À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Repérage sur une droite et dans le plan » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : La demi-droite graduée, L'abscisse d'un point, Placer un point d'abscisse donnée, Abscisses décimales et fractionnaires. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · La demi-droite graduée
2 · L'abscisse d'un point
3 · Placer un point d'abscisse donnée
4 · Abscisses décimales et fractionnaires
5 · Le repère du plan : deux axes
6 · Les coordonnées d'un point : $(x\,;\,y)$
7 · Lire et placer des points dans le plan
1La demi-droite graduée
Pour repérer une position le long d'une ligne droite (comme sur une règle ou une ligne du temps), on utilise une demi-droite graduée. C'est une demi-droite sur laquelle on a marqué des nombres régulièrement espacés.
Définition. Une demi-droite graduée part d'un point appelé l'origine, qui correspond au nombre $0$. On choisit une unité de longueur que l'on reporte régulièrement : on obtient les graduations $0$, $1$, $2$, $3$, … Les graduations sont toujours espacées de la même distance.
Astuce. Une demi-droite graduée ressemble à une règle : le $0$ est au début (à gauche) et les nombres grandissent en allant vers la droite (la flèche).
Attention ! Les graduations doivent être régulières : la distance entre $0$ et $1$ doit être exactement la même qu'entre $1$ et $2$, $2$ et $3$, etc. Sinon ce n'est pas une droite graduée correcte.
2L'abscisse d'un point
Chaque point d'une demi-droite graduée correspond à un seul nombre. Ce nombre est comme l'adresse du point sur la droite.
Définition. Sur une demi-droite graduée, le nombre qui correspond à un point est appelé l'abscisse de ce point. Si le point $A$ est en face du nombre $3$, on dit que l'abscisse de $A$ est $3$ et on écrit $A(3)$.
Exemple. Sur la droite graduée ci-dessous, le point $B$ est placé en face de $2$ : son abscisse est $2$, donc $B(2)$. Le point $C$ est en face de $5$ : son abscisse est $5$, donc $C(5)$.
| Point | $A$ | $B$ | $C$ | $D$ |
|---|
| Abscisse | $0$ | $2$ | $5$ | $7$ |
Astuce. L'origine de la droite (le point de départ) a toujours pour abscisse $0$.
Attention ! On écrit l'abscisse entre parenthèses juste après le nom du point : $A(3)$ se lit « $A$ d'abscisse $3$ ». Ce n'est pas une multiplication.
3Placer un point d'abscisse donnée
On sait lire l'abscisse d'un point déjà placé. Il faut aussi savoir faire l'inverse : placer un point dont on connaît l'abscisse.
Méthode. Pour placer un point d'abscisse donnée :
1. On part de l'origine ($0$) ;
2. On compte les graduations jusqu'au nombre voulu ;
3. On marque le point et on écrit son nom.
Exemple. Pour placer le point $E$ d'abscisse $4$, on part de $0$ et on avance de $4$ graduations vers la droite : on est alors en face de $4$. On note $E$ à cet endroit, donc $E(4)$.
Astuce. Avant de placer plusieurs points, repère bien ce que vaut une graduation (souvent $1$, mais parfois $2$, $5$ ou $10$ selon la droite).
4Abscisses décimales et fractionnaires
Une abscisse n'est pas forcément un nombre entier : un point peut se trouver entre deux graduations. Son abscisse est alors un nombre décimal ou une fraction.
Règle. Quand un point est entre deux entiers, on partage l'intervalle en parts égales pour lire son abscisse. Par exemple, le milieu de l'intervalle entre $2$ et $3$ a pour abscisse $2{,}5$, c'est-à-dire $\dfrac{5}{2}$.
