Devoir surveillé : Droites, angles, repérage et figures

1. a)$TS=RS-RT=6,8-3,4=3,4$ cm, donc $RT=TS$. Comme $T$ appartient à $[RS]$ et qu'il est à égale distance de $R$ et de $S$, $T$ est bien le milieu de $[RS]$. (0,5 pt pour le calcul de $TS$ + 0,5 pt pour la conclusion justifiée) (1)
2. b)Le rayon est la moitié du diamètre : $9÷2=4,5$ cm. Tout point du cercle est à une distance du centre égale au rayon, donc à $4,5$ cm de $O$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)${38}^{\circ }<{90}^{\circ }$ : $\hat{A}$ est aigu. ${90}^{\circ }<{152}^{\circ }<{180}^{\circ }$ : $\hat{C}$ est obtus. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Quatre côtés de même longueur : c'est un losange. Un losange qui possède un angle droit a ses quatre angles droits : c'est aussi un rectangle, donc un carré. (0,5 pt pour « losange » + 0,5 pt pour « carré » justifié) (1)

Méthode — pour prouver qu'un point est le milieu d'un segment, il faut deux choses : qu'il appartienne au segment et qu'il soit à égale distance des deux extrémités.

1. a)$B$ est à droite de $A$ : $AB=7-2,5=4,5$ unités. (1 pt) (1)
2. b)$BC=11,3-7=4,3$ unités ; $AC=11,3-2,5=8,8$ unités. Vérification : $4,5+4,3=8,8$, ce qui est normal puisque $B$ est entre $A$ et $C$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$M$ est à mi-chemin entre $A$ et $C$ : $AM=8,8÷2=4,4$. L'abscisse de $M$ est donc $2,5+4,4=6,9$. (0,5 pt pour $AM$ + 0,5 pt pour l'abscisse) (1)
4. d)$D$ est de l'autre côté de $B$, à la même distance que $A$ : $BD=AB=4,5$. L'abscisse de $D$ est $7+4,5=11,5$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — l'abscisse d'un milieu n'est pas la moitié de la distance entre les deux points : cette moitié doit être ajoutée à l'abscisse du premier point.

1. a)$A$ et $B$ ont la même ordonnée $1$ : $[AB]$ est horizontal et $AB=6-1=5$. $B$ et $C$ ont la même abscisse $6$ : $[BC]$ est vertical et $BC=4-1=3$. Un segment horizontal et un segment vertical sont perpendiculaires : $\widehat{ABC}={90}^{\circ }$. (0,5 pt pour les longueurs + 0,5 pt pour l'angle droit) (1)
2. b)De même, $[CD]$ est horizontal et $[DA]$ vertical : les quatre angles sont droits, $ABCD$ est un rectangle. Ce n'est pas un carré car $AB=5$ et $BC=3$ ne sont pas égaux. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)L'abscisse de $I$ est à mi-chemin entre $1$ et $6$ : $1+5÷2=3,5$. Son ordonnée est à mi-chemin entre $1$ et $4$ : $1+3÷2=2,5$. Donc $I(3,5;2,5)$. (0,5 pt par coordonnée) (1)
4. d)Un rectangle qui n'est pas un carré a $2$ axes de symétrie : la droite horizontale et la droite verticale passant par $I$. L'axe vertical est formé des points d'abscisse $3,5$ ; $B$ est à $6-3,5=2,5$ unités à sa droite, donc son symétrique est à $2,5$ unités à gauche, en $(1;1)$ : c'est le point $A$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — deux points de même ordonnée sont sur une droite horizontale, deux points de même abscisse sur une droite verticale : leur distance se lit alors par une simple soustraction.

