Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Dérivation avancée — convexité et primitives
Étude de la convexité des fonctions et calcul de primitives — programme de Terminale Spé Maths
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
La dérivée seconde de $f(x) = x^4$ est :
- A. $12x^2$
- B. $4x^3$
- C. $x^2$
- D. $24x$
Réponse
A. $12x^2$ — f'(x)=4x³, f''(x)=12x².
Une primitive de $f(x) = 1$ est :
- A. $0$
- B. $x$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $x^2$
Réponse
B. $x$ — La dérivée de x est 1.
Si $f'' \geq 0$ sur $I$, alors $f$ est :
- A. concave sur $I$
- B. convexe sur $I$
- C. croissante sur $I$
- D. décroissante sur $I$
Réponse
B. convexe sur $I$ — f'' ≥ 0 ↔ f convexe (en creux).
Une primitive de $\cos(x)$ est :
- A. $-\sin(x)$
- B. $\sin(x)$
- C. $\cos(x)$
- D. $-\cos(x)$
Réponse
B. $\sin(x)$ — La dérivée de sin(x) est cos(x).
Une primitive de $e^x$ est :
- A. $xe^x$
- B. $e^{x+1}$
- C. $e^x$
- D. $\frac{e^x}{x}$
Réponse
C. $e^x$ — La dérivée de eˣ est eˣ lui-même.
La dérivée seconde de $f(x) = \sin(x)$ est :
- A. $\cos(x)$
- B. $-\cos(x)$
- C. $\sin(x)$
- D. $-\sin(x)$
Réponse
D. $-\sin(x)$ — f'(x)=cos(x), f''(x)=-sin(x).
Une primitive de $x^2$ est :
- A. $2x$
- B. $\frac{x^3}{3}$
- C. $x^3$
- D. $3x^2$
Réponse
B. $\frac{x^3}{3}$ — ∫x² dx = x³/3 + C.
Si deux fonctions $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors :
- A. $F = G$
- B. $F - G$ est constante
- C. $F + G = 0$
- D. $F \times G$ est constante
Réponse
B. $F - G$ est constante — Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
La fonction $f(x) = x^2$ est :
- A. concave sur $\mathbb{R}$
- B. convexe sur $\mathbb{R}$
- C. convexe sur $]0;+\infty[$ seulement
- D. ni convexe ni concave
Réponse
B. convexe sur $\mathbb{R}$ — f''(x)=2>0 partout donc convexe sur R.
Une primitive de $\sin(x)$ est :
- A. $\cos(x)$
- B. $-\cos(x)$
- C. $\sin(x)$
- D. $-\sin(x)$
Réponse
B. $-\cos(x)$ — La dérivée de -cos(x) est sin(x).
La dérivée seconde de $f(x) = e^{2x}$ est :
- A. $2e^{2x}$
- B. $4e^{2x}$
- C. $e^{2x}$
- D. $2xe^{2x}$
Réponse
B. $4e^{2x}$ — f'(x)=2e²ˣ, f''(x)=4e²ˣ.
Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ est :
- A. $-\frac{1}{x^2}$
- B. $\frac{1}{x^2}$
- C. $\ln(x)$
- D. $e^x$
Réponse
C. $\ln(x)$ — (ln x)' = 1/x.
Niveau moyen — 12 questions
Une primitive de $e^{3x-1}$ est :
- A. $3e^{3x-1}$
- B. $\frac{1}{3}e^{3x-1}$
- C. $e^{3x-1}$
- D. $\frac{e^{3x-1}}{3x-1}$
Réponse
B. $\frac{1}{3}e^{3x-1}$ — La primitive de e^(ax+b) est (1/a)e^(ax+b).
La primitive de $\frac{2x}{x^2+1}$ est :
- A. $\frac{2}{(x^2+1)^2}$
- B. $2\ln(x^2+1)$
- C. $\ln(x^2+1)$
- D. $\frac{1}{2}\ln(x^2+1)$
Réponse
C. $\ln(x^2+1)$ — Forme u'/u avec u=x²+1, u'=2x. Primitive : ln(u)=ln(x²+1).
Pour $f(x) = x^3 - 3x$, le point d'inflexion est en :
