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Convexité

Fonction convexe ou concave (cordes, tangentes), dérivée seconde et convexité, points d'inflexion, inégalités obtenues par convexité (position par rapport aux tangentes), lecture graphique

À propos de cette page

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Problème 1 — Coût de production et coût marginal

Moyen

Une entreprise fabrique entre $0$ et $1 000$ objets par jour. Le coût total de production de $q$ centaines d'objets, en centaines d'euros, est modélisé par $C (q) = q^{3} - 12 q^{2} + 60 q + 50$ pour $q \in [0; 10]$ . On assimile le coût marginal à $C^{'} (q)$ .

1. Calculer $C^{'} (q)$ et montrer que $C$ est strictement croissante sur $[0; 10]$ .
2. Calculer $C^{″} (q)$ et étudier la convexité de $C$ sur $[0; 10]$ .
3. Montrer que la courbe de $C$ admet un point d'inflexion $I$ dont on donnera les coordonnées.
4. a) Étudier les variations de $C^{'}$ sur $[0; 10]$ . Pour quelle production le coût marginal est-il minimal ? Donner ce minimum et l'interpréter.
4. b) Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $C$ en $I$ .
5. Montrer que pour tout $q \in [4; 10]$ , $C (q) ⩾ 12 q + 114$ , et vérifier cette inégalité pour $q = 7, 5$ .

1. $C^{'} (q) = 3 q^{2} - 24 q + 60 = 3 (q^{2} - 8 q + 20)$ . Le trinôme $q^{2} - 8 q + 20$ a pour discriminant $64 - 80 = - 16 < 0$ : il garde le signe de son coefficient dominant, positif. Donc $C^{'} (q) > 0$ sur $[0; 10]$ et $C$ est strictement croissante : produire plus coûte toujours plus.

2. $C^{″} (q) = 6 q - 24 = 6 (q - 4)$ . $C^{″} (q) ⩽ 0$ sur $[0; 4]$ et $C^{″} (q) ⩾ 0$ sur $[4; 10]$ . Donc $C$ est concave sur $[0; 4]$ et convexe sur $[4; 10]$ .

3. $C^{″}$ s'annule en $4$ en changeant de signe. $C (4) = 64 - 192 + 240 + 50 = 162$ . Le point d'inflexion est $I (4; 162)$ .

4. a) La dérivée de $C^{'}$ est $C^{″}$ : $C^{'}$ est décroissante sur $[0; 4]$ et croissante sur $[4; 10]$ . Elle atteint son minimum en $q = 4$ : $C^{'} (4) = 48 - 96 + 60 = 12$ . Le coût marginal est minimal pour $400$ objets par jour et vaut $12$ centaines d'euros par centaine d'objets, soit environ $12$ € par objet supplémentaire. Au-delà, chaque objet supplémentaire coûte de plus en plus cher (convexité).

4. b) $T : y = C^{'} (4) (q - 4) + C (4) = 12 (q - 4) + 162$ , soit $y = 12 q + 114$ .

5. $C$ est convexe sur $[4; 10]$ et $4$ appartient à cet intervalle : sur $[4; 10]$ , la courbe de $C$ est au-dessus de sa tangente en $4$ . Donc $C (q) ⩾ 12 q + 114$ pour $q \in [4; 10]$ . Pour $q = 7, 5$ : $C (7, 5) = 421, 875 - 675 + 450 + 50 = 246, 875$ et $12 \times 7, 5 + 114 = 204$ ; on a bien $246, 875 ⩾ 204$ . Sur $[0; 4]$ , l'inégalité est renversée (concavité) : la tangente au point d'inflexion traverse la courbe.

Problème 2 — Concentration d'un médicament dans le sang

Moyen

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang, en mg/L, est modélisée par $C (t) = 20 t e^{- 0, 5 t}$ , où $t \in [0; 12]$ est le temps en heures. On admet que $C$ est deux fois dérivable. La vitesse de variation de la concentration est $C^{'} (t)$ , en mg/L/h.

1. Montrer que $C^{'} (t) = (20 - 10 t) e^{- 0, 5 t}$ . En déduire les variations de $C$ et la concentration maximale.
2. Montrer que $C^{″} (t) = (5 t - 20) e^{- 0, 5 t}$ .
3. Étudier la convexité de $C$ sur $[0; 12]$ et montrer que sa courbe admet un point d'inflexion $J$ dont on donnera les coordonnées (valeurs approchées au centième).
4. Interpréter l'abscisse de $J$ en termes de vitesse d'élimination du médicament.
5. a) Déterminer une équation de la tangente $Δ$ à la courbe en $J$ .
5. b) Un infirmier prolonge $Δ$ et affirme que le médicament aura disparu à l'instant où $Δ$ coupe l'axe des abscisses. Calculer cet instant et expliquer pourquoi l'affirmation est fausse.

