À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Droites, segments et angles » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le point et la droite, Demi-droite et segment, Points alignés et appartenance, Le milieu d'un segment. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le point et la droite
2 · Demi-droite et segment
3 · Points alignés et appartenance
4 · Le milieu d'un segment
5 · Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles
6 · Qu'est-ce qu'un angle ?
7 · Mesurer un angle au rapporteur
1Le point et la droite
La géométrie commence avec deux objets de base : le point et la droite. Tout le reste se construit à partir d'eux.
Définition. Un point est un lieu précis, sans dimension. On le note avec une lettre majuscule : $A$, $B$, $M$… On le repère par une petite croix.
Définition. Une droite est une ligne parfaitement droite, illimitée des deux côtés : elle n'a ni début ni fin. Par deux points $A$ et $B$, il passe une seule droite, notée $(AB)$.
On peut aussi nommer une droite par une seule lettre minuscule, par exemple la droite $d$.
Exemple. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts, la droite qui passe par les deux se note $(AB)$ ou $(BA)$ : c'est la même droite. On la dessine en la prolongeant au-delà des deux points.
Attention ! Une droite n'a pas de longueur : on ne peut pas dire « la longueur de la droite $(AB)$ ». On ne mesure que les segments.
2Demi-droite et segment
À partir d'une droite, on peut « couper » pour obtenir deux nouveaux objets : la demi-droite et le segment.
Définition. Une demi-droite a un point de départ (son origine) et est illimitée d'un seul côté. La demi-droite d'origine $A$ passant par $B$ se note $[AB)$. Le crochet $[$ marque l'origine, la parenthèse $)$ marque le côté infini.
Définition. Un segment est la portion de droite comprise entre deux points $A$ et $B$, ses extrémités. Il se note $[AB]$ (deux crochets). Le segment $[AB]$ a une longueur, notée $AB$ (sans crochets), qui se mesure en cm ou mm.
| Droite $(AB)$ | Illimitée des deux côtés. Pas de longueur. |
| Demi-droite $[AB)$ | Origine $A$, illimitée d'un seul côté. |
| Segment $[AB]$ | Limité par $A$ et $B$. Longueur $AB$. |
Exemple. Si $AB = 5$ cm, cela signifie que la longueur du segment $[AB]$ vaut $5$ cm. On écrit $[AB]$ pour l'objet et $AB$ pour sa mesure.
Astuce. Repère le type de crochets : deux crochets $[\;]$ = segment ; un crochet et une parenthèse $[\;)$ = demi-droite ; deux parenthèses $(\;)$ = droite.
3Points alignés et appartenance
Quand plusieurs points sont sur une même droite, on dit qu'ils sont alignés. C'est une notion très utilisée en géométrie.
Définition. Des points sont alignés lorsqu'ils appartiennent tous à une même droite. On peut vérifier l'alignement à la règle.
Pour dire qu'un point $M$ est sur une droite $d$, on utilise le symbole d'appartenance $\in$ : on écrit $M \in d$. Si le point n'est pas sur la droite, on écrit $M \notin d$ (n'appartient pas).
Exemple. Si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, alors $C \in (AB)$ : le point $C$ appartient à la droite $(AB)$. Sinon, $C \notin (AB)$ et les trois points forment un triangle.
Attention ! Trois points « presque » sur la même ligne ne sont pas forcément alignés. Vérifie toujours avec le bord de la règle bien posé sur deux des points.
4Le milieu d'un segment
Le milieu est un point très important : c'est le « centre » d'un segment, le point qui le coupe en deux parts égales.
Définition. Le milieu $I$ du segment $[AB]$ est le point de $[AB]$ situé à égale distance de $A$ et de $B$. On a alors : $$AI = IB \quad \text{et} \quad AI = \frac{AB}{2}$$
Exemple. Si $AB = 8$ cm, le milieu $I$ vérifie $AI = IB = \frac{8}{2} = 4$ cm. On place $I$ à $4$ cm de $A$ sur le segment.
