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Convexité

Fonction convexe ou concave (cordes, tangentes), dérivée seconde et convexité, points d'inflexion, inégalités obtenues par convexité (position par rapport aux tangentes), lecture graphique

À propos de cette page

Ce QCM sur « Convexité » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel, Cordes et fonctions de référence, Dérivée seconde et convexité, Tangentes et inégalités de convexité. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si :
- A. $f^{″}$ est positive sur $I$
- B. $f^{'}$ est positive sur $I$
- C. $f$ est croissante sur $I$
- D. $f^{″}$ est décroissante sur $I$
Réponse
A. $f^{″}$ est positive sur $I$ — Convexité ⟺ $f^{'}$ croissante ⟺ $f^{″} ⩾ 0$ . Le signe de $f^{'}$ renseigne sur les variations, pas sur la convexité.
La fonction carré $x \mapsto x^{2}$ est, sur $ℝ$ :
- A. concave
- B. convexe
- C. ni convexe ni concave
- D. convexe puis concave
Réponse
B. convexe — Sa dérivée seconde vaut $2 > 0$ : elle est convexe sur $ℝ$ .
Si $f$ est convexe et dérivable sur $I$ , sa courbe sur $I$ est :
- A. en dessous de ses tangentes
- B. sous l'axe des abscisses
- C. au-dessus de ses tangentes
- D. au-dessus de ses cordes
Réponse
C. au-dessus de ses tangentes — Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes.
La fonction racine carrée est, sur $[0; + \infty [$ :
- A. convexe
- B. affine
- C. convexe puis concave
- D. concave
Réponse
D. concave — Sa dérivée seconde $- \frac{1}{4 x \sqrt{x}}$ est négative sur $] 0; + \infty [$ : elle est concave.
Un point d'inflexion est un point où la courbe :
- A. admet une tangente horizontale
- B. traverse sa tangente
- C. coupe l'axe des abscisses
- D. atteint un maximum local
Réponse
B. traverse sa tangente — En un point d'inflexion, la fonction change de convexité et la courbe traverse sa tangente.
Sur $] 0; + \infty [$ , la fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ est :
- A. convexe
- B. concave
- C. croissante et concave
- D. ni convexe ni concave
Réponse
A. convexe — $f^{″} (x) = \frac{2}{x^{3}} > 0$ pour $x > 0$ : elle est convexe (et décroissante).
Si $f^{″} (x) = x - 7$ pour tout réel $x$ , alors $f$ est concave sur :
- A. $[- 7; + \infty [$
- B. $ℝ$
- C. $[0; 7]$
- D. $] - \infty; 7]$
Réponse
D. $] - \infty; 7]$ — $f$ est concave là où $f^{″} (x) ⩽ 0$ , soit $x ⩽ 7$ .
La fonction exponentielle est :
- A. concave sur $ℝ$
- B. concave sur $] - \infty; 0]$
- C. convexe sur $ℝ$
- D. convexe sur $[0; + \infty [$ seulement
Réponse
C. convexe sur $ℝ$ — Sa dérivée seconde $e^{x}$ est strictement positive sur $ℝ$ .

Niveau moyen — 8 questions

Soit $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 4$ . La courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse :
- A. $0$
- B. $6$
- C. $3$
- D. $- 3$
Réponse
C. $3$ — $f^{″} (x) = 6 x - 18$ s'annule en $3$ en changeant de signe.
Soit $g (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ . La fonction $g$ est concave sur :
- A. $[- 1; 1]$
- B. $[- \sqrt{3}; \sqrt{3}]$
- C. $[0; + \infty [$
- D. $] - \infty; - 1]$
Réponse
A. $[- 1; 1]$ — $g^{″} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x - 1) (x + 1)$ est négative entre les racines $- 1$ et $1$ . $\pm \sqrt{3}$ sont les zéros non nuls de $g$ , sans rapport.
Soit $h (x) = e^{3 x}$ . Alors $h^{″} (x)$ vaut :
- A. $3 e^{3 x}$
- B. $e^{3 x}$
- C. $27 e^{3 x}$
- D. $9 e^{3 x}$
Réponse
D. $9 e^{3 x}$ — $h^{'} (x) = 3 e^{3 x}$ puis $h^{″} (x) = 3 \times 3 e^{3 x} = 9 e^{3 x}$ .
L'équation de la tangente au point d'inflexion de la courbe de $f (x) = x^{3} + 6 x^{2}$ est :
- A. $y = - 12 x + 16$
- B. $y = - 12 x - 8$
- C. $y = 12 x + 40$
- D. $y = 16$
Réponse
B. $y = - 12 x - 8$ — $f^{″} (x) = 6 x + 12$ s'annule en $- 2$ ; $f (- 2) = 16$ , $f^{'} (- 2) = 12 - 24 = - 12$ ; $y = - 12 (x + 2) + 16 = - 12 x - 8$ .
Soit $k (x) = (x - 2) e^{x}$ . Alors $k^{″} (x)$ vaut :
- A. $(x - 1) e^{x}$
- B. $x e^{x}$
- C. $(x + 2) e^{x}$
- D. $(x - 3) e^{x}$
Réponse
B. $x e^{x}$ — $k^{'} (x) = e^{x} + (x - 2) e^{x} = (x - 1) e^{x}$ , puis $k^{″} (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ .
La fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = - 2 x^{2} + 5 x$ est :
- A. convexe sur $ℝ$
- B. convexe sur $[0; + \infty [$
- C. concave puis convexe
- D. concave sur $ℝ$
Réponse
D. concave sur $ℝ$ — $f^{″} (x) = - 4 < 0$ pour tout réel $x$ .
$f$ est convexe sur $ℝ$ et sa tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = 4 x - 3$ . Pour tout réel $x$ :
- A. $f (x) ⩾ 4 x - 3$
- B. $f (x) ⩽ 4 x - 3$
- C. $f (x) ⩾ 4 x$
- D. $f (x) = 4 x - 3$
Réponse
A. $f (x) ⩾ 4 x - 3$ — Une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes.
Soit $f$ telle que $f^{″} (x) = (x + 1) (x - 5)$ sur $ℝ$ . Le nombre de points d'inflexion de sa courbe est :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $3$
Réponse
C. $2$ — $f^{″}$ change de signe en $- 1$ et en $5$ : deux points d'inflexion.

