Compléments sur la dérivation : fonctions composées

1. a)$f_1$ est de la forme $(ax+b{)}^n$ avec $a=7$, $b=-2$, $n=5$, et $((ax+b{)}^n{)}^{\prime }=na(ax+b{)}^{n-1}$. Pour tout réel $x$ : $f_1^{\prime }(x)=5\times 7(7x-2{)}^4=35(7x-2{)}^4$. (1)
2. b)$f_2=\sqrt{u}$ avec $u(x)=4-x$, strictement positif sur $]-\infty ;4[$, et $u\prime (x)=-1$. Avec $(\sqrt{u}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u\prime }{2\sqrt{u}}}$ : $f_2^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{4-x}}}$. (1)
3. c)Le dernier calcul est l’exponentielle : $f_3=g\circ u$ avec $u(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ (dérivable sur $]0;+\infty [$, $u\prime (x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$) et $g(X)=e^X$. Avec $(e^u{)}^{\prime }=u\prime e^u$ : $f_3^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{e}^{\frac{1}{x}}$. (1)
4. d)$f_4=u^{-3}$ avec $u(x)=x^2+5>0$ (donc $u(x)\ne 0$) et $u\prime (x)=2x$. Avec $(u^n{)}^{\prime }=nu\prime u^{n-1}$ pour $n=-3$ : $f_4^{\prime }(x)=-3\times 2x(x^2+5{)}^{-4}={\displaystyle \frac{-6x}{(x^2+5{)}^4}}$. (1)
5. e)L’élève applique à l’exponentielle la règle $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, qui vaut pour une puissance d’exposant fixe ; or ici c’est l’exposant qui varie. Il faut utiliser $(e^u{)}^{\prime }=u\prime e^u$ avec $u(x)=x^3$, $u\prime (x)=3x^2$ : la dérivée est $x\mapsto 3x^2{e}^{x^3}$. (1)

Repère — Avant de dériver, on nomme l’intérieur u et l’extérieur g : la formule et la condition à vérifier en découlent.

1. a)Le discriminant de $x^2+2x+5$ vaut $\Delta =4-20=-16<0$ : ce trinôme ne s’annule pas et a le signe de son coefficient $1>0$. Donc $u(x)=x^2+2x+5>0$ pour tout réel $x$, et $f=\sqrt{u}$ est définie et dérivable sur $ℝ$. Avec $u\prime (x)=2x+2$ : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+5}}}={\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}}}$. (1)
2. b)Le dénominateur est strictement positif, donc $f\prime (x)$ a le signe de $x+1$ : $f\prime (x)<0$ sur $]-\infty ;-1[$ et $f\prime (x)>0$ sur $]-1;+\infty [$. Ainsi $f$ est décroissante sur $]-\infty ;-1]$ et croissante sur $[-1;+\infty [$. Son minimum est $f(-1)=\sqrt{1-2+5}=\sqrt{4}=2$. (1)
3. c)$f(0)=\sqrt{5}$ et $f\prime (0)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$. La tangente a pour équation $y=f\prime (0)(x-0)+f(0)$, soit $T:y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}x+\sqrt{5}$. (1)
4. d)Pour tout réel $x$ : $f(x{)}^2=x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4>(x+1{)}^2=|x+1{|}^2$. Les nombres $f(x)$ et $|x+1|$ sont positifs, et deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés (la racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty [$) : $f(x)>|x+1|$. Comme $|x+1|⩾x+1$, on obtient $f(x)>x+1$ pour tout réel $x$ : ${𝒞}_f$ est strictement au-dessus de $\Delta$. (1)

Repère — √u a les mêmes variations que u : le minimum de f s’obtient au sommet du trinôme.

1. a)Avec $u(x)=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ et $u\prime (x)=-x$ : ${\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)}^{\prime }=-x{e}^{-\frac{x^2}{2}}$. Par produit : $g\prime (x)=1\times e^{-\frac{x^2}{2}}+(x+1)(-x)e^{-\frac{x^2}{2}}=(1-x^2-x)e^{-\frac{x^2}{2}}=(-x^2-x+1)e^{-\frac{x^2}{2}}$. (1)
2. b)Comme $e^{-\frac{x^2}{2}}>0$, $g\prime (x)$ a le signe du trinôme $-x^2-x+1$, de discriminant $1+4=5$ et de racines $x_1={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\approx -1,618$ et $x_2={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\approx 0,618$. Le coefficient de $x^2$ est négatif : le trinôme est positif entre les racines, négatif à l’extérieur. Donc $g$ est décroissante sur $[-3;x_1]$, croissante sur $[x_1;x_2]$, décroissante sur $[x_2;3]$. Valeurs : $g(-3)=-2e^{-4,5}\approx -0,022$ ; $g(x_1)\approx -0,167$ (minimum local) ; $g(x_2)\approx 1,337$ (maximum local) ; $g(3)=4e^{-4,5}\approx 0,044$. (1)
3. c)$e^{-\frac{x^2}{2}}>0$, donc $g(x)$ a le signe de $x+1$ : $g(x)>0⟺x>-1$. Sur $[-3;3]$, l’ensemble des solutions est $]-1;3]$. (1)
4. d)$g(0)=1\times e^0=1$. Sur $[x_1;x_2]$, $g$ est strictement croissante : $0$ y est la seule solution. Sur $[-3;x_1]$, $x⩽x_1<-1$ donne $g(x)<0$ : aucune solution. Sur $[x_2;3]$, $g$ est continue et strictement décroissante, avec $g(x_2)\approx 1,337>1$ et $g(3)\approx 0,044<1$ : d’après le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l’équation $g(x)=1$ y a une unique solution $\alpha$. Au total : exactement deux solutions, $0$ et $\alpha$. À la calculatrice, $g(1,28)\approx 1,005>1$ et $g(1,29)\approx 0,997<1$, donc $1,28<\alpha <1,29$. (1)

