Devoir surveillé : Proportionnalité, pourcentages et gestion de données

1. a)Prendre $10\%$, c'est diviser par $10$ : $230÷10=23$. (1 pt : 0,5 pour la méthode, 0,5 pour le résultat) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{9\times 4}{25\times 4}}={\displaystyle \frac{36}{100}}=36\%$. (1 pt : 0,5 pour la fraction sur $100$, 0,5 pour le pourcentage) (1)
3. c)Somme : $8+12+10+14=44$ ; effectif : $4$ ; moyenne : $44÷4=11$. (1 pt : 0,5 pour la somme, 0,5 pour la division par l'effectif) (1)
4. d)Le prix est proportionnel au nombre de stylos. Comme $6=2\times 3$, $6$ stylos coûtent $2\times 2,40=4,80$ €. (1 pt : 0,5 pour le raisonnement, 0,5 pour le résultat) (1)

Astuce — les pourcentages faciles se calculent de tête : $50\%$, c'est la moitié ; $25\%$, le quart ; $10\%$, diviser par $10$ ; $1\%$, diviser par $100$.

1. a)$3÷2=1,5$ ; $7,5÷5=1,5$ ; $12÷8=1,5$. Les trois quotients sont égaux : le prix est proportionnel à la masse, de coefficient $1,5$ (le kilogramme coûte $1,50$ €). (1 pt : 0,5 pour les trois quotients, 0,5 pour la conclusion) (1)
2. b)Avec le coefficient : $13\times 1,5=13+6,5=19,5$, soit $19,50$ €. Avec l'additivité : $13=5+8$, donc le prix est $7,50+12=19,50$ €. Les deux méthodes donnent le même résultat. (1 pt : 0,5 par méthode) (1)
3. c)$21=7\times 3$ : on paie $7$ fois le prix de $2$ kg, donc on obtient $7\times 2=14$ kg. Vérification : $14\times 1,5=14+7=21$ €. (1 pt : 0,5 pour le raisonnement, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)Réduction : $10\%$ de $12$ €, soit $12÷10=1,20$ €. Nouveau prix : $12-1,20=10,80$ €. (1 pt : 0,5 pour la réduction, 0,5 pour le prix final) (1)

Méthode — on passe de la masse au prix en multipliant par le coefficient ; pour aller du prix à la masse, chercher combien de fois un prix connu est contenu dans le prix donné évite une division par un nombre décimal.

1. a)$14+8+10=32$ élèves ont choisi un autre sport, donc $40-32=8$ élèves ont choisi la danse. (1 pt : 0,5 pour la somme, 0,5 pour le résultat) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{14}{40}}={\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{35}{100}}=0,35=35\%$. (1 pt : 0,5 pour la fraction, 0,5 pour le nombre décimal et le pourcentage) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{10}{40}}={\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{25}{100}}=25\%$. Le basket occupe donc un quart du disque : ${360}^{\circ }÷4={90}^{\circ }$. (1 pt : 0,5 pour le pourcentage, 0,5 pour l'angle) (1)
4. d)La hauteur est proportionnelle à l'effectif : football, $14÷2=7$ cm ; natation, $8÷2=4$ cm. (1 pt : 0,5 par barre) (1)

Astuce — on vérifie que la somme des effectifs redonne l'effectif total ($14+8+10+8=40$) et que la somme des pourcentages fait $100\%$ : c'est un contrôle gratuit qui repère une erreur de calcul.

1. a)$7\times 500=3500$ m, et $3500$ m $=3,5$ km. (1 pt : 0,5 pour le calcul, 0,5 pour la conversion) (1)
2. b)$1,2$ km $=1200$ m. Comme $500$ m sont représentés par $1$ cm : $1200÷500=2,4$ cm (en effet, $1000$ m donnent $2$ cm et $200$ m donnent $0,4$ cm). (1 pt : 0,5 pour la conversion, 0,5 pour le résultat) (1)
3. c)En $60$ min, Tom parcourt $5$ km, donc il parcourt $1$ km en $60÷5=12$ min. Pour $3,5$ km : $3,5\times 12=36+6=42$ min. (1 pt : 0,5 pour le retour à l'unité, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)$9$ h $25$ min $+42$ min $=9$ h $67$ min. Or $67$ min $=1$ h $7$ min, donc il arrive à $10$ h $07$ min. (1 pt : 0,5 pour l'addition, 0,5 pour la conversion des minutes) (1)

Piège — une échelle se lit avec des longueurs exprimées dans la même unité : on convertit d'abord les kilomètres en mètres avant de diviser, sinon le résultat est $1000$ fois trop petit.

