3x}$. En posant $t = 3x$, $t \to 0$ quand $x \to 0$, et $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$ (taux d'accroissement de $\exp$ en $0$). Donc la limite vaut $3 \times 1 = 3$.
Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Fonction exponentielle » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Calculs algébriques/ 4 pts
- Exercice 2 — Dérivées et dérivée d'une composée/ 5 pts
- Exercice 3 — Étude de la fonction $f(x) = (x-2)e^x + 1$/ 6 pts
- Exercice 4 — Limites et croissances comparées/ 5 pts
Notions évaluées
Définition et premières propriétés, Propriétés algébriques, Dérivée — fonctions composées avec exp, Sens de variation et représentation graphique, Limites et croissances comparées, Équations et inéquations avec exp.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonction exponentielle » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Fonction exponentielle » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit Définition et premières propriétés, Propriétés algébriques, Dérivée — fonctions composées avec exp, Sens de variation et représentation graphique.
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