Compléments sur la dérivation : fonctions composées

On pose $u(x)=x^2-3$ et $g(X)=2X+1$. Calculer.

1. $(g\circ u)(2)=$
   On applique d’abord $u$ : $u(2)=4-3=1$. Puis $g$ : $g(1)=2\times 1+1=3$.
2. $(u\circ g)(2)=$
   On applique d’abord $g$ : $g(2)=5$. Puis $u$ : $u(5)=25-3=22$. L’ordre change tout.
3. $(g\circ u)(0)=$
   $u(0)=-3$, puis $g(-3)=-6+1=-5$.
4. $(u\circ u)(1)=$
   $u(1)=1-3=-2$, puis $u(-2)=4-3=1$.

Chaque fonction s’écrit $f=g\circ u$. Écris l’expression de la fonction intérieure $u(x)$ (puissances avec ^ ou ², par exemple x^2).

1. $f(x)=(4x+7{)}^5$, avec $g(X)=X^5$ : $u(x)=$
   Le dernier calcul est la puissance $5$ ; elle porte sur $4x+7$ : $u(x)=4x+7$.
2. $f(x)=e^{x^3-x}$, avec $g(X)=e^X$ : $u(x)=$
   On calcule d’abord l’exposant $x^3-x$, puis on prend son exponentielle : $u(x)=x^3-x$.
3. $f(x)=\sqrt{5-x^2}$, avec $g(X)=\sqrt{X}$ : $u(x)=$
   La racine carrée est le dernier calcul ; elle porte sur $5-x^2$ : $u(x)=5-x^2$ (il faudra $u(x)⩾0$).
4. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3x^2+1}}$, avec $g(X)={\displaystyle \frac{1}{X}}$ : $u(x)=$
   On calcule $3x^2+1$, puis on prend l’inverse : $u(x)=3x^2+1$, qui ne s’annule jamais.

Soit $f(x)=\sqrt{4-x^2}$.

1. L’ensemble de définition de $f$ est l’intervalle $[a;2]$ avec $a=$
   $f(x)$ existe si et seulement si $4-x^2⩾0$, c’est-à-dire $x^2⩽4$, soit $-2⩽x⩽2$. Donc $a=-2$.
2. Démontrer, sans dériver, que $f$ est croissante sur $[-2;0]$ et décroissante sur $[0;2]$. Le maximum de $f$ vaut
   Rédaction attendue. On écrit $f=g\circ u$ avec $u(x)=4-x^2$ et $g(X)=\sqrt{X}$, croissante sur $[0;+\infty [$. Sur $[-2;0]$, $x\mapsto x^2$ est décroissante, donc $u$ est croissante ; elle prend ses valeurs dans $[0;4]$, où $g$ est croissante. Même sens de variation : $f$ est croissante sur $[-2;0]$. Sur $[0;2]$, $x\mapsto x^2$ est croissante, donc $u$ est décroissante, à valeurs dans $[0;4]$ : sens contraires, $f$ est décroissante sur $[0;2]$. Le maximum est atteint en $0$ : $f(0)=\sqrt{4}=2$.

Composer dans les deux sens. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Avec $u(x)=x+2$ et $v(x)=x^2$, l’unique réel $x$ tel que $(v\circ u)(x)=(u\circ v)(x)$ est
   $(v\circ u)(x)=(x+2{)}^2=x^2+4x+4$ et $(u\circ v)(x)=x^2+2$. L’égalité donne $4x+4=2$, soit $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-0,5$.
2. Démontrer qu’il existe une seule fonction affine croissante $u(x)=ax+b$ telle que $(u\circ u)(x)=4x+9$ pour tout réel $x$, et la déterminer : $a=$ et $b=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $(u\circ u)(x)=a(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b$. L’égalité $a^{2}x+(a+1)b=4x+9$ pour tout $x$ impose (coefficients de deux fonctions affines égales) $a^2=4$ et $(a+1)b=9$. Comme $u$ est croissante, $a>0$, donc $a=2$, puis $3b=9$, soit $b=3$. Réciproquement, $u(x)=2x+3$ donne $u(u(x))=2(2x+3)+3=4x+9$. L’unique solution est $u(x)=2x+3$.

Compléter le coefficient de chaque dérivée (fonctions dérivables là où elles sont définies).

