À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Dérivation avancée — convexité et primitives » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels sur la dérivation et la dérivée seconde, Convexité et concavité d'une fonction, Points d'inflexion, Lien entre convexité et tangentes. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Rappels sur la dérivation et la dérivée seconde
2 · Convexité et concavité d'une fonction
3 · Points d'inflexion
4 · Lien entre convexité et tangentes
5 · Primitives — définition et propriétés
6 · Tableau des primitives usuelles
7 · Calcul de primitives par linéarité
8 · Méthodes et pièges classiques
1Rappels sur la dérivation et la dérivée seconde
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Sa dérivée $f'$ donne, en chaque point, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$.
Définition — Dérivée seconde. Si $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, on appelle dérivée seconde de $f$ la fonction $(f')' = f''$.
On note aussi $f'' = \frac{d^2f}{dx^2}$.
Exemple. Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$.
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$
$f''(x) = 6x - 6$
La dérivée seconde permet d'étudier comment varie la pente de la courbe : si $f''(x) > 0$, la pente est croissante (la courbe « accélère vers le haut ») ; si $f''(x) < 0$, la pente est décroissante.
Astuce. Pour calculer $f''$, on dérive $f'$ en appliquant les mêmes formules de dérivation que pour $f'$ elle-même.
2Convexité et concavité d'une fonction
Définition — Fonction convexe. Une fonction $f$ est dite convexe sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$ et tout $t \in [0;1]$ :
$$f\big(ta + (1-t)b\big) \leq t\,f(a) + (1-t)\,f(b)$$
Géométriquement : la courbe est en dessous de tout segment joignant deux de ses points (la courbe est « en creux »).
Définition — Fonction concave. $f$ est concave sur $I$ si $-f$ est convexe, i.e. la courbe est au-dessus de tout segment joignant deux de ses points (la courbe est « en bosse »).
Théorème — Caractérisation par la dérivée seconde. Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$.
• $f$ est convexe sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f'' \geq 0$ sur $I$.
• $f$ est concave sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f'' \leq 0$ sur $I$.
Exemple. $f(x) = e^x$ : $f''(x) = e^x > 0$ pour tout $x$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
$g(x) = \ln(x)$ : $g''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ pour tout $x > 0$, donc $g$ est concave sur $]0;+\infty[$.
Attention ! « Convexe » ne veut pas dire « croissant » : une parabole $x^2$ est convexe même si elle est décroissante sur $]-\infty; 0]$. La convexité décrit la courbure, pas le sens de variation.
3Points d'inflexion
Définition — Point d'inflexion. Un point $A = (a, f(a))$ est un point d'inflexion de la courbe de $f$ si la courbe traverse sa tangente en $A$, autrement dit si $f''$ change de signe en $a$.
En pratique, pour trouver les points d'inflexion :
- On calcule $f''(x)$ ;
- On résout $f''(x) = 0$ pour trouver les candidats ;
- On vérifie que $f''$ change effectivement de signe en ces points.
Exemple. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$, $\quad f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$
$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Pour $x < 1$ : $f''(x) < 0$ (concave) ; pour $x > 1$ : $f''(x) > 0$ (convexe).
Donc $(1, f(1)) = (1, 0)$ est un point d'inflexion.
Attention ! Si $f''(a) = 0$ mais que $f''$ ne change pas de signe en $a$, alors $a$ n'est pas un point d'inflexion. Par exemple, $f(x) = x^4$ : $f''(x) = 12x^2$, $f''(0) = 0$ mais $f''$ est positive des deux côtés de $0$ → pas de point d'inflexion.
| Situation | $f''$ | Convexité |
|---|
| $f'' > 0$ sur $I$ | positive | convexe (en creux) |
| $f'' < 0$ sur $I$ | négative | concave (en bosse) |
| $f''$ change de signe en $a$ | s'annule et change | point d'inflexion en $a$ |
4Lien entre convexité et tangentes
Propriété — Tangentes et convexité. Soit $f$ convexe sur $I$.
• Pour tout $a \in I$, la tangente en $(a, f(a))$ est en dessous de la courbe sur $I$ : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ pour tout $x \in I$.
Si $f$ est concave, l'inégalité est inversée : la tangente est au-dessus de la courbe.
Exemple — Inégalité classique. Puisque $e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$, la tangente en $x = 0$ (qui est $y = x + 1$) est sous la courbe :
$$\forall x \in \mathbb{R},\quad e^x \geq x + 1$$
Cette inégalité est fondamentale en analyse.
Astuce — Méthode pratique. Pour montrer qu'une inégalité $f(x) \geq g(x)$ est vraie, on peut poser $h = f - g$ et étudier le minimum de $h$ : si $h_{\min} \geq 0$, l'inégalité est établie. La convexité garantit que le minimum local est aussi le minimum global.
5Primitives — définition et propriétés
Définition — Primitive. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$.
Une primitive n'est jamais unique : si $F$ est une primitive de $f$, alors $F + C$ (où $C$ est une constante réelle quelconque) est aussi une primitive de $f$.
