Devoir surveillé : Dérivation des fonctions composées et convexité

1. a)$f=u^4$ avec $u(x)=3x+1$, $u^{\prime }(x)=3$ : $f^{\prime }(x)=4\times 3\times (3x+1{)}^3=12(3x+1{)}^3$. (1 pt) (1)
2. b)$g=\sqrt{u}$ avec $u(x)=2x+6>0$ sur $]-3;+\infty [$ et $u^{\prime }(x)=2$ : $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2x+6}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+6}}}$. (1 pt) (1)
3. c)$h=e^u$ avec $u(x)=-2x+5$, $u^{\prime }(x)=-2$ : $h^{\prime }(x)=-2e^{-2x+5}$. (1 pt) (1)
4. d)$k=e^u$ avec $u(x)=x^2$, $u^{\prime }(x)=2x$ : $k^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2}$. (1 pt) (1)
5. e)Fonction carré : dérivée seconde $2>0$, convexe sur $ℝ$ (0,5 pt). Racine carrée : concave sur $[0;+\infty [$ ; exponentielle : $(e^x{)}^{″}=e^x>0$, convexe sur $ℝ$ (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — Oublier le facteur $u^{\prime }$ : la dérivée de $e^{x^2}$ n'est pas $e^{x^2}$, et celle de $(3x+1{)}^4$ n'est pas $4(3x+1{)}^3$.

1. a)$(2x-1{)}^3$ est de la forme $u^3$ avec $u^{\prime }(x)=2$ : sa dérivée est $3\times 2\times (2x-1{)}^2$. Donc $f^{\prime }(x)=6(2x-1{)}^2-6$. (1 pt) (1)
2. b)La dérivée de $6(2x-1{)}^2$ est $6\times 2\times 2\times (2x-1)=24(2x-1)$ ; la constante $-6$ a pour dérivée $0$. Donc $f^{″}(x)=24(2x-1)$. (1 pt) (1)
3. c)$f^{″}(x)⩽0⟺x⩽\frac{1}{2}$ : $f$ est concave sur $]-\infty ;\frac{1}{2}]$ (0,5 pt) et convexe sur $[\frac{1}{2};+\infty [$ (0,5 pt). (1)
4. d)$f^{″}$ s'annule en $\frac{1}{2}$ en changeant de signe, donc ${𝒞}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $\frac{1}{2}$ (0,5 pt). $f\left(\frac{1}{2}\right)=0^3-3=-3$ : $A(\frac{1}{2};-3)$ (0,5 pt). (1)
5. e)$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0-6=-6$, donc $T:y=-6(x-\frac{1}{2})-3$, soit $y=-6x$ (0,5 pt). $f(x)+6x=(2x-1{)}^3$, positif si $x⩾\frac{1}{2}$ et négatif si $x⩽\frac{1}{2}$ : ${𝒞}_f$ est au-dessous de $T$ sur $]-\infty ;\frac{1}{2}]$ et au-dessus sur $[\frac{1}{2};+\infty [$ ; elle traverse sa tangente en $A$, ce qui est cohérent avec la concavité puis la convexité (0,5 pt). (1)

Méthode — Pour un point d'inflexion, il ne suffit pas que $f^{″}$ s'annule : il faut qu'elle change de signe. Le tableau de signes de $f^{″}$ est donc indispensable.