1. a)$[Oy)$ est entre $[Ox)$ et $[Oz)$, donc $\widehat{xOz}={64}^{\circ }+{50}^{\circ }={114}^{\circ }$. Comme ${90}^{\circ }<{114}^{\circ }<{180}^{\circ }$, l'angle est obtus. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)La bissectrice partage l'angle en deux angles de même mesure : ${64}^{\circ }÷2={32}^{\circ }$, donc $\widehat{xOt}=\widehat{tOy}={32}^{\circ }$. (1 pt) (1)
3. c)$[Oy)$ est entre $[Ot)$ et $[Oz)$ : $\widehat{tOz}=\widehat{tOy}+\widehat{yOz}={32}^{\circ }+{50}^{\circ }={82}^{\circ }$. Comme ${82}^{\circ }<{90}^{\circ }$, l'angle est aigu. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Il faudrait $\widehat{yOz}={90}^{\circ }-{64}^{\circ }={26}^{\circ }$. L'angle $\widehat{xOz}$ serait alors droit, donc les droites qui portent $[Ox)$ et $[Oz)$ seraient perpendiculaires. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — une bissectrice ne coupe pas un angle en deux angles de $45°$ : elle le partage en deux moitiés égales, qu'on obtient en divisant sa mesure par deux.

1. a)C'est le cercle de centre $P$ et de rayon $4$ m (la chèvre broute dans le disque qu'il entoure). Son diamètre mesure $2\times 4=8$ m. (0,5 pt pour le cercle et son centre + 0,5 pt pour le rayon et le diamètre) (1)
2. b)$3,6<4$ : le premier chou est à l'intérieur du disque, la chèvre peut le manger. $4,2>4$ : le second est à l'extérieur, hors de sa portée. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$M$ est le milieu de $[PQ]$ : $PM=MQ=6÷2=3$ m. Comme $3<4$, chaque chèvre peut atteindre $M$ : elles peuvent s'y rejoindre. (0,5 pt pour $PM=3$ m + 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)Par rapport à la médiatrice de $[PQ]$, c'est-à-dire la droite perpendiculaire à $(PQ)$ passant par $M$. En effet, $Q$ est le symétrique de $P$ par rapport à cette droite et les deux cercles ont le même rayon. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — un point est à l'intérieur d'un cercle si sa distance au centre est inférieure au rayon, sur le cercle si elle est égale, à l'extérieur si elle est plus grande.

1. a)Vrai : si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. (0,5 pt pour la réponse + 0,5 pt pour la propriété citée) (1)
2. b)Faux : un rectangle de $5$ cm sur $2$ cm a bien quatre angles droits, mais ses quatre côtés ne sont pas égaux, ce n'est donc pas un losange. Seul un rectangle qui est un carré est aussi un losange. (0,5 pt + 0,5 pt pour le contre-exemple) (1)
3. c)Vrai : les trois points ont la même abscisse $2$, ils sont donc tous sur la droite verticale formée des points d'abscisse $2$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Vrai : un angle obtus mesure moins de ${180}^{\circ }$, donc chacune de ses deux moitiés mesure moins de ${180}^{\circ }÷2={90}^{\circ }$ : les deux angles obtenus sont aigus. Par exemple, ${130}^{\circ }$ donne deux angles de ${65}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour montrer qu'une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit ; pour montrer qu'elle est vraie, un exemple ne suffit pas, il faut une propriété ou un raisonnement.

1. a)$A$ est à $6-2=4$ unités à gauche de $(d)$. Son symétrique est sur la même horizontale, à $4$ unités à droite de $(d)$ : abscisse $6+4=10$. Donc $A^{\prime }(10;3)$. (0,5 pt pour la distance à l'axe + 0,5 pt pour les coordonnées) (1)
2. b)$B$ est à $6-5=1$ unité à gauche de $(d)$, donc $B^{\prime }(7;7)$. $C$ a pour abscisse $6$ : il est sur $(d)$ et il est son propre symétrique, $C^{\prime }=C(6;2)$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$E^{\prime }$ est à $8,5-6=2,5$ unités à droite de $(d)$, donc $E$ est à $2,5$ unités à gauche, sur la même horizontale : abscisse $6-2,5=3,5$. Donc $E(3,5;4)$. (1 pt) (1)
4. d)La symétrie axiale conserve les longueurs et les mesures d'angles : $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ et $\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\widehat{ABC}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — par rapport à une droite verticale, un point et son symétrique ont la même ordonnée : seule l'abscisse change, et un point de l'axe reste à sa place.