1. a)$25\times 12=25\times 4\times 3=100\times 3=300$ €. (1 pt : 0,5 pour le calcul, 0,5 pour le résultat avec l'unité) (1)
2. b)$10\%$ de $300$ € font $30$ €, donc $20\%$ font $2\times 30=60$ €. Prix payé : $300-60=240$ €. (1 pt : 0,5 pour la réduction, 0,5 pour le prix payé) (1)
3. c)$10\%$ de $25$ font $2,5$, donc $60\%$ font $6\times 2,5=15$ élèves. (1 pt : 0,5 pour la méthode, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)Somme : $6+0+9+4+11=30$ € ; effectif : $5$ (l'élève qui n'a rien dépensé compte) ; moyenne : $30÷5=6$ €. (1 pt : 0,5 pour la somme et l'effectif, 0,5 pour la moyenne) (1)

Erreur fréquente — oublier une valeur nulle dans l'effectif : diviser $30$ par $4$ au lieu de $5$ donnerait $7,50$ €, une moyenne trop forte. Une valeur égale à $0$ compte comme les autres.

1. a)Vrai. $25\%$ de $80$ $=80÷4=20$ ; $80\%$ de $25$ $={\displaystyle \frac{80\times 25}{100}}={\displaystyle \frac{2000}{100}}=20$. Dans les deux cas, on calcule ${\displaystyle \frac{25\times 80}{100}}$. (1 pt : 0,5 pour la réponse, 0,5 pour les deux calculs) (1)
2. b)Faux. À la naissance ($0$ an), un bébé mesure déjà environ $50$ cm, alors qu'avec la proportionnalité, à $0$ an correspondrait $0$ cm. Autre contre-exemple : un enfant d'environ $110$ cm à $5$ ans ne mesure pas $220$ cm à $10$ ans, mais environ $140$ cm. (1 pt : 0,5 pour la réponse, 0,5 pour un contre-exemple) (1)
3. c)Faux. $(9+11+16+20)÷4=56÷4=14$, et $14$ n'est pas une valeur de la série. La moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur, mais n'est pas forcément l'une d'elles. (1 pt : 0,5 pour la moyenne, 0,5 pour la conclusion) (1)
4. d)Faux. ${\displaystyle \frac{3}{8}}=3÷8=0,375=37,5\%$, et $37,5\%<40\%$ : c'est moins. (1 pt : 0,5 pour la conversion, 0,5 pour la comparaison) (1)

Méthode — pour montrer qu'une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit ; en revanche, un exemple qui marche ne prouve pas qu'elle est toujours vraie.

1. a)Prendre $15\%$ d'un prix, c'est toujours le multiplier par ${\displaystyle \frac{15}{100}}=0,15$ : la réduction est proportionnelle au prix initial, de coefficient $0,15$. Vérification : $40\times 0,15=6$. (1 pt : 0,5 pour l'explication, 0,5 pour le coefficient) (1)
2. b)$60\times 0,15=9$ €. Une réduction de $12$ €, double de $6$ €, correspond à un prix double de $40$ €, soit $80$ €. Enfin $140=60+80$, donc la réduction est $9+12=21$ € (ou $140\times 0,15=21$). (1,5 pt : 0,5 par valeur) (1)
3. c)$140-21=119$ €. (0,5 pt) (1)
4. d)On paie $100\%-15\%=85\%$ du prix initial : le prix payé est lui aussi proportionnel au prix initial, donc un seul prix initial convient. D'après le tableau, un article à $60$ € a $9$ € de réduction et coûte $60-9=51$ €. Le prix initial était $60$ €. (1 pt : 0,5 pour le raisonnement, 0,5 pour le résultat) (1)

Astuce — appliquer le même pourcentage à plusieurs prix revient à remplir un tableau de proportionnalité : l'additivité ($140=60+80$) donne une valeur sans nouvelle multiplication.

