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Fiche de révision : fonction logarithme népérien

La fonction ln, réciproque de l’exponentielle : propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée, variations et limites, croissances comparées, fonctions ln(u).

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Fonction logarithme népérien

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Fonction logarithme)

La démarche devant une question avec ln

1. Je fixe le domaine : chaque argument de ln doit être strictement positif ; j’écris l’intervalle de travail.

2. Je transforme l’écriture avec les propriétés algébriques (un seul ln, ou des $\ln 2$ , $\ln 3$ …), ou avec $\ln a = b ⟺ a = e^{b}$ .

3. J’applique le bon outil : équivalence ( $\ln a < \ln b ⟺ a < b$ ), dérivée ( $\frac{1}{x}$ ou $\frac{u'}{u}$ ), croissance comparée.

4. Je conclus en contrôlant : solutions dans le domaine, sens de l’inégalité après une division par $\ln q$ , règle nommée pour une limite.

Le réflexe — ln n’existe que pour des nombres strictement positifs : une réponse sans ensemble de définition, ou qui garde une valeur hors de cet ensemble, perd des points.

Cas 1 · Passer de ln à exp

Réflexe — ln a = b ⟺ a = eᵇ ; eˣ = k ⟺ x = ln k, seulement si k > 0.

Exemple. Questions types : « Résoudre $e^{\dots} = k$ », « Résoudre $\ln x = k$ », « Simplifier $e^{\ln \dots}$ ». Exemple : résoudre $e^{- x} = 0, 5$ .

$0, 5 > 0$ , donc $e^{- x} = 0, 5 ⟺ - x = \ln 0, 5$ .

Or $\ln 0, 5 = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2$ , donc $x = \ln 2 \approx 0, 69$ .

Attention — eˣ = −2 n’a pas de solution ; ln(−2) n’existe pas.

Cas 2 · Transformer une écriture

Réflexe — développer : facteurs premiers ; simplifier : regrouper en un seul ln.

Exemple. Questions types : « Exprimer en fonction de $\ln 2$ », « Simplifier ». Exemple : $A = \ln 200 - \ln 25 + \ln \frac{1}{8}$ .

$A = \ln \frac{200}{25} + \ln \frac{1}{8}$ $= \ln 8 - \ln 8$ .

Donc $A = 0$ . (Autre voie : $200 = 2^{3} \times 5^{2}$ , $25 = 5^{2}$ : $A = 3 \ln 2 + 2 \ln 5 - 2 \ln 5$ $- 3 \ln 2 = 0$ .)

Attention — ln(a + b) ne se décompose pas ; (ln a)² ≠ ln(a²).

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Cas 3 · Équation ou inéquation

Réflexe — domaine, un seul ln de chaque côté, équivalence, tri des solutions ; seuil qⁿ : diviser par ln q avec son signe.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans l’intervalle… », « Déterminer le plus petit entier $n$ tel que… ». Exemple : $\ln (2 x - 4) < \ln (x + 1)$ .

Domaine : $2 x - 4 > 0$ et $x + 1 > 0$ , soit $x > 2$ .

Pour $x > 2$ , ln étant strictement croissante : $2 x - 4 < x + 1 ⟺ x < 5$ .

$𝒮 =] 2; 5 [$ .

Attention — 0 < q < 1 : ln q < 0, le sens de l’inégalité change.

Cas 4 · Étudier une fonction avec ln x

Réflexe — f′ en un seul quotient ; sur ]0 ; +∞[, x > 0 : signe du numérateur ; tableau, extremum en valeur exacte.

Exemple. Questions types : « Étudier les variations de $f$ », « Montrer que $f$ admet un minimum ». Exemple : $f (x) = 2 x - \ln x$ sur $] 0; + \infty [$ .

$f' (x) = 2 - \frac{1}{x} = \frac{2 x - 1}{x}$ , du signe de $2 x - 1$ car $x > 0$ .

$f$ décroît sur $] 0; \frac{1}{2}]$ , croît sur $[\frac{1}{2}; + \infty [$ .

Minimum : $f (\frac{1}{2}) = 1 - \ln \frac{1}{2} = 1 + \ln 2$ .

Attention — ln′(x) = 1/x, pas 1/ln x.

Cas 5 · Limite avec croissance comparée

Réflexe — forme indéterminée : je factorise par la plus grande puissance de x pour faire apparaître ln x / xⁿ ou xⁿ ln x.

Exemple. Questions types : « Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (en $0$ ) ». Exemple : $lim_{x \to + \infty} (x^{2} - x \ln x)$ .

Forme « $\infty - \infty$ ». Pour $x > 0$ : $x^{2} - x \ln x = x^{2} (1 - \frac{\ln x}{x})$ .

Par croissance comparée, $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : la parenthèse tend vers $1$ .

Par produit, la limite est $+ \infty$ .

Attention — ln x / x en 0⁺ n’est pas indéterminée : −∞.

Cas 6 · Fonction ln(u)

Réflexe — u(x) > 0 pour le domaine ; (ln u)′ = u′/u ; signe de u′ ; limites par composition.

Exemple. Questions types : « Ensemble de définition », « Calculer $f' (x)$ », « Variations ». Exemple : $f (x) = \ln (9 - x^{2})$ .

$9 - x^{2} > 0 ⟺ - 3 < x < 3$ : $f$ est définie sur $] - 3; 3 [$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{9 - x^{2}}$ , du signe de $- 2 x$ : $f$ croît sur $] - 3; 0]$ , décroît sur $[0; 3 [$ .

Maximum : $f (0) = \ln 9 = 2 \ln 3$ ; en $\pm 3$ , $9 - x^{2} \to 0^{+}$ donc $f \to - \infty$ .

Attention — oublier u′ au numérateur ; prendre u ≥ 0 au lieu de u > 0.

Les pièges

ln(x²) = 2 ln|x| : écrire 2 ln x sans condition fait perdre les solutions négatives.
Une solution hors de l’ensemble de définition se rejette, même si elle vérifie l’équation obtenue.
ln a × ln b ≠ ln(ab) et ln a / ln b ≠ ln(a/b).
Seuil : on vérifie l’entier trouvé (le premier qui convient) et on rédige « le plus petit entier est… ».
ln x − x tend vers −∞ en +∞ : « ln est négligeable » ne veut pas dire « la différence tend vers 0 ».

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche devant une question avec ln, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types du bac et une réponse rédigée : passer de ln à exp, transformer une écriture, résoudre une équation ou une inéquation, étudier une fonction, lever une forme indéterminée par croissance comparée, étudier une fonction ln(u). Les formules à connaître par cœur sont dans la fiche tableaux.

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