- A. $x = 1$
- B. $x = -1$
- C. $x = 0$
- D. $x = 3$
Réponse
C. $x = 0$ — f''(x)=6x=0 → x=0. f'' change de signe en 0.
La fonction $g(x) = -x^2 + 4$ est :
- A. convexe sur $\mathbb{R}$
- B. concave sur $\mathbb{R}$
- C. convexe sur $[0;2]$
- D. ni convexe ni concave
Réponse
B. concave sur $\mathbb{R}$ — g''(x)=-2<0 donc concave partout.
Une primitive de $4(2x+1)^3$ est :
- A. $(2x+1)^4$
- B. $\frac{(2x+1)^4}{2}$
- C. $12(2x+1)^2$
- D. $\frac{(2x+1)^4}{4}$
Réponse
B. $\frac{(2x+1)^4}{2}$ — Forme u'·u³ avec u=2x+1, u'=2. Primitive : u⁴/4 = (2x+1)⁴/4. Mais ici on a 4·u³ = 4·u³. On vérifie : d/dx[(2x+1)⁴/2] = 4(2x+1)³·2/2 = 4(2x+1)³. Correct.
La dérivée seconde de $\ln(x)$ sur $]0;+\infty[$ est :
- A. $\frac{1}{x}$
- B. $-\frac{1}{x}$
- C. $\frac{1}{x^2}$
- D. $-\frac{1}{x^2}$
Réponse
D. $-\frac{1}{x^2}$ — (ln x)'=1/x, (1/x)'=-1/x².
Si $F$ est la primitive de $f$ telle que $F(0) = 5$ et $f(x) = 2x$, alors :
- A. $F(x) = 2x$
- B. $F(x) = x^2$
- C. $F(x) = x^2 + 5$
- D. $F(x) = x^2 - 5$
Réponse
C. $F(x) = x^2 + 5$ — F(x)=x²+C, F(0)=C=5. Donc F(x)=x²+5.
La fonction $f(x) = e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Cela signifie que :
- A. $f$ est croissante
- B. la courbe est sous toutes ses tangentes
- C. la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes
- D. $f'' = 0$
Réponse
C. la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes — Par convexité, la courbe est au-dessus de ses tangentes (inégalité eˣ≥x+1).
Sur quel intervalle la fonction $h(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ est-elle concave ?
- A. $]1;+\infty[$
- B. $]-\infty;1[$
- C. $]-\infty;0[$
- D. $]0;1[$
Réponse
B. $]-\infty;1[$ — h''(x)=6x-6<0 ↔ x<1.
Une primitive de $\cos(2x+\pi)$ est :
- A. $-\sin(2x+\pi)$
- B. $\frac{\sin(2x+\pi)}{2}$
- C. $2\sin(2x+\pi)$
- D. $-2\cos(2x+\pi)$
Réponse
B. $\frac{\sin(2x+\pi)}{2}$ — Primitive de cos(ax+b) est sin(ax+b)/a. Ici a=2.
$f(x) = x^4$ : $f''(0) = 0$ mais $(0, 0)$ est :
- A. un point d'inflexion
- B. pas un point d'inflexion car $f''$ ne change pas de signe
- C. un maximum
- D. un point de rebroussement
Réponse
B. pas un point d'inflexion car $f''$ ne change pas de signe — f''(x)=12x²≥0 partout, ne change pas de signe en 0.
Une primitive de $\frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}$ est :
- A. $\ln(2+\cos(x))$
- B. $-\ln(2+\cos(x))$
- C. $\ln(2-\cos(x))$
- D. $\frac{\cos(x)}{2+\cos(x)}$
Réponse
B. $-\ln(2+\cos(x))$ — Forme u'/u avec u=2+cos(x), u'=-sin(x). Primitive : ln(u)=ln(2+cos(x)), mais u'=-sin(x), donc on a -u'/u → primitive = -ln(2+cos(x)).
Niveau difficile — 13 questions
Soit $f(x) = x e^x$. $f''(x) = $ ?
