Combien de temps dure ce contrôle sur « Convexité » ?

120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Convexité » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale.

Spécialité Mathématiques Terminale

Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Convexité

Fonction convexe ou concave (cordes, tangentes), dérivée seconde et convexité, points d'inflexion, inégalités obtenues par convexité (position par rapport aux tangentes), lecture graphique

À propos de cette page

Ce devoir surveillé sur « Convexité » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'essentiel, Cordes et fonctions de référence, Dérivée seconde et convexité, Tangentes et inégalités de convexité. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.

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Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Devoir surveillé – Convexité

Fonction convexe ou concave (cordes, tangentes), dérivée seconde et convexité, points d'inflexion, inégalités obtenues par convexité (position par rapport aux tangentes), lecture graphique

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Lecture d'un tableau de signes

(4 pts)

a)Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur $[- 5; 5]$ ; le tableau de signes de $f^{″}$ est :
$x$ $- 5$ $- 2$ $3$ $5$
$f^{″} (x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
Donner les intervalles où $f$ est convexe, puis concave.
b)Donner les abscisses des points d'inflexion de la courbe de $f$ , en justifiant.
c)Donner le sens de variation de $f^{'}$ sur $[- 5; 5]$ .
d)On sait que $f (3) = 0, 5$ et $f^{'} (3) = - 2$ . Déterminer une équation de la tangente $T$ en $3$ et la position de la courbe par rapport à $T$ sur $[- 2; 3]$ .

$x$	$- 5$		$- 2$		$3$		$5$
$f^{″} (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Exercice 2 – Étude d'un polynôme

(4 pts)

a)Soit $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 1$ sur $ℝ$ . Calculer $f^{'} (x)$ et $f^{″} (x)$ .
b)Étudier la convexité de $f$ .
c)Donner les coordonnées du point d'inflexion $I$ de la courbe de $f$ .
d)Déterminer une équation de la tangente à la courbe en $I$ .

Exercice 3 – Avec l'exponentielle

(4 pts)

a)Soit $g (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ sur $ℝ$ . Montrer que $g^{″} (x) = (x^{2} + 4 x - 1) e^{x}$ .
b)Déterminer le signe de $g^{″} (x)$ selon les valeurs de $x$ .
c)En déduire la convexité de $g$ .
d)Combien la courbe de $g$ a-t-elle de points d'inflexion ? Donner leurs abscisses exactes puis arrondies au centième.

Exercice 4 – Une inégalité de convexité

(4 pts)

a)Soit $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ sur $] - 1; + \infty [$ . Calculer $f^{'} (x)$ et $f^{″} (x)$ .
b)Étudier la convexité de $f$ sur $] - 1; + \infty [$ .
c)Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ .
d)En déduire que $\frac{1}{1 + x} ⩾ 1 - x$ pour tout $x > - 1$ , puis un minorant de $\frac{1}{1, 03}$ .

Exercice 5 – Vrai ou faux ? Justifier

(4 pts)

a)« Si $f^{″} (2) = 0$ , la courbe de $f$ a un point d'inflexion d'abscisse $2$ . »
b)« Une fonction concave sur $ℝ$ est décroissante sur $ℝ$ . »
c)« La fonction $x \mapsto x^{3} - 4, 5 x^{2}$ est convexe sur $[1; + \infty [$ . »
d)« Si $f$ est convexe sur $[0; 2]$ avec $f (0) = 1$ et $f (2) = 5$ , alors $f (1) ⩽ 3$ . »

Bon courage !

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Corrigé et barème – Convexité

Fonction convexe ou concave (cordes, tangentes), dérivée seconde et convexité, points d'inflexion, inégalités obtenues par convexité (position par rapport aux tangentes), lecture graphique

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Exercice 1 – Lecture d'un tableau de signes

(4 pts)

a) $f^{″} ⩾ 0$ sur $[- 2; 3]$ : convexe sur $[- 2; 3]$ ; $f^{″} ⩽ 0$ : concave sur $[- 5; - 2]$ et sur $[3; 5]$ . (1)
b) $f^{″}$ s'annule en changeant de signe en $- 2$ et en $3$ : deux points d'inflexion, d'abscisses $- 2$ et $3$ . (1)
c)Signe de $f^{″}$ = variations de $f^{'}$ : décroissante sur $[- 5; - 2]$ , croissante sur $[- 2; 3]$ , décroissante sur $[3; 5]$ . (1)
d) $T : y = - 2 (x - 3) + 0, 5 = - 2 x + 6, 5$ . $f$ convexe sur $[- 2; 3]$ et $3 \in [- 2; 3]$ : courbe au-dessus de $T$ sur $[- 2; 3]$ . (1)

Erreur fréquente — Le signe de $f^{″}$ donne la convexité de $f$ et les variations de $f^{'}$ , jamais les variations de $f$ .

