À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Fonction logarithme népérien » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition et premières propriétés, Propriétés algébriques, Dérivée de la fonction logarithme, Variations et représentation graphique. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Définition et premières propriétés
2 · Propriétés algébriques
3 · Dérivée de la fonction logarithme
4 · Variations et représentation graphique
5 · Limites et croissances comparées
6 · Équations et inéquations logarithmiques
7 · Étude de fonctions faisant intervenir ln
1Définition et premières propriétés
La fonction logarithme népérien est l'une des fonctions fondamentales de l'analyse. Elle est intimement liée à la fonction exponentielle.
Définition. La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ qui s'annule en $1$.
Autrement dit, pour tout $x > 0$ : $$\int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \ln(x)$$
Propriété fondamentale. La fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction exponentielle :
• Pour tout réel $x > 0$ : $e^{\ln(x)} = x$
• Pour tout réel $x$ : $\ln(e^x) = x$
En particulier : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.
Ces deux égalités doivent être parfaitement maîtrisées car elles permettent de passer d'une écriture exponentielle à une écriture logarithmique, et réciproquement.
Exemple. Simplifier $e^{\ln 5}$, $\ln(e^3)$, $\ln(e^{-2})$.
• $e^{\ln 5} = 5$ (par définition)
• $\ln(e^3) = 3$ (par définition)
• $\ln(e^{-2}) = -2$ (par définition)
Attention ! $\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$. On ne peut pas calculer $\ln(0)$, $\ln(-1)$, etc. Toujours vérifier que l'argument est strictement positif.
2Propriétés algébriques
La fonction logarithme transforme les produits en sommes, ce qui en fait un outil puissant de calcul.
Propriétés algébriques. Pour tous réels $a > 0$, $b > 0$ et tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :
| Propriété | Formule |
|---|
| Produit | $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ |
| Quotient | $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ |
| Puissance entière | $\ln(a^n) = n\,\ln(a)$ |
| Racine carrée | $\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$ |
| Inverse | $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ |
Exemple. Calculer $\ln(8) + \ln(3) - \ln(6)$.
$\ln(8) + \ln(3) - \ln(6) = \ln(8 \times 3) - \ln(6) = \ln(24) - \ln(6) = \ln\!\left(\dfrac{24}{6}\right) = \ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$
Exemple. Écrire $\ln(\sqrt[3]{5})$ en fonction de $\ln(5)$.
$\ln(\sqrt[3]{5}) = \ln(5^{1/3}) = \dfrac{1}{3}\ln(5)$
Attention ! $\ln(a + b) \neq \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(a \times b) \neq \ln(a) \times \ln(b)$. Ces erreurs classiques sont à éviter absolument.
3Dérivée de la fonction logarithme
La connaissance de la dérivée de ln est indispensable pour étudier les fonctions qui en font intervenir.
Dérivée de ln.
• La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
• Règle de composition (dérivée de $\ln(u)$) : si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et : $$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$$
Exemple. Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(3x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$.
On pose $u = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $u' = 6x$.
$f'(x) = \dfrac{6x}{3x^2 + 1}$
Exemple. Calculer la dérivée de $g(x) = x^2\ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Produit : $g'(x) = 2x\,\ln(x) + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x\,\ln(x) + x = x(2\ln x + 1)$
Astuce. Avant de dériver $\ln(u)$, vérifier systématiquement que $u > 0$ sur l'intervalle d'étude (pour avoir le domaine de définition correct). Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier avant de dériver quand c'est possible : par exemple $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ n'est valable que pour $x \neq 0$, il vaut mieux souvent garder $\ln(x^2)$ et dériver directement.
Exemple. Calculer la dérivée de $h(x) = \ln\!\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$ sur $]1\,;\,+\infty[$.
On pose $u = \dfrac{x+1}{x-1}$ (bien $> 0$ sur $]1\,;\,+\infty[$), $u' = \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-2}{(x-1)^2}$.
$h'(x) = \dfrac{-2/(x-1)^2}{(x+1)/(x-1)} = \dfrac{-2}{(x-1)^2} \times \dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{-2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{-2}{x^2-1}$
4Variations et représentation graphique
L'étude des variations de ln découle directement du signe de sa dérivée.
Variations de ln. Sur $]0\,;\,+\infty[$ :
• $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ donc $\ln$ est strictement croissante.
• $\ln$ est concave car $\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$.
Conséquence (croissance de ln). Pour $a > 0$ et $b > 0$ : $$a < b \iff \ln(a) < \ln(b)$$Cette propriété permet de comparer des expressions ou de résoudre des inéquations en appliquant ln des deux membres (sans changer le sens).
Quelques valeurs remarquables à connaître :
| $x$ | $\approx 0^+$ | $\frac{1}{e}$ | $1$ | $e$ | $e^2$ | $+\infty$ |
|---|
| $\ln(x)$ | $-\infty$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $+\infty$ |
Exemple. Classer dans l'ordre croissant $\ln(0{,}5)$, $\ln(3)$, $\ln(1)$, $\ln(e^2)$.
Comme ln est croissante et $0{,}5 < 1 < 3 < e^2 \approx 7{,}39$ : $\ln(0{,}5) < \ln(1) < \ln(3) < \ln(e^2)$, c'est-à-dire $-\ln 2 < 0 < \ln 3 < 2$.
