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Fonction logarithme népérien

Q: Quelle est la dérivée de ln x et de ln(u) ?

La dérivée de ln x est 1/x sur ]0 ; +∞[ : ln est strictement croissante, de −∞ en 0 à +∞ en +∞. Si u est dérivable et strictement positive, la dérivée de ln(u) est u′/u, qui a le signe de u′.

Q: Que disent les croissances comparées pour le logarithme ?

En +∞, (ln x)/xⁿ tend vers 0 ; en 0, xⁿ ln x tend vers 0 (n entier, n ≥ 1). La puissance de x l’emporte sur le logarithme : on factorise par la plus grande puissance de x pour lever une forme indéterminée.

La fonction ln, réciproque de l’exponentielle : propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée, variations et limites, croissances comparées, fonctions ln(u).

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de Terminale sur la fonction logarithme népérien suit six parties : ln réciproque de l’exponentielle, propriétés algébriques, équations et inéquations avec ln et exp (dont les seuils de suites géométriques), dérivée, variations et limites de ln, croissances comparées, fonctions ln(u). Les démonstrations de la dérivée de ln et de la limite de x ln x en 0 y sont rédigées.

Le logarithme, réciproque de l’exponentielle

Ce qu’il faut savoir

Définition. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $ℝ$ , à valeurs dans $] 0; + \infty [$ . Pour tout réel $k > 0$ , l’équation $e^{x} = k$ admet donc une unique solution, notée $\ln k$ . La fonction $x \mapsto \ln x$ , définie sur $] 0; + \infty [$ , est la fonction logarithme népérien.

Conséquences immédiates. $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$ ; pour tout $x > 0$ , $e^{\ln x} = x$ ; pour tout réel $x$ , $\ln (e^{x}) = x$ .

L’équivalence clé. Pour $a > 0$ et $b$ réel : $\ln a = b ⟺ a = e^{b}$ . Ainsi $e^{x} = k ⟺ x = \ln k$ (si $k > 0$ ; si $k ⩽ 0$ , pas de solution) et $\ln x = k ⟺ x = e^{k}$ .

Sens de variation et signe. ln est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ . Comme $\ln 1 = 0$ : $\ln x < 0$ si $0 < x < 1$ , $\ln x > 0$ si $x > 1$ .

Courbes. Dans un repère orthonormé, les courbes de $\exp$ et de $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$ : le point $(a; b)$ est sur la courbe de ln si et seulement si $(b; a)$ est sur celle de exp. On dit que ln est la fonction réciproque de exp.

Exemples

Simplifier. $\ln (e^{7}) = 7$ ; $e^{\ln 11} = 11$ ; $\ln (e^{- 2, 5}) = - 2, 5$ .

Résoudre $e^{x} = k$ . $e^{x} = 30 ⟺ x = \ln 30 \approx 3, 40$ . En revanche, $e^{x} = - 4$ n’a aucune solution : une exponentielle est toujours strictement positive.

Résoudre $\ln x = k$ . $\ln x = - 1 ⟺ x = e^{- 1} \approx 0, 37$ (et $e^{- 1} > 0$ , donc la solution est bien dans $] 0; + \infty [$ ).

Démonstration : ln est strictement croissante. Soient $0 < a < b$ . Si l’on avait $\ln a ⩾ \ln b$ , la fonction exp étant croissante, on aurait $e^{\ln a} ⩾ e^{\ln b}$ , c’est-à-dire $a ⩾ b$ : c’est faux. Donc $\ln a < \ln b$ .

Courbes symétriques. Le point $M (4; \ln 4)$ est sur la courbe de ln. Son symétrique par rapport à $y = x$ est $N (\ln 4; 4)$ , et $N$ est sur la courbe de exp car $e^{\ln 4} = 4$ .

Réflexe — Pour « faire tomber » un ln, j’applique exp aux deux membres ; pour faire tomber une exponentielle, j’applique ln. Avant d’écrire $\ln k$ , je vérifie que $k > 0$ .

Attention — $\ln 0$ et $\ln (- 3)$ n’existent pas : ln n’est définie que sur $] 0; + \infty [$ . Et $\ln x$ n’est pas un produit « $\ln \times x$ » : c’est l’image de $x$ par la fonction ln.

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Propriétés algébriques du logarithme

Ce qu’il faut savoir

Relation fonctionnelle. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln (a b) = \ln a + \ln b$ . Le logarithme transforme un produit en somme.