1. a)$u(x)=x^2-4x$ est dérivable sur $ℝ$ (polynôme), donc $g=e^u$ aussi (0,5 pt), et $g^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)e^{u(x)}=(2x-4)e^{x^2-4x}$ (0,5 pt). (1,25)
2. b)$e^{x^2-4x}>0$, donc $g^{\prime }(x)$ a le signe de $2x-4$ : négatif sur $]-\infty ;2[$, positif sur $]2;+\infty [$ (0,5 pt). $g$ est décroissante sur $]-\infty ;2]$, croissante sur $[2;+\infty [$ (0,5 pt). Minimum : $g(2)=e^{4-8}=e^{-4}$ (0,5 pt). (1,25)
3. c)$g^{\prime }=v\times e^u$ avec $v(x)=2x-4$, $v^{\prime }(x)=2$ et $(e^u{)}^{\prime }=(2x-4)e^u$ (0,5 pt). Donc $g^{″}(x)=2e^{x^2-4x}+(2x-4)(2x-4)e^{x^2-4x}$ (0,5 pt) $=((2x-4{)}^2+2)e^{x^2-4x}$ (0,5 pt). (1,25)
4. d)$(2x-4{)}^2+2⩾2>0$ et l'exponentielle est strictement positive : $g^{″}(x)>0$, $g$ est convexe sur $ℝ$ (0,5 pt). Tangente en $0$ : $g(0)=1$, $g^{\prime }(0)=-4$, d'où $y=-4x+1$ ; une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes, donc $e^{x^2-4x}⩾1-4x$ pour tout réel $x$ (0,5 pt). (1,25)

Astuce — Comme $e^u>0$, la dérivée $u^{\prime }{e}^u$ a toujours le signe de $u^{\prime }$ : les variations de $e^u$ sont celles de $u$.

1. a)Faux (0,5 pt) : avec $u(x)=x^2+1$, $u^{\prime }(x)=2x$, la dérivée est $3\times 2x\times (x^2+1{)}^2=6x(x^2+1{)}^2$ (0,5 pt). (1)
2. b)Vrai (0,5 pt) : sa dérivée est $-e^{-x}$ et sa dérivée seconde $e^{-x}>0$ sur $ℝ$ (0,5 pt). (1)
3. c)Faux (0,5 pt) : la dérivée seconde est $12x^2$, qui s'annule en $0$ mais reste positive : elle ne change pas de signe, la fonction est convexe sur $ℝ$ et il n'y a pas d'inflexion (0,5 pt). (1)
4. d)Vrai (0,5 pt) : l'exponentielle est convexe, donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$, d'équation $y=e^0(x-0)+e^0=x+1$ (0,5 pt). (1)
5. e)Vrai (0,5 pt) : c'est la caractérisation de la concavité d'une fonction dérivable : $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime }$ est décroissante sur $I$ (0,5 pt). (1)

Piège — $f^{″}(a)=0$ ne garantit pas un point d'inflexion : $x\mapsto x^4-2x$ a une dérivée seconde nulle en $0$ sans changement de signe.

1. a)$f_1=u^{-2}$ avec $u(x)=3x-2$, $u^{\prime }(x)=3$ : $f_1^{\prime }(x)=-2\times 3\times (3x-2{)}^{-3}=-{\displaystyle \frac{6}{(3x-2{)}^3}}$. (1 pt) (1)
2. b)$x^2+x+1$ a pour discriminant $1-4=-3<0$ : il est strictement positif sur $ℝ$, donc $f_2$ est définie et dérivable sur $ℝ$ (0,5 pt). $f_2^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}$ (0,5 pt). (1)
3. c)Produit : $f_3^{\prime }(x)=1\times e^{-3x}+x\times (-3e^{-3x})=(1-3x)e^{-3x}$. (1 pt) (1)

Astuce — Écrire ${\displaystyle \frac{1}{u^2}}=u^{-2}$ permet d'appliquer directement la formule $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$, valable aussi pour $n$ entier négatif.

