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Fonction logarithme népérien
Définition, propriétés algébriques et étude complète de ln — Analyse (Terminale spécialité)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Fonction logarithme népérien » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition et premières propriétés, Propriétés algébriques, Dérivée de la fonction logarithme, Variations et représentation graphique. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Définition et premières propriétés
La fonction logarithme népérien est l'une des fonctions fondamentales de l'analyse. Elle est intimement liée à la fonction exponentielle.
Définition. La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ qui s'annule en $1$.
Autrement dit, pour tout $x > 0$ : $$\int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \ln(x)$$
Autrement dit, pour tout $x > 0$ : $$\int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \ln(x)$$
Propriété fondamentale. La fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction exponentielle :
• Pour tout réel $x > 0$ : $e^{\ln(x)} = x$
• Pour tout réel $x$ : $\ln(e^x) = x$
En particulier : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.
• Pour tout réel $x > 0$ : $e^{\ln(x)} = x$
• Pour tout réel $x$ : $\ln(e^x) = x$
En particulier : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.
Ces deux égalités doivent être parfaitement maîtrisées car elles permettent de passer d'une écriture exponentielle à une écriture logarithmique, et réciproquement.
Exemple. Simplifier $e^{\ln 5}$, $\ln(e^3)$, $\ln(e^{-2})$.
• $e^{\ln 5} = 5$ (par définition)
• $\ln(e^3) = 3$ (par définition)
• $\ln(e^{-2}) = -2$ (par définition)
• $e^{\ln 5} = 5$ (par définition)
• $\ln(e^3) = 3$ (par définition)
• $\ln(e^{-2}) = -2$ (par définition)
Attention ! $\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$. On ne peut pas calculer $\ln(0)$, $\ln(-1)$, etc. Toujours vérifier que l'argument est strictement positif.
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Propriétés algébriques
La fonction logarithme transforme les produits en sommes, ce qui en fait un outil puissant de calcul.
Propriétés algébriques. Pour tous réels $a > 0$, $b > 0$ et tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ |
| Quotient | $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ |
| Puissance entière | $\ln(a^n) = n\,\ln(a)$ |
| Racine carrée | $\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$ |
| Inverse | $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ |
Exemple. Calculer $\ln(8) + \ln(3) - \ln(6)$.
$\ln(8) + \ln(3) - \ln(6) = \ln(8 \times 3) - \ln(6) = \ln(24) - \ln(6) = \ln\!\left(\dfrac{24}{6}\right) = \ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$
$\ln(8) + \ln(3) - \ln(6) = \ln(8 \times 3) - \ln(6) = \ln(24) - \ln(6) = \ln\!\left(\dfrac{24}{6}\right) = \ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$
Exemple. Écrire $\ln(\sqrt[3]{5})$ en fonction de $\ln(5)$.
$\ln(\sqrt[3]{5}) = \ln(5^{1/3}) = \dfrac{1}{3}\ln(5)$
$\ln(\sqrt[3]{5}) = \ln(5^{1/3}) = \dfrac{1}{3}\ln(5)$
Attention ! $\ln(a + b) \neq \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(a \times b) \neq \ln(a) \times \ln(b)$. Ces erreurs classiques sont à éviter absolument.
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Dérivée de la fonction logarithme
La connaissance de la dérivée de ln est indispensable pour étudier les fonctions qui en font intervenir.
Dérivée de ln.
• La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
• Règle de composition (dérivée de $\ln(u)$) : si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et : $$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$$
• La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
• Règle de composition (dérivée de $\ln(u)$) : si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et : $$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$$
Exemple. Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(3x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$.
On pose $u = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $u' = 6x$.
$f'(x) = \dfrac{6x}{3x^2 + 1}$
On pose $u = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $u' = 6x$.
$f'(x) = \dfrac{6x}{3x^2 + 1}$
Exemple. Calculer la dérivée de $g(x) = x^2\ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Produit : $g'(x) = 2x\,\ln(x) + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x\,\ln(x) + x = x(2\ln x + 1)$
Produit : $g'(x) = 2x\,\ln(x) + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x\,\ln(x) + x = x(2\ln x + 1)$
Astuce. Avant de dériver $\ln(u)$, vérifier systématiquement que $u > 0$ sur l'intervalle d'étude (pour avoir le domaine de définition correct). Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier avant de dériver quand c'est possible : par exemple $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ n'est valable que pour $x \neq 0$, il vaut mieux souvent garder $\ln(x^2)$ et dériver directement.
Exemple. Calculer la dérivée de $h(x) = \ln\!\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$ sur $]1\,;\,+\infty[$.
On pose $u = \dfrac{x+1}{x-1}$ (bien $> 0$ sur $]1\,;\,+\infty[$), $u' = \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-2}{(x-1)^2}$.