Conséquences ( $a > 0$ , $b > 0$ , $n$ entier relatif) :

Formule	Exemple
$\ln \frac{1}{b} = - \ln b$	$\ln 0, 25 = \ln \frac{1}{4} = - \ln 4$
$\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$	$\ln \frac{7}{2} = \ln 7 - \ln 2$
$\ln (a^{n}) = n \ln a$	$\ln 32 = \ln (2^{5}) = 5 \ln 2$
$\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a$	$\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2}$

Exemples

Démonstration de $\ln (a b) = \ln a + \ln b$ . D’une part $e^{\ln (a b)} = a b$ ; d’autre part $e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b}$ $= a b$ . Les réels $\ln (a b)$ et $\ln a + \ln b$ ont la même image par exp. Or exp est strictement croissante, donc elle ne prend jamais deux fois la même valeur : $\ln (a b) = \ln a + \ln b$ .

Démonstration des conséquences. $\ln b + \ln \frac{1}{b} = \ln (b \times \frac{1}{b}) = \ln 1$ $= 0$ , d’où $\ln \frac{1}{b} = - \ln b$ . Puis $\ln \frac{a}{b} = \ln (a \times \frac{1}{b}) = \ln a - \ln b$ . Pour $n \in ℕ$ , $\ln (a^{n}) = n \ln a$ se prouve par récurrence (hérédité : $\ln (a^{n + 1}) = \ln (a^{n}) + \ln a$ ), puis on passe aux exposants négatifs avec $\ln \frac{1}{b}$ . Enfin $2 \ln \sqrt{a} = \ln ({\sqrt{a}}^{2}) = \ln a$ .

Décomposer. $72 = 2^{3} \times 3^{2}$ , donc $\ln 72 = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$ . Et $\ln \frac{\sqrt{e}}{e^{2}} = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{3}{2}$ .

Regrouper. $A = \ln 18 - 2 \ln 3$ $= \ln 18 - \ln 9 = \ln \frac{18}{9} = \ln 2$ . $B$ $= \ln (\sqrt{5} - 1) + \ln (\sqrt{5} + 1)$ : les deux nombres sont strictement positifs ( $\sqrt{5} > 1$ ), donc $B = \ln ((\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1))$ $= \ln (5 - 1) = \ln 4 = 2 \ln 2$ .

Réflexe — Pour développer, je décompose le nombre en produit de facteurs premiers ; pour simplifier, je regroupe tout en un seul ln en lisant les formules de droite à gauche.

Attention — Il n’existe aucune formule pour $\ln (a + b)$ : $\ln (2 + 3) = \ln 5$ , qui n’est ni $\ln 2 + \ln 3 = \ln 6$ , ni $\ln 2 \times \ln 3$ . De même $(\ln a)^{2} \neq \ln (a^{2})$ , et $\frac{\ln a}{\ln b} \neq \ln \frac{a}{b}$ . Les formules exigent des nombres strictement positifs.

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Équations et inéquations avec ln et exp

Ce qu’il faut savoir

Équivalences (ln et exp sont strictement croissantes). Pour $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln a = \ln b ⟺ a = b$ et $\ln a < \ln b ⟺ a < b$ . Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$ et $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ .

Conséquences : $\ln x < k ⟺ 0 < x < e^{k}$ ; $\ln x > k ⟺ x > e^{k}$ ; pour $k > 0$ , $e^{x} < k ⟺ x < \ln k$ .

Méthode pour une équation (ou inéquation) avec des ln. 1. Ensemble de définition : chaque argument de ln doit être strictement positif. 2. Regrouper en un seul ln de chaque côté. 3. Appliquer l’équivalence. 4. Ne garder que les solutions de l’ensemble de définition.

Seuil d’une suite géométrique. Pour $q > 0$ et $a > 0$ : $q^{n} < a ⟺ n \ln q < \ln a$ . On divise ensuite par $\ln q$ : si $q > 1$ , $\ln q > 0$ et le sens est conservé ; si $0 < q < 1$ , $\ln q < 0$ et le sens change.