1. a)$f=\sqrt{u}$ avec $u(x)=1+x$ : $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}=\frac{1}{2}(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}$ (0,5 pt). Alors $f^{″}(x)=\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{2})(1+x{)}^{-\frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4(1+x)\sqrt{1+x}}}$ (0,5 pt). (On peut aussi dériver ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{u}}}$ comme un inverse.) (0,8)
2. b)Pour $x>-1$, $(1+x)\sqrt{1+x}>0$, donc $f^{″}(x)<0$ : $f$ est concave sur $]-1;+\infty [$. (0,5 pt) (0,8)
3. c)$f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$ : tangente $y=1+\frac{x}{2}$ (0,5 pt). $f$ étant concave, $𝒞$ est au-dessous de ses tangentes : $\sqrt{1+x}⩽1+\frac{x}{2}$ pour tout $x>-1$ (0,5 pt). (0,8)
4. d)Coefficient directeur $\frac{2-1}{3-0}=\frac{1}{3}$, ordonnée à l'origine $1$ : $(AB):y=1+\frac{x}{3}$ (0,5 pt). $A$ et $B$ sont sur $𝒞$ ($\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$) ; $f$ concave sur $[0;3]$, donc $𝒞$ est au-dessus de la corde $[AB]$ : $\sqrt{1+x}⩾1+\frac{x}{3}$ sur $[0;3]$ (0,5 pt). (0,8)
5. e)Avec $x=0,03\in [0;3]$ : $1+0,01⩽\sqrt{1,03}⩽1+0,015$, soit $1,01⩽\sqrt{1,03}⩽1,015$ ; la calculatrice donne $\sqrt{1,03}\approx 1,0149$, cohérent. (0,5 pt) (0,8)

Méthode — Une fonction concave est au-dessous de ses tangentes et au-dessus de ses cordes : tangente et corde fournissent ensemble un encadrement.

1. a)La dérivée de $x\mapsto e^{-\frac{x}{2}}$ est $-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}$ (0,5 pt). Produit : $f^{\prime }(x)=e^{-\frac{x}{2}}+(x+2)(-\frac{1}{2})e^{-\frac{x}{2}}=(1-\frac{x}{2}-1)e^{-\frac{x}{2}}=-\frac{x}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}$ (0,5 pt). (1)
2. b)L'exponentielle est strictement positive, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $-x$ : $f^{\prime }>0$ sur $]-\infty ;0[$, $f^{\prime }<0$ sur $]0;+\infty [$ (0,5 pt). $f$ est croissante sur $]-\infty ;0]$, décroissante sur $[0;+\infty [$, maximum $f(0)=2$ (0,5 pt). (1)
3. c)$f^{\prime }(x)=-\frac{x}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}$ : $f^{″}(x)=-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}+(-\frac{x}{2})(-\frac{1}{2})e^{-\frac{x}{2}}=(\frac{x}{4}-\frac{1}{2})e^{-\frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{x-2}{4}}{e}^{-\frac{x}{2}}$ (1 pt). $f^{″}$ a le signe de $x-2$ : $f$ concave sur $]-\infty ;2]$, convexe sur $[2;+\infty [$ (0,5 pt). (1)
4. d)$f^{″}$ s'annule en changeant de signe uniquement en $2$ : un seul point d'inflexion, $I\left(2;\frac{4}{e}\right)$ car $f(2)=4e^{-1}$ (0,5 pt). $f^{\prime }(2)=-e^{-1}$, donc $T:y=-\frac{1}{e}(x-2)+\frac{4}{e}$, soit $y={\displaystyle \frac{6-x}{e}}$ (0,5 pt). (1)
5. e)Sur $]-\infty ;2]$, $f$ est concave : ${𝒞}_f$ est au-dessous de $T$ ; sur $[2;+\infty [$, $f$ est convexe : ${𝒞}_f$ est au-dessus de $T$. La courbe traverse sa tangente en $I$. (0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — Dériver $e^{-\frac{x}{2}}$ en $e^{-\frac{x}{2}}$ : le facteur $-\frac{1}{2}$ de $g(ax+b)$, avec $(g(ax+b){)}^{\prime }=a{g}^{\prime }(ax+b)$, est souvent oublié.

