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Convexité

Fonction convexe ou concave (cordes, tangentes), dérivée seconde et convexité, points d'inflexion, inégalités obtenues par convexité (position par rapport aux tangentes), lecture graphique

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Convexité » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Cordes et fonctions de référence, Dérivée seconde et convexité, Tangentes et inégalités de convexité. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Convexité d'un polynôme du troisième degré

Facile

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2$ .

a) Calculer $f^{'} (x)$ puis $f^{″} (x)$ .
b) Étudier la convexité de $f$ sur $ℝ$ .
c) Montrer que la courbe de $f$ admet un point d'inflexion dont on donnera les coordonnées.

a) $f$ est un polynôme, donc deux fois dérivable sur $ℝ$ . $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9$ , puis $f^{″} (x) = 6 x + 6$ .

b) $f^{″} (x) = 6 (x + 1)$ est du signe de $x + 1$ : $f^{″} (x) ⩽ 0$ pour $x ⩽ - 1$ et $f^{″} (x) ⩾ 0$ pour $x ⩾ - 1$ . D'après le lien entre signe de $f^{″}$ et convexité, $f$ est concave sur $] - \infty; - 1]$ et convexe sur $[- 1; + \infty [$ .

c) $f^{″}$ s'annule en $- 1$ en changeant de signe : la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $- 1$ . On calcule $f (- 1) = - 1 + 3 + 9 + 2 = 13$ . Le point d'inflexion est $A (- 1; 13)$ .

Exercice 2 — Quatre fonctions à classer

Facile

Pour chaque fonction, déterminer si elle est convexe ou concave sur l'intervalle indiqué, en justifiant par la dérivée seconde.

a) $f_{1} (x) = 5 x^{2} - 3 x + 8$ sur $ℝ$ .
b) $f_{2} (x) = - e^{x}$ sur $ℝ$ .
c) $f_{3} (x) = \frac{1}{x}$ sur $] - \infty; 0 [$ .
d) $f_{4} (x) = 11 - 2 x$ sur $ℝ$ .

a) $f_{1}^{'} (x) = 10 x - 3$ et ${f_{1}^{'}}^{'} (x) = 10 > 0$ : $f_{1}$ est convexe sur $ℝ$ .

b) $f_{2}^{'} (x) = - e^{x}$ et ${f_{2}^{'}}^{'} (x) = - e^{x} < 0$ car $e^{x} > 0$ : $f_{2}$ est concave sur $ℝ$ .

c) $f_{3}^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ et ${f_{3}^{'}}^{'} (x) = \frac{2}{x^{3}}$ . Pour $x < 0$ , $x^{3} < 0$ donc ${f_{3}^{'}}^{'} (x) < 0$ : $f_{3}$ est concave sur $] - \infty; 0 [$ .

d) $f_{4}^{'} (x) = - 2$ et ${f_{4}^{'}}^{'} (x) = 0$ : ${f_{4}^{'}}^{'}$ est à la fois positive et négative, donc $f_{4}$ est à la fois convexe et concave sur $ℝ$ (sa courbe est une droite, confondue avec ses cordes et ses tangentes).

Exercice 3 — Lecture du tableau de variations de f'

Facile

Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur $[- 3; 5]$ . Le tableau de variations de sa dérivée $f^{'}$ est le suivant, et l'on sait que $f (2) = 1, 5$ .

$x$	$- 3$		$2$		$5$
$f^{'} (x)$	$6$	↘	$- 4$	↗	$1$

a) Donner les intervalles sur lesquels $f$ est convexe, puis concave. Justifier.
b) Justifier que la courbe de $f$ admet un point d'inflexion et donner son abscisse.
c) Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ en ce point.
d) Préciser la position de la courbe de $f$ par rapport à $T$ sur $[2; 5]$ .

a) $f^{'}$ est décroissante sur $[- 3; 2]$ : $f$ est concave sur $[- 3; 2]$ . $f^{'}$ est croissante sur $[2; 5]$ : $f$ est convexe sur $[2; 5]$ .

b) $f$ change de convexité en $2$ (concave avant, convexe après) : la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $2$ . On le voit aussi au fait que $f^{'}$ admet un minimum en $2$ .

c) Le tableau donne $f^{'} (2) = - 4$ et l'énoncé $f (2) = 1, 5$ . Donc $T : y = - 4 (x - 2) + 1, 5$ , soit $y = - 4 x + 9, 5$ .

d) $f$ est convexe sur $[2; 5]$ et $2$ appartient à cet intervalle : sur $[2; 5]$ , la courbe est au-dessus de sa tangente $T$ , c'est-à-dire $f (x) ⩾ - 4 x + 9, 5$ .