- A. $xe^x$
- B. $(x+1)e^x$
- C. $(x+2)e^x$
- D. $2e^x$
Réponse
C. $(x+2)e^x$ — f'(x)=eˣ+xeˣ=(x+1)eˣ. f''(x)=eˣ+(x+1)eˣ=(x+2)eˣ.
La fonction $f(x) = xe^x$ est convexe sur :
- A. $]-\infty;-2[$
- B. $]-2;+\infty[$
- C. $\mathbb{R}$ entier
- D. $]-\infty;0[$
Réponse
B. $]-2;+\infty[$ — f''(x)=(x+2)eˣ>0 ↔ x+2>0 ↔ x>-2.
Une primitive de $\ln(x)$ sur $]0;+\infty[$ est :
- A. $\frac{1}{x}$
- B. $x\ln(x)$
- C. $x\ln(x) - x$
- D. $\ln(x^2)$
Réponse
C. $x\ln(x) - x$ — (xln(x)-x)'=ln(x)+1-1=ln(x). Vérification par dérivation.
Pour trouver une primitive de $\sin^2(x)$, on utilise :
- A. $\sin^3(x)/3$
- B. la forme $u' \cdot u^n$
- C. la linéarisation $\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}$
- D. une intégration par parties
Réponse
C. la linéarisation $\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ — On utilise la formule de linéarisation pour obtenir une somme de primitives connues.
Soit $f$ une fonction convexe sur $I$ et $a \in I$. Pour tout $x \in I$ :
- A. $f(x) \leq f(a) + f'(a)(x-a)$
- B. $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$
- C. $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$
- D. $f(x) \cdot f(a) \geq 0$
Réponse
B. $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ — Par convexité, la courbe est au-dessus de la tangente.
La primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0;+\infty[$ est :
- A. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
- B. $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$
- C. $2\sqrt{x}$
- D. $\sqrt{x}$
Réponse
C. $2\sqrt{x}$ — (2√x)'=2·(1/(2√x))=1/√x.
Parmi ces fonctions, laquelle est à la fois convexe ET décroissante sur $]0;+\infty[$ ?
- A. $x^2$
- B. $e^x$
- C. $\frac{1}{x}$
- D. $\ln(x)$
Réponse
C. $\frac{1}{x}$ — 1/x : (1/x)'=-1/x²<0 (décroissante), (1/x)''=2/x³>0 (convexe). Correct.
Le point d'inflexion de $f(x) = xe^x$ est en :
- A. $x = 0$
- B. $x = -1$
- C. $x = -2$
- D. $x = 1$
Réponse
C. $x = -2$ — f''(x)=(x+2)eˣ=0 → x=-2. f'' change de signe en -2.
Primitive de $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2}= 1 - x^{-2}$ sur $]0;+\infty[$ :
- A. $\ln(x) + x^{-1}$
- B. $x + \frac{1}{x}$
- C. $x - \frac{1}{x}$
- D. $\ln(x^2-1)$
Réponse
B. $x + \frac{1}{x}$ — (x+1/x)'=1-1/x²=1-x⁻². Correct.
Si $f'' \gt 0$ sur $I$, alors $f'$ est :
- A. constante sur $I$
- B. croissante sur $I$
- C. décroissante sur $I$
- D. nulle sur $I$
Réponse
B. croissante sur $I$ — f''>0 signifie que la dérivée de f' est positive, donc f' est croissante.
Pour $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + c$, la condition pour avoir un point d'inflexion en $x = 2$ est :
- A. $a = -2$
- B. $a = 2$
- C. $a = -3$
- D. $a = -1$
Réponse
D. $a = -1$ — f''(x)=2x+2a=0 en x=2 → 4+2a=0 → a=-2. Donc a=-2.
Une primitive de $f(x) = (x+1)e^{x^2+2x}$ est :
- A. $(x+1)e^{x^2+2x}$
- B. $\frac{e^{x^2+2x}}{2}$
- C. $\frac{1}{2x+2}e^{x^2+2x}$
- D. $e^{x^2+2x}$
Réponse
B. $\frac{e^{x^2+2x}}{2}$ — u=x²+2x, u'=2x+2=2(x+1). Donc f=u'/2·eᵘ. Primitive : eᵘ/2=e^(x²+2x)/2.
Si $f$ est concave sur $I$ et admet un maximum en $a \in I$, alors ce maximum est :
- A. local seulement
- B. global sur $I$
- C. un point d'inflexion
- D. inexistant si $f'(a) = 0$
Réponse
B. global sur $I$ — Pour une fonction concave, tout maximum local est un maximum global sur I.
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