Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Compléments sur la dérivation : fonctions composées

Composée de deux fonctions, dérivée de g(ax + b) et de g∘u, dérivées de √u, uⁿ, 1/u et eᵘ, dérivée seconde, études de fonctions composées.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de Terminale sur les fonctions composées suit cinq parties : composer deux fonctions (ensemble de définition, sens de variation), dériver une composée avec la règle (g∘u)′ = u′ × (g′∘u) et le cas g(ax + b), les dérivées de √u, uⁿ, 1/u et eᵘ, la dérivée seconde, puis l’étude complète d’une fonction composée. Chaque partie se termine par un réflexe et un piège à éviter.

Composer deux fonctions

Ce qu’il faut savoir

Définition. Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ , avec $u (x) \in J$ pour tout $x \in I$ . La composée de $u$ suivie de $g$ est la fonction notée $g \circ u$ (on lit « $g$ rond $u$ »), définie sur $I$ par $(g \circ u) (x) = g (u (x)) .$

L’ordre compte. Dans $g \circ u$ , on applique d’abord $u$ (la fonction intérieure), puis $g$ (la fonction extérieure). En général, $g \circ u \neq u \circ g$ .

Ensemble de définition. $g \circ u$ est définie en $x$ lorsque $u$ est définie en $x$ et que $u (x)$ est dans l’ensemble de définition de $g$ : $u (x) ⩾ 0$ sous une racine carrée, $u (x) \neq 0$ au dénominateur.

Sens de variation (propriété démontrée ci-dessous, hors des attendus du programme). Si $u$ est monotone sur $I$ et $g$ monotone sur un intervalle contenant $u (I)$ : si $u$ et $g$ ont le même sens de variation, $g \circ u$ est croissante sur $I$ ; s’ils ont des sens contraires, $g \circ u$ est décroissante sur $I$ .

Exemples

Les deux ordres. Avec $u (x) = 3 x - 1$ et $g (X) = X^{2}$ : $(g \circ u) (x) = (3 x - 1)^{2}$ , alors que $(u \circ g) (x) = 3 x^{2} - 1$ . Pour $x = 1$ : $(g \circ u) (1) = 2^{2} = 4$ , mais $(u \circ g) (1) = 3 - 1 = 2$ .

Décomposer. $f (x) = {(e^{x} + 2)}^{3}$ . Pour calculer $f (x)$ , on calcule d’abord $e^{x} + 2$ , puis on l’élève au cube. Donc $f = g \circ u$ avec $u (x) = e^{x} + 2$ (intérieure) et $g (X) = X^{3}$ (extérieure).

Ensemble de définition et variations. $f (x) = \sqrt{6 - 2 x}$ . On a $f = g \circ u$ avec $u (x) = 6 - 2 x$ et $g (X) = \sqrt{X}$ . $f (x)$ existe si et seulement si $6 - 2 x ⩾ 0$ , c’est-à-dire $x ⩽ 3$ : $f$ est définie sur $] - \infty; 3]$ . Sur cet intervalle, $u$ est décroissante (coefficient $- 2 < 0$ ) et prend ses valeurs dans $[0; + \infty [$ , où la racine carrée est croissante : sens contraires, donc $f$ est décroissante sur $] - \infty; 3]$ .

Pourquoi la règle des sens de variation ? Prenons $u$ décroissante et $g$ croissante. Soit $a < b$ dans $I$ . Comme $u$ est décroissante, $u (a) ⩾ u (b)$ ; comme $g$ est croissante, elle conserve l’ordre : $g (u (a)) ⩾ g (u (b))$ . Donc $g \circ u$ est décroissante. Les trois autres cas se traitent de la même façon.

Réflexe — Pour décomposer $f$ , je cherche le dernier calcul effectué quand je calcule $f (x)$ à la main : c’est la fonction extérieure $g$ , et ce sur quoi il porte est $u (x)$ . Je vérifie ensuite que $u (x)$ reste dans l’ensemble où $g$ est définie.

Attention — Dans $g (u (x))$ , on remplace la variable de $g$ par $u (x)$ tout entier. Et l’ordre n’est pas indifférent : $(3 x - 1)^{2} \neq 3 x^{2} - 1$ .