Exemples

Équation. Résoudre $\ln (x + 3) + \ln (x - 1) = \ln 5$ . Ensemble de définition : $x + 3 > 0$ et $x - 1 > 0$ , soit $x > 1$ . Pour $x > 1$ , l’équation équivaut à $\ln ((x + 3) (x - 1)) = \ln 5$ , soit $(x + 3) (x - 1) = 5$ , c’est-à-dire $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ . $Δ = 4 + 32 = 36$ , d’où $x = \frac{- 2 + 6}{2} = 2$ ou $x = \frac{- 2 - 6}{2} = - 4$ . Seul $2 > 1$ convient : $𝒮 = {2}$ .

Inéquation. Résoudre $\ln (3 - x) ⩽ \ln (2 x)$ . Il faut $3 - x > 0$ et $2 x > 0$ , soit $0 < x < 3$ . Sur cet intervalle, ln étant strictement croissante : $3 - x ⩽ 2 x ⟺ x ⩾ 1$ . Donc $𝒮 = [1; 3 [$ .

Avec exp. $e^{2 x - 1} > 4 ⟺ 2 x - 1 > \ln 4$ $⟺ x > \frac{1 + \ln 4}{2} = \frac{1}{2} + \ln 2$ (car $\ln 4 = 2 \ln 2$ ). $𝒮 =] \frac{1}{2} + \ln 2; + \infty [$ , avec $\frac{1}{2} + \ln 2 \approx 1, 19$ .

Changement de variable. $e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0$ . On pose $X = e^{x}$ (donc $X > 0$ et $e^{2 x} = X^{2}$ ) : $X^{2} - 5 X + 6 = 0$ , de racines $X = 2$ et $X = 3$ , toutes deux positives. Donc $e^{x} = 2$ ou $e^{x} = 3$ : $𝒮 = {\ln 2; \ln 3}$ .

Seuil. Plus petit entier $n$ tel que $0, 85^{n} < 0, 02$ : $n \ln 0, 85 < \ln 0, 02$ $⟺ n > \frac{\ln 0, 02}{\ln 0, 85}$ , le sens change car $\ln 0, 85 < 0$ . Or $\frac{\ln 0, 02}{\ln 0, 85} \approx 24, 07$ : le plus petit entier est $n = 25$ . Dans l’autre sens, $1, 03^{n} ⩾ 2$ $⟺ n ⩾ \frac{\ln 2}{\ln 1, 03} \approx 23, 4$ (car $\ln 1, 03 > 0$ ) : une quantité qui augmente de $3 %$ par an double en $24$ ans.

Réflexe — Je commence toujours par l’ensemble de définition. Pour isoler une inconnue placée en exposant, j’applique ln aux deux membres (ils doivent être strictement positifs), puis je divise par $\ln q$ en regardant son signe.

Attention — Une solution trouvée en fin de calcul peut ne pas convenir : $- 4$ vérifie $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ , mais $\ln (- 4 + 3)$ n’existe pas. Et diviser par $\ln 0, 85 < 0$ sans changer le sens de l’inégalité donne un résultat faux.

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Dérivée, variations et limites de ln

Ce qu’il faut savoir

Dérivée (démonstration exigible, la dérivabilité étant admise). ln est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et $\ln' (x) = \frac{1}{x}$ .

Limites. $lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ et $lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty$ : l’axe des ordonnées (droite $x = 0$ ) est asymptote verticale à la courbe.

$x$	$0$		$1$		$e$		$+ \infty$
$\ln' (x)$	\|\|	$+$		$+$		$+$
$\ln x$	$- \infty$	↗	$0$	↗	$1$	↗	$+ \infty$

Tangentes remarquables. Au point d’abscisse $1$ : $y = x - 1$ ; au point d’abscisse $e$ : $y = \frac{x}{e}$ (elle passe par l’origine). Comme $\ln ″ (x) = - \frac{1}{x^{2}} < 0$ , ln est concave : sa courbe est sous ses tangentes, d’où $\ln x ⩽ x - 1$ pour tout $x > 0$ .

Exemples

Démonstration de $\ln' (x) = \frac{1}{x}$ . Pour tout $x > 0$ , $e^{\ln x} = x$ . On dérive les deux membres ; à gauche, la dérivée de $e^{u}$ est $u' e^{u}$ : $\ln' (x) \times e^{\ln x} = 1$ , soit $\ln' (x) \times x = 1$ , d’où $\ln' (x) = \frac{1}{x}$ .