1. a)$A$ et $C$ ont la même ordonnée $4$ : $(AC)$ est horizontale. $B$ et $D$ ont la même abscisse $4$ : $(BD)$ est verticale, donc perpendiculaire à $(AC)$ ; elle la coupe en $I(4;4)$. $IB=4-1=3$ et $ID=7-4=3$ : $I$ est le milieu de $[BD]$. La droite $(AC)$ est donc perpendiculaire à $[BD]$ en son milieu : $B$ et $D$ sont symétriques par rapport à $(AC)$. (0,5 pt pour la perpendicularité + 0,5 pt pour le milieu + 0,5 pt pour la conclusion) (1)
2. b)$A$ et $C$ sont sur l'axe $(AC)$ : ils sont leurs propres symétriques. Le symétrique de $[AB]$ est donc $[AD]$ et celui de $[CB]$ est $[CD]$. La symétrie conserve les longueurs : $AB=AD$ et $CB=CD$. (1 pt) (1)
3. c)Dans la symétrie d'axe $(BD)$, $B$ reste fixe et $A$ a pour symétrique $C$ : le symétrique de $[AB]$ est $[CB]$, donc $AB=CB$. Finalement $AB=AD=CB=CD$ : les quatre côtés sont égaux, $ABCD$ est un losange. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Un losange qui possède un angle droit est un carré : $ABCD$ serait un carré. (0,5 pt) (1)

Astuce — un axe de symétrie fournit des égalités de longueurs sans aucune mesure : c'est souvent le chemin le plus court pour reconnaître un losange.

1. a)$A$, $O$ et $B$ sont alignés avec $O$ entre $A$ et $B$ : $\widehat{AOB}$ est un angle plat, il mesure ${180}^{\circ }$. Donc $\widehat{COB}={180}^{\circ }-{58}^{\circ }={122}^{\circ }$, angle obtus. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$\widehat{xOC}={58}^{\circ }÷2={29}^{\circ }$ et $\widehat{COy}={122}^{\circ }÷2={61}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$[OC)$ est entre $[Ox)$ et $[Oy)$ : $\widehat{xOy}={29}^{\circ }+{61}^{\circ }={90}^{\circ }$. L'angle est droit, donc les droites qui portent $[Ox)$ et $[Oy)$ sont perpendiculaires. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$\widehat{COB}={180}^{\circ }-{100}^{\circ }={80}^{\circ }$ ; $\widehat{xOC}={100}^{\circ }÷2={50}^{\circ }$ ; $\widehat{COy}={80}^{\circ }÷2={40}^{\circ }$ ; $\widehat{xOy}={50}^{\circ }+{40}^{\circ }={90}^{\circ }$. On retrouve un angle droit : les deux bissectrices semblent toujours perpendiculaires, car on additionne les moitiés de deux angles qui totalisent ${180}^{\circ }$, et la moitié de ${180}^{\circ }$ vaut ${90}^{\circ }$. (0,5 pt pour les calculs + 0,5 pt pour la remarque) (1)

Erreur fréquente — oublier qu'un angle plat mesure $180°$ : dès que trois points sont alignés, on obtient un angle par différence avec $180°$, sans rapporteur.

1. a)$D$ et $B_1$ ont la même abscisse : $D{B}_1=9-1=8$ unités. $B_1$ et $B_2$ ont la même ordonnée : $B_1{B}_2=8-2=6$ unités. Total : $8+6=14$ unités, soit $14\times 100=1400$ m. (0,5 pt pour les longueurs + 0,5 pt pour la conversion) (1)
2. b)$R$ a la même abscisse $2$ que $D$ et $B_1$ ; son ordonnée est à mi-chemin entre $1$ et $9$ : $1+8÷2=5$. Donc $R(2;5)$. (1 pt) (1)
3. c)$R$ et $Z$ ont la même ordonnée : $ZR=5-2=3$ unités et $3>2,5$, donc $R$ est hors de la zone. $P$ et $Z$ ont la même abscisse : $ZP=9-5=4$ unités et $4>2,5$, donc $P$ est aussi hors de la zone. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$T$ et $Z$ ont la même abscisse : $ZT=7,5-5=2,5$ unités, exactement le rayon. $T$ est donc sur le cercle qui limite la zone. Distance réelle : $2,5\times 100=250$ m. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — une distance lue sur une carte est en unités : il faut la multiplier par l'échelle (ici $100$ m par unité) avant de donner une réponse en mètres.