1. a)$C^{\prime }(t)=8e^{-\frac{t}{4}}+8t\times (-\frac{1}{4})e^{-\frac{t}{4}}$ (0,5 pt) $=(8-2t)e^{-\frac{t}{4}}$ (0,5 pt). (1)
2. b)$C^{\prime }(t)$ a le signe de $8-2t$ : $C$ croissante sur $[0;4]$, décroissante sur $[4;12]$ ; $C(0)=0$, $C(12)=96e^{-3}\approx 4,78$ (0,5 pt). Maximum au bout de $4$ h : $C(4)=32e^{-1}\approx 11,77$ mg/L (0,5 pt). (1)
3. c)$C^{″}(t)=-2e^{-\frac{t}{4}}+(8-2t)(-\frac{1}{4})e^{-\frac{t}{4}}$ (0,5 pt) $=(-2-2+\frac{t}{2})e^{-\frac{t}{4}}={\displaystyle \frac{t-8}{2}}{e}^{-\frac{t}{4}}$ (0,5 pt). (1)
4. d)$C^{″}$ a le signe de $t-8$ : $C$ concave sur $[0;8]$, convexe sur $[8;12]$ (0,5 pt). $C^{″}$ s'annule en changeant de signe en $8$ : point d'inflexion $\left(8;64e^{-2}\right)$, soit environ $(8;8,66)$ (0,5 pt). (1)
5. e)$C^{″}$ est la dérivée de $C^{\prime }$ : $C^{\prime }$ décroît sur $[0;8]$ et croît sur $[8;12]$, donc $C^{\prime }$ est minimale en $t=8$ (0,5 pt). $C^{\prime }(8)=-8e^{-2}\approx -1,08$ : c'est au bout de $8$ h que la concentration diminue le plus vite, d'environ $1,08$ mg/L par heure (0,5 pt). (1)

Méthode — Au point d'inflexion, $f^{\prime }$ atteint un extremum : en contexte, c'est l'instant où la grandeur varie le plus vite (hausse ou baisse).

1. a)$h^{\prime }(x)=2\times 2x\times (x^2-1)=4x^3-4x$ (0,5 pt) ; $h^{″}(x)=12x^2-4=4(3x^2-1)$, qui s'annule en $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, positive à l'extérieur des racines et négative entre elles (0,5 pt). $h^{″}$ change de signe en ces deux valeurs : deux points d'inflexion, $(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{4}{9})$ et $\left(\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{4}{9}\right)$ car ${(\frac{1}{3}-1)}^2=\frac{4}{9}$ (0,5 pt). (1,5)
2. b)${\phi }^{\prime }(x)=2e^{2x-1}$, ${\phi }^{″}(x)=4e^{2x-1}>0$ : $\phi$ est convexe sur $ℝ$ (0,5 pt). En $\frac{1}{2}$ : $\phi \left(\frac{1}{2}\right)=e^0=1$ et ${\phi }^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=2$, tangente $y=2(x-\frac{1}{2})+1=2x$ (0,5 pt). La courbe d'une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes : $e^{2x-1}⩾2x$ pour tout réel $x$ (0,5 pt). (1,5)

Astuce — Pour prouver $f(x)⩾ax+b$ avec $f$ convexe, cherche le point où la droite $y=ax+b$ est tangente à la courbe : l'inégalité devient immédiate.

1. a)$f=e^u$ avec $u(x)=\sqrt{x}$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ : $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}$. (1 pt) (1)
2. b)$g=\sqrt{u}$ avec $u(x)=e^{2x}+1>0$, $u^{\prime }(x)=2e^{2x}$ : $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2e^{2x}}{2\sqrt{e^{2x}+1}}}={\displaystyle \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}}$. (1 pt) (1)
3. c)$u(x)=\frac{x}{x+1}$, $u^{\prime }(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$ (0,5 pt). $h^{\prime }(x)=3u^{\prime }(x)u(x{)}^2=3\times \frac{1}{(x+1{)}^2}\times \frac{x^2}{(x+1{)}^2}={\displaystyle \frac{3x^2}{(x+1{)}^4}}$ (0,5 pt). (1)

Piège — Dans une composée à deux étages comme $e^{\sqrt{x}}$, on multiplie par la dérivée de l'étage intérieur seulement : ici $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, et pas $e^{\sqrt{x}}$ une seconde fois.