1 / 5

Dériver une composée : la règle et le cas g(ax + b)

Ce qu’il faut savoir

Théorème (admis). Si $u$ est dérivable sur $I$ , si $g$ est dérivable sur $J$ et si $u (x) \in J$ pour tout $x \in I$ , alors $g \circ u$ est dérivable sur $I$ et $(g \circ u)^{'} = u' \times (g' \circ u)$ , c’est-à-dire, pour tout $x \in I$ : $(g (u (x)))^{'}$ $= u' (x) \times g' (u (x))$ . Le programme l’écrit aussi $(v \circ u)^{'} = (v' \circ u) \times u'$ .

En mots. On dérive la fonction extérieure $g$ sans toucher à l’intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur $u$ .

Cas particulier $u (x) = a x + b$ . Si $g$ est dérivable sur $J$ , la fonction $f : x \mapsto g (a x + b)$ est dérivable en tout $x$ tel que $a x + b \in J$ , et $f' (x) = a g' (a x + b)$ : le coefficient $a$ « sort » en facteur.

Fonction	Dérivée	Condition
$(a x + b)^{n}$ , $n ⩾ 1$	$n a (a x + b)^{n - 1}$	aucune
$\frac{1}{a x + b}$	$\frac{- a}{(a x + b)^{2}}$	$a x + b \neq 0$
$\sqrt{a x + b}$	$\frac{a}{2 \sqrt{a x + b}}$	$a x + b > 0$
$e^{a x + b}$	$a e^{a x + b}$	aucune

Exemples

Pourquoi le facteur $a$ ? Pour $a \neq 0$ et $h \neq 0$ , on pose $X = a x + b$ et $k = a h$ . Le taux de variation de $f$ s’écrit $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ $= \frac{g (X + a h) - g (X)}{h}$ , soit $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ $= a \times \frac{g (X + k) - g (X)}{k}$ . Quand $h$ tend vers $0$ , $k$ tend vers $0$ et le dernier quotient tend vers $g' (X)$ : donc $f' (x) = a g' (a x + b)$ .

Exponentielle. $f (x) = e^{- 0, 5 x + 1}$ : $a = - 0, 5$ , donc $f' (x) = - 0, 5 e^{- 0, 5 x + 1}$ .

Racine. $h (x) = \sqrt{5 x + 2}$ est dérivable lorsque $5 x + 2 > 0$ , soit sur $] - \frac{2}{5}; + \infty [$ , et $h' (x) = \frac{5}{2 \sqrt{5 x + 2}}$ .

Inverse. $k (x) = \frac{1}{4 x - 3}$ sur $] \frac{3}{4}; + \infty [$ : $k' (x) = \frac{- 4}{(4 x - 3)^{2}}$ .

Règle générale avec une fonction inconnue. Soit $g$ dérivable sur $ℝ$ et $φ (x) = g (x^{2} + 1)$ . L’intérieur est $u (x) = x^{2} + 1$ , de dérivée $u' (x) = 2 x$ ; donc $φ' (x) = 2 x g' (x^{2} + 1)$ .

Réflexe — J’écris à part l’intérieur $u (x)$ et sa dérivée $u' (x)$ . Je dérive l’extérieur en gardant $u (x)$ à l’intérieur, puis je multiplie par $u' (x)$ . Pour $g (a x + b)$ , ce facteur est simplement $a$ .

Attention — Oublier le facteur $u'$ est l’erreur la plus fréquente : $((5 - x)^{3})^{'} = - 3 (5 - x)^{2}$ , pas $3 (5 - x)^{2}$ . Et on ne dérive pas l’intérieur à l’intérieur : $g' (u' (x))$ n’a aucun sens ici.