Théorème — Existence et unicité à une constante près. Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors $F - G$ est constante sur $I$.
Exemple. Les primitives de $f(x) = 2x$ sont les fonctions $F(x) = x^2 + C$, $C \in \mathbb{R}$.
En effet $(x^2 + C)' = 2x = f(x)$.
Propriété — Linéarité des primitives. Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$ sur $I$, alors :
• $F + G$ est une primitive de $f + g$.
• $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$ (pour tout réel $\lambda$).
Attention ! Il n'existe pas de « formule produit » pour les primitives. $F \times G$ n'est pas une primitive de $f \times g$.
6Tableau des primitives usuelles
Voici les primitives fondamentales à connaître en Terminale :
| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Conditions |
|---|
| $k$ (constante) | $kx$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{Z}, n \neq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | sur $\mathbb{R}$ si $n \geq 0$, sinon sur $]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | sur $]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $e^{ax+b}$ ($a \neq 0$) | $\dfrac{1}{a}e^{ax+b}$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\cos(ax+b)$ ($a \neq 0$) | $\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\sin(ax+b)$ ($a \neq 0$) | $-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)$ | sur $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | sur $]0;+\infty[$ |
| $\dfrac{u'}{u}$ ($u > 0$) | $\ln(u)$ | là où $u > 0$ |
| $u' \cdot u^n$ ($n \neq -1$) | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ | selon le domaine de $u$ |
Astuce — Mémo. Pour les formes $u'e^u$, $\frac{u'}{u}$, $u'\cos(u)$, etc., identifier $u$ et $u'$ d'abord, puis appliquer la formule correspondante.
7Calcul de primitives par linéarité
En pratique, on décompose une expression en somme de termes dont on connaît les primitives.
Exemple 1. Calculer une primitive de $f(x) = 3x^2 - 4x + 7$.
$F(x) = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 4 \cdot \dfrac{x^2}{2} + 7x = x^3 - 2x^2 + 7x$
Exemple 2 — Forme $u'e^u$. $f(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$.
Posons $u = x^2 + x$, alors $u' = 2x + 1$. On reconnaît $f = u' \cdot e^u$.
Donc $F(x) = e^{x^2+x}$.
Exemple 3 — Forme $\frac{u'}{u}$. $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
Posons $u = x^2 + 1$, $u' = 2x > 0$ (sauf si $u = 0$, mais ici $u \geq 1$).
$F(x) = \ln(x^2 + 1)$.
Exemple 4 — Forme $u' \cdot u^n$. $f(x) = 3x^2(x^3 - 1)^4$.
Posons $u = x^3 - 1$, $u' = 3x^2$.
$F(x) = \dfrac{(x^3-1)^5}{5}$.
8Méthodes et pièges classiques
Piège 1 — Oublier la constante. Quand on cherche une primitive, on peut poser la constante à $0$. Mais si une condition initiale est donnée ($F(x_0) = y_0$), il faut déterminer $C$.
Exemple — Condition initiale. Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 2x - 3$ telle que $F(1) = 4$.
$F(x) = x^2 - 3x + C$. Condition : $F(1) = 1 - 3 + C = 4 \Rightarrow C = 6$.
Donc $F(x) = x^2 - 3x + 6$.
Piège 2 — Signe en cas de $\sin(ax+b)$. La primitive de $\sin(ax+b)$ est $-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)$ (attention au signe négatif !).
Piège 3 — $\frac{1}{u}$ vs $\frac{u'}{u}$. La primitive de $\dfrac{1}{x^2+1}$ n'est pas $\ln(x^2+1)$, car $(x^2+1)' = 2x \neq 1$. Il faut reconnaître si la forme $\frac{u'}{u}$ est exactement présente.
Méthode de vérification. Après avoir calculé $F$, on dérive $F$ et on vérifie que l'on retrouve $f$. C'est le seul moyen sûr de s'assurer du résultat.
Bilan — Étude complète d'une fonction. En Terminale, l'étude complète d'une fonction $f$ suit l'ordre :
1. Domaine de définition et limites aux bornes
2. Dérivée $f'$ → variations
3. Dérivée seconde $f''$ → convexité, points d'inflexion
4. Représentation graphique avec tangentes remarquables
★À retenir
En bref :
• La dérivée seconde $f''$ caractérise la convexité : $f'' \geq 0$ ↔ $f$ convexe (en creux) ; $f'' \leq 0$ ↔ $f$ concave (en bosse).
• Un point d'inflexion est un point où $f''$ change de signe (et non juste s'annule).
• Si $f$ est convexe, la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.
• Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F' = f$ ; toutes les primitives diffèrent d'une constante.
• Primitives clés : $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$, $e^x \to e^x$, $\cos x \to \sin x$, $\sin x \to -\cos x$, $\frac{1}{x} \to \ln|x|$.
• Formes composées : $u'e^u \to e^u$, $\frac{u'}{u} \to \ln(u)$, $u' u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$.
• Toujours vérifier le résultat en dérivant la primitive trouvée.