Astuce. Pour construire le milieu : mesure $AB$, divise par $2$, puis reporte cette demi-longueur depuis $A$ avec la règle ou le compas.
Attention ! Le milieu doit être sur le segment. Un point à égale distance de $A$ et $B$ mais en dehors de la droite $(AB)$ n'est pas le milieu.
5Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles
Deux droites peuvent se rencontrer ou non. Selon leur position, on leur donne un nom particulier.
Définition. Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un point d'intersection (un seul). Elles sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit ($90°$) ; on note $(AB) \perp (CD)$.
Définition. Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais, même prolongées à l'infini : elles gardent toujours le même écartement. On note $(AB) \mathbin{/\mkern-5mu/} (CD)$.
| Sécantes | Se croisent en $1$ point. |
| Perpendiculaires | Sécantes avec un angle droit ($\perp$, symbole de l'équerre). |
| Parallèles | Ne se croisent jamais ($/\!/$). |
Exemple. Les deux bords longs d'une règle sont parallèles. Les deux côtés d'un coin de feuille sont perpendiculaires.
Astuce. On vérifie un angle droit avec l'équerre, et on trace des parallèles à la règle et à l'équerre.
6Qu'est-ce qu'un angle ?
Un angle mesure l'« ouverture » entre deux demi-droites partant d'un même point.
Définition. Un angle est formé par deux demi-droites de même origine. Cette origine s'appelle le sommet de l'angle, et les deux demi-droites sont ses côtés. L'angle de sommet $O$ et de côtés passant par $A$ et $B$ se note $\widehat{AOB}$ : la lettre du sommet est au milieu.
On classe les angles selon leur ouverture :
| Angle nul | $0°$ : les deux côtés sont confondus. |
| Angle aigu | Entre $0°$ et $90°$ (plus fermé qu'un angle droit). |
| Angle droit | Exactement $90°$ (le coin de l'équerre). |
| Angle obtus | Entre $90°$ et $180°$ (plus ouvert qu'un angle droit). |
| Angle plat | Exactement $180°$ : les côtés forment une droite. |
Attention ! Dans la notation $\widehat{AOB}$, le sommet est toujours la lettre du milieu. Ici le sommet est $O$, pas $A$ ni $B$.
7Mesurer un angle au rapporteur
La mesure d'un angle s'exprime en degrés (symbole $°$) et se lit avec un rapporteur.
Méthode (mesurer un angle).
1) Place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle.
2) Aligne le zéro ($0°$) d'une graduation sur un des côtés.
3) Lis la mesure là où passe le second côté, sur la même graduation que le zéro choisi.
Exemple. Pour un angle $\widehat{AOB}$, on pose le centre du rapporteur sur $O$, le $0$ sur $[OA)$, puis on lit $50°$ là où passe $[OB)$ : l'angle mesure $50°$, c'est un angle aigu.
Astuce. Avant de lire, demande-toi si l'angle est aigu (< $90°$) ou obtus (> $90°$). Cela évite de lire la mauvaise graduation : un rapporteur porte deux séries de nombres ($0$–$180$ et $180$–$0$).
Attention ! Si tu lis $130°$ pour un angle qui paraît clairement aigu, tu t'es trompé de graduation : la bonne mesure est $180 - 130 = 50°$.
★À retenir
En bref :
• Le point se note en majuscule ; la droite $(AB)$ est illimitée des deux côtés.
• Demi-droite $[AB)$ : une origine, un côté infini. Segment $[AB]$ : deux extrémités, longueur $AB$.
• Le milieu $I$ de $[AB]$ vérifie $AI = IB = \frac{AB}{2}$.
• Deux droites sont sécantes (1 point), perpendiculaires ($\perp$, $90°$) ou parallèles ($/\!/$, jamais).
• Un angle $\widehat{AOB}$ a pour sommet la lettre du milieu ; on le mesure en degrés au rapporteur : aigu < $90°$ < obtus < $180°$ (plat).