Exercice 4 — Produit par l'exponentielle

Moyen

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x e^{x}$ , de courbe $𝒞$ .

a) Montrer que $f^{″} (x) = (x + 2) e^{x}$ .
b) Étudier la convexité de $f$ .
c) Déterminer les coordonnées du point d'inflexion $I$ de $𝒞$ .
d) Déterminer une équation de la tangente $T$ à $𝒞$ en $I$ , puis la position de $𝒞$ par rapport à $T$ sur $[- 2; + \infty [$ .

a) $f = u v$ avec $u (x) = x$ , $v (x) = e^{x}$ : $f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x}$ . De même, $f^{″} (x) = e^{x} + (x + 1) e^{x} = (x + 2) e^{x}$ .

b) Comme $e^{x} > 0$ , $f^{″} (x)$ a le signe de $x + 2$ . Donc $f$ est concave sur $] - \infty; - 2]$ et convexe sur $[- 2; + \infty [$ .

c) $f^{″}$ s'annule en $- 2$ en changeant de signe, et $f (- 2) = - 2 e^{- 2}$ . Donc $I (- 2; - 2 e^{- 2})$ , soit environ $(- 2; - 0, 27)$ .

d) $f^{'} (- 2) = (- 2 + 1) e^{- 2} = - e^{- 2}$ . Donc $T : y = - e^{- 2} (x + 2) - 2 e^{- 2}$ , soit $y = - e^{- 2} x - 4 e^{- 2}$ . Sur $[- 2; + \infty [$ , $f$ est convexe et $- 2$ appartient à cet intervalle : $𝒞$ est au-dessus de $T$ . (Sur $] - \infty; - 2]$ , $f$ est concave et $𝒞$ est en dessous : la courbe traverse bien $T$ en $I$ .)

Exercice 5 — Une inégalité avec la tangente en 1

Moyen

On note $ℰ$ la courbe de la fonction exponentielle.

a) Justifier que la fonction exponentielle est convexe sur $ℝ$ .
b) Déterminer une équation de la tangente à $ℰ$ au point d'abscisse $1$ .
c) Montrer que pour tout réel $x$ , $e^{x} ⩾ e x$ .
d) En déduire que pour tout réel $x$ , $e^{x - 1} ⩾ x$ .
e) Sachant que $e > 2, 71$ , montrer sans calculatrice que $e^{2, 4} ⩾ 6, 5$ .

a) La fonction exponentielle est deux fois dérivable sur $ℝ$ , de dérivée seconde $x \mapsto e^{x}$ , strictement positive. Elle est donc convexe sur $ℝ$ .

b) En $1$ : $f (1) = e$ et $f^{'} (1) = e$ . Tangente : $y = e (x - 1) + e$ , soit $y = e x$ (elle passe par l'origine).

c) Une fonction convexe sur $ℝ$ a sa courbe au-dessus de toutes ses tangentes. Donc pour tout réel $x$ : $e^{x} ⩾ e x$ .

d) On divise par $e > 0$ , ce qui conserve le sens : $\frac{e^{x}}{e} ⩾ x$ , c'est-à-dire $e^{x - 1} ⩾ x$ .

e) Avec $x = 2, 4$ dans c) : $e^{2, 4} ⩾ 2, 4 e$ . Comme $e > 2, 71$ , $2, 4 e > 2, 4 \times 2, 71 = 6, 504$ . Donc $e^{2, 4} ⩾ 6, 5$ . (L'encadrement est grossier : $e^{2, 4} \approx 11, 0$ , car $2, 4$ est loin du point de contact $1$ .)

Exercice 6 — La courbe en cloche

Moyen

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = e^{- x^{2} / 2}$ .

a) Calculer $f^{'} (x)$ .
b) Montrer que $f^{″} (x) = (x^{2} - 1) e^{- x^{2} / 2}$ .
c) Étudier la convexité de $f$ sur $ℝ$ .
d) Déterminer les coordonnées des points d'inflexion de la courbe de $f$ .

a) $f = e^{u}$ avec $u (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ , $u^{'} (x) = - x$ . D'après la dérivée de $e^{u}$ , $f^{'} (x) = - x e^{- x^{2} / 2}$ .

b) $f^{'}$ est le produit de $x \mapsto - x$ (dérivée $- 1$ ) par $f$ (dérivée $f^{'}$ ) : $f^{″} (x) = - e^{- x^{2} / 2} + (- x) (- x) e^{- x^{2} / 2}$ , soit $f^{″} (x) = (x^{2} - 1) e^{- x^{2} / 2}$ .

c) L'exponentielle étant strictement positive, $f^{″} (x)$ a le signe de $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , positif à l'extérieur des racines $- 1$ et $1$ . Donc $f$ est convexe sur $] - \infty; - 1]$ et sur $[1; + \infty [$ , concave sur $[- 1; 1]$ .

d) $f^{″}$ s'annule en changeant de signe en $- 1$ et en $1$ . $f (- 1) = f (1) = e^{- 1 / 2} \approx 0, 61$ . Les points d'inflexion sont $(- 1; e^{- 1 / 2})$ et $(1; e^{- 1 / 2})$ .