1. $f(x)=(3x-5{)}^4$ : $f\prime (x)=$ $(3x-5{)}^3$
   $((ax+b{)}^n{)}^{\prime }=na(ax+b{)}^{n-1}$ avec $n=4$, $a=3$ : $f\prime (x)=12(3x-5{)}^3$.
2. $f(x)=e^{-4x+1}$ : $f\prime (x)=$ $e^{-4x+1}$
   $(e^{ax+b}{)}^{\prime }=a{e}^{ax+b}$ avec $a=-4$ : $f\prime (x)=-4e^{-4x+1}$.
3. $f(x)=\sqrt{2x+9}$ : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2x+9}}}$ avec $k=$
   $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2x+9}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+9}}}$ : le $2$ du numérateur se simplifie avec celui de la formule.
4. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{5x+2}}$ : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{k}{(5x+2{)}^2}}$ avec $k=$
   ${\left({\displaystyle \frac{1}{ax+b}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{-a}{(ax+b{)}^2}}$ avec $a=5$ : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{-5}{(5x+2{)}^2}}$.

Soit $g$ une fonction dérivable sur $ℝ$, dont on sait seulement que $g\prime (1)=-2$ et $g\prime (3)=5$.

1. $\phi (x)=g(2x-1)$ : $\phi \prime (1)=$
   $\phi \prime (x)=2g\prime (2x-1)$, donc $\phi \prime (1)=2g\prime (1)=2\times (-2)=-4$.
2. $\psi (x)=g(x^2+2)$ : $\psi \prime (1)=$
   Règle générale avec $u(x)=x^2+2$, $u\prime (x)=2x$ : $\psi \prime (x)=2xg\prime (x^2+2)$, donc $\psi \prime (1)=2g\prime (3)=2\times 5=10$.
3. $\chi (x)=g(3-2x)$ : $\chi \prime (1)=$
   $\chi \prime (x)=-2g\prime (3-2x)$, donc $\chi \prime (1)=-2g\prime (1)=-2\times (-2)=4$.

Soit $f(x)=(1-2x{)}^5$ sur $ℝ$, et $𝒞$ sa courbe.

1. Démontrer que $f\prime (x)=k(1-2x{)}^4$ et donner $k=$
   Rédaction attendue. On a $f=g\circ u$ avec $u(x)=1-2x$, $u\prime (x)=-2$, et $g(X)=X^5$, $g\prime (X)=5X^4$. D’après la dérivée de $g(ax+b)$, pour tout réel $x$ : $f\prime (x)=-2\times 5(1-2x{)}^4=-10(1-2x{)}^4$. Donc $k=-10$.
2. La tangente à $𝒞$ au point d’abscisse $1$ a pour équation $y=mx+p$ avec $p=$
   $f(1)=(-1{)}^5=-1$ et $f\prime (1)=-10\times (-1{)}^4=-10$. La tangente : $y=-10(x-1)-1=-10x+9$. Donc $p=9$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $ℝ$ et paire : $f(-x)=f(x)$ pour tout réel $x$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que $f\prime$ est impaire. En dérivant les deux membres de $f(-x)=f(x)$, on obtient $c\times f\prime (-x)=f\prime (x)$ avec $c=$
   Rédaction attendue. La fonction $x\mapsto f(-x)$ est la composée $f\circ u$ avec $u(x)=-x$, de dérivée $u\prime (x)=-1$. D’après la dérivée de $g(ax+b)$ (ici $a=-1$, $b=0$), sa dérivée est $x\mapsto -f\prime (-x)$. Deux fonctions égales sur $ℝ$ ont la même dérivée, donc pour tout réel $x$ : $-f\prime (-x)=f\prime (x)$, soit $f\prime (-x)=-f\prime (x)$. La fonction $f\prime$ est impaire, et $c=-1$.
2. Conséquence : $f\prime (0)=$
   Pour $x=0$ : $f\prime (0)=-f\prime (0)$, donc $2f\prime (0)=0$ et $f\prime (0)=0$. La courbe d’une fonction paire dérivable a une tangente horizontale en $0$.
3. $f(x)=\sqrt{x^2+8}$ est paire et $f\prime (1)={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Sans calcul : $f\prime (-1)=$
   $f\prime$ est impaire, donc $f\prime (-1)=-f\prime (1)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Vérification : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+8}}}$, et $f\prime (-1)={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{9}}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Calculer le nombre dérivé demandé. Une fraction s’écrit avec « / » ; un décimal avec une virgule.