1. a)Isocèle en $A$ : $AB=AC$. Donc $AB+AC=23-7=16$ cm et $AB=16÷2=8$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$EF=9,05-3,75=5,3$ ; $EK=5,3÷2=2,65$ ; l'abscisse de $K$ est $3,75+2,65=6,4$. (0,5 pt pour $EF$ + 0,5 pt pour l'abscisse) (1)
3. c)$\widehat{xOt}={147}^{\circ }÷2=73,5^{\circ }$ (car $146÷2=73$ et $1÷2=0,5$). Comme $73,5^{\circ }<{90}^{\circ }$, l'angle est aigu. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — dans un triangle isocèle dont on connaît le périmètre, on retire d'abord la base, puis on partage le reste en deux ; diviser directement le périmètre ne donne rien de juste.

1. a)$AB=10-6=4$ ; $C$ est à $4÷2=2$ unités de $A$, vers $B$ : abscisse $6+2=8$. (1 pt) (1)
2. b)$A$ milieu de $[BC]$ : $C$ est de l'autre côté de $A$, à la distance $AB=4$, d'où l'abscisse $6-4=2$. $B$ milieu de $[AC]$ : $C$ est au-delà de $B$, à la distance $4$, d'où l'abscisse $10+4=14$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Le milieu ne peut être que l'un des trois points : $C$, $A$ ou $B$. Ces trois cas couvrent toutes les possibilités, et dans chacun d'eux la distance et le côté où se trouve $C$ sont imposés, donc une seule position convient. Il y a exactement trois solutions : $2$, $8$ et $14$. (1 pt) (1)
4. d)$AB=10-3=7$. $C$ milieu : $3+7÷2=3+3,5=6,5$. $B$ milieu : $10+7=17$. $A$ milieu : il faudrait reculer de $7$ unités à partir de l'abscisse $3$, donc passer avant l'origine, hors de la demi-droite : impossible. Il y a deux solutions, $6,5$ et $17$. (0,5 pt pour les calculs + 0,5 pt pour le cas impossible) (1)

Méthode — pour trouver toutes les solutions, on découpe le problème en cas qui couvrent toutes les possibilités, puis on traite chaque cas : c'est ce découpage qui garantit qu'on n'oublie rien.

1. a)Vrai : la symétrie axiale conserve les mesures d'angles, donc le symétrique d'un angle de ${35}^{\circ }$ mesure aussi ${35}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Faux : les deux premiers points ont l'ordonnée $4$, ils sont sur la droite horizontale des points d'ordonnée $4$ ; le troisième a pour ordonnée $1$, il n'est pas sur cette droite. Les trois points ne sont donc pas alignés (ils forment même un angle droit en $(3;4)$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Vrai : les trois côtés sont égaux, chacun mesure $19,5÷3=6,5$ cm. Les deux autres sommets sont donc à $6,5$ cm du sommet choisi : ils sont sur ce cercle. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Faux : contre-exemple, deux angles aigus de ${60}^{\circ }$ et ${50}^{\circ }$ placés côte à côte forment un angle de ${60}^{\circ }+{50}^{\circ }={110}^{\circ }$, qui est obtus. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — des points qui partagent une coordonnée deux à deux ne sont pas forcément alignés : il faut que les trois aient la même abscisse, ou la même ordonnée, pour conclure aussi vite.