2 / 5

Dérivées de √u, uⁿ, 1/u et eᵘ

Ce qu’il faut savoir

En appliquant le théorème avec $g = \sqrt{}$ , $g : X \mapsto X^{n}$ ou $g = \exp$ , on obtient ( $u$ dérivable sur $I$ ) :

Fonction	Condition sur $I$	Dérivée
$\sqrt{u}$	$u (x) > 0$	$\frac{u'}{2 \sqrt{u}}$
$u^{n}$ , $n$ entier, $n ⩾ 1$	aucune	$n u' u^{n - 1}$
$u^{n}$ , $n$ entier, $n ⩽ - 1$	$u (x) \neq 0$	$n u' u^{n - 1}$
$\frac{1}{u}$ (cas $n = - 1$ )	$u (x) \neq 0$	$- \frac{u'}{u^{2}}$
$e^{u}$	aucune	$u' e^{u}$

Ces formules se combinent avec celles de 1^re : somme, produit $(u v)^{'} = u' v + u v'$ , quotient ${(\frac{u}{v})}^{'}$ $= \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ .

Exemples

Puissance. $f (x) = (x^{2} + 1)^{4}$ : $u (x) = x^{2} + 1$ , $u' (x) = 2 x$ , donc $f' (x)$ $= 4 \times 2 x (x^{2} + 1)^{3}$ $= 8 x (x^{2} + 1)^{3}$ .

Racine. $g (x) = \sqrt{x^{2} + 3}$ , avec $x^{2} + 3 > 0$ sur $ℝ$ : $g' (x)$ $= \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 3}}$ $= \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

Exponentielle. $k (x) = e^{x^{2} - 2 x}$ : $k' (x) = (2 x - 2) e^{x^{2} - 2 x}$ .

Puissance négative. $f (x) = \frac{1}{(x^{2} + x)^{2}}$ sur $] 0; + \infty [$ . On a $f = u^{- 2}$ avec $u (x) = x^{2} + x > 0$ et $u' (x) = 2 x + 1$ . Donc $f' (x)$ $= - 2 (2 x + 1) (x^{2} + x)^{- 3}$ $= \frac{- 2 (2 x + 1)}{(x^{2} + x)^{3}}$ .

Avec un produit. $p (x) = x^{2} e^{- 3 x}$ : $(e^{- 3 x})^{'} = - 3 e^{- 3 x}$ , donc $p' (x)$ $= 2 x e^{- 3 x} + x^{2} \times (- 3 e^{- 3 x})$ $= x (2 - 3 x) e^{- 3 x}$ .

Réflexe — Je reconnais la forme ( $\sqrt{u}$ , $u^{n}$ , $\frac{1}{u}$ , $e^{u}$ ), j’écris $u (x)$ et $u' (x)$ à part, je vérifie la condition ( $u > 0$ ou $u \neq 0$ ), j’applique la formule, puis je factorise pour pouvoir étudier un signe.

Attention — $e^{u}$ n’est pas une puissance à exposant fixe : $(e^{u})^{'} \neq u e^{u - 1}$ . Et la condition $u > 0$ compte : $x \mapsto \sqrt{x^{2}} = | x |$ n’est pas dérivable en $0$ , alors que $x \mapsto x^{2}$ l’est.

3 / 5

Dérivée seconde

Ce qu’il faut savoir

Définition. Soit $f$ dérivable sur $I$ . Si sa dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , la dérivée de $f'$ s’appelle la dérivée seconde de $f$ , notée $f ″$ : $f ″ = (f')^{'}$ .

Signe de $f ″$ et variations de $f'$ . Si $f ″ (x) ⩾ 0$ sur $I$ , $f'$ est croissante sur $I$ ; si $f ″ (x) ⩽ 0$ , $f'$ est décroissante. Quand le signe de $f' (x)$ ne se lit pas directement, on étudie $f'$ comme une fonction : ses variations et son extremum donnent son signe.

En mécanique. Si $x (t)$ est la position d’un mobile à l’instant $t$ , sa vitesse est $v (t) = x' (t)$ et son accélération $a (t) = v' (t) = x ″ (t)$ .

Le signe de $f ″$ sert aussi à étudier la convexité d’une fonction : voir le chapitre Convexité.

Exemples

Calcul. $f (x) = (2 x - 1)^{4}$ : $f' (x) = 4 \times 2 (2 x - 1)^{3} = 8 (2 x - 1)^{3}$ , puis $f ″ (x)$ $= 8 \times 3 \times 2 (2 x - 1)^{2}$ $= 48 (2 x - 1)^{2}$ .