Niveau difficile — 8 questions

Soit $f (x) = x^{6}$ . On a $f^{″} (0) = 0$ . Alors :
- A. l'origine est un point d'inflexion
- B. $f$ est convexe sur $ℝ$
- C. $f$ est concave au voisinage de $0$
- D. $f$ change de convexité en $0$
Réponse
B. $f$ est convexe sur $ℝ$ — $f^{″} (x) = 30 x^{4} ⩾ 0$ : pas de changement de signe, donc $f$ est convexe sur $ℝ$ et il n'y a pas d'inflexion.
Laquelle de ces fonctions est à la fois convexe et décroissante sur l'intervalle indiqué ?
- A. $x \mapsto x^{2}$ sur $[1; + \infty [$
- B. $x \mapsto \sqrt{x}$ sur $] 0; + \infty [$
- C. $x \mapsto - x^{2}$ sur $[0; + \infty [$
- D. $x \mapsto e^{- x}$ sur $ℝ$
Réponse
D. $x \mapsto e^{- x}$ sur $ℝ$ — $(e^{- x})^{'} = - e^{- x} < 0$ et $(e^{- x})^{″} = e^{- x} > 0$ : décroissante et convexe. Convexité et variations sont indépendantes.
$f$ est définie sur $ℝ^{*}$ par $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ . Quelle affirmation est exacte ?
- A. $f$ est convexe sur $] 0; + \infty [$
- B. $f$ est convexe sur $ℝ^{*}$
- C. la courbe a un point d'inflexion d'abscisse $0$
- D. $f$ est concave sur $] 0; + \infty [$
Réponse
A. $f$ est convexe sur $] 0; + \infty [$ — $f^{″} (x) = \frac{12}{x^{5}}$ : positive sur $] 0; + \infty [$ , négative sur $] - \infty; 0 [$ . $ℝ^{*}$ n'est pas un intervalle et $0$ n'est pas dans le domaine : pas d'inflexion.
On sait seulement que $f$ est dérivable et que $f^{'}$ est croissante sur $[0; 4]$ . On peut en déduire que :
- A. $f$ est croissante sur $[0; 4]$
- B. $f^{″} (x) > 0$ sur $[0; 4]$
- C. $f$ est convexe sur $[0; 4]$
- D. $f$ est positive sur $[0; 4]$
Réponse
C. $f$ est convexe sur $[0; 4]$ — $f^{'}$ croissante caractérise la convexité. Rien ne garantit que $f^{″}$ existe, ni qu'elle soit strictement positive.
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions convexes sur $ℝ$ , alors on peut affirmer que :
- A. $f \times g$ est convexe
- B. $f - g$ est convexe
- C. $f + g$ est convexe
- D. $g \circ f$ est convexe
Réponse
C. $f + g$ est convexe — La somme de deux fonctions convexes est convexe. Contre-exemples : $x \times (- x) = - x^{2}$ est concave ; $e^{- x^{2}}$ n'est pas convexe.
$f$ est convexe sur $[- 3; 3]$ , avec $f (- 3) = 1$ et $f (3) = 4$ . Alors $f (0)$ est :
- A. inférieur ou égal à $2, 5$
- B. supérieur ou égal à $2, 5$
- C. égal à $2, 5$
- D. strictement négatif
Réponse
A. inférieur ou égal à $2, 5$ — La courbe est sous la corde : $f (0) ⩽ \frac{f (- 3) + f (3)}{2} = 2, 5$ . Rien n'impose l'égalité ni le signe.
La courbe de la fonction dérivée $f^{'}$ admet un maximum en $x = - 1$ . Alors la courbe de $f$ :
- A. a une tangente horizontale en $- 1$
- B. atteint un maximum en $- 1$
- C. est convexe sur $ℝ$
- D. a un point d'inflexion en $- 1$
Réponse
D. a un point d'inflexion en $- 1$ — $f^{'}$ croît puis décroît : $f$ passe de convexe à concave en $- 1$ , c'est un point d'inflexion.
Par convexité (tangente au point d'abscisse $2$ ), on obtient pour tout réel $x$ : $e^{x - 2} ⩾$
- A. $x + 1$
- B. $x - 1$
- C. $2 x - 3$
- D. $2 x - 2$
Réponse
B. $x - 1$ — Pour $f (x) = e^{x - 2}$ : $f (2) = 1$ , $f^{'} (2) = 1$ , tangente $y = x - 1$ . Les autres échouent : en $x = 2$ , $1 < 3$ et $1 < 2$ ; en $x = 3$ , $e < 3$ .

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