1. $f(x)=(x^2-2{)}^3$ : $f\prime (2)=$
   $(u^3{)}^{\prime }=3u\prime u^2$ avec $u(x)=x^2-2$, $u\prime (x)=2x$ : $f\prime (x)=6x(x^2-2{)}^2$. Donc $f\prime (2)=12\times 2^2=48$.
2. $g(x)=\sqrt{3x^2+1}$ : $g\prime (1)=$
   $3x^2+1>0$ et $g\prime (x)={\displaystyle \frac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}}}={\displaystyle \frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}}$. Donc $g\prime (1)={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{4}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. $h(x)=e^{x^2-4x}$ : $h\prime (0)=$
   $h\prime (x)=(2x-4)e^{x^2-4x}$, donc $h\prime (0)=-4\times e^0=-4$.
4. $k(x)={\displaystyle \frac{1}{x^3+1}}$ sur $]-1;+\infty [$ : $k\prime (1)=$
   ${\left({\displaystyle \frac{1}{u}}\right)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$ avec $u(x)=x^3+1>0$ : $k\prime (x)={\displaystyle \frac{-3x^2}{(x^3+1{)}^2}}$. Donc $k\prime (1)={\displaystyle \frac{-3}{4}}$.

Compléter le coefficient de chaque dérivée.

1. $f(x)=(x^3+2x{)}^4$ : $f\prime (x)=$ $(3x^2+2)(x^3+2x{)}^3$
   $(u^4{)}^{\prime }=4u\prime u^3$ avec $u\prime (x)=3x^2+2$.
2. $g(x)=e^{3x^2}$ : $g\prime (x)=$ $x{e}^{3x^2}$
   $(e^u{)}^{\prime }=u\prime e^u$ avec $u(x)=3x^2$, $u\prime (x)=6x$ : $g\prime (x)=6x{e}^{3x^2}$.
3. $h(x)=\sqrt{x^4+1}$ : $h\prime (x)={\displaystyle \frac{c{x}^3}{\sqrt{x^4+1}}}$ avec $c=$
   $h\prime (x)={\displaystyle \frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}}={\displaystyle \frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}}$.
4. $k(x)={\displaystyle \frac{1}{(x^2+4{)}^2}}$ : $k\prime (x)={\displaystyle \frac{cx}{(x^2+4{)}^3}}$ avec $c=$
   $k=u^{-2}$ avec $u(x)=x^2+4\ne 0$ : $k\prime (x)=-2\times 2x(x^2+4{)}^{-3}={\displaystyle \frac{-4x}{(x^2+4{)}^3}}$.

Soit $f(x)=x\sqrt{2x+3}$ sur $]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty [$.

1. Démontrer que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{3x+3}{\sqrt{2x+3}}}$. Contrôle : $f\prime (3)=$
   Rédaction attendue. Sur $]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty [$, $2x+3>0$, donc $x\mapsto \sqrt{2x+3}$ est dérivable, de dérivée ${\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2x+3}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+3}}}$. Par produit : $f\prime (x)=1\times \sqrt{2x+3}+x\times {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+3}}}={\displaystyle \frac{(2x+3)+x}{\sqrt{2x+3}}}={\displaystyle \frac{3x+3}{\sqrt{2x+3}}}$. Contrôle : $f\prime (3)={\displaystyle \frac{12}{\sqrt{9}}}=4$.
2. Le minimum de $f$ sur $]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty [$ vaut
   $\sqrt{2x+3}>0$, donc $f\prime (x)$ a le signe de $3x+3$ : négatif sur $]-{\displaystyle \frac{3}{2}};-1]$, positif sur $[-1;+\infty [$. Le minimum est $f(-1)=-1\times \sqrt{1}=-1$.

Soit $f(x)={\left({\displaystyle \frac{x+1}{x+3}}\right)}^2$ sur $]-3;+\infty [$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{c(x+1)}{(x+3{)}^3}}$ et donner $c=$
   Rédaction attendue. On pose $u(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x+3}}$, dérivable sur $]-3;+\infty [$ (quotient, $x+3\ne 0$). Par quotient : $u\prime (x)={\displaystyle \frac{1\times (x+3)-(x+1)\times 1}{(x+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{2}{(x+3{)}^2}}$. Comme $f=u^2$, $f\prime =2u\prime u$ : $f\prime (x)=2\times {\displaystyle \frac{2}{(x+3{)}^2}}\times {\displaystyle \frac{x+1}{x+3}}={\displaystyle \frac{4(x+1)}{(x+3{)}^3}}$. Donc $c=4$.
2. $f\prime (1)=$
   $f\prime (1)={\displaystyle \frac{4\times 2}{4^3}}={\displaystyle \frac{8}{64}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