Repère — Le facteur exponentiel est strictement positif : il ne change jamais le signe d’une dérivée ni celui de la fonction.

1. a)$(e^{ax+b}{)}^{\prime }=a{e}^{ax+b}$ avec $a=-1$, $b=0$ : $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$. Pour tout réel $x$ : $f\prime (x)=-e^{-x}+x=x-e^{-x}$, puis $f″(x)=1+e^{-x}$. (1)
2. b)$f″(x)=1+e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, donc $f\prime$ est strictement croissante sur $ℝ$. $f\prime$ est continue (car dérivable), $\underset{x\to -\infty }{lim}f\prime (x)=-\infty$ (car $x\to -\infty$ et $e^{-x}\to +\infty$) et $\underset{x\to +\infty }{lim}f\prime (x)=+\infty$ (car $e^{-x}\to 0$). D’après le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l’équation $f\prime (x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $ℝ$. Comme $f\prime (0)=-1<0$ et $f\prime (1)=1-e^{-1}>0$ (car $e^{-1}<1$), on a $0<\alpha <1$ (à la calculatrice, $\alpha \approx 0,567$). (1)
3. c)$f\prime$ est strictement croissante et $f\prime (\alpha )=0$ : $f\prime (x)<0$ sur $]-\infty ;\alpha [$ et $f\prime (x)>0$ sur $]\alpha ;+\infty [$. Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ;\alpha ]$ puis croissante sur $[\alpha ;+\infty [$ : elle admet un minimum en $\alpha$. (1)

Repère — Quand f′ = 0 ne se résout pas, on étudie f′ comme une fonction : f″ donne sa monotonie, puis le théorème des valeurs intermédiaires localise son unique zéro.

1. a)À l’instant $t$, $A$ a parcouru $3t$ km vers $O$ : $A(12-3t;0)$ ; $B$ a parcouru $4t$ km sur l’axe des ordonnées : $B(0;4t)$. Dans un repère orthonormé : $d(t{)}^2=(12-3t{)}^2+(4t{)}^2=144-72t+9t^2+16t^2=25t^2-72t+144$. Une distance est positive, donc $d(t)=\sqrt{25t^2-72t+144}$. (1)
2. b)Le discriminant de $25t^2-72t+144$ est $\Delta ={72}^2-4\times 25\times 144$ ; or ${72}^2=5184$ et $4\times 25\times 144=14400$, donc $\Delta =-9216<0$ : le trinôme est strictement positif, donc $d=\sqrt{u}$ est dérivable sur $[0;4]$ et $d\prime (t)={\displaystyle \frac{50t-72}{2\sqrt{25t^2-72t+144}}}={\displaystyle \frac{25t-36}{\sqrt{25t^2-72t+144}}}$. Le dénominateur est positif : $d\prime (t)$ a le signe de $25t-36$, qui s’annule en $t={\displaystyle \frac{36}{25}}=1,44$. Donc $d$ est décroissante sur $[0;1,44]$ et croissante sur $[1,44;4]$. (1)
3. c)Le minimum est $d(1,44)=\sqrt{25\times 2,0736-103,68+144}=\sqrt{51,84-103,68+144}=\sqrt{92,16}=9,6$ km. Il est atteint à $t=1,44$ h, soit $1$ h et $0,44\times 60=26,4$ min, c’est-à-dire $1$ h $26$ min $24$ s. L’élève se trompe : à l’instant $t$, $A$ a parcouru $3t$ km et $B$ $4t$ km, distances égales seulement pour $t=0$. Au minimum, $A$ a parcouru $3\times 1,44=4,32$ km et $B$ $4\times 1,44=5,76$ km. (1)
4. d)$d(t)=12⟺25t^2-72t+144=144$ (les deux membres sont positifs) $⟺t(25t-72)=0⟺t=0$ ou $t={\displaystyle \frac{72}{25}}=2,88$. Les bateaux sont à $12$ km l’un de l’autre au départ et à $t=2,88$ h, soit $2$ h $52$ min $48$ s. (1)

Repère — Minimiser une distance √u revient à minimiser u : la racine carrée est croissante.