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Compléments sur la dérivation : fonctions composées
Composée de deux fonctions, dérivée de g(ax + b) et de g∘u, dérivées de √u, uⁿ, 1/u et eᵘ, dérivée seconde, études de fonctions composées.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Avec u(x) = x + 4 et g(X) = X², l’expression de (g∘u)(x) est :
- A. x² + 4
- B. x² + 8x + 4
- C. (x + 4)²
- D. 2x + 4
Réponse
C. (x + 4)² — On remplace X par u(x) dans g : (g∘u)(x) = (x + 4)² = x² + 8x + 16.
La dérivée de x ↦ exp(u(x)), avec u dérivable, est :
- A. u′(x) × exp(u(x))
- B. exp(u′(x))
- C. u(x) × exp(u(x) − 1)
- D. u′(x) × exp(u′(x))
Réponse
A. u′(x) × exp(u(x)) — Règle (eᵘ)′ = u′eᵘ : on garde exp(u(x)) et on multiplie par u′(x).
Si u est dérivable et strictement positive sur I, la dérivée de √u est :
- A. 1/(2√u)
- B. u′/(2√u′)
- C. u′/√(2u)
- D. u′/(2√u)
Réponse
D. u′/(2√u) — (√u)′ = u′ × 1/(2√u) : la dérivée de la racine, prise en u, multipliée par u′.
Si g est dérivable sur ℝ, la dérivée de x ↦ g(ax + b) est :
- A. g′(ax + b)
- B. a × g′(ax + b)
- C. a × g′(x) + b
- D. (ax + b) × g′(ax + b)
Réponse
B. a × g′(ax + b) — Ici u(x) = ax + b et u′(x) = a, donc la dérivée est a × g′(ax + b).
Pour n entier non nul et u dérivable (non nulle si n < 0), la dérivée de uⁿ est :
- A. n × uⁿ⁻¹
- B. n × u′ × uⁿ⁻¹
- C. u′ × uⁿ⁻¹
- D. (n − 1) × u′ × uⁿ
Réponse
B. n × u′ × uⁿ⁻¹ — On dérive X ↦ Xⁿ en nXⁿ⁻¹, on la prend en u, puis on multiplie par u′.
La fonction x ↦ √(1 − x) s’écrit g∘u avec :
- A. u(x) = √x et g(X) = 1 − X
- B. u(x) = 1 + x² et g(X) = √X
- C. u(x) = x − 1 et g(X) = √X
- D. u(x) = 1 − x et g(X) = √X
Réponse
D. u(x) = 1 − x et g(X) = √X — On calcule d’abord 1 − x, puis on prend la racine : u(x) = 1 − x est l’intérieur, la racine carrée l’extérieur.
Pour deux fonctions u et g, les composées g∘u et u∘g :
- A. sont en général différentes
- B. sont toujours égales
- C. ont toujours la même dérivée
- D. sont égales dès que u est affine
Réponse
A. sont en général différentes — Par exemple u(x) = x + 1 et g(x) = x² : (x + 1)² ≠ x² + 1, et pourtant u est affine.
La dérivée de x ↦ e⁻³ˣ est :
- A. e⁻³ˣ
- B. 3e⁻³ˣ
- C. −3e⁻³ˣ
- D. −3x × e⁻³ˣ
Réponse
C. −3e⁻³ˣ — Forme e^(ax + b) avec a = −3 : la dérivée est −3e⁻³ˣ.
La dérivée seconde de f(x) = x³ est :
- A. 6x
- B. 3x²
- C. 6
- D. 9x⁴
Réponse
A. 6x — f′(x) = 3x², puis f″(x) = 6x. Ce n’est pas le carré de f′ (qui serait 9x⁴).
Si u est croissante sur I et g décroissante sur un intervalle contenant u(I), alors g∘u est sur I :
- A. croissante
- B. décroissante
- C. constante
- D. positive
Réponse
B. décroissante — Sens de variation contraires : la composée est décroissante. Si a < b, u(a) ≤ u(b), puis g inverse l’ordre.
Avec u(x) = 2x et g(X) = X + 5, (u∘g)(1) vaut :
- A. 7
- B. 10
- C. 12
- D. 6
Réponse
C. 12 — On applique d’abord g : g(1) = 6, puis u : u(6) = 12. Attention : (g∘u)(1) = g(2) = 7.
Pour une fonction f deux fois dérivable, f″ désigne :
- A. la dérivée de f′
- B. le carré de f′
- C. la dérivée de f(x²)
- D. le double de f′
Réponse
A. la dérivée de f′ — La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée : f″ = (f′)′.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Soit f(x) = (2 − 5x)³. Alors f′(x) =
