Comment savoir si une fonction est convexe ou concave ?

Pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle, on calcule la dérivée seconde f'' et on étudie son signe. La fonction est convexe là où f''(x) ≥ 0 et concave là où f''(x) ≤ 0. Graphiquement, une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes.

Comment trouver un point d'inflexion ?

On cherche les valeurs a où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe : la fonction change alors de convexité et le point A(a ; f(a)) est un point d'inflexion. En ce point, la courbe traverse sa tangente. Il ne suffit pas que f''(a) = 0 : pour x ↦ x⁴, f''(0) = 0 mais il n'y a pas d'inflexion.

Quelle différence entre une fonction convexe et une fonction croissante ?

Le sens de variation dépend du signe de f', la convexité du signe de f''. Une fonction peut être convexe et décroissante, comme la fonction inverse sur ]0 ; +∞[. Convexe signifie que f' est croissante, pas que f l'est.

À quoi sert la convexité en terminale ?

Elle permet d'esquisser précisément une courbe et surtout de démontrer des inégalités : une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes, ce qui donne par exemple e^x ≥ 1 + x pour tout réel x. Elle sert aussi à interpréter un point d'inflexion (vitesse de variation maximale ou minimale) dans un problème concret.

Spécialité Mathématiques Terminale

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Convexité

Fonction convexe ou concave (cordes, tangentes), dérivée seconde et convexité, points d'inflexion, inégalités obtenues par convexité (position par rapport aux tangentes), lecture graphique

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Convexité » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Cordes et fonctions de référence, Dérivée seconde et convexité, Tangentes et inégalités de convexité. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel

Définition (convexité). Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

, de courbe

𝒞_{f}

. On dit que

f

est convexe sur

I

si, pour tous points

A

B

𝒞_{f}

d'abscisses dans

I

, la portion de courbe comprise entre

A

B

est située en dessous de la sécante (corde) $[A B]$ .
On dit que

f

est concave sur

I

si cette portion est toujours au-dessus de la corde, c'est-à-dire si

- f

est convexe sur

I

Caractérisations (admises). Si

f

est deux fois dérivable sur

I

, les propositions suivantes sont équivalentes :
•

f

est convexe sur

I

;
•

f^{'}

est croissante sur

I

;
•

f^{″} (x) ⩾ 0

pour tout

x

I

;
•

𝒞_{f}

est au-dessus de chacune de ses tangentes sur

I

.
Pour une fonction concave :

f^{'}

décroissante,

f^{″} ⩽ 0

, courbe en dessous de ses tangentes.

Point d'inflexion. Le point

A (a; f (a))

est un point d'inflexion de

𝒞_{f}

si la courbe traverse sa tangente en

A

: la fonction change de convexité en

a

Cordes et fonctions de référence

Traduction algébrique.

f

est convexe sur

I

si et seulement si, pour tous réels

x

y

I

et tout

t \in [0; 1]

f (t x + (1 - t) y) ⩽ t f (x) + (1 - t) f (y) .

Avec

t = \frac{1}{2}

: l'image du milieu est inférieure ou égale à la moyenne des images.

Exemple. Pour

f (x) = x^{2}

, avec

x = 1

y = 5

f (3) = 9

\frac{f (1) + f (5)}{2} = \frac{1 + 25}{2} = 13

. On a bien

9 ⩽ 13

: le milieu de la corde est au-dessus de la courbe.

Fonction	$f^{″} (x)$	Convexité
$x \mapsto a x + b$	$0$	convexe et concave sur $ℝ$
$x \mapsto x^{2}$	$2$	convexe sur $ℝ$
$x \mapsto x^{3}$	$6 x$	concave sur $] - \infty; 0]$ , convexe sur $[0; + \infty [$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$\frac{2}{x^{3}}$	concave sur $] - \infty; 0 [$ , convexe sur $] 0; + \infty [$
$x \mapsto \sqrt{x}$	$- \frac{1}{4 x \sqrt{x}}$	concave sur $[0; + \infty [$
$x \mapsto e^{x}$	$e^{x}$	convexe sur $ℝ$

La convexité s'étudie sur un intervalle. La fonction inverse est convexe sur

] 0; + \infty [

mais pas sur

ℝ^{*}

: la corde joignant les points

(- 1; - 1)

(1; 1)

est la droite

y = x

, et au point d'abscisse

\frac{1}{2}

la courbe (ordonnée

2

) passe au-dessus de cette corde.