Exercice 7 — Expliquer l'erreur

Moyen

Soit $g$ la fonction définie sur $ℝ$ par $g (x) = x^{4} + x$ .

a) Calculer $g^{″} (x)$ .
b) Un élève écrit : « $g^{″} (0) = 0$ , donc la courbe de $g$ admet un point d'inflexion d'abscisse $0$ . » Expliquer son erreur.
c) Étudier la convexité de $g$ sur $ℝ$ .
d) Montrer que pour tout réel $x$ , $x^{4} - 4 x + 3 ⩾ 0$ .

a) $g^{'} (x) = 4 x^{3} + 1$ , puis $g^{″} (x) = 12 x^{2}$ .

b) Un point d'inflexion exige que $g^{″}$ s'annule en changeant de signe. Ici $g^{″} (x) = 12 x^{2} ⩾ 0$ de part et d'autre de $0$ : $g$ ne change pas de convexité, donc il n'y a pas de point d'inflexion en $0$ . La condition $g^{″} (0) = 0$ est nécessaire, pas suffisante.

c) $g^{″} (x) ⩾ 0$ pour tout réel $x$ : $g$ est convexe sur $ℝ$ .

d) Tangente en $1$ : $g (1) = 2$ et $g^{'} (1) = 5$ , d'où $y = 5 (x - 1) + 2 = 5 x - 3$ . Comme $g$ est convexe sur $ℝ$ , sa courbe est au-dessus de cette tangente : $x^{4} + x ⩾ 5 x - 3$ pour tout réel $x$ , soit $x^{4} - 4 x + 3 ⩾ 0$ . Vérification : $x^{4} - 4 x + 3 = (x - 1)^{2} (x^{2} + 2 x + 3)$ , produit de deux facteurs positifs.

Exercice 8 — Majorer une racine carrée

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 1, 5; + \infty [$ par $f (x) = \sqrt{2 x + 3}$ . On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $] - 1, 5; + \infty [$ .

a) Calculer $f^{'} (x)$ pour $x > - 1, 5$ .
b) Montrer que $f^{″} (x) = - \frac{1}{(2 x + 3) \sqrt{2 x + 3}}$ et en déduire la convexité de $f$ .
c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$ .
d) Montrer que pour tout $x ⩾ - 1, 5$ , $\sqrt{2 x + 3} ⩽ \frac{x}{3} + 2$ .
e) En déduire un majorant de $\sqrt{9, 2}$ sous forme de fraction.

a) $f = \sqrt{u}$ avec $u (x) = 2 x + 3 > 0$ , $u^{'} (x) = 2$ : $f^{'} (x) = \frac{2}{2 \sqrt{2 x + 3}}$ , soit $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}$ .

b) $f^{'} = \frac{1}{v}$ avec $v (x) = \sqrt{2 x + 3}$ et $v^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}$ : $f^{″} (x) = - \frac{v^{'} (x)}{v (x)^{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}} \times \frac{1}{2 x + 3} = - \frac{1}{(2 x + 3) \sqrt{2 x + 3}}$ . Pour $x > - 1, 5$ , le dénominateur est strictement positif, donc $f^{″} (x) < 0$ : $f$ est concave sur $] - 1, 5; + \infty [$ .

c) $f (3) = \sqrt{9} = 3$ et $f^{'} (3) = \frac{1}{3}$ . Tangente : $y = \frac{1}{3} (x - 3) + 3$ , soit $y = \frac{x}{3} + 2$ .

d) $f$ est concave sur $] - 1, 5; + \infty [$ et $3$ appartient à cet intervalle : la courbe est en dessous de sa tangente en $3$ , donc $\sqrt{2 x + 3} ⩽ \frac{x}{3} + 2$ pour $x > - 1, 5$ . Pour $x = - 1, 5$ : $0 ⩽ 1, 5$ , vrai. L'inégalité est vraie pour tout $x ⩾ - 1, 5$ .

e) $2 x + 3 = 9, 2$ pour $x = 3, 1$ . Donc $\sqrt{9, 2} ⩽ \frac{3, 1}{3} + 2 = \frac{31}{30} + 2$ , soit $\sqrt{9, 2} ⩽ \frac{91}{30}$ $\approx 3, 0333$ . (La calculatrice donne $\sqrt{9, 2} \approx 3, 0332$ : le majorant est excellent car $3, 1$ est proche de $3$ .)