- A. 3(2 − 5x)²
- B. −15(2 − 5x)²
- C. −15x(2 − 5x)²
- D. −5(2 − 5x)³
Réponse
B. −15(2 − 5x)² — u(x) = 2 − 5x, u′(x) = −5 : f′(x) = 3 × (−5)(2 − 5x)² = −15(2 − 5x)².
Soit f(x) = √(x² + 7). Alors f′(1) =
- A. 1/4
- B. 1/(2√7)
- C. √2/8
- D. √2/4
Réponse
D. √2/4 — f′(x) = x/√(x² + 7), donc f′(1) = 1/√8 = 1/(2√2) = √2/4.
Soit f(x) = exp(x² + x). Alors f′(0) =
- A. 1
- B. 0
- C. e
- D. 2e
Réponse
A. 1 — f′(x) = (2x + 1) × exp(x² + x), donc f′(0) = 1 × e⁰ = 1.
La dérivée de f(x) = 1/(x² + 2) sur ℝ est :
- A. −1/(2x(x² + 2)²)
- B. −1/(x² + 2)²
- C. −2x/(x² + 2)²
- D. 2x/(x² + 2)
Réponse
C. −2x/(x² + 2)² — (1/u)′ = −u′/u² avec u′(x) = 2x.
Le coefficient directeur de la tangente en 1 à la courbe de x ↦ (x³ − 1)² est :
- A. 6
- B. 3
- C. 12
- D. 0
Réponse
D. 0 — La dérivée vaut 2 × 3x² × (x³ − 1), qui s’annule en x = 1 car 1³ − 1 = 0.
La fonction x ↦ (x² − 6x + 10)³ admet sur ℝ un minimum égal à :
- A. 1
- B. 1 000
- C. 27
- D. 0
Réponse
A. 1 — x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 ≥ 1 > 0 ; la fonction cube est croissante, donc le minimum est 1³ = 1, atteint en 3 (1 000 est la valeur en 0).
Soit f(x) = √(e²ˣ + 3). Alors f′(x) =
- A. 1/(2√(e²ˣ + 3))
- B. 2e²ˣ/√(e²ˣ + 3)
- C. e²ˣ/√(e²ˣ + 3)
- D. e²ˣ/(2√(e²ˣ + 3))
Réponse
C. e²ˣ/√(e²ˣ + 3) — u′(x) = 2e²ˣ, donc f′(x) = 2e²ˣ/(2√(e²ˣ + 3)) = e²ˣ/√(e²ˣ + 3).
Soit f dérivable sur ℝ avec f′(7) = 3, et g(x) = f(2x + 5). Alors g′(1) =
- A. 3
- B. 6
- C. 14
- D. 10
Réponse
B. 6 — g′(x) = 2f′(2x + 5), donc g′(1) = 2f′(7) = 2 × 3 = 6.
Soit f(x) = 1/(x + 1) sur ]−1 ; +∞[. Alors f″(0) =
- A. 2
- B. −1
- C. 1
- D. −2
Réponse
A. 2 — f′(x) = −(x + 1)⁻², puis f″(x) = 2(x + 1)⁻³ (formule de uⁿ, n = −2), donc f″(0) = 2.
La fonction x ↦ √(3 − x) est dérivable sur :
- A. ]−∞ ; 3[
- B. ]−∞ ; 3]
- C. ]3 ; +∞[
- D. ℝ
Réponse
A. ]−∞ ; 3[ — Elle est définie sur ]−∞ ; 3], mais la formule de √u exige u(x) = 3 − x > 0 : dérivable sur ]−∞ ; 3[.
Un mobile a pour position x(t) = t³ − 6t² (en m, t en s). Son accélération à t = 1 s vaut :
- A. −9 m/s²
- B. −6 m/s²
- C. −5 m/s²
- D. 6 m/s²
Réponse
B. −6 m/s² — v(t) = 3t² − 12t et a(t) = v′(t) = 6t − 12, donc a(1) = −6 m/s². −9 m/s est la vitesse v(1).
Soit f(x) = (x² − 4)⁵. Alors f′(x) =
- A. 10x(x² − 4)⁴
- B. 5(x² − 4)⁴
- C. 5x(x² − 4)⁴
- D. 10x(x² − 4)⁵
Réponse
A. 10x(x² − 4)⁴ — (u⁵)′ = 5u′u⁴ avec u′(x) = 2x : f′(x) = 10x(x² − 4)⁴.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
La fonction x ↦ √(x² − 2x + 1) est dérivable sur :
- A. ℝ
- B. ]1 ; +∞[ seulement
- C. ℝ privé de −1 et de 1
- D. ℝ privé de 1
Réponse
D. ℝ privé de 1 — √((x − 1)²) = |x − 1|, dérivable partout sauf en 1, où l’intérieur s’annule.
Pour dériver √u sur I avec la formule u′/(2√u), il faut que u soit :
- A. dérivable et positive ou nulle sur I
- B. dérivable et strictement positive sur I
- C. croissante sur I
- D. croissante et dérivable sur ℝ tout entier
Réponse
B. dérivable et strictement positive sur I — La racine n’est dérivable que sur ]0 ; +∞[ : il faut u > 0 sur I, pas seulement u ≥ 0.