1. a)« Au moins $3$ h » signifie $3$ h ou $4$ h, soit $7+4=11$ élèves. ${\displaystyle \frac{11}{20}}={\displaystyle \frac{55}{100}}=55\%$. (1 pt : 0,5 pour l'effectif, 0,5 pour le pourcentage) (1)
2. b)Temps total : $1\times 3+2\times 6+3\times 7+4\times 4=3+12+21+16=52$ h. Moyenne : $52÷20=2,6$ h. Or $0,6$ h $=0,6\times 60$ min $=36$ min : la moyenne est de $2$ h $36$ min. (1,5 pt : 0,5 pour le total, 0,5 pour la division par $20$, 0,5 pour la conversion) (1)
3. c)Les $20$ élèves correspondent à ${360}^{\circ }$, donc $1$ élève correspond à $360÷20={18}^{\circ }$. Le secteur « $3$ h » ($7$ élèves) mesure $7\times 18={126}^{\circ }$. (1 pt : 0,5 pour l'angle d'un élève, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)Hugo confond la valeur la plus fréquente ($3$ h) avec la moyenne. La moyenne tient compte de tous les élèves : elle vaut $2$ h $36$ min, et non $3$ h. (0,5 pt) (1)

Piège — dans un tableau d'effectifs, chaque valeur est multipliée par son effectif avant de diviser par l'effectif total ; calculer $(1+2+3+4)÷4=2,5$ oublie que les valeurs ne concernent pas le même nombre d'élèves.

1. a)En $30$ min : $60$ km ; en $60$ min : $120$ km. $60÷30=2$ et $120÷60=2$ : oui, la distance est proportionnelle à la durée ($2$ km par minute). Vitesse : $120$ km en $1$ h, soit $120$ km/h. (1 pt : 0,5 pour la justification, 0,5 pour la vitesse) (1)
2. b)Distance parcourue : $140-120=20$ km en $30$ min, donc $2\times 20=40$ km en $1$ h. Vitesse moyenne : $40$ km/h. (1 pt : 0,5 pour la distance, 0,5 pour la vitesse) (1)
3. c)Non. À $2$ km par minute, le train aurait parcouru $90\times 2=180$ km à $9$ h $30$, soit $90$ min après le départ ; or il n'en a parcouru que $140$. Les quotients distance/durée ne sont pas tous égaux. (1 pt : 0,5 pour la réponse, 0,5 pour la justification) (1)
4. d)Tout le trajet : $200$ km en $2$ h, soit $200÷2=100$ km/h. À $9$ h $00$ : ${\displaystyle \frac{120}{200}}={\displaystyle \frac{60}{100}}=60\%$ du trajet. (1 pt : 0,5 pour la vitesse moyenne, 0,5 pour le pourcentage) (1)

Erreur fréquente — la vitesse moyenne sur tout le trajet n'est pas la moyenne des vitesses des portions ($120$, $40$ et $120$ km/h donneraient environ $93$ km/h) : on divise la distance totale par la durée totale.

1. a)$540\times 2,5=540\times 2+540\times 0,5=1080+270=1350$ €. (1 pt : 0,5 pour le calcul, 0,5 pour le résultat) (1)
2. b)Distance moyenne : $540÷120=4,5$ km par élève (vérification : $120\times 4,5=540$). (1 pt : 0,5 pour la division par l'effectif, 0,5 pour le résultat) (1)
3. c)$45$ min $=3\times 15$ min, donc Lina parcourt $6÷3=2$ km en $15$ min, et $4\times 2=8$ km en $60$ min : sa vitesse moyenne est de $8$ km/h. Somme rapportée : $6\times 2,50=15$ €. (1 pt : 0,5 pour la vitesse, 0,5 pour la somme) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{1350}{1500}}={\displaystyle \frac{135}{150}}={\displaystyle \frac{9}{10}}={\displaystyle \frac{90}{100}}=90\%$ de l'objectif. (1 pt : 0,5 pour le quotient, 0,5 pour le pourcentage) (1)

Méthode — dans un problème, on rédige une phrase par étape : ce que l'on cherche, le calcul, puis le résultat avec son unité (€, km, km/h ou %).

