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Dérivation avancée — convexité et primitives
Étude de la convexité des fonctions et calcul de primitives — programme de Terminale Spé Maths
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Dérivée seconde et convexité d'un polynôme
/ 4 pts- Soit $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ définie sur $\mathbb{R}$.
- 1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
- 2. Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$.
- 3. Montrer que la courbe de $f$ admet un point d'inflexion et donner ses coordonnées.
- 4. Écrire l'équation de la tangente à la courbe au point d'inflexion.
Exercice 2 — Primitives usuelles et linéarité
/ 4 pts- Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes (constante d'intégration nulle) :
- 1. $f(x) = 3x^2 - 4\sqrt{x} + \frac{2}{x}$ sur $]0;+\infty[$.
- 2. $g(x) = 5e^{2x} - 3\sin(x) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
- 3. $h(x) = \frac{6x^2}{x^3 + 1}$ sur $]-1;+\infty[$.
- 4. $k(x) = 4x(x^2+3)^2$.
Exercice 3 — Primitive avec condition initiale
/ 4 pts- Soit $f(x) = 6x^2 - 4x + 1$.
- 1. Déterminer toutes les primitives $F$ de $f$.
- 2. Trouver la primitive $F_0$ telle que $F_0(1) = 3$.
- 3. Soit $g(x) = e^x + 2x$. Trouver la primitive $G$ de $g$ telle que $G(0) = -1$.
- 4. Vérifier le résultat de la question 3 en calculant $G'(x)$.
Exercice 4 — Étude complète et inégalité par convexité
/ 4 pts- Soit $f(x) = e^x - x - 1$ définie sur $\mathbb{R}$.
- 1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
- 2. Montrer que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
- 3. Étudier les variations de $f$ et montrer que $f$ admet un minimum global en $x = 0$.
- 4. En déduire l'inégalité $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$.
- 5. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on égalité ?
Exercice 5 — Problème de synthèse
/ 4 pts- Soit $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + 2$ définie sur $\mathbb{R}$.
- 1. Calculer $f'(x)$, $f''(x)$ et dresser le tableau de variation et de convexité complet de $f$.
- 2. Déterminer le point d'inflexion de la courbe de $f$.
- 3. Montrer que la tangente au point d'inflexion coupe la courbe en ce point (propriété caractéristique).
- 4. Trouver la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0) = 0$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Dérivée seconde et convexité d'un polynôme
Corrigé :
1. $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$.
$f''(x) = 12x - 18 = 6(2x - 3)$.
2. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$. Pour $x \lt \frac{3}{2}$ : $f''(x) \lt 0$ (concave). Pour $x \gt \frac{3}{2}$ : $f''(x) \gt 0$ (convexe).
3. $f''$ change de signe en $\frac{3}{2}$ → point d'inflexion. $f\left(\frac{3}{2}\right) = 2\cdot\frac{27}{8} - 9\cdot\frac{9}{4} + 12\cdot\frac{3}{2} - 4 = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18 - 4 = -\frac{54}{4} + 14 = -\frac{27}{2} + 14 = \frac{1}{2}$. Coordonnées : $\left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right)$.
4. $f'\left(\frac{3}{2}\right) = 6\left(\frac{3}{2}-1\right)\left(\frac{3}{2}-2\right) = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$. Tangente : $y = -\frac{3}{2}\left(x - \frac{3}{2}\right) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{11}{4}$.
Exercice 2 — Primitives usuelles et linéarité
Corrigé :
1. $\sqrt{x} = x^{1/2}$ → primitive $\frac{2}{3}x^{3/2}$. $F(x) = x^3 - \frac{8}{3}x^{3/2} + 2\ln(x)$.
2. $G(x) = \frac{5}{2}e^{2x} + 3\cos(x) + 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
3. Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = x^3+1$, $u' = 3x^2$. $h(x) = 2 \cdot \frac{3x^2}{x^3+1}$. $H(x) = 2\ln(x^3+1)$.
4. Forme $u' \cdot u^n$ : $u = x^2+3$, $u' = 2x$, $k(x) = 2 \cdot 2x(x^2+3)^2 = 2u' \cdot u^2$. $K(x) = 2 \cdot \frac{u^3}{3} = \frac{2(x^2+3)^3}{3}$.
Exercice 3 — Primitive avec condition initiale
Corrigé :
1. $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C$, $C \in \mathbb{R}$.
2. $F_0(1) = 2 - 2 + 1 + C = 1 + C = 3 \Rightarrow C = 2$. Donc $F_0(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 2$.
3. Primitives de $g$ : $G(x) = e^x + x^2 + C$. $G(0) = e^0 + 0 + C = 1 + C = -1 \Rightarrow C = -2$. Donc $G(x) = e^x + x^2 - 2$.
4. $G'(x) = e^x + 2x = g(x)$. ✓
Exercice 4 — Étude complète et inégalité par convexité
Corrigé :
1. $f'(x) = e^x - 1$. $f''(x) = e^x$.
2. $f''(x) = e^x \gt 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
3. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$. $f'(x) \lt 0$ pour $x \lt 0$ (décroissante), $f'(x) \gt 0$ pour $x \gt 0$ (croissante). Donc $f$ admet un minimum en $x = 0$. Comme $f$ est convexe, ce minimum local est un minimum global. $f(0) = 1 - 0 - 1 = 0$.
4. $f(x) \geq f(0) = 0$ pour tout $x$, donc $e^x - x - 1 \geq 0$, soit $e^x \geq x + 1$.
5. Égalité pour $x = 0$ uniquement (le minimum est atteint en un seul point).
Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
1. $f'(x) = 3x^2 - 3x - 6 = 3(x^2 - x - 2) = 3(x-2)(x+1)$. Racines $x = 2$ et $x = -1$. $f'' (x) = 6x - 3 = 3(2x-1)$. Racine $x = \frac{1}{2}$.
Tableau de variations : $f$ décroissante sur $[-1;2]$, croissante ailleurs. $f$ concave sur $]-\infty; \frac{1}{2}[$, convexe sur $]\frac{1}{2}; +\infty[$.
2. $f''$ change de signe en $\frac{1}{2}$. $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 3 + 2 = -\frac{2}{8} - 1 = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{5}{4}$. Point d'inflexion : $\left(\frac{1}{2}; -\frac{5}{4}\right)$.
3. La tangente au point d'inflexion est $y = f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{2}\right)$. $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 3\cdot(-\frac{3}{2})(\frac{3}{2}) \cdot... $ : $f'(1/2)=3(1/4-1/2-2)=3\cdot(-9/4)=-27/4$. La tangente coupe la courbe en le point d'inflexion par définition (la courbe traverse sa tangente en un point d'inflexion).
4. $F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{2} - 3x^2 + 2x + C$. $F(0) = C = 0$. Donc $F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{2} - 3x^2 + 2x$.
Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Dérivation avancée — convexité et primitives » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Dérivée seconde et convexité d'un polynôme/ 4 pts
- Exercice 2 — Primitives usuelles et linéarité/ 4 pts
- Exercice 3 — Primitive avec condition initiale/ 4 pts
- Exercice 4 — Étude complète et inégalité par convexité/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse/ 4 pts
Notions évaluées
Rappels sur la dérivation et la dérivée seconde, Convexité et concavité d'une fonction, Points d'inflexion, Lien entre convexité et tangentes, Primitives — définition et propriétés, Tableau des primitives usuelles.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Dérivation avancée — convexité et primitives » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Dérivation avancée — convexité et primitives » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit Rappels sur la dérivation et la dérivée seconde, Convexité et concavité d'une fonction, Points d'inflexion, Lien entre convexité et tangentes.
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