Calculer $f″$, puis la valeur demandée. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $f(x)=x^4-2x^3$ : $f″(2)=$
   $f\prime (x)=4x^3-6x^2$, $f″(x)=12x^2-12x$, donc $f″(2)=48-24=24$.
2. $f(x)=e^{3x}$ : $f″(0)=$
   $f\prime (x)=3e^{3x}$, $f″(x)=9e^{3x}$, donc $f″(0)=9$.
3. $f(x)=(2x+1{)}^5$ : $f″(0)=$
   $f\prime (x)=5\times 2(2x+1{)}^4=10(2x+1{)}^4$, puis $f″(x)=10\times 4\times 2(2x+1{)}^3=80(2x+1{)}^3$. Donc $f″(0)=80$.
4. $f(x)=\sqrt{4x+1}$ sur $]-{\displaystyle \frac{1}{4}};+\infty [$ : $f″(2)=$
   $f\prime (x)={\displaystyle \frac{4}{2\sqrt{4x+1}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4x+1}}}$. On dérive ${\displaystyle \frac{2}{w}}$ avec $w(x)=\sqrt{4x+1}$, $w\prime (x)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4x+1}}}$ : $f″(x)=-{\displaystyle \frac{2w\prime (x)}{w(x{)}^2}}={\displaystyle \frac{-4}{(4x+1)\sqrt{4x+1}}}$. Donc $f″(2)={\displaystyle \frac{-4}{9\times 3}}=-{\displaystyle \frac{4}{27}}$.

Un mobile se déplace sur un axe ; sa position (en m) à l’instant $t$ (en s), pour $t⩾0$, est $x(t)=2t^3-9t^2+12t$. Un décimal s’écrit avec une virgule.

1. Vitesse initiale : $v(0)=$ m/s
   $v(t)=x\prime (t)=6t^2-18t+12$, donc $v(0)=12$ m/s.
2. L’accélération s’annule à l’instant $t=$ s
   $a(t)=v\prime (t)=x″(t)=12t-18$, nul pour $t=1,5$ s.
3. Justifier que la vitesse est minimale à cet instant. Vitesse minimale : m/s
   Rédaction attendue. $v\prime (t)=a(t)=12t-18$ est négatif sur $[0;1,5]$ et positif sur $[1,5;+\infty [$. Donc $v$ est décroissante sur $[0;1,5]$ puis croissante : elle atteint son minimum en $t=1,5$, avec $v(1,5)=6\times 2,25-27+12=-1,5$ m/s. La vitesse négative signifie que le mobile recule à cet instant.

Soit $f(x)=e^{-2x^2}$ sur $ℝ$. Un décimal s’écrit avec une virgule.

1. Démontrer que $f″(x)=(16x^2-4)e^{-2x^2}$. Contrôle : $f″(0)=$
   Rédaction attendue. $(e^u{)}^{\prime }=u\prime e^u$ avec $u(x)=-2x^2$, $u\prime (x)=-4x$ : $f\prime (x)=-4x{e}^{-2x^2}$. Par produit : $f″(x)=-4e^{-2x^2}+(-4x)(-4x)e^{-2x^2}=(16x^2-4)e^{-2x^2}$. Donc $f″(0)=-4$.
2. $f″$ s’annule en deux réels opposés ; le positif vaut
   $e^{-2x^2}>0$, donc $f″(x)=0⟺16x^2=4⟺x^2={\displaystyle \frac{1}{4}}⟺x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. Sur $[0;+\infty [$, $f\prime$ atteint son minimum en ce réel positif. Valeur approchée au centième de ce minimum :
   $f″(x)<0$ sur $[0;0,5[$ et $f″(x)>0$ sur $]0,5;+\infty [$ : $f\prime$ décroît puis croît, son minimum est $f\prime (0,5)=-2e^{-0,5}\approx -1,213$, soit $-1,21$. C’est l’endroit où la courbe descend le plus vite.

On veut démontrer que pour tout $x⩾0$, $e^x⩾1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$. On pose $g(x)=e^x-1-x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ sur $[0;+\infty [$.

1. $g\prime (0)=$
   $g\prime (x)=e^x-1-x$, donc $g\prime (0)=1-1-0=0$.
2. Démontrer l’inégalité à l’aide de $g″$. Application : pour $x=0,1$, le minorant $1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ vaut
   Rédaction attendue. Pour $x⩾0$ : $g″(x)=e^x-1⩾0$, car $e^x⩾e^0=1$ (exponentielle croissante). Donc $g\prime$ est croissante sur $[0;+\infty [$ et $g\prime (x)⩾g\prime (0)=0$. Ainsi $g$ est croissante sur $[0;+\infty [$ et $g(x)⩾g(0)=1-1-0-0=0$, c’est-à-dire $e^x⩾1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$. Pour $x=0,1$ : $1+0,1+0,005=1,105$, et en effet $e^{0,1}\approx 1,10517$.