Dérivée seconde et convexité

Dérivée seconde. Si

f

est dérivable sur

I

et si

f^{'}

est elle-même dérivable sur

I

, la dérivée de

f^{'}

est la dérivée seconde de

f

, notée

f^{″}

. On dit que

f

est deux fois dérivable sur

I

Théorème (admis). Si

f

est deux fois dérivable sur l'intervalle

I

:
•

f^{″} ⩾ 0

sur

I

⟺

f^{'}

croissante sur

I

⟺

f

convexe sur

I

;
•

f^{″} ⩽ 0

sur

I

⟺

f^{'}

décroissante sur

I

⟺

f

concave sur

I

Exemple.

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 2 x

sur

ℝ

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 2

f^{″} (x) = 6 x - 12 = 6 (x - 2)

. Donc

f^{″} (x) ⩽ 0

pour

x ⩽ 2

f^{″} (x) ⩾ 0

pour

x ⩾ 2

f

est concave sur $] - \infty; 2]$ et convexe sur $[2; + \infty [$ .

Pour la convexité, on étudie le signe de $f^{″}$ , exactement comme on étudie le signe de

f^{'}

pour les variations : on factorise, puis on dresse un tableau de signes.

Tangentes et inégalités de convexité

Propriété. Si

f

est convexe et dérivable sur

I

et si

a \in I

, alors pour tout

x \in I

f (x) ⩾ f^{'} (a) (x - a) + f (a) .

f

est concave sur

I

, l'inégalité est renversée :

f (x) ⩽ f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Démonstration exigible (si

f^{″} ⩾ 0

sur

I

, la courbe est au-dessus de ses tangentes). Soit

a \in I

g (x) = f (x) - [f^{'} (a) (x - a) + f (a)]

pour

x \in I

. La fonction

g

est dérivable et

g^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (a)

. Comme

f^{″} ⩾ 0

sur

I

f^{'}

est croissante sur

I

: si

x ⩽ a

, alors

f^{'} (x) ⩽ f^{'} (a)

, donc

g^{'} (x) ⩽ 0

; si

x ⩾ a

, alors

g^{'} (x) ⩾ 0

. Ainsi

g

est décroissante puis croissante : elle admet en

a

un minimum égal à

g (a) = f (a) - f (a) = 0

. Donc

g (x) ⩾ 0

pour tout

x \in I

: la courbe est au-dessus de sa tangente en

a

Exemple : $e^{x} ⩾ 1 + x$ . La fonction exponentielle est convexe sur

ℝ

car sa dérivée seconde

e^{x}

est strictement positive. Sa tangente en

0

a pour équation

y = e^{0} (x - 0) + e^{0}

, soit

y = x + 1

. Donc pour tout réel

x

e^{x} ⩾ x + 1

. Par exemple,

e^{- 0, 2} ⩾ 0, 8

Points d'inflexion

Propriété. Si

f

est deux fois dérivable sur

I

et si

f^{″}

s'annule en changeant de signe en

a \in I

, alors le point

A (a; f (a))

est un point d'inflexion de

𝒞_{f}

. En ce point,

f^{'}

admet un extremum local.

Exemple.

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1

f^{″} (x) = 6 x - 6

s'annule en

1

en changeant de signe, et

f (1) = - 1

. Le point

A (1; - 1)

est un point d'inflexion. Comme

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x

f^{'} (1) = - 3

: la tangente en

A

a pour équation

y = - 3 (x - 1) - 1

, soit

y = - 3 x + 2

. La courbe est en dessous de cette tangente à gauche de

A

(concavité) et au-dessus à droite (convexité).

Méthodes

Méthode 1 — Étudier la convexité d'une fonction

Justifier que $f$ est deux fois dérivable, calculer $f^{'} (x)$ puis $f^{″} (x)$ .
Factoriser $f^{″} (x)$ et dresser son tableau de signes.
Conclure : $f$ convexe là où $f^{″} ⩾ 0$ , concave là où $f^{″} ⩽ 0$ .
Aux valeurs où $f^{″}$ s'annule en changeant de signe, calculer l'image : ce sont les points d'inflexion.