1. a)$10\%$ de $260$ font $26$ ; $30\%$ font $3\times 26=78$ ; $5\%$ font $26÷2=13$ ; donc $35\%$ font $78+13=91$. (1 pt : 0,5 pour la décomposition, 0,5 pour le résultat) (1)
2. b)$12,5\%={\displaystyle \frac{12,5}{100}}={\displaystyle \frac{125}{1000}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$. On calcule $456÷8$ en prenant trois fois la moitié : $228$, $114$, puis $57$. Résultat : $57$. (1 pt : 0,5 pour reconnaître ${\displaystyle \frac{1}{8}}$, 0,5 pour le résultat) (1)
3. c)On regroupe : $(17,5+8,5)+(13+15)+(11+19)+(12,25+15,75)=26+28+30+28=112$. Il y a $8$ valeurs : $112÷8=14$. (1 pt : 0,5 pour la somme, 0,5 pour la moyenne) (1)
4. d)Prix de $1$ kg : $101,50÷7=14,50$ € (car $7\times 14=98$ et $7\times 0,5=3,5$). Prix de $12$ kg : $12\times 14,5=168+6=174$ €. (1 pt : 0,5 pour le retour à l'unité, 0,5 pour le résultat) (1)

Astuce — décomposer un pourcentage en pourcentages faciles ($35\%=30\%+5\%$), reconnaître $12,5\%={\displaystyle \frac{1}{8}}$ et regrouper les termes d'une somme qui donnent des nombres ronds.

1. a)Si le tableau était proportionnel, comme $9=3+6$, l'additivité donnerait $9\to 7+14=21$. Or on lit $22$ : le tableau n'est pas proportionnel. (1 pt : 0,5 pour la propriété utilisée, 0,5 pour la conclusion) (1)
2. b)La somme des cinq notes vaut $5\times 13=65$. Avec un $13$ : $65+13=78=6\times 13$, la moyenne reste $13$. Avec un $19$ : $65+19=84$ et $84÷6=14$ ; la moyenne augmente de $1$ point, car les $6$ points au-dessus de $13$ se répartissent sur $6$ notes. (1 pt : 0,5 par cas) (1)
3. c)Les angles sont proportionnels aux effectifs, donc aux pourcentages, et ${360}^{\circ }$ correspondent à $100\%$ : le nombre total de personnes n'intervient pas. Lait : ${\displaystyle \frac{108}{360}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=30\%$. Jus de fruits : ${\displaystyle \frac{54}{360}}={\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{15}{100}}=15\%$. (1 pt : 0,5 pour l'explication, 0,5 pour les deux pourcentages) (1)
4. d)Au ${\displaystyle \frac{1}{50000}}$, $1$ cm représente $50000$ cm, soit deux fois plus qu'au ${\displaystyle \frac{1}{25000}}$. Pour une même distance réelle, il faut donc deux fois moins de centimètres : $8÷2=4$ cm. (1 pt : 0,5 pour le raisonnement, 0,5 pour le résultat) (1)

Méthode — justifier sans calculer, c'est s'appuyer sur une propriété : l'additivité pour un tableau, « somme $=$ moyenne $\times$ effectif » pour une moyenne, la proportionnalité des angles aux effectifs pour un diagramme circulaire.

1. a)$12,5\%={\displaystyle \frac{1}{8}}$ : le nombre de « non » est le huitième du nombre de personnes interrogées ; comme c'est un entier, ce nombre est un multiple de $8$. De même, $10\%={\displaystyle \frac{1}{10}}$ : le dixième du nombre de personnes est entier, donc ce nombre est un multiple de $10$. (1 pt : 0,5 par condition) (1,33333)
2. b)Un multiple de $10$ se termine par $0$. Les multiples de $8$ ont pour chiffres des unités $8,6,4,2,0$ ($8,16,24,32,40$), puis ce cycle recommence, car ajouter $5\times 8=40$ ne change pas le chiffre des unités ($48,56,64,72,80$…). Seul un multiple de $8$ sur cinq se termine par $0$ : ce sont $40,80,120,160,200,\dots$ Le nombre étant inférieur à $200$, les seules possibilités sont $40$, $80$, $120$ et $160$ personnes. (1 pt : 0,5 pour une recherche organisée qui prouve qu'on n'oublie rien, 0,5 pour les quatre solutions) (1,33333)
3. c)La somme des trois notes vaut $3\times 18=54$. Si la meilleure note valait $18$ ou moins, les deux autres, différentes, vaudraient au plus $17$ et $16$, et la somme au plus $18+17+16=51<54$ : impossible. La meilleure note vaut donc $19$ ou $20$. Si c'est $20$ : les deux autres font $54-20=34$ et valent au plus $19$, d'où $19+15$ ou $18+16$ ($17+17$ est exclu, les notes étant différentes). Si c'est $19$ : les deux autres font $35$ et valent au plus $18$, d'où seulement $18+17$. Il y a exactement trois possibilités : ($15$ ; $19$ ; $20$), ($16$ ; $18$ ; $20$) et ($17$ ; $18$ ; $19$). (2 pts : 0,5 pour la somme $54$, 0,5 pour l'élimination des cas où la meilleure note vaut au plus $18$, 1 pour les trois solutions obtenues par une recherche ordonnée) (1,33333)

Astuce — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on organise la recherche : repérer un cycle qui se répète, ou classer les cas selon la plus grande valeur et éliminer les cas impossibles par un argument.