1. a)$g^{\prime }=f^{\prime }{e}^f$ (0,5 pt). En dérivant ce produit : $g^{″}=f^{″}{e}^f+f^{\prime }\times f^{\prime }{e}^f=(f^{″}+f^{\prime 2})e^f$ (0,5 pt). (1)
2. b)Si $f$ est convexe, $f^{″}⩾0$ ; comme $f^{\prime 2}⩾0$ et $e^f>0$, on a $g^{″}⩾0$ sur $I$ : $g$ est convexe. (0,5 pt) (1)
3. c)Avec $f(x)=\sqrt{x}$ : $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $f^{″}(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}<0$, donc $f$ est concave (0,5 pt). $f^{″}(x)+f^{\prime }(x{)}^2=\frac{1}{4x}-\frac{1}{4x\sqrt{x}}={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-1}{4x\sqrt{x}}}$ (0,5 pt), positif pour $x⩾1$ : d'après a), $(e^{\sqrt{x}}{)}^{″}⩾0$ sur $[1;+\infty [$, la fonction est convexe alors que $\sqrt{·}$ ne l'est pas (0,5 pt). (1)
4. d)$x\mapsto x^2$ est convexe, donc $G(x)=e^{x^2}$ est convexe sur $ℝ$ d'après b) (0,5 pt). $G(1)=e$, $G^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2}$, $G^{\prime }(1)=2e$ : tangente en $1$ d'équation $y=2e(x-1)+e=e(2x-1)$ ; la courbe est au-dessus, d'où $e^{x^2}⩾e(2x-1)$ (0,5 pt). (1)

Méthode — Pour réfuter une implication générale, un seul contre-exemple suffit, mais il faut le vérifier par un calcul complet, pas sur un dessin.

1. a)Posons $D(t)=1+e^{2-0,5t}$, $D^{\prime }(t)=-0,5e^{2-0,5t}$. $P=\frac{12}{D}$ donne $P^{\prime }(t)=-{\displaystyle \frac{12D^{\prime }(t)}{D(t{)}^2}}={\displaystyle \frac{6e^{2-0,5t}}{{(1+e^{2-0,5t})}^2}}>0$ : $P$ est croissante (0,5 pt). $D(t)>1$, donc $0<\frac{12}{D(t)}<12$ (0,5 pt). (1)
2. b)$12-P=\frac{12D-12}{D}=\frac{12e^{2-0,5t}}{D}$ (0,5 pt), donc $\frac{1}{24}P(12-P)=\frac{1}{24}\times \frac{12}{D}\times \frac{12e^{2-0,5t}}{D}=\frac{6e^{2-0,5t}}{D^2}=P^{\prime }(t)$ (0,5 pt). (1)
3. c)$P^{\prime }=\frac{1}{24}(12P-P^2)$, donc $P^{″}=\frac{1}{24}(12P^{\prime }-2P{P}^{\prime })={\displaystyle \frac{1}{12}}{P}^{\prime }(t)(6-P(t))$ (0,5 pt). Comme $P^{\prime }>0$, $P^{″}$ a le signe de $6-P$. Or $P(t)<6⟺D(t)>2⟺e^{2-0,5t}>1⟺2-0,5t>0⟺t<4$ (0,5 pt). $P$ est convexe sur $[0;4]$ et concave sur $[4;+\infty [$ (0,5 pt). (1)
4. d)$P^{″}$ change de signe en $4$ : $P^{\prime }$ est croissante sur $[0;4]$ puis décroissante, donc maximale en $t=4$ (0,5 pt). $P(4)=\frac{12}{2}=6$ et $P^{\prime }(4)=\frac{6\times 1}{2^2}=1,5$ : au bout de $4$ h, la culture compte $6000$ bactéries et croît le plus vite, à $1500$ bactéries par heure (0,5 pt). (1)
5. e)La tangente au point d'inflexion a pour équation $y=1,5(t-4)+6=1,5t$. Sur $[0;4]$, $P$ convexe : courbe au-dessus de la tangente, $P(t)⩾1,5t$ ; sur $[4;+\infty [$, $P$ concave : courbe au-dessous, $P(t)⩽1,5t$. (0,5 pt) (1)

Astuce — Exprimer $P^{\prime }$ en fonction de $P$ évite de redériver un quotient compliqué : $P^{″}$ s'obtient en dérivant la relation, puis son signe se lit sur $6-P$.