Étudier $f'$ grâce à $f ″$ . $f (x) = e^{x - 1} - \frac{x^{2}}{2}$ sur $ℝ$ . On a $f' (x) = e^{x - 1} - x$ : le signe ne se lit pas. On dérive encore : $f ″ (x) = e^{x - 1} - 1$ . La fonction exponentielle est strictement croissante, donc $e^{x - 1} ⩾ 1$ $= e^{0}$ $⟺ x - 1 ⩾ 0$ $⟺ x ⩾ 1$ . Ainsi $f'$ est décroissante sur $] - \infty; 1]$ et croissante sur $[1; + \infty [$ : son minimum est $f' (1) = e^{0} - 1 = 0$ . Donc $f' (x) ⩾ 0$ pour tout réel $x$ (avec égalité seulement en $1$ ) : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

Vitesse et accélération. Un mobile a pour position $x (t) = 5 t + e^{- 2 t}$ (en m, $t$ en s, $t ⩾ 0$ ). Sa vitesse est $v (t) = 5 - 2 e^{- 2 t}$ , avec $v (0) = 3$ m/s, et son accélération $a (t) = 4 e^{- 2 t} > 0$ : la vitesse augmente.

Réflexe — Quand $f' (x)$ mélange exponentielle et polynôme et que son signe ne se lit pas, je dérive une seconde fois : le signe de $f ″$ donne les variations de $f'$ , et l’extremum de $f'$ donne son signe.

Attention — $f ″$ renseigne sur $f'$ , pas directement sur $f$ : « $f ″ > 0$ » veut dire « $f'$ croissante », pas « $f$ croissante ». Et $f ″ (x)$ n’est pas $(f' (x))^{2}$ .

4 / 5

Étudier une fonction composée

Ce qu’il faut savoir

Méthode. 1. Déterminer l’intervalle où $f$ est définie et dérivable (vérifier $u > 0$ ou $u \neq 0$ ). 2. Calculer $f' (x)$ sous forme factorisée. 3. Écarter les facteurs de signe connu ( $e^{u (x)} > 0$ , $2 \sqrt{u (x)} > 0$ , carrés) et étudier le signe du facteur restant. 4. Dresser le tableau de variations et calculer les extremums.

Même sens que $u$ . Comme $e^{u} > 0$ et $2 \sqrt{u} > 0$ , les dérivées $(e^{u})^{'} = u' e^{u}$ et $(\sqrt{u})^{'} = \frac{u'}{2 \sqrt{u}}$ ont le signe de $u'$ : $e^{u}$ et $\sqrt{u}$ ont les mêmes variations que $u$ , et leurs extremums sont atteints aux mêmes abscisses. Sur un intervalle où $u > 0$ , $\frac{1}{u}$ a les variations contraires.

Tangente. Au point d’abscisse $a$ , la tangente à la courbe de $f$ a pour équation $y = f' (a) (x - a) + f (a)$ .

Exemples

Une courbe en cloche. $f (x) = e^{- x^{2}}$ sur $ℝ$ : $f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ , du signe de $- 2 x$ car $e^{- x^{2}} > 0$ . Donc $f$ est croissante sur $] - \infty; 0]$ , décroissante sur $[0; + \infty [$ , de maximum $f (0) = e^{0} = 1$ . Tangente au point d’abscisse $1$ : $f (1) = e^{- 1}$ et $f' (1) = - 2 e^{- 1}$ , donc $y = - 2 e^{- 1} (x - 1) + e^{- 1}$ , soit $y = e^{- 1} (3 - 2 x)$ .

Racine d’un trinôme. $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 13}$ . Le discriminant de $x^{2} - 4 x + 13$ vaut $16 - 52 = - 36 < 0$ : le trinôme est strictement positif sur $ℝ$ , donc $f$ est dérivable sur $ℝ$ et $f' (x)$ $= \frac{2 x - 4}{2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 13}}$ $= \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 13}}$ , du signe de $x - 2$ . Donc $f$ est décroissante sur $] - \infty; 2]$ , croissante sur $[2; + \infty [$ , de minimum $f (2) = \sqrt{9} = 3$ .

