Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Fonction logarithme népérien

Définition, propriétés algébriques et étude complète de ln — Analyse (Terminale spécialité)

Le logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle : il sert à résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, à étudier des fonctions et à trouver des seuils de suites géométriques.

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Définitions

ln k ( $k > 0$ ) : l'unique solution de $e^{x} = k$ . La fonction $x \mapsto \ln x$ est définie sur $] 0; + \infty [$ .
Valeurs clés : $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , $\ln x < 0$ sur $] 0; 1 [$ , $\ln x > 0$ sur $] 1; + \infty [$ .
Réciprocité : $e^{\ln x} = x$ ( $x > 0$ ) et $\ln (e^{x}) = x$ ( $x$ réel) ; courbes symétriques par rapport à $y = x$ .

Formules (a > 0, b > 0, n entier)

$\ln (a b) = \ln a + \ln b$ (démonstration exigible).
$\ln \frac{1}{b} = - \ln b$ ; $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ .
$\ln (a^{n}) = n \ln a$ ; $\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a$ .
$\ln a = \ln b ⟺ a = b$ ; $\ln a < \ln b ⟺ a < b$ .
$e^{x} = k ⟺ x = \ln k$ ( $k > 0$ ) ; $\ln x = k ⟺ x = e^{k}$ .

Dérivées et limites

$\ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ : ln est strictement croissante et concave sur $] 0; + \infty [$ .
$(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}$ si $u$ est dérivable et $u > 0$ .
Tangentes : $y = x - 1$ en $1$ , $y = \frac{x}{e}$ en $e$ ; $\ln x \leq x - 1$ .
$lim_{0^{+}} \ln x = - \infty$ ; $lim_{+ \infty} \ln x = + \infty$ .
Croissances comparées : $\frac{\ln x}{x} \to 0$ en $+ \infty$ ; $x \ln x \to 0$ en $0^{+}$ ; $\frac{\ln x}{x^{n}} \to 0$ en $+ \infty$ .

Méthodes

Équation avec ln : ensemble de définition (arguments $> 0$ ), regroupement en un seul ln par membre, $\ln a = \ln b ⟺ a = b$ , tri des solutions.
Seuil $q^{n} \leq a$ : appliquer ln, écrire $n \ln q$ , diviser par $\ln q$ (sens inversé si $0 < q < 1$ ), prendre le premier entier.
Étude de fonction : dériver, réduire $f^{'}$ au même dénominateur, signe du numérateur, limites par factorisation du terme dominant.
Limite indéterminée : factoriser par la plus grande puissance de $x$ pour faire apparaître $\frac{\ln x}{x^{n}}$ .

Pièges

$\ln (x^{2}) = 2 \ln | x |$ : écrire $2 \ln x$ fait perdre les solutions négatives.
$\ln (a + b) \neq \ln a + \ln b$ ; $\ln a \times \ln b \neq \ln (a b)$ .
$(\ln (3 x + 2))^{'} = \frac{3}{3 x + 2}$ , pas $\frac{1}{3 x + 2}$ .
$\frac{\ln x}{x} \to - \infty$ en $0^{+}$ : ce n'est pas une forme indéterminée.
Diviser par $\ln q < 0$ inverse l'inégalité.

L'essentiel

ln est la fonction réciproque de exp : e^(ln x) = x pour x > 0 et ln(e^x) = x pour tout réel x.
ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a : le logarithme transforme les produits en sommes.
La dérivée de ln x est 1/x, celle de ln u est u'/u (u > 0) : ln est strictement croissante et concave.
ln x tend vers −∞ en 0⁺ et vers +∞ en +∞, mais (ln x)/x tend vers 0 : le logarithme croît moins vite que toute puissance.
Pour résoudre qⁿ ≤ a, on applique ln puis on divise par ln q, en inversant l'inégalité si 0 < q < 1.

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