5Limites et croissances comparées
Les limites de ln aux bornes de son domaine de définition sont fondamentales, notamment pour les tableaux de variations.
Limites de ln.
$$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$La courbe de $\ln$ admet donc l'axe des ordonnées ($x = 0$) comme asymptote verticale à gauche.
Croissances comparées (à connaître). Pour tout entier $n \geq 1$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \qquad \text{(ln négligeable devant toute puissance)}$$$$\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \qquad \text{(x}^n\text{ l'emporte sur ln en 0)}$$
Astuce. Ces limites se retrouvent souvent dans les études de fonctions. Pour les démontrer ou s'en souvenir : ln monte vers $+\infty$ mais beaucoup plus lentement que n'importe quelle puissance de $x$.
Exemple. Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}$.
D'après les croissances comparées avec $n=1$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
Exemple. Calculer $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x)$.
D'après les croissances comparées avec $n=1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$.
Attention ! La forme $0 \times (-\infty)$ est une forme indéterminée. Il faut utiliser le résultat de croissance comparée et ne pas conclure trop vite. De même, $\dfrac{-\infty}{+\infty}$ est une forme indéterminée.
6Équations et inéquations logarithmiques
La résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques repose sur la bijectivité et la croissance de ln.
Méthodes clés.
• Équation $\ln(A) = \ln(B)$ : si $A > 0$ et $B > 0$, alors $A = B$ (ln est injective).
• Équation $\ln(A) = k$ : équivalent à $A = e^k$ (si $A > 0$).
• Inéquation $\ln(A) \leq \ln(B)$ : si $A > 0$ et $B > 0$, équivalent à $A \leq B$ (ln croissante).
• Inéquation $\ln(A) \leq k$ : équivalent à $A \leq e^k$ (si $A > 0$).
Attention ! Toujours résoudre en imposant les conditions d'existence : l'argument doit être strictement positif. Une solution qui rend l'argument négatif ou nul doit être écartée.
Exemple 1. Résoudre $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)$ dans $\mathbb{R}$.
Condition d'existence : $2x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0$, soit $x > \dfrac{1}{2}$ et $x > -3$, donc $x > \dfrac{1}{2}$.
$\ln(2x-1) = \ln(x+3) \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 3 \Leftrightarrow x = 4$.
$4 > \dfrac{1}{2}$ ✓ Donc la solution est $x = 4$.
Exemple 2. Résoudre $\ln(x) \leq 2$ dans $\mathbb{R}$.
Condition d'existence : $x > 0$.
$\ln(x) \leq 2 \Leftrightarrow x \leq e^2$. En tenant compte de l'existence : $0 < x \leq e^2$, soit $x \in ]0\,;\,e^2]$.
Exemple 3. Résoudre $\ln(x)^2 - \ln(x) - 2 = 0$ (équation bicarrée en $\ln x$).
On pose $X = \ln(x)$, l'équation devient $X^2 - X - 2 = 0$, soit $(X-2)(X+1) = 0$.
Donc $X = 2$ ou $X = -1$, c'est-à-dire $\ln(x) = 2$ ou $\ln(x) = -1$, soit $x = e^2$ ou $x = e^{-1}$.
7Étude de fonctions faisant intervenir ln
L'étude complète d'une fonction faisant intervenir ln suit le même plan qu'au lycée, en utilisant les outils spécifiques à ln.
Plan d'étude type.- Domaine de définition : résoudre $\text{argument} > 0$.
- Dérivée : utiliser $(\ln u)' = u'/u$.
- Signe de la dérivée → variations.
- Limites aux bornes (utiliser les croissances comparées si besoin).
- Tableau de variations puis tracé de la courbe.
Exemple complet. Étudier $f(x) = x - \ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Dérivée : $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$
Signe de $f'$ : $x > 0$ donc le signe de $f'$ est celui de $x - 1$ :
• $f'(x) < 0$ si $0 < x < 1$ (décroissante)
• $f'(x) = 0$ si $x = 1$ (minimum)
• $f'(x) > 0$ si $x > 1$ (croissante)
Limites :
• $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car $x \gg \ln x$)
Minimum : $f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ (minimum global de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$).
Astuce — inégalité classique. L'étude de $f(x) = x - \ln(x)$ montre que $f(x) \geq f(1) = 1$, soit $\ln(x) \leq x - 1$ pour tout $x > 0$. C'est une inégalité fondamentale utilisée fréquemment en terminale et en prépa.
★À retenir
À retenir :
• $\ln$ est défini sur $]0\,;\,+\infty[$, dérivable, strictement croissante et concave.
• Propriétés : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln(a/b)=\ln a - \ln b$, $\ln(a^n)=n\ln a$.
• Dérivée : $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ et $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ (avec $u>0$).
• Valeurs clés : $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$, $\ln(e^k)=k$, $e^{\ln a}=a$.
• Limites : $\lim_{0^+}\ln=-\infty$, $\lim_{+\infty}\ln=+\infty$. Croissances comparées : $\frac{\ln x}{x^n}\to 0$ et $x^n\ln x\to 0$.
• Résolution : $\ln(A)=\ln(B)\Leftrightarrow A=B$ (sous réserve d'existence).