$h'(x) = \dfrac{-2/(x-1)^2}{(x+1)/(x-1)} = \dfrac{-2}{(x-1)^2} \times \dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{-2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{-2}{x^2-1}$
On pose $u = \dfrac{x+1}{x-1}$ (bien $> 0$ sur $]1\,;\,+\infty[$), $u' = \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-2}{(x-1)^2}$.
$h'(x) = \dfrac{-2/(x-1)^2}{(x+1)/(x-1)} = \dfrac{-2}{(x-1)^2} \times \dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{-2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{-2}{x^2-1}$
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Variations et représentation graphique
L'étude des variations de ln découle directement du signe de sa dérivée.
Variations de ln. Sur $]0\,;\,+\infty[$ :
• $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ donc $\ln$ est strictement croissante.
• $\ln$ est concave car $\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$.
• $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ donc $\ln$ est strictement croissante.
• $\ln$ est concave car $\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$.
Conséquence (croissance de ln). Pour $a > 0$ et $b > 0$ : $$a < b \iff \ln(a) < \ln(b)$$Cette propriété permet de comparer des expressions ou de résoudre des inéquations en appliquant ln des deux membres (sans changer le sens).
Quelques valeurs remarquables à connaître :
| $x$ | $\approx 0^+$ | $\frac{1}{e}$ | $1$ | $e$ | $e^2$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\ln(x)$ | $-\infty$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $+\infty$ |
Exemple. Classer dans l'ordre croissant $\ln(0{,}5)$, $\ln(3)$, $\ln(1)$, $\ln(e^2)$.
Comme ln est croissante et $0{,}5 < 1 < 3 < e^2 \approx 7{,}39$ : $\ln(0{,}5) < \ln(1) < \ln(3) < \ln(e^2)$, c'est-à-dire $-\ln 2 < 0 < \ln 3 < 2$.
Comme ln est croissante et $0{,}5 < 1 < 3 < e^2 \approx 7{,}39$ : $\ln(0{,}5) < \ln(1) < \ln(3) < \ln(e^2)$, c'est-à-dire $-\ln 2 < 0 < \ln 3 < 2$.
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Limites et croissances comparées
Les limites de ln aux bornes de son domaine de définition sont fondamentales, notamment pour les tableaux de variations.
Limites de ln.
$$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$La courbe de $\ln$ admet donc l'axe des ordonnées ($x = 0$) comme asymptote verticale à gauche.
$$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$La courbe de $\ln$ admet donc l'axe des ordonnées ($x = 0$) comme asymptote verticale à gauche.
Croissances comparées (à connaître). Pour tout entier $n \geq 1$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \qquad \text{(ln négligeable devant toute puissance)}$$$$\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \qquad \text{(x}^n\text{ l'emporte sur ln en 0)}$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \qquad \text{(ln négligeable devant toute puissance)}$$$$\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \qquad \text{(x}^n\text{ l'emporte sur ln en 0)}$$
Astuce. Ces limites se retrouvent souvent dans les études de fonctions. Pour les démontrer ou s'en souvenir : ln monte vers $+\infty$ mais beaucoup plus lentement que n'importe quelle puissance de $x$.
Exemple. Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}$.
D'après les croissances comparées avec $n=1$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
D'après les croissances comparées avec $n=1$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
Exemple. Calculer $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x)$.
D'après les croissances comparées avec $n=1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$.
D'après les croissances comparées avec $n=1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$.
Attention ! La forme $0 \times (-\infty)$ est une forme indéterminée. Il faut utiliser le résultat de croissance comparée et ne pas conclure trop vite. De même, $\dfrac{-\infty}{+\infty}$ est une forme indéterminée.
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Équations et inéquations logarithmiques
La résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques repose sur la bijectivité et la croissance de ln.
Méthodes clés.
• Équation $\ln(A) = \ln(B)$ : si $A > 0$ et $B > 0$, alors $A = B$ (ln est injective).
• Équation $\ln(A) = k$ : équivalent à $A = e^k$ (si $A > 0$).
• Inéquation $\ln(A) \leq \ln(B)$ : si $A > 0$ et $B > 0$, équivalent à $A \leq B$ (ln croissante).
• Inéquation $\ln(A) \leq k$ : équivalent à $A \leq e^k$ (si $A > 0$).
• Équation $\ln(A) = \ln(B)$ : si $A > 0$ et $B > 0$, alors $A = B$ (ln est injective).
• Équation $\ln(A) = k$ : équivalent à $A = e^k$ (si $A > 0$).
• Inéquation $\ln(A) \leq \ln(B)$ : si $A > 0$ et $B > 0$, équivalent à $A \leq B$ (ln croissante).
• Inéquation $\ln(A) \leq k$ : équivalent à $A \leq e^k$ (si $A > 0$).