1. a)Horizontalement, le terrain va de $1$ à $13$ : longueur $12$, milieu en $1+12÷2=7$. Verticalement, il va de $1$ à $8$ : longueur $7$, milieu en $1+7÷2=4,5$. Donc $F(7;4,5)$. (0,5 pt par coordonnée) (1)
2. b)Les milieux des côtés sont $(7;1)$, $(7;8)$, $(1;4,5)$ et $(13;4,5)$. Les deux premiers sont à $4,5-1=3,5$ m de $F$ (même abscisse), les deux autres à $7-1=6$ m (même ordonnée). Pour les atteindre tous, il faut un rayon d'au moins $6$ m. (0,5 pt pour les distances + 0,5 pt pour la conclusion) (1)
3. c)Les côtés les plus proches de $F$ sont $[AB]$ et $[CD]$, à $3,5$ m. Avec un rayon de $3,5$ m, le cercle touche ces côtés en $(7;1)$ et $(7;8)$ sans les franchir, et il reste à $6-3,5=2,5$ m des deux autres côtés. Avec un rayon plus grand, l'eau franchirait $[AB]$ et $[CD]$. Rayon maximal : $3,5$ m. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)L'axe horizontal est formé des points d'ordonnée $4,5$ ; à cette hauteur, un rayon de $3,5$ m atteint les ordonnées $1$ et $8$, donc les côtés $[AB]$ et $[CD]$. $G$ doit être à $3,5$ m du côté $[AD]$ (abscisse $1$) : $G(4,5;4,5)$. $H$ doit être à $3,5$ m du côté $[BC]$ (abscisse $13$) : $H(9,5;4,5)$. L'autre axe est la droite verticale des points d'abscisse $7$ : $7-4,5=2,5$ et $9,5-7=2,5$, avec la même ordonnée, donc $G$ et $H$ sont symétriques par rapport à cet axe. (0,5 pt pour les coordonnées + 0,5 pt pour la symétrie) (1)

Astuce — le centre d'un rectangle placé dans un repère et ses deux axes de symétrie s'obtiennent en prenant le point à mi-chemin des abscisses et celui des ordonnées.

1. a)Elles sont toutes deux verticales, donc perpendiculaires à l'axe des abscisses : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc $(d_1)\parallel (d_2)$. Elles sont séparées de $7-3=4$ unités. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$A$ est à $3-1=2$ unités à gauche de $(d_1)$ : $A_1$ est à $2$ unités à droite, $A_1(5;2)$. $A_1$ est à $7-5=2$ unités à gauche de $(d_2)$ : $A_2(9;2)$. $A$ et $A_2$ ont la même ordonnée : $A{A}_2=9-1=8$. (0,5 pt pour $A_1$ et $A_2$ + 0,5 pt pour $A{A}_2$) (1)
3. c)$B$ est à $4,5-3=1,5$ unité à droite de $(d_1)$ : $B_1$ est à $1,5$ unité à gauche, $B_1(1,5;6)$. $B_1$ est à $7-1,5=5,5$ unités à gauche de $(d_2)$ : $B_2$ a pour abscisse $7+5,5=12,5$, $B_2(12,5;6)$. $B{B}_2=12,5-4,5=8$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Dans les deux cas, $M_2$ a la même ordonnée que $M$ et se trouve $8$ unités plus à droite. Conjecture : on passe de $M$ à $M_2$ en glissant de $8$ unités vers la droite, soit le double de la distance $4$ qui sépare $(d_1)$ et $(d_2)$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
5. e)Les deux symétries se font par rapport à des droites verticales : tous les points restent sur la même horizontale que $M$. Si $M_1$ est entre les deux droites, $M$ est à gauche de $(d_1)$ et $M_2$ à droite de $(d_2)$. Le trajet de $M$ à $M_2$ se découpe en : de $M$ à $(d_1)$, puis de $(d_1)$ à $M_1$ (même longueur, par symétrie), puis de $M_1$ à $(d_2)$, puis de $(d_2)$ à $M_2$ (même longueur, par symétrie). Donc $M{M}_2=2\times$ (distance de $M_1$ à $(d_1)$) $+2\times$ (distance de $M_1$ à $(d_2)$). Comme $M_1$ est entre les deux droites, ces deux distances s'ajoutent pour donner l'écart entre les droites, $4$ : $M{M}_2=2\times 4=8$, vers la droite. (0,5 pt pour le découpage + 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Méthode — pour démontrer une conjecture, on décrit les longueurs en mots plutôt qu'en nombres et on enchaîne les égalités données par la symétrie : le résultat ne dépend plus du point choisi.