Réflexe — J’écarte d’abord les facteurs dont le signe est connu ( $e^{u (x)} > 0$ , $\sqrt{u (x)} > 0$ , carrés) ; il reste presque toujours le signe de $u' (x)$ ou d’un trinôme, que je sais étudier.

Attention — $e^{u}$ a son maximum à la même abscisse que $u$ , mais il ne vaut pas le maximum de $u$ : $- x^{2}$ a pour maximum $0$ , et $e^{- x^{2}}$ a pour maximum $e^{0} = 1$ .

5 / 5

Pour aller plus loin

Convexité. Le signe de la dérivée seconde dit si la courbe est « tournée vers le haut » ou « vers le bas », et où elle change de courbure (point d’inflexion) : chapitre Convexité.

Logarithme et trigonométrie. Les formules $(\ln u)^{'} = \frac{u'}{u}$ et $(\cos u)^{'} = - u' \sin u$ , $(\sin u)^{'} = u' \cos u$ sont des cas de la même règle ; elles se verront dans les chapitres Fonction logarithme népérien et Fonctions sinus et cosinus.

Limite d’une composée. Pour trouver la limite de $e^{- x^{2}}$ ou de $\sqrt{4 + \frac{1}{x}}$ , on compose les limites : chapitre Limites de fonctions.

À retenir

$(g \circ u) (x) = g (u (x))$ : on applique d’abord $u$ , puis $g$ ; en général $g \circ u \neq u \circ g$ .
$(g \circ u)^{'} = u' \times (g' \circ u)$ ; en particulier $(g (a x + b))^{'} = a g' (a x + b)$ .
$(\sqrt{u})^{'} = \frac{u'}{2 \sqrt{u}}$ si $u > 0$ ; $(u^{n})^{'} = n u' u^{n - 1}$ ; ${(\frac{1}{u})}^{'} = - \frac{u'}{u^{2}}$ si $u \neq 0$ ; $(e^{u})^{'} = u' e^{u}$ .
$f ″ = (f')^{'}$ : son signe donne les variations de $f'$ ; en mécanique, $x ″ (t)$ est l’accélération.
$e^{u}$ et $\sqrt{u}$ ont les mêmes variations que $u$ ; on écarte les facteurs positifs avant d’étudier le signe de $f'$ .

Questions fréquentes

Comment savoir quelle est la fonction intérieure d’une composée ?

On regarde le dernier calcul effectué quand on calcule f(x) à la main : c’est la fonction extérieure g (racine, puissance, inverse, exponentielle). L’expression sur laquelle porte ce dernier calcul est la fonction intérieure u(x). Par exemple, pour √(6 − 2x), g est la racine carrée et u(x) = 6 − 2x.

Quelle est la formule de la dérivée d’une fonction composée ?

(g∘u)′ = u′ × (g′∘u) : on dérive la fonction extérieure en gardant u(x) à l’intérieur, puis on multiplie par u′(x). Pour x ↦ g(ax + b), cela donne a × g′(ax + b) : le coefficient a sort en facteur.

Quelles sont les dérivées de √u, uⁿ, 1/u et eᵘ ?

(√u)′ = u′/(2√u) là où u > 0 ; (uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹ (avec u ≠ 0 si n est négatif) ; (1/u)′ = −u′/u² là où u ≠ 0 ; (eᵘ)′ = u′ eᵘ. L’oubli du facteur u′ est l’erreur la plus fréquente.

À quoi sert la dérivée seconde ?

La dérivée seconde f″ est la dérivée de f′. Son signe donne les variations de f′ : quand le signe de f′(x) ne se lit pas directement, on étudie f′ comme une fonction et son minimum ou son maximum donne son signe. En mécanique, la dérivée seconde de la position est l’accélération.

Comment étudier les variations d’une fonction composée comme e^(−x²) ou √(x² − 4x + 13) ?

On calcule f′ sous forme factorisée, on écarte les facteurs strictement positifs (exponentielle, racine carrée, carrés) et on étudie le signe du facteur restant, souvent u′(x). eᵘ et √u ont d’ailleurs les mêmes variations que u, avec des extremums aux mêmes abscisses.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs