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Dérivation avancée — convexité et primitives
Étude de la convexité des fonctions et calcul de primitives — programme de Terminale Spé Maths
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Dérivation avancée — convexité et primitives » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels sur la dérivation et la dérivée seconde, Convexité et concavité d'une fonction, Points d'inflexion, Lien entre convexité et tangentes. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Rappels sur la dérivation et la dérivée seconde
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Sa dérivée $f'$ donne, en chaque point, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$.
Définition — Dérivée seconde. Si $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, on appelle dérivée seconde de $f$ la fonction $(f')' = f''$.
On note aussi $f'' = \frac{d^2f}{dx^2}$.
On note aussi $f'' = \frac{d^2f}{dx^2}$.
Exemple. Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$.
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$
$f''(x) = 6x - 6$
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$
$f''(x) = 6x - 6$
La dérivée seconde permet d'étudier comment varie la pente de la courbe : si $f''(x) \gt 0$, la pente est croissante (la courbe « accélère vers le haut ») ; si $f''(x) \lt 0$, la pente est décroissante.
Astuce. Pour calculer $f''$, on dérive $f'$ en appliquant les mêmes formules de dérivation que pour $f'$ elle-même.
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Convexité et concavité d'une fonction
Définition — Fonction convexe. Une fonction $f$ est dite convexe sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$ et tout $t \in [0;1]$ :
$$f\big(ta + (1-t)b\big) \leq t\,f(a) + (1-t)\,f(b)$$
Géométriquement : la courbe est en dessous de tout segment joignant deux de ses points (la courbe est « en creux »).
$$f\big(ta + (1-t)b\big) \leq t\,f(a) + (1-t)\,f(b)$$
Géométriquement : la courbe est en dessous de tout segment joignant deux de ses points (la courbe est « en creux »).
Définition — Fonction concave. $f$ est concave sur $I$ si $-f$ est convexe, i.e. la courbe est au-dessus de tout segment joignant deux de ses points (la courbe est « en bosse »).
Théorème — Caractérisation par la dérivée seconde. Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$.
• $f$ est convexe sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f'' \geq 0$ sur $I$.
• $f$ est concave sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f'' \leq 0$ sur $I$.
• $f$ est convexe sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f'' \geq 0$ sur $I$.
• $f$ est concave sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f'' \leq 0$ sur $I$.
Exemple. $f(x) = e^x$ : $f''(x) = e^x \gt 0$ pour tout $x$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
$g(x) = \ln(x)$ : $g''(x) = -\frac{1}{x^2} \lt 0$ pour tout $x \gt 0$, donc $g$ est concave sur $]0;+\infty[$.
$g(x) = \ln(x)$ : $g''(x) = -\frac{1}{x^2} \lt 0$ pour tout $x \gt 0$, donc $g$ est concave sur $]0;+\infty[$.
Attention ! « Convexe » ne veut pas dire « croissant » : une parabole $x^2$ est convexe même si elle est décroissante sur $]-\infty; 0]$. La convexité décrit la courbure, pas le sens de variation.
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Points d'inflexion
Définition — Point d'inflexion. Un point $A = (a, f(a))$ est un point d'inflexion de la courbe de $f$ si la courbe traverse sa tangente en $A$, autrement dit si $f''$ change de signe en $a$.
En pratique, pour trouver les points d'inflexion :
- On calcule $f''(x)$ ;
- On résout $f''(x) = 0$ pour trouver les candidats ;
- On vérifie que $f''$ change effectivement de signe en ces points.
Exemple. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$, $\quad f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$
$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Pour $x \lt 1$ : $f''(x) \lt 0$ (concave) ; pour $x \gt 1$ : $f''(x) \gt 0$ (convexe).
Donc $(1, f(1)) = (1, 0)$ est un point d'inflexion.
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$, $\quad f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$
$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Pour $x \lt 1$ : $f''(x) \lt 0$ (concave) ; pour $x \gt 1$ : $f''(x) \gt 0$ (convexe).
Donc $(1, f(1)) = (1, 0)$ est un point d'inflexion.
Attention ! Si $f''(a) = 0$ mais que $f''$ ne change pas de signe en $a$, alors $a$ n'est pas un point d'inflexion. Par exemple, $f(x) = x^4$ : $f''(x) = 12x^2$, $f''(0) = 0$ mais $f''$ est positive des deux côtés de $0$ → pas de point d'inflexion.
| Situation | $f''$ | Convexité |
|---|---|---|
| $f'' \gt 0$ sur $I$ | positive | convexe (en creux) |
| $f'' \lt 0$ sur $I$ | négative | concave (en bosse) |
| $f''$ change de signe en $a$ | s'annule et change | point d'inflexion en $a$ |
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Lien entre convexité et tangentes
Propriété — Tangentes et convexité. Soit $f$ convexe sur $I$.
• Pour tout $a \in I$, la tangente en $(a, f(a))$ est en dessous de la courbe sur $I$ : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ pour tout $x \in I$.
Si $f$ est concave, l'inégalité est inversée : la tangente est au-dessus de la courbe.
• Pour tout $a \in I$, la tangente en $(a, f(a))$ est en dessous de la courbe sur $I$ : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ pour tout $x \in I$.
Si $f$ est concave, l'inégalité est inversée : la tangente est au-dessus de la courbe.
Exemple — Inégalité classique. Puisque $e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$, la tangente en $x = 0$ (qui est $y = x + 1$) est sous la courbe :
$$\forall x \in \mathbb{R},\quad e^x \geq x + 1$$
Cette inégalité est fondamentale en analyse.
$$\forall x \in \mathbb{R},\quad e^x \geq x + 1$$
Cette inégalité est fondamentale en analyse.
Astuce — Méthode pratique. Pour montrer qu'une inégalité $f(x) \geq g(x)$ est vraie, on peut poser $h = f - g$ et étudier le minimum de $h$ : si $h_{\min} \geq 0$, l'inégalité est établie. La convexité garantit que le minimum local est aussi le minimum global.
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Primitives — définition et propriétés
Définition — Primitive. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$.
Une primitive n'est jamais unique : si $F$ est une primitive de $f$, alors $F + C$ (où $C$ est une constante réelle quelconque) est aussi une primitive de $f$.
Théorème — Existence et unicité à une constante près. Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors $F - G$ est constante sur $I$.
Exemple. Les primitives de $f(x) = 2x$ sont les fonctions $F(x) = x^2 + C$, $C \in \mathbb{R}$.
En effet $(x^2 + C)' = 2x = f(x)$.
En effet $(x^2 + C)' = 2x = f(x)$.
Propriété — Linéarité des primitives. Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$ sur $I$, alors :
• $F + G$ est une primitive de $f + g$.
• $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$ (pour tout réel $\lambda$).
• $F + G$ est une primitive de $f + g$.
• $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$ (pour tout réel $\lambda$).
Attention ! Il n'existe pas de « formule produit » pour les primitives. $F \times G$ n'est pas une primitive de $f \times g$.
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Tableau des primitives usuelles
Voici les primitives fondamentales à connaître en Terminale :
| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Conditions |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $kx$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{Z}, n \neq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | sur $\mathbb{R}$ si $n \geq 0$, sinon sur $]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | sur $]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $e^{ax+b}$ ($a \neq 0$) | $\dfrac{1}{a}e^{ax+b}$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\cos(ax+b)$ ($a \neq 0$) | $\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\sin(ax+b)$ ($a \neq 0$) | $-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | sur $]0;+\infty[$ |
| $\dfrac{u'}{u}$ ($u \gt 0$) | $\ln(u)$ | là où $u \gt 0$ |
| $u' \cdot u^n$ ($n \neq -1$) | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ | selon le domaine de $u$ |
Astuce — Mémo. Pour les formes $u'e^u$, $\frac{u'}{u}$, $u'\cos(u)$, etc., identifier $u$ et $u'$ d'abord, puis appliquer la formule correspondante.
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Calcul de primitives par linéarité
En pratique, on décompose une expression en somme de termes dont on connaît les primitives.
Exemple 1. Calculer une primitive de $f(x) = 3x^2 - 4x + 7$.
$F(x) = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 4 \cdot \dfrac{x^2}{2} + 7x = x^3 - 2x^2 + 7x$
$F(x) = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 4 \cdot \dfrac{x^2}{2} + 7x = x^3 - 2x^2 + 7x$
Exemple 2 — Forme $u'e^u$. $f(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$.
Posons $u = x^2 + x$, alors $u' = 2x + 1$. On reconnaît $f = u' \cdot e^u$.
Donc $F(x) = e^{x^2+x}$.
Posons $u = x^2 + x$, alors $u' = 2x + 1$. On reconnaît $f = u' \cdot e^u$.
Donc $F(x) = e^{x^2+x}$.
Exemple 3 — Forme $\frac{u'}{u}$. $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
Posons $u = x^2 + 1$, $u' = 2x \gt 0$ (sauf si $u = 0$, mais ici $u \geq 1$).
$F(x) = \ln(x^2 + 1)$.
Posons $u = x^2 + 1$, $u' = 2x \gt 0$ (sauf si $u = 0$, mais ici $u \geq 1$).
$F(x) = \ln(x^2 + 1)$.
Exemple 4 — Forme $u' \cdot u^n$. $f(x) = 3x^2(x^3 - 1)^4$.
Posons $u = x^3 - 1$, $u' = 3x^2$.
$F(x) = \dfrac{(x^3-1)^5}{5}$.
Posons $u = x^3 - 1$, $u' = 3x^2$.
$F(x) = \dfrac{(x^3-1)^5}{5}$.
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Méthodes et pièges classiques
Piège 1 — Oublier la constante. Quand on cherche une primitive, on peut poser la constante à $0$. Mais si une condition initiale est donnée ($F(x_0) = y_0$), il faut déterminer $C$.
Exemple — Condition initiale. Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 2x - 3$ telle que $F(1) = 4$.
$F(x) = x^2 - 3x + C$. Condition : $F(1) = 1 - 3 + C = 4 \Rightarrow C = 6$.
Donc $F(x) = x^2 - 3x + 6$.
$F(x) = x^2 - 3x + C$. Condition : $F(1) = 1 - 3 + C = 4 \Rightarrow C = 6$.
Donc $F(x) = x^2 - 3x + 6$.
Piège 2 — Signe en cas de $\sin(ax+b)$. La primitive de $\sin(ax+b)$ est $-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)$ (attention au signe négatif !).
Piège 3 — $\frac{1}{u}$ vs $\frac{u'}{u}$. La primitive de $\dfrac{1}{x^2+1}$ n'est pas $\ln(x^2+1)$, car $(x^2+1)' = 2x \neq 1$. Il faut reconnaître si la forme $\frac{u'}{u}$ est exactement présente.
Méthode de vérification. Après avoir calculé $F$, on dérive $F$ et on vérifie que l'on retrouve $f$. C'est le seul moyen sûr de s'assurer du résultat.
Bilan — Étude complète d'une fonction. En Terminale, l'étude complète d'une fonction $f$ suit l'ordre :
1. Domaine de définition et limites aux bornes
2. Dérivée $f'$ → variations
3. Dérivée seconde $f''$ → convexité, points d'inflexion
4. Représentation graphique avec tangentes remarquables
1. Domaine de définition et limites aux bornes
2. Dérivée $f'$ → variations
3. Dérivée seconde $f''$ → convexité, points d'inflexion
4. Représentation graphique avec tangentes remarquables
En bref
- La dérivée seconde $f''$ caractérise la convexité : $f'' \geq 0$ ↔ $f$ convexe (en creux) ; $f'' \leq 0$ ↔ $f$ concave (en bosse).
- Un point d'inflexion est un point où $f''$ change de signe (et non juste s'annule).
- Si $f$ est convexe, la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.
- Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F' = f$ ; toutes les primitives diffèrent d'une constante.
- Primitives clés : $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$, $e^x \to e^x$, $\cos x \to \sin x$, $\sin x \to -\cos x$, $\frac{1}{x} \to \ln|x|$.
- Formes composées : $u'e^u \to e^u$, $\frac{u'}{u} \to \ln(u)$, $u' u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$.
- Toujours vérifier le résultat en dérivant la primitive trouvée.
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