Attention ! Toujours résoudre en imposant les conditions d'existence : l'argument doit être strictement positif. Une solution qui rend l'argument négatif ou nul doit être écartée.
Exemple 1. Résoudre $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)$ dans $\mathbb{R}$.
Condition d'existence : $2x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0$, soit $x > \dfrac{1}{2}$ et $x > -3$, donc $x > \dfrac{1}{2}$.
$\ln(2x-1) = \ln(x+3) \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 3 \Leftrightarrow x = 4$.
$4 > \dfrac{1}{2}$ ✓ Donc la solution est $x = 4$.
Condition d'existence : $2x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0$, soit $x > \dfrac{1}{2}$ et $x > -3$, donc $x > \dfrac{1}{2}$.
$\ln(2x-1) = \ln(x+3) \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 3 \Leftrightarrow x = 4$.
$4 > \dfrac{1}{2}$ ✓ Donc la solution est $x = 4$.
Exemple 2. Résoudre $\ln(x) \leq 2$ dans $\mathbb{R}$.
Condition d'existence : $x > 0$.
$\ln(x) \leq 2 \Leftrightarrow x \leq e^2$. En tenant compte de l'existence : $0 < x \leq e^2$, soit $x \in ]0\,;\,e^2]$.
Condition d'existence : $x > 0$.
$\ln(x) \leq 2 \Leftrightarrow x \leq e^2$. En tenant compte de l'existence : $0 < x \leq e^2$, soit $x \in ]0\,;\,e^2]$.
Exemple 3. Résoudre $\ln(x)^2 - \ln(x) - 2 = 0$ (équation bicarrée en $\ln x$).
On pose $X = \ln(x)$, l'équation devient $X^2 - X - 2 = 0$, soit $(X-2)(X+1) = 0$.
Donc $X = 2$ ou $X = -1$, c'est-à-dire $\ln(x) = 2$ ou $\ln(x) = -1$, soit $x = e^2$ ou $x = e^{-1}$.
On pose $X = \ln(x)$, l'équation devient $X^2 - X - 2 = 0$, soit $(X-2)(X+1) = 0$.
Donc $X = 2$ ou $X = -1$, c'est-à-dire $\ln(x) = 2$ ou $\ln(x) = -1$, soit $x = e^2$ ou $x = e^{-1}$.
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Étude de fonctions faisant intervenir ln
L'étude complète d'une fonction faisant intervenir ln suit le même plan qu'au lycée, en utilisant les outils spécifiques à ln.
Plan d'étude type.
- Domaine de définition : résoudre $\text{argument} > 0$.
- Dérivée : utiliser $(\ln u)' = u'/u$.
- Signe de la dérivée → variations.
- Limites aux bornes (utiliser les croissances comparées si besoin).
- Tableau de variations puis tracé de la courbe.
Exemple complet. Étudier $f(x) = x - \ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Dérivée : $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$
Signe de $f'$ : $x > 0$ donc le signe de $f'$ est celui de $x - 1$ :
• $f'(x) < 0$ si $0 < x < 1$ (décroissante)
• $f'(x) = 0$ si $x = 1$ (minimum)
• $f'(x) > 0$ si $x > 1$ (croissante)
Limites :
• $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car $x \gg \ln x$)
Minimum : $f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ (minimum global de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$).
Dérivée : $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$
Signe de $f'$ : $x > 0$ donc le signe de $f'$ est celui de $x - 1$ :
• $f'(x) < 0$ si $0 < x < 1$ (décroissante)
• $f'(x) = 0$ si $x = 1$ (minimum)
• $f'(x) > 0$ si $x > 1$ (croissante)
Limites :
• $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car $x \gg \ln x$)
Minimum : $f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ (minimum global de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$).
Astuce — inégalité classique. L'étude de $f(x) = x - \ln(x)$ montre que $f(x) \geq f(1) = 1$, soit $\ln(x) \leq x - 1$ pour tout $x > 0$. C'est une inégalité fondamentale utilisée fréquemment en terminale et en prépa.
À retenir
- $\ln$ est défini sur $]0\,;\,+\infty[$, dérivable, strictement croissante et concave.
- Propriétés : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln(a/b)=\ln a - \ln b$, $\ln(a^n)=n\ln a$.
- Dérivée : $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ et $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ (avec $u>0$).
- Valeurs clés : $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$, $\ln(e^k)=k$, $e^{\ln a}=a$.
- Limites : $\lim_{0^+}\ln=-\infty$, $\lim_{+\infty}\ln=+\infty$. Croissances comparées : $\frac{\ln x}{x^n}\to 0$ et $x^n\ln x\to 0$.
- Résolution : $\ln(A)=\ln(B)\Leftrightarrow A=B$ (sous réserve d'existence).
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