Exercice 2 – Étude d'un polynôme

(4 pts)

a) $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$ ; $f^{″} (x) = 12 x - 6$ . (1)
b) $f^{″} (x) = 12 (x - \frac{1}{2})$ : concave sur $] - \infty; \frac{1}{2}]$ , convexe sur $[\frac{1}{2}; + \infty [$ . (1)
c) $f^{″}$ change de signe en $\frac{1}{2}$ ; $f (\frac{1}{2}) = 0, 25 - 0, 75 - 6 + 1 = - 5, 5$ : $I (0, 5; - 5, 5)$ . (1)
d) $f^{'} (0, 5) = 1, 5 - 3 - 12 = - 13, 5$ ; $y = - 13, 5 (x - 0, 5) - 5, 5 = - 13, 5 x + 1, 25$ . (1)

À retenir — Un polynôme de degré 3 a toujours exactement un point d'inflexion, là où s'annule sa dérivée seconde affine.

Exercice 3 – Avec l'exponentielle

(4 pts)

a) $g^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} - 3) e^{x} = (x^{2} + 2 x - 3) e^{x}$ ; $g^{″} (x) = (2 x + 2) e^{x} + (x^{2} + 2 x - 3) e^{x} = (x^{2} + 4 x - 1) e^{x}$ . (1)
b) $e^{x} > 0$ : signe de $x^{2} + 4 x - 1$ ; $Δ = 20$ , racines $- 2 - \sqrt{5}$ et $- 2 + \sqrt{5}$ ; positif à l'extérieur, négatif entre. (1)
c)Convexe sur $] - \infty; - 2 - \sqrt{5}]$ et sur $[- 2 + \sqrt{5}; + \infty [$ ; concave sur $[- 2 - \sqrt{5}; - 2 + \sqrt{5}]$ . (1)
d)Deux changements de signe : deux points d'inflexion, d'abscisses $- 2 - \sqrt{5} \approx - 4, 24$ et $- 2 + \sqrt{5} \approx 0, 24$ . (1)

Le point clé — Le facteur exponentiel est strictement positif : tout le travail porte sur le signe du trinôme.

Exercice 4 – Une inégalité de convexité

(4 pts)

a) $f^{'} (x) = - \frac{1}{(1 + x)^{2}}$ ; $f^{″} (x) = \frac{2}{(1 + x)^{3}}$ . (1)
b)Pour $x > - 1$ , $(1 + x)^{3} > 0$ donc $f^{″} (x) > 0$ : $f$ convexe sur $] - 1; + \infty [$ . (1)
c) $f (0) = 1$ , $f^{'} (0) = - 1$ : $y = 1 - x$ . (1)
d)Convexe donc au-dessus de sa tangente en $0$ : $\frac{1}{1 + x} ⩾ 1 - x$ . Avec $x = 0, 03$ : $\frac{1}{1, 03} ⩾ 0, 97$ . (1)

Attention — L'inégalité n'est valable que sur l'intervalle de convexité $] - 1; + \infty [$ : pour $x < - 1$ , elle est fausse.

Exercice 5 – Vrai ou faux ? Justifier

(4 pts)

a)Faux : $f (x) = (x - 2)^{4}$ vérifie $f^{″} (x) = 12 (x - 2)^{2} ⩾ 0$ , nulle en $2$ sans changer de signe. (1)
b)Faux : $x \mapsto - e^{- x}$ a pour dérivée $e^{- x} > 0$ (croissante) et pour dérivée seconde $- e^{- x} < 0$ (concave). (1)
c)Faux : $f^{″} (x) = 6 x - 9 < 0$ sur $[1; 1, 5 [$ , donc $f$ est concave sur $[1; 1, 5]$ . (1)
d)Vrai : la corde passe par $(0; 1)$ et $(2; 5)$ , d'équation $y = 2 x + 1$ ; la courbe est dessous : $f (1) ⩽ 3$ . (1)

Astuce — Pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit ; pour la valider, il faut une propriété du cours.

Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Convexité » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Lecture d'un tableau de signes/ 4 pts
Exercice 2 — Étude d'un polynôme/ 4 pts
Exercice 3 — Avec l'exponentielle/ 4 pts
Exercice 4 — Une inégalité de convexité/ 4 pts
Exercice 5 — Vrai ou faux ? Justifier/ 4 pts

Notions évaluées

L'essentiel, Cordes et fonctions de référence, Dérivée seconde et convexité, Tangentes et inégalités de convexité, Points d'inflexion, Méthodes.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Convexité » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Convexité » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit L'essentiel, Cordes et fonctions de référence, Dérivée seconde et convexité, Tangentes et inégalités de convexité.

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