1. a)$f_a^{\prime }(x)=-2ax{e}^{-a{x}^2}$ (0,5 pt). ${f_a^{\prime }}^{\prime }(x)=-2a{e}^{-a{x}^2}+(-2ax)(-2ax)e^{-a{x}^2}=(4a^2{x}^2-2a)e^{-a{x}^2}=2a(2a{x}^2-1)e^{-a{x}^2}$ (0,5 pt). (1)
2. b)$2a>0$ et $e^{-a{x}^2}>0$ : ${f_a^{\prime }}^{\prime }$ a le signe de $2a{x}^2-1$, nul pour $x^2=\frac{1}{2a}$, soit $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2a}}$ (0,5 pt). $f_a$ est convexe sur $]-\infty ;-x_a]$ et sur $[x_a;+\infty [$, concave sur $[-x_a;x_a]$ ; ${f_a^{\prime }}^{\prime }$ change de signe en $\pm x_a$ : deux points d'inflexion (0,5 pt). (1)
3. c)$f_a(\pm x_a)=e^{-a\times \frac{1}{2a}}=e^{-\frac{1}{2}}$ (0,5 pt), indépendant de $a$ : tous les points d'inflexion sont sur la droite horizontale d'équation $y=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$ (0,5 pt). (1)
4. d)$f_a^{\prime }(x_a)=-2a\times \frac{1}{\sqrt{2a}}{e}^{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{2a}{e}^{-\frac{1}{2}}$ ; tangente : $y=e^{-\frac{1}{2}}-\sqrt{2a}{e}^{-\frac{1}{2}}(x-x_a)$ (0,5 pt). $y=0⟺\sqrt{2a}(x-x_a)=1⟺x-x_a=\frac{1}{\sqrt{2a}}=x_a⟺x=2x_a$ (0,5 pt). (1)

Piège — Avec un paramètre, garder $a$ littéral jusqu'au bout : une propriété vraie « quel que soit $a$ » se lit sur un résultat qui ne dépend plus de $a$.

1. a)Faux (0,5 pt). Contre-exemple : $f(x)=x^2$ et $g(x)=e^{-x}$ sont convexes, mais $g\circ f(x)=e^{-x^2}$ a pour dérivée seconde $(4x^2-2)e^{-x^2}$, qui vaut $-2<0$ en $0$ : elle n'est pas convexe sur $ℝ$ (0,5 pt). (1)
2. b)Vrai (0,5 pt). $(f\circ g{)}^{\prime }=g^{\prime }\times (f^{\prime }\circ g)$ et $(f\circ g{)}^{″}=g^{″}\times (f^{\prime }\circ g)+g^{\prime 2}\times (f^{″}\circ g)$ ; or $g^{″}⩾0$, $f^{\prime }⩾0$ ($f$ croissante) et $f^{″}⩾0$, donc $(f\circ g{)}^{″}⩾0$ (0,5 pt). (1)
3. c)Vrai (0,5 pt). Si $f^{\prime }(a)\ne 0$ pour un réel $a$, la courbe est au-dessus de sa tangente en $a$ : $f(x)⩾f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$, qui tend vers $+\infty$ quand $x\to +\infty$ (si $f^{\prime }(a)>0$) ou $x\to -\infty$ (si $f^{\prime }(a)<0$), ce qui contredit « $f$ majorée ». Donc $f^{\prime }=0$ sur $ℝ$ et $f$ est constante (0,5 pt). (1)
4. d)Vrai (0,5 pt). $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ ; $f^{″}(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+1}-x\times \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}}>0$ (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — Croire que « convexe composée avec convexe donne convexe » : il faut en plus que la fonction extérieure soit croissante, sinon le terme $g^{″}\times (f^{\prime }\circ g)$ peut être négatif.