1. a)Dimensions réelles : $1$ cm sur le plan représente $200$ cm $=2$ m, donc le potager mesure $10\times 2=20$ m sur $6\times 2=12$ m. Aire : $20\times 12=240$ m². Tomates : un quart, soit $240÷4=60$ m². Récolte : $60\times 5=300$ kg. Masse vendue : $10\%$ de $300$ kg font $30$ kg, donc $80\%$ font $8\times 30=240$ kg. Recette : $240\times 2,5=480+120=600$ €. Comme $600>550$, le club atteindra son objectif. (3 pts : 0,5 pour les dimensions réelles, 0,5 pour l'aire, 0,5 pour la surface des tomates, 0,5 pour la récolte, 0,5 pour la masse vendue, 0,5 pour la recette et la conclusion) (1,66667)
2. b)La cantine reçoit $300-240=60$ kg de tomates. Consommation par jour : $150\times 80=12000$ g $=12$ kg. Durée : $60÷12=5$ jours. (1 pt : 0,5 pour la masse reçue et la consommation par jour, 0,5 pour le résultat) (1,66667)
3. c)Somme : $38+52+61+49=90+110=200$ kg ; moyenne : $200÷4=50$ kg par semaine. À ce rythme : $300÷50=6$ semaines en tout, soit encore $2$ semaines après les quatre premières, qui ont déjà donné $200$ kg. (1 pt : 0,5 pour la moyenne, 0,5 pour le nombre de semaines) (1,66667)

Piège — l'échelle s'applique aux longueurs, pas aux aires : on convertit d'abord chaque côté en mètres, puis on calcule l'aire. Multiplier l'aire du plan ($60$ cm²) par $200$ donnerait un résultat faux.

1. a)6e A : $60\%$ de $20$ $=12$ filles. 6e B : $40\%$ de $30$ $=12$ filles. Réunies : $12+12=24$ filles sur $20+30=50$ élèves, soit ${\displaystyle \frac{24}{50}}={\displaystyle \frac{48}{100}}=48\%$, et non $50\%$. (1 pt : 0,5 pour les nombres de filles, 0,5 pour le pourcentage) (1)
2. b)Il faut autant de filles que de garçons. La 6e A compte $12$ filles et $8$ garçons : $4$ filles de plus que de garçons. En 6e B, l'effectif est un multiple de $5$ (pour que $40\%$ tombe juste) et chaque groupe de $5$ élèves compte $2$ filles et $3$ garçons : il apporte $1$ garçon de plus que de filles. Pour compenser les $4$ filles d'avance, il faut exactement $4$ groupes de $5$, soit $20$ élèves ; avec moins, les filles restent plus nombreuses, avec plus, ce sont les garçons. Vérification : $12+8=20$ filles sur $20+20=40$ élèves, soit $50\%$. (1 pt : 0,5 pour le raisonnement, 0,5 pour la réponse vérifiée) (1)
3. c)Si les deux classes ont le même effectif, les deux pourcentages portent sur le même nombre : on peut les additionner (par exemple, $60\%$ d'un nombre plus $30\%$ du même nombre font $90\%$ de ce nombre). Les filles des deux classes représentent donc la somme des deux pourcentages d'une seule classe. Mais les deux classes réunies comptent deux fois plus d'élèves qu'une classe : le pourcentage cherché est la moitié de cette somme, c'est-à-dire la moyenne des deux pourcentages. Exemple : deux classes de $25$ élèves avec $60\%$ et $40\%$ de filles donnent $15+10=25$ filles sur $50$, soit $50\%$. (1 pt : 0,5 pour l'addition des pourcentages d'un même nombre, 0,5 pour la division par deux justifiée) (1)

Erreur fréquente — on ne fait pas la moyenne de deux pourcentages calculés sur des effectifs différents : on revient aux effectifs (nombre de filles, nombre total d'élèves), puis on recalcule le pourcentage.