Les limites. En $+ \infty$ : soit $A$ un réel ; pour $x > e^{A}$ , ln étant croissante, $\ln x > \ln (e^{A}) = A$ . Donc $\ln x$ dépasse tout réel $A$ dès que $x > e^{A}$ : $lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ . En $0^{+}$ : on pose $X = \frac{1}{x}$ , qui tend vers $+ \infty$ ; $\ln x = - \ln X$ tend vers $- \infty$ .

Tangente en $e$ . $\ln e = 1$ et $\ln' (e) = \frac{1}{e}$ : $y = \frac{1}{e} (x - e) + 1 = \frac{x}{e}$ .

Une inégalité par l’étude d’une fonction. Soit $g (x) = x - 1 - \ln x$ sur $] 0; + \infty [$ . $g' (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ , du signe de $x - 1$ (car $x > 0$ ) : $g$ décroît sur $] 0; 1]$ , croît sur $[1; + \infty [$ , et son minimum est $g (1) = 0$ . Donc $g (x) ⩾ 0$ , c’est-à-dire $\ln x ⩽ x - 1$ , pour tout $x > 0$ .

Étudier une fonction avec ln. $f (x) = x - 3 \ln x$ sur $] 0; + \infty [$ . $f' (x) = 1 - \frac{3}{x} = \frac{x - 3}{x}$ , du signe de $x - 3$ . $f$ décroît sur $] 0; 3]$ et croît sur $[3; + \infty [$ ; son minimum vaut $f (3) = 3 - 3 \ln 3 \approx - 0, 30$ . En $0^{+}$ : $- 3 \ln x \to + \infty$ , donc $f (x) \to + \infty$ (sa limite en $+ \infty$ est calculée à la partie suivante).

Réflexe — Pour étudier une fonction avec ln, j’écris $f' (x)$ sous la forme d’un seul quotient. Sur $] 0; + \infty [$ , le dénominateur $x$ est positif : le signe de $f' (x)$ est celui du numérateur.

Attention — La dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$ , pas $\frac{1}{\ln x}$ . Et la limite en $0$ ne se prend qu’à droite ( $x \to 0^{+}$ ) : ln n’est pas définie pour $x ⩽ 0$ .

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Croissances comparées

Ce qu’il faut savoir

Croissances comparées. $lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et $lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$ (démonstration exigible pour cette dernière).

Plus généralement, pour tout entier $n ⩾ 1$ : $lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x^{n}} = 0$ et $lim_{x \to 0^{+}} x^{n} \ln x = 0$ . En $+ \infty$ comme en $0$ , la puissance de $x$ « l’emporte » sur le logarithme.

Ces résultats lèvent les formes indéterminées « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\infty - \infty$ » et « $0 \times \infty$ » où figure $\ln x$ .

Exemples

Démonstration : $lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$ . On pose $X = \ln x$ , donc $x = e^{X}$ . Quand $x \to 0^{+}$ , $X \to - \infty$ , et $x \ln x = e^{X} \times X = X e^{X}$ . Or $lim_{X \to - \infty} X e^{X} = 0$ (croissance comparée de l’exponentielle). Par composition, $lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$ .

Démonstration : $lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ . Avec $X = \ln x$ : quand $x \to + \infty$ , $X \to + \infty$ et $\frac{\ln x}{x} = \frac{X}{e^{X}}$ . Or $lim_{X \to + \infty} \frac{e^{X}}{X} = + \infty$ , donc $\frac{X}{e^{X}} \to 0$ . Ensuite, $\frac{\ln x}{x^{n}} = \frac{\ln x}{x} \times \frac{1}{x^{n - 1}}$ tend aussi vers $0$ .

Factoriser par le terme dominant. Retour à $f (x) = x - 3 \ln x$ : en $+ \infty$ , c’est la forme « $\infty - \infty$ ». Pour $x > 0$ , $f (x) = x (1 - 3 \frac{\ln x}{x})$ . Par croissance comparée, la parenthèse tend vers $1$ ; par produit, $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

Quotient. $\frac{2 \ln x + 5}{x} = 2 \frac{\ln x}{x} + \frac{5}{x}$ tend vers $0 + 0 = 0$ en $+ \infty$ .

Changement de variable. En $+ \infty$ , $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ : on pose $X = \sqrt{x}$ , qui tend vers $+ \infty$ ; $\ln x = \ln (X^{2}) = 2 \ln X$ , donc $\frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 2 \frac{\ln X}{X} \to 0$ .