Exemple rédigé.

f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}

sur

ℝ

f^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} + 1) e^{x} = (x + 1)^{2} e^{x}

. Puis

f^{″} (x) = 2 (x + 1) e^{x} + (x + 1)^{2} e^{x} = (x + 1) (x + 3) e^{x}

. Comme

e^{x} > 0

f^{″} (x)

a le signe du trinôme

(x + 1) (x + 3)

, positif à l'extérieur de ses racines

- 3

- 1

. Donc

f

est convexe sur $] - \infty; - 3]$ et sur $[- 1; + \infty [$ , concave sur $[- 3; - 1]$ . Points d'inflexion :

(- 3; 10 e^{- 3})

(- 1; 2 e^{- 1})

Méthode 2 — Démontrer une inégalité par convexité

Reconnaître une fonction $f$ et une droite (en général une tangente) dans l'inégalité.
Justifier la convexité ou la concavité de $f$ sur l'intervalle.
Écrire l'équation de la tangente en $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .
Conclure avec la position de la courbe par rapport à la tangente.

Exemple rédigé. Montrons que

\sqrt{x} ⩽ \frac{x + 1}{2}

pour tout

x ⩾ 0

. Sur

] 0; + \infty [

f (x) = \sqrt{x}

vérifie

f^{″} (x) = - \frac{1}{4 x \sqrt{x}} < 0

f

est concave. Tangente en

1

f (1) = 1

f^{'} (1) = \frac{1}{2}

, d'où

y = \frac{1}{2} (x - 1) + 1 = \frac{x + 1}{2}

. La courbe étant sous cette tangente,

\sqrt{x} ⩽ \frac{x + 1}{2}

pour

x > 0

; pour

x = 0

, on a directement

0 ⩽ \frac{1}{2}

Méthode 3 — Lire la convexité sur un graphique

Courbe de $f$ : convexe là où la courbe est sous ses cordes (elle « tourne vers le haut ») ; inflexion là où elle traverse sa tangente.
Courbe de $f^{'}$ : $f$ convexe là où $f^{'}$ est croissante ; inflexion aux extremums de $f^{'}$ .
Courbe de $f^{″}$ : $f$ convexe là où $f^{″}$ est au-dessus de l'axe des abscisses ; inflexion là où elle traverse cet axe.

Exemple rédigé. La courbe de

f^{'}

est décroissante sur

[- 4; 0, 5]

puis croissante sur

[0, 5; 3]

. Donc

f

est concave sur

[- 4; 0, 5]

, convexe sur

[0, 5; 3]

, et la courbe de

f

a un point d'inflexion d'abscisse

0, 5

. Sans le signe de

f^{'}

, on ne peut rien dire des variations de

f

Pièges et erreurs classiques

$f^{″} (a) = 0$ ne suffit pas. Pour

x \mapsto x^{4}

f^{″} (x) = 12 x^{2}

s'annule en

0

sans changer de signe : la fonction est convexe sur

ℝ

et l'origine n'est pas un point d'inflexion.

Confondre $f^{'}$ et $f^{″}$ . Le signe de

f^{'}

donne les variations, celui de

f^{″}

la convexité. La fonction inverse est décroissante et convexe sur

] 0; + \infty [

Tangente au point d'inflexion. La courbe la traverse : on ne peut pas écrire une inégalité valable sur tout l'intervalle, seulement de chaque côté du point.

Intervalle. La propriété « au-dessus des tangentes » ne vaut que sur un intervalle où

f

est convexe et pour une tangente en un point de cet intervalle.

Lecture graphique. Vérifier si le graphique donné est celui de

f

, de

f^{'}

ou de

f^{″}

avant de conclure.

Facteur exponentiel. Dans

f^{″} (x) = P (x) e^{u (x)}

, on écrit que

e^{u (x)} > 0

: le signe de

f^{″}

est celui de

P (x)

En bref

Convexe : courbe sous ses cordes, au-dessus de ses tangentes ; concave : l'inverse.
Si $f$ est deux fois dérivable : $f$ convexe $⟺$ $f^{'}$ croissante $⟺$ $f^{″} ⩾ 0$ .
Point d'inflexion : $f^{″}$ s'annule en changeant de signe ; la courbe traverse sa tangente.
Inégalité de convexité : $f$ convexe $\Rightarrow$ $f (x) ⩾ f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ ; exemple $e^{x} ⩾ 1 + x$ .
Méthode : calculer $f^{″}$ , factoriser, tableau de signes, conclure intervalle par intervalle.

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