Exercice 9 — Convexité selon un paramètre

Difficile

Pour tout réel $m$ , on considère la fonction $f_{m}$ définie sur $ℝ$ par $f_{m} (x) = x^{4} + m x^{3} + 6 x^{2} - 1$ .

a) Calculer ${f_{m}^{'}}^{'} (x)$ .
b) Montrer que $f_{m}$ est convexe sur $ℝ$ si et seulement si $m \in [- 4; 4]$ .
c) Pour $m = 4$ , la courbe de $f_{4}$ admet-elle un point d'inflexion ? Justifier.
d) Pour $m = 5$ , étudier la convexité de $f_{5}$ et donner les abscisses des points d'inflexion.

a) $f_{m}^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 m x^{2} + 12 x$ , puis ${f_{m}^{'}}^{'} (x) = 12 x^{2} + 6 m x + 12$ .

b) $f_{m}$ est convexe sur $ℝ$ si et seulement si ${f_{m}^{'}}^{'} (x) ⩾ 0$ pour tout réel $x$ . Le trinôme $12 x^{2} + 6 m x + 12$ a un coefficient dominant $12 > 0$ : il est positif sur $ℝ$ si et seulement si son discriminant est négatif ou nul. $Δ = 36 m^{2} - 4 \times 12 \times 12 = 36 m^{2} - 576 = 36 (m^{2} - 16)$ . $Δ ⩽ 0 ⟺ m^{2} ⩽ 16 ⟺ - 4 ⩽ m ⩽ 4$ . Donc $f_{m}$ convexe sur $ℝ$ $⟺$ $m \in [- 4; 4]$ .

c) ${f_{4}^{'}}^{'} (x) = 12 x^{2} + 24 x + 12 = 12 (x + 1)^{2}$ . Elle s'annule en $- 1$ mais reste positive de part et d'autre : $f_{4}$ est convexe sur $ℝ$ et sa courbe n'a pas de point d'inflexion.

d) ${f_{5}^{'}}^{'} (x) = 12 x^{2} + 30 x + 12 = 6 (2 x^{2} + 5 x + 2) = 6 (2 x + 1) (x + 2)$ , de racines $- 2$ et $- \frac{1}{2}$ . Le trinôme est positif à l'extérieur des racines : $f_{5}$ est convexe sur $] - \infty; - 2]$ et sur $[- \frac{1}{2}; + \infty [$ , concave sur $[- 2; - \frac{1}{2}]$ . ${f_{5}^{'}}^{'}$ change de signe en chaque racine : deux points d'inflexion, d'abscisses $- 2$ et $- \frac{1}{2}$ .

Exercice 10 — Encadrer l'inverse entre une tangente et une corde

Difficile

Soit $f$ la fonction inverse, définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ , et $A (1; 1)$ , $B (4; \frac{1}{4})$ deux points de sa courbe.

a) Justifier que $f$ est convexe sur $] 0; + \infty [$ .
b) Déterminer une équation de la droite $(A B)$ .
c) En déduire que pour tout $x \in [1; 4]$ , $\frac{1}{x} ⩽ \frac{5 - x}{4}$ , puis retrouver ce résultat par un calcul algébrique.
d) Montrer que pour tout $x > 0$ , $\frac{1}{x} ⩾ 1 - \frac{x}{4}$ .
e) En déduire un encadrement de $\frac{1}{3, 2}$ .

a) $f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ et $f^{″} (x) = \frac{2}{x^{3}} > 0$ pour $x > 0$ : $f$ est convexe sur $] 0; + \infty [$ .

b) Coefficient directeur : $\frac{\frac{1}{4} - 1}{4 - 1} = - \frac{1}{4}$ . La droite passe par $A (1; 1)$ : $y = - \frac{1}{4} (x - 1) + 1$ , soit $y = \frac{5 - x}{4}$ .

c) Par définition de la convexité, entre $A$ et $B$ la courbe est en dessous de la corde $[A B]$ : pour $x \in [1; 4]$ , $\frac{1}{x} ⩽ \frac{5 - x}{4}$ . Vérification : pour $x > 0$ , l'inégalité équivaut à $4 ⩽ x (5 - x)$ , soit $x^{2} - 5 x + 4 ⩽ 0$ , soit $(x - 1) (x - 4) ⩽ 0$ , ce qui est vrai exactement sur $[1; 4]$ .

d) Tangente en $2$ : $f (2) = \frac{1}{2}$ , $f^{'} (2) = - \frac{1}{4}$ , d'où $y = - \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{2} = 1 - \frac{x}{4}$ . $f$ étant convexe sur $] 0; + \infty [$ , sa courbe est au-dessus de cette tangente : $\frac{1}{x} ⩾ 1 - \frac{x}{4}$ pour tout $x > 0$ .

e) $3, 2 \in [1; 4]$ : $1 - \frac{3, 2}{4} ⩽ \frac{1}{3, 2} ⩽ \frac{5 - 3, 2}{4}$ , soit $0, 2 ⩽ \frac{1}{3, 2} ⩽ 0, 45$ . (Valeur exacte : $0, 3125$ .)

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