Pas de forme indéterminée. En $0^{+}$ , $\frac{\ln x}{x}$ : le numérateur tend vers $- \infty$ et le dénominateur vers $0^{+}$ ; par quotient, la limite est $- \infty$ .

Réflexe — Devant une forme indéterminée avec $\ln x$ , je factorise par la plus grande puissance de $x$ pour faire apparaître $\frac{\ln x}{x^{n}}$ (en $+ \infty$ ) ou $x^{n} \ln x$ (en $0^{+}$ ), puis je cite « par croissance comparée ».

Attention — Je vérifie d’abord qu’il y a vraiment une forme indéterminée : $\frac{\ln x}{x}$ tend vers $0$ en $+ \infty$ , mais vers $- \infty$ en $0^{+}$ . Et « ln est négligeable devant $x$ » ne veut pas dire que $\ln x - x$ tend vers $0$ : il tend vers $- \infty$ .

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Fonctions ln(u)

Ce qu’il faut savoir

Dérivée de $\ln u$ . Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et $(\ln u)^{'} = \frac{u'}{u}$ . Cas particulier : $(\ln (a x + b))^{'} = \frac{a}{a x + b}$ .

Variations. Comme $u > 0$ , $(\ln u)^{'}$ a le signe de $u'$ : $\ln u$ a les mêmes variations que $u$ .

Limites. Par composition : si $u (x) \to + \infty$ , $\ln u (x) \to + \infty$ ; si $u (x) \to 0^{+}$ , $\ln u (x) \to - \infty$ ; si $u (x) \to ℓ > 0$ , $\ln u (x) \to \ln ℓ$ .

Exemples

D’où vient la formule. $\ln u$ est la composée $\ln \circ u$ ; la dérivée d’une composée $g \circ u$ est $u' \times g' (u)$ . Avec $g = \ln$ et $g' (u) = \frac{1}{u}$ : $(\ln u)^{'} = u' \times \frac{1}{u} = \frac{u'}{u}$ .

Étude complète. $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 5)$ . Ensemble de définition : $x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1 ⩾ 1$ $> 0$ pour tout $x$ , donc $f$ est définie sur $ℝ$ . $f' (x) = \frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5}$ , du signe de $2 x - 4$ : $f$ décroît sur $] - \infty; 2]$ et croît sur $[2; + \infty [$ , avec un minimum $f (2) = \ln 1 = 0$ . En $\pm \infty$ , $x^{2} - 4 x + 5 \to + \infty$ , donc $f (x) \to + \infty$ .

Limite à une borne ouverte. $g (x) = \ln (5 - x)$ sur $] - \infty; 5 [$ . $g' (x) = \frac{- 1}{5 - x} < 0$ : $g$ est strictement décroissante. Quand $x \to 5^{-}$ , $5 - x \to 0^{+}$ donc $g (x) \to - \infty$ ; quand $x \to - \infty$ , $5 - x \to + \infty$ donc $g (x) \to + \infty$ .

Avec une exponentielle. $h (x) = \ln (2 + e^{- x})$ sur $ℝ$ ( $2 + e^{- x} > 0$ ). $h' (x) = \frac{- e^{- x}}{2 + e^{- x}}$ $< 0$ . En $+ \infty$ , $e^{- x} \to 0$ donc $h (x) \to \ln 2$ : la droite $y = \ln 2$ est asymptote horizontale.

Réflexe — Devant $\ln (u (x))$ : 1. je résous $u (x) > 0$ pour l’ensemble de définition ; 2. je dérive avec $\frac{u'}{u}$ ; 3. le signe de $f'$ est celui de $u'$ ; 4. je calcule les limites par composition.

Attention — $(\ln (3 x + 2))^{'} = \frac{3}{3 x + 2}$ , pas $\frac{1}{3 x + 2}$ : on n’oublie pas $u'$ . Et $u$ doit être strictement positive : $u (x) ⩾ 0$ ne suffit pas, car $\ln 0$ n’existe pas.

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Pour aller plus loin

La fonction exponentielle. Les propriétés de exp utilisées ici (relation $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ , stricte croissance) sont celles vues en Première ; la dérivée $u' e^{u}$ est rappelée dans le chapitre Dérivation avancée, et la limite $\frac{e^{x}}{x} \to + \infty$ dans Limites de fonctions.