1. $C$ est le produit de $t \mapsto 20 t$ (dérivée $20$ ) et de $t \mapsto e^{- 0, 5 t}$ (dérivée $- 0, 5 e^{- 0, 5 t}$ ). Donc $C^{'} (t) = 20 e^{- 0, 5 t} - 10 t e^{- 0, 5 t} = (20 - 10 t) e^{- 0, 5 t}$ . Comme $e^{- 0, 5 t} > 0$ , $C^{'} (t)$ a le signe de $20 - 10 t$ : positif sur $[0; 2]$ , négatif sur $[2; 12]$ . $C$ croît sur $[0; 2]$ puis décroît sur $[2; 12]$ . Maximum : $C (2) = 40 e^{- 1} \approx 14, 72$ mg/L, atteint au bout de 2 heures.

2. $C^{'}$ est le produit de $t \mapsto 20 - 10 t$ (dérivée $- 10$ ) et de $t \mapsto e^{- 0, 5 t}$ : $C^{″} (t) = - 10 e^{- 0, 5 t} + (20 - 10 t) (- 0, 5) e^{- 0, 5 t} = (- 10 - 10 + 5 t) e^{- 0, 5 t}$ , soit $C^{″} (t) = (5 t - 20) e^{- 0, 5 t}$ .

3. $C^{″} (t)$ a le signe de $5 t - 20$ : négatif sur $[0; 4]$ , positif sur $[4; 12]$ . $C$ est concave sur $[0; 4]$ et convexe sur $[4; 12]$ . $C^{″}$ s'annule en $4$ en changeant de signe : point d'inflexion $J (4; 80 e^{- 2})$ , soit $J (4; 10, 83)$ .

4. $C^{'}$ a pour dérivée $C^{″}$ : $C^{'}$ décroît sur $[0; 4]$ puis croît sur $[4; 12]$ , donc atteint son minimum en $4$ : $C^{'} (4) = - 20 e^{- 2} \approx - 2, 71$ . C'est au bout de 4 heures que la concentration diminue le plus vite, d'environ $2, 71$ mg/L par heure.

5. a) $Δ : y = C^{'} (4) (t - 4) + C (4) = - 20 e^{- 2} (t - 4) + 80 e^{- 2}$ , soit $y = e^{- 2} (160 - 20 t)$ .

5. b) $e^{- 2} (160 - 20 t) = 0 ⟺ t = 8$ . Or $C$ est convexe sur $[4; 12]$ et $4$ appartient à cet intervalle : la courbe est au-dessus de $Δ$ sur $[4; 12]$ , et $C (t) > 0$ pour tout $t > 0$ . D'ailleurs $C (8) = 160 e^{- 4} \approx 2, 93$ mg/L. L'affirmation est fausse : la tangente sous-estime la concentration, car la vitesse d'élimination ralentit après $4$ heures.

Problème 3 — Approcher l'exponentielle par un polynôme

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = e^{x} - \frac{x^{2}}{2}$ , de courbe $𝒞$ .

1. Calculer $f^{'} (x)$ et $f^{″} (x)$ .
2. a) Étudier les variations de $f^{'}$ sur $ℝ$ .
2. b) En déduire que $f$ est strictement croissante sur $ℝ$ .
3. Étudier la convexité de $f$ et montrer que $𝒞$ admet un unique point d'inflexion $I$ .
4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $𝒞$ en $I$ .
5. Montrer que $e^{x} ⩾ 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ pour tout $x ⩾ 0$ et que $e^{x} ⩽ 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ pour tout $x ⩽ 0$ .
6. En déduire un minorant de $e^{0, 3}$ et un majorant de $e^{- 0, 4}$ , puis les comparer aux valeurs de la calculatrice.

1. $f^{'} (x) = e^{x} - x$ et $f^{″} (x) = e^{x} - 1$ .

2. a) La dérivée de $f^{'}$ est $f^{″}$ . La fonction exponentielle étant strictement croissante et $e^{0} = 1$ : $e^{x} - 1 < 0$ pour $x < 0$ et $e^{x} - 1 > 0$ pour $x > 0$ . Donc $f^{'}$ est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ , avec un minimum $f^{'} (0) = e^{0} - 0 = 1$ .

2. b) Pour tout réel $x$ , $f^{'} (x) ⩾ f^{'} (0) = 1 > 0$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

3. D'après 2. a), $f^{″} ⩽ 0$ sur $] - \infty; 0]$ et $f^{″} ⩾ 0$ sur $[0; + \infty [$ : $f$ est concave sur $] - \infty; 0]$ et convexe sur $[0; + \infty [$ . $f^{″}$ ne s'annule qu'en $0$ , en changeant de signe : unique point d'inflexion, $f (0) = 1$ , soit $I (0; 1)$ .

4. $f^{'} (0) = 1$ : $T : y = 1 \times (x - 0) + 1$ , soit $y = x + 1$ .