Exemple. Si l'intervalle entre $0$ et $1$ est partagé en $10$ parts égales, chaque petite graduation vaut $0{,}1$. Un point situé à $3$ petites graduations après le $0$ a pour abscisse $0{,}3 = \dfrac{3}{10}$.
| Position | Abscisse décimale | Abscisse fractionnaire |
|---|
| Milieu de $[0\,;1]$ | $0{,}5$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| Milieu de $[1\,;2]$ | $1{,}5$ | $\dfrac{3}{2}$ |
| Quart de $[0\,;1]$ | $0{,}25$ | $\dfrac{1}{4}$ |
Attention ! Pour lire une abscisse précise, il faut bien compter les petites graduations et savoir combien chacune vaut. Si l'unité est partagée en $5$, chaque petit pas vaut $\dfrac{1}{5} = 0{,}2$.
5Le repère du plan : deux axes
Sur une seule droite, on repère un point avec un nombre. Mais pour repérer un point dans tout le plan (une feuille, un écran, une carte), il faut deux nombres et donc deux axes gradués.
Définition. Un repère du plan est formé de deux demi-droites graduées perpendiculaires qui partent de la même origine $O$ :
• l'axe horizontal, appelé axe des abscisses (souvent l'axe des $x$) ;
• l'axe vertical, appelé axe des ordonnées (souvent l'axe des $y$).
Le point $O$, où les deux axes se croisent, est l'origine du repère.
Astuce. Pour ne pas confondre : l'axe des abscisses est couché (horizontal), comme le sol ; l'axe des ordonnées est debout (vertical), comme un mur.
6Les coordonnées d'un point : $(x\,;\,y)$
Dans un repère, chaque point est repéré par un couple de deux nombres : ses coordonnées. Le premier se lit sur l'axe horizontal, le second sur l'axe vertical.
Définition. Les coordonnées d'un point $M$ sont notées $M(x\,;\,y)$ :
• $x$ est l'abscisse (lue sur l'axe horizontal) ;
• $y$ est l'ordonnée (lue sur l'axe vertical).
On écrit toujours l'abscisse en premier, puis l'ordonnée, séparées par un point-virgule.
Exemple. Le point $M(4\,;\,2)$ se trouve à $4$ vers la droite et $2$ vers le haut. Le point $N(1\,;\,3)$ se trouve à $1$ vers la droite et $3$ vers le haut.
| Point | Abscisse $x$ | Ordonnée $y$ | Coordonnées |
|---|
| $M$ | $4$ | $2$ | $M(4\,;\,2)$ |
| $N$ | $1$ | $3$ | $N(1\,;\,3)$ |
| $O$ | $0$ | $0$ | $O(0\,;\,0)$ |
Attention ! L'ordre compte ! Le point $(4\,;\,2)$ n'est pas le même que $(2\,;\,4)$. On lit d'abord l'abscisse (horizontal), ensuite l'ordonnée (vertical).
7Lire et placer des points dans le plan
Comme pour la droite graduée, il faut savoir lire les coordonnées d'un point déjà placé, et placer un point dont on connaît les coordonnées.
Méthode pour placer un point $M(x\,;\,y)$ :
1. On part de l'origine $O$ ;
2. On avance de $x$ sur l'axe horizontal (abscisse) ;
3. On monte de $y$ parallèlement à l'axe vertical (ordonnée) ;
4. On marque le point et on écrit son nom.
Exemple de lecture. Pour lire les coordonnées d'un point, on regarde sa projection sur chaque axe : on descend tout droit vers l'axe horizontal pour lire $x$, puis on va tout droit vers l'axe vertical pour lire $y$.
Astuce. « D'abord je marche (horizontal $x$), ensuite je monte (vertical $y$) » : cette phrase aide à respecter l'ordre des coordonnées $(x\,;\,y)$.
★À retenir
À retenir :
• Une demi-droite graduée a une origine ($0$) et des graduations régulières.
• L'abscisse d'un point est le nombre qui lui correspond sur la droite : on note $A(3)$.
• Une abscisse peut être décimale ou fractionnaire (ex. milieu de $[2\,;3]$ : $2{,}5 = \dfrac{5}{2}$).
• Un repère du plan a deux axes : l'axe des abscisses (horizontal, $x$) et l'axe des ordonnées (vertical, $y$).
• Les coordonnées d'un point s'écrivent $M(x\,;\,y)$ : abscisse d'abord, ordonnée ensuite. L'ordre compte !