Si u est décroissante sur I et g décroissante sur un intervalle contenant u(I), alors g∘u est sur I :
- A. décroissante
- B. constante
- C. croissante
- D. de sens imprévisible
Réponse
C. croissante — Deux fonctions de même sens de variation donnent une composée croissante : l’ordre est inversé deux fois.
Soit f = eᵘ avec u dérivable sur I. Quelle affirmation est vraie ?
- A. f′ a le signe de u′
- B. f′ est toujours positive
- C. f′ a le signe de u
- D. f et u ont la même valeur maximale
Réponse
A. f′ a le signe de u′ — f′ = u′eᵘ et eᵘ > 0. Les maximums sont atteints aux mêmes abscisses, mais valent e^M et non M.
Un élève écrit : « la dérivée de (3x + 1)² est 2(3x + 1) ». Que faut-il en penser ?
- A. Il oublie le facteur 3 : c’est 6(3x + 1)
- B. C’est juste : la dérivée de u² est 2u
- C. Il faut écrire 2(3x + 1) × 3x
- D. C’est juste car 3x + 1 est affine
Réponse
A. Il oublie le facteur 3 : c’est 6(3x + 1) — (u²)′ = 2u′u avec u′ = 3 : la dérivée est 6(3x + 1) = 18x + 6.
Sur ]2 ; +∞[, la dérivée de x ↦ (x − 2)⁻³ est :
- A. −3(x − 2)⁻²
- B. 3(x − 2)⁻⁴
- C. −3(x − 2)⁻⁴
- D. −3x(x − 2)⁻⁴
Réponse
C. −3(x − 2)⁻⁴ — (uⁿ)′ = nu′uⁿ⁻¹ avec n = −3 et u′ = 1 : −3(x − 2)⁻⁴ ; l’exposant diminue de 1.
Soit f dérivable sur ℝ et g(x) = f(1 − x). Alors g′(x) =
- A. f′(1 − x)
- B. −f′(1 − x)
- C. −f′(x)
- D. (1 − x) × f′(1 − x)
Réponse
B. −f′(1 − x) — Cas g(ax + b) avec a = −1 et b = 1 : g′(x) = −f′(1 − x).
La fonction h : x ↦ √(x³), définie sur [0 ; +∞[, est-elle dérivable en 0 ?
- A. Non, car la racine carrée n’est pas dérivable en 0
- B. Non, car u(x) = x³ s’annule en 0
- C. Oui, et h′(0) = 3/2
- D. Oui, et h′(0) = 0
Réponse
D. Oui, et h′(0) = 0 — La formule de √u ne s’applique pas en 0, mais le taux de variation √(t³)/t = √t tend vers 0 quand t tend vers 0 : h est dérivable en 0 et h′(0) = 0.
Si f′ est strictement croissante sur ℝ et f′(2) = 0, alors f est :
- A. décroissante sur ]−∞ ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[
- B. croissante sur ℝ tout entier
- C. décroissante sur ℝ tout entier
- D. croissante sur ]−∞ ; 2] puis décroissante sur [2 ; +∞[
Réponse
A. décroissante sur ]−∞ ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[ — f′ est strictement croissante et s’annule en 2 : f′ < 0 avant 2 et f′ > 0 après. Donc f décroît puis croît.
On sait que f″(x) > 0 pour tout réel x. Quelle affirmation est forcément vraie ?
- A. f′ est strictement croissante sur ℝ
- B. f est strictement croissante sur ℝ tout entier
- C. f est positive sur ℝ
- D. f′ est strictement positive sur ℝ tout entier
Réponse
A. f′ est strictement croissante sur ℝ — Le signe de f″ renseigne sur f′ : f′ est strictement croissante. Exemple : f(x) = x² a f″ = 2 > 0 mais f décroît sur ]−∞ ; 0].
Soit h(x) = (eˣ − 1)². Alors h′(0) =
- A. 2
- B. 1
- C. 0
- D. e
Réponse
C. 0 — h′(x) = 2eˣ(eˣ − 1), et e⁰ − 1 = 0, donc h′(0) = 0.
Soit f(x) = 1/(x² + 4x + 8) sur ℝ. Le maximum de f vaut :
- A. 1/4
- B. 1/8
- C. 4
- D. −2
Réponse
A. 1/4 — x² + 4x + 8 = (x + 2)² + 4 ≥ 4, avec égalité en −2 ; comme u > 0, 1/u a les variations contraires de u : le maximum est f(−2) = 1/4 (1/8 est f(0)).
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