Extremums à l’aide des variations de $u$.

1. $f(x)=e^{x^2-4x+2}$ admet un minimum en $x=$
   $f\prime (x)=(2x-4)e^{x^2-4x+2}$ a le signe de $2x-4$ : $f$ décroît sur $]-\infty ;2]$ et croît sur $[2;+\infty [$.
2. Ce minimum vaut $e^k$ avec $k=$
   $f(2)=e^{4-8+2}=e^{-2}$. Le minimum de $f$ n’est pas $-2$ : c’est $e^{-2}$.
3. $g(x)=\sqrt{-x^2+2x+8}$, définie sur $[-2;4]$, a pour maximum
   $u(x)=-x^2+2x+8$ croît sur $[-2;1]$ et décroît sur $[1;4]$ (sommet en $x=1$) ; $\sqrt{u}$ a les mêmes variations. Maximum : $g(1)=\sqrt{9}=3$.

Équation réduite $y=mx+p$ de la tangente au point indiqué.

1. $f(x)=e^{2x-4}$, au point d’abscisse $2$ : $m=$
   $f\prime (x)=2e^{2x-4}$, donc $m=f\prime (2)=2e^0=2$.
2. Même tangente : $p=$
   $f(2)=e^0=1$ : $y=2(x-2)+1=2x-3$.
3. $f(x)=(x^2-3{)}^2$, au point d’abscisse $1$ : $m=$
   $f\prime (x)=2\times 2x(x^2-3)=4x(x^2-3)$, donc $m=f\prime (1)=4\times (-2)=-8$.
4. Même tangente : $p=$
   $f(1)=(-2{)}^2=4$ : $y=-8(x-1)+4=-8x+12$.

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-2x+3}}$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que $f$ est définie et dérivable sur $ℝ$, puis étudier ses variations. Maximum de $f$ :
   Rédaction attendue. Le discriminant de $x^2-2x+3$ vaut $4-12=-8<0$ : ce trinôme ne s’annule pas et reste strictement positif sur $ℝ$. Donc $f={\displaystyle \frac{1}{u}}$ avec $u(x)=x^2-2x+3>0$ est définie et dérivable sur $ℝ$, et $f\prime (x)=-{\displaystyle \frac{u\prime (x)}{u(x{)}^2}}={\displaystyle \frac{-(2x-2)}{(x^2-2x+3{)}^2}}$. Le dénominateur est strictement positif : $f\prime (x)$ a le signe de $2-2x$, positif sur $]-\infty ;1]$, négatif sur $[1;+\infty [$. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty ;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty [$ ; son maximum est $f(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. $f\prime (0)=$
   $f\prime (0)={\displaystyle \frac{-(0-2)}{3^2}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$.

Soit $f(x)=\sqrt{x}{e}^{-x}$ sur $]0;+\infty [$. Un décimal s’écrit avec une virgule.

1. Démontrer que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{(1-2x)e^{-x}}{2\sqrt{x}}}$ et en déduire les variations de $f$. Le maximum est atteint en $x=$
   Rédaction attendue. Sur $]0;+\infty [$, la racine carrée est dérivable et $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$. Par produit : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}{e}^{-x}-\sqrt{x}{e}^{-x}={\displaystyle \frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}}}(1-2\sqrt{x}\sqrt{x})={\displaystyle \frac{(1-2x)e^{-x}}{2\sqrt{x}}}$. Comme $e^{-x}>0$ et $2\sqrt{x}>0$, $f\prime (x)$ a le signe de $1-2x$ : $f$ est croissante sur $\left]0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$ et décroissante sur $[{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$. Le maximum est atteint en $x=0,5$.
2. Valeur approchée de ce maximum au centième :
   $f(0,5)=\sqrt{0,5}{e}^{-0,5}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2e}}}\approx 0,4289$, soit $0,43$.
3. Nombre de solutions de l’équation $f(x)=0,4$ sur $]0;+\infty [$ :
   $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$ ; en $+\infty$, $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\times x{e}^{-x}$ tend vers $0\times 0=0$ (croissances comparées). Sur $]0;0,5]$, $f$ est continue et strictement croissante, de $0$ (limite) à $0,4289>0,4$ : une solution (théorème des valeurs intermédiaires, cas strictement monotone). Sur $[0,5;+\infty [$, $f$ décroît strictement de $0,4289$ vers $0$ : une seconde solution. Il y en a $2$.