Concavité de ln. Le lien entre le signe de la dérivée seconde, la position de la courbe par rapport à ses tangentes et les inégalités comme $\ln x ⩽ x - 1$ est traité dans le chapitre Convexité.

Primitives. Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ est $\ln x$ , et une primitive de $\frac{u'}{u}$ (avec $u > 0$ ) est $\ln u$ : voir le chapitre Primitives.

Équation $f (x) = k$ sans solution exacte. Quand on ne sait pas résoudre une équation comme $\ln x = 3 - x$ autrement qu’en devinant une solution, on prouve l’existence et l’unicité avec le théorème des valeurs intermédiaires : chapitre Continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

Algorithme de Briggs. Pour calculer $\ln a$ (avec $a > 0$ ), on prend des racines carrées successives : après $k$ racines, $b = a^{1 / 2^{k}}$ est très proche de $1$ , et $\ln a = 2^{k} \ln b$ . Or, près de $1$ , $\ln b \approx b - 1$ (tangente à la courbe de ln au point d’abscisse $1$ ). D’où $\ln a \approx 2^{k} (b - 1)$ .

def briggs(a, p):
    k = 0
    while abs(a - 1) > p:
        a = a ** 0.5
        k = k + 1
    return 2**k * (a - 1)

L’appel briggs(2, 0.000001) fait $20$ racines carrées et renvoie environ $0, 693147$ , valeur de $\ln 2$ arrondie au millionième.

À retenir

Pour $a > 0$ et $b$ réel : $\ln a = b ⟺ a = e^{b}$ ; $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ , $\ln (e^{x}) = x$ pour tout réel $x$ ; $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ .
$\ln (a b) = \ln a + \ln b$ , $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ , $\ln (a^{n}) = n \ln a$ , $\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a$ ( $a > 0$ , $b > 0$ ) ; aucune formule pour $\ln (a + b)$ .
Équation ou inéquation : ensemble de définition d’abord ; $\ln a < \ln b ⟺ a < b$ ; pour un seuil $q^{n} < a$ , diviser par $\ln q$ change le sens si $0 < q < 1$ .
$\ln' (x) = \frac{1}{x}$ : ln est strictement croissante, de $- \infty$ (en $0^{+}$ ) à $+ \infty$ ; tangente $y = x - 1$ en $1$ et $\ln x ⩽ x - 1$ .
Croissances comparées : $\frac{\ln x}{x^{n}} \to 0$ en $+ \infty$ et $x^{n} \ln x \to 0$ en $0^{+}$ .
$(\ln u)^{'} = \frac{u'}{u}$ si $u > 0$ : $\ln u$ a les variations de $u$ .

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la fonction logarithme népérien ?

C’est la fonction réciproque de l’exponentielle : pour tout réel k > 0, ln k est l’unique solution de l’équation eˣ = k. Elle est définie sur ]0 ; +∞[, avec ln 1 = 0 et ln e = 1, et sa courbe est la symétrique de celle de exp par rapport à la droite y = x.

Quelles sont les propriétés algébriques du logarithme ?

Pour a > 0 et b > 0 : ln(ab) = ln a + ln b, ln(1/b) = −ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a et ln √a = ½ ln a. Il n’existe aucune formule pour ln(a + b).

Comment résoudre une équation ou une inéquation avec des ln ?

On cherche d’abord l’ensemble de définition (chaque argument de ln strictement positif), on regroupe en un seul ln de chaque côté, on applique ln a = ln b ⟺ a = b (ou ln a < ln b ⟺ a < b), puis on ne garde que les solutions de l’ensemble de définition. Pour un seuil qⁿ < a, on divise par ln q en changeant le sens si 0 < q < 1.

Quelle est la dérivée de ln x et de ln(u) ?

La dérivée de ln x est 1/x sur ]0 ; +∞[ : ln est strictement croissante, de −∞ en 0 à +∞ en +∞. Si u est dérivable et strictement positive, la dérivée de ln(u) est u′/u, qui a le signe de u′.

Que disent les croissances comparées pour le logarithme ?

En +∞, (ln x)/xⁿ tend vers 0 ; en 0, xⁿ ln x tend vers 0 (n entier, n ≥ 1). La puissance de x l’emporte sur le logarithme : on factorise par la plus grande puissance de x pour lever une forme indéterminée.

Bloqué sur ce chapitre ?

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