5. Sur $[0; + \infty [$ , $f$ est convexe et $0$ appartient à cet intervalle : $𝒞$ est au-dessus de $T$ , donc $e^{x} - \frac{x^{2}}{2} ⩾ x + 1$ , soit $e^{x} ⩾ 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ pour $x ⩾ 0$ . Sur $] - \infty; 0]$ , $f$ est concave et $0$ appartient à cet intervalle : $𝒞$ est en dessous de $T$ , d'où $e^{x} ⩽ 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ pour $x ⩽ 0$ . Les deux inégalités sont de sens contraires : c'est la traduction du fait que $𝒞$ traverse $T$ en $I$ .

6. $0, 3 ⩾ 0$ : $e^{0, 3} ⩾ 1 + 0, 3 + \frac{0, 09}{2} = < b > 1, 345 < / b >$ ; la calculatrice donne $e^{0, 3} \approx 1, 3499$ . $- 0, 4 ⩽ 0$ : $e^{- 0, 4} ⩽ 1 - 0, 4 + \frac{0, 16}{2} = < b > 0, 68 < / b >$ ; la calculatrice donne $e^{- 0, 4} \approx 0, 6703$ . Les deux approximations sont précises au centième près, car $0, 3$ et $- 0, 4$ sont proches de $0$ .

Problème 4 — Localiser un point d'inflexion par dichotomie

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = \frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2}$ . On admet que l'équation $f^{″} (x) = 0$ admet une unique solution réelle, notée $α$ . On considère la fonction Python suivante.

def dicho(p):
    a, b = 0, 1
    while b - a > p:
        m = (a + b) / 2
        if m**3 + m - 1 < 0:
            a = m
        else:
            b = m
    return a, b

1. Calculer $f^{'} (x)$ et $f^{″} (x)$ .
2. Étudier le sens de variation de la fonction $f^{″}$ sur $ℝ$ .
3. Montrer que $0 < α < 1$ .
4. En déduire la convexité de $f$ et justifier que sa courbe admet un unique point d'inflexion.
5. Expliquer le rôle de la fonction $d i c h o$ et donner, en détaillant les étapes, les valeurs renvoyées par $d i c h o (0.1)$ .
6. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ et montrer que la courbe est au-dessus de $T$ sur $[α; + \infty [$ .

1. $f^{'} (x) = \frac{5 x^{4}}{20} + \frac{3 x^{2}}{6} - \frac{2 x}{2}$ , soit $f^{'} (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - x$ , puis $f^{″} (x) = x^{3} + x - 1$ .

2. $f^{″}$ est dérivable de dérivée $x \mapsto 3 x^{2} + 1$ , strictement positive sur $ℝ$ . Donc $f^{″}$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

3. $f^{″} (0) = - 1 < 0$ et $f^{″} (1) = 1 > 0$ . Comme $f^{″}$ est strictement croissante et $f^{″} (α) = 0$ : si l'on avait $α ⩽ 0$ , on aurait $0 = f^{″} (α) ⩽ f^{″} (0) = - 1$ , absurde ; si $α ⩾ 1$ , on aurait $0 ⩾ f^{″} (1) = 1$ , absurde. Donc $0 < α < 1$ .

4. $f^{″}$ étant strictement croissante et nulle en $α$ : $f^{″} (x) < 0$ pour $x < α$ et $f^{″} (x) > 0$ pour $x > α$ . $f$ est concave sur $] - \infty; α]$ et convexe sur $[α; + \infty [$ . $f^{″}$ s'annule en changeant de signe en $α$ seulement : unique point d'inflexion, d'abscisse $α$ .

5. La fonction applique la méthode de dichotomie à $f^{″}$ sur $[0; 1]$ : elle coupe l'intervalle en deux et garde la moitié où $f^{″}$ change de signe, jusqu'à obtenir un encadrement de $α$ d'amplitude au plus $p$ . Pour $p = 0, 1$ :
• $m = 0, 5$ : $f^{″} (0, 5) = - 0, 375 < 0$ , donc $a = 0, 5$ ;
• $m = 0, 75$ : $f^{″} (0, 75) \approx 0, 172 > 0$ , donc $b = 0, 75$ ;
• $m = 0, 625$ : $f^{″} (0, 625) \approx - 0, 131 < 0$ , donc $a = 0, 625$ ;
• $m = 0, 6875$ : $f^{″} (0, 6875) \approx 0, 012 > 0$ , donc $b = 0, 6875$ .
L'amplitude vaut $0, 0625 ⩽ 0, 1$ : la boucle s'arrête et la fonction renvoie $(0, 625; 0, 6875)$ , d'où $0, 625 ⩽ α ⩽ 0, 6875$ .

6. $f (2) = \frac{32}{20} + \frac{8}{6} - 2 = \frac{8}{5} + \frac{4}{3} - 2 = \frac{24 + 20 - 30}{15} = \frac{14}{15}$ et $f^{'} (2) = 4 + 2 - 2 = 4$ . Donc $T : y = 4 (x - 2) + \frac{14}{15}$ , soit $y = 4 x - \frac{106}{15}$ . Comme $α < 1 < 2$ , le réel $2$ appartient à $[α; + \infty [$ , intervalle sur lequel $f$ est convexe : la courbe est au-dessus de $T$ sur $[α; + \infty [$ .

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