Reconnaître, construire et symétriser les figures · Cours, exercices, QCM & évaluation
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Triangles, quadrilatères, cercle & symétrie » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le vocabulaire de base (point, segment, droite, angle), Les triangles et leurs noms, Construire un triangle à la règle et au compas, Les quadrilatères usuels. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le vocabulaire de base (point, segment, droite, angle)
2 · Les triangles et leurs noms
3 · Construire un triangle à la règle et au compas
4 · Les quadrilatères usuels
5 · Propriétés : côtés, angles et diagonales
6 · Le cercle : centre, rayon, diamètre, corde
7 · La symétrie axiale
8 · Les axes de symétrie des figures usuelles
1Le vocabulaire de base (point, segment, droite, angle)
Avant d'étudier les figures, on a besoin d'un vocabulaire précis. En géométrie, on nomme les points avec des lettres majuscules : A, B, C…
À connaître.
Un segment [AB] : c'est la portion droite qui relie deux points A et B. On note sa longueur AB (sans crochets).
Une droite (AB) : elle passe par A et B mais ne s'arrête jamais (on met des flèches aux deux bouts).
Un angle : l'écartement entre deux demi-droites qui partent d'un même point (le sommet). On le mesure en degrés (°) avec un rapporteur.
Trois mots à ne jamais confondre
Deux droites sont perpendiculaires quand elles forment un angle droit (90°). On le repère avec le petit carré ⌐ et l'équerre.
Deux droites sont parallèles quand elles gardent toujours le même écart : elles ne se croisent jamais.
Le milieu d'un segment [AB] est le point M situé exactement au centre : MA = MB.
💡 Les codages sur une figure donnent des informations : des petits traits identiques sur deux segments veulent dire qu'ils ont la même longueur ; le même symbole d'angle veut dire même mesure ; le petit carré signale un angle droit.
2Les triangles et leurs noms
Un triangle est une figure fermée à 3 côtés et 3 sommets. Selon ses côtés ou ses angles, il porte un nom particulier.
Les triangles particuliers.
Triangle isocèle : il a 2 côtés de même longueur. Le sommet où ces deux côtés se rejoignent s'appelle le sommet principal.
Triangle équilatéral : il a ses 3 côtés de même longueur (et ses 3 angles égaux à 60°).
Triangle rectangle : il a un angle droit (90°). Le côté en face de l'angle droit, le plus long, s'appelle l'hypoténuse.
Triangle quelconque : aucun côté ni angle particulier.
💡 Un triangle équilatéral est aussi isocèle (il a même 3 paires de côtés égaux). Un triangle peut être à la fois rectangle ET isocèle : il a alors un angle droit et deux côtés égaux.
⚠️ Le mot « rectangle » pour un triangle ne veut pas dire qu'il ressemble à un rectangle ! Il veut juste dire qu'il a un angle droit.
3Construire un triangle à la règle et au compas
Pour construire un triangle dont on connaît les 3 longueurs des côtés, on utilise la règle graduée et le compas. Voici la méthode pas-à-pas.
Méthode (côtés 5 cm, 4 cm et 3 cm).
1. On trace d'abord le plus grand côté, par exemple [AB] = 5 cm, à la règle.
2. On ouvre le compas à 4 cm ; pointe sur A, on trace un arc de cercle.
3. On ouvre le compas à 3 cm ; pointe sur B, on trace un second arc.
4. Les deux arcs se croisent en un point : c'est le sommet C. On relie C à A et à B.
⚠️ Inégalité triangulaire : on ne peut pas construire n'importe quel triangle ! Le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres. Exemple : avec 10 cm, 3 cm et 4 cm, c'est impossible (3 + 4 = 7 < 10), les arcs ne se croisent pas.
💡 Pour un triangle équilatéral de côté 4 cm : on garde le compas ouvert à 4 cm pour les deux arcs. Pour un triangle isocèle de base 5 cm et côtés 4 cm : même ouverture (4 cm) depuis A et depuis B.
4Les quadrilatères usuels
Un quadrilatère est une figure fermée à 4 côtés et 4 sommets. Quatre d'entre eux sont à connaître par cœur.
Les quatre quadrilatères particuliers.
Le carré : 4 côtés égaux et 4 angles droits.
Le rectangle : 4 angles droits (les côtés opposés sont égaux deux à deux).
Le losange : 4 côtés égaux (mais pas forcément d'angle droit).
Le parallélogramme : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (et égaux deux à deux).
💡 Comment relier les figures ? Le carré est à la fois un rectangle ET un losange : c'est un rectangle qui a 4 côtés égaux, et un losange qui a 4 angles droits. Et tous (carré, rectangle, losange) sont des parallélogrammes particuliers.
5Propriétés : côtés, angles et diagonales
Une diagonale est un segment qui relie deux sommets non voisins. Chaque quadrilatère a 2 diagonales. Leurs propriétés permettent de reconnaître ou de construire les figures.
Figure
Côtés
Angles
Diagonales
Parallélogramme
opposés parallèles et égaux
opposés égaux
se coupent en leur milieu
Rectangle
opposés égaux
4 angles droits
même longueur, même milieu
Losange
4 côtés égaux
opposés égaux
perpendiculaires, même milieu
Carré
4 côtés égaux
4 angles droits
égales, perpendiculaires, même milieu
À retenir pour le carré. Ses diagonales cumulent tout : elles ont la même longueur, elles sont perpendiculaires, et elles se coupent en leur milieu commun.
⚠️ Ne confonds pas perpendiculaires (les diagonales du losange et du carré, angle droit entre elles) et même longueur (les diagonales du rectangle et du carré). Le losange « simple » a des diagonales perpendiculaires mais de longueurs différentes.
6Le cercle : centre, rayon, diamètre, corde
Un cercle est l'ensemble des points situés à la même distance d'un point fixe appelé le centre. On le trace au compas.
Le vocabulaire du cercle.
Centre O : le point fixe au milieu.
Rayon : un segment qui relie le centre à un point du cercle. C'est aussi l'ouverture du compas. Tous les rayons d'un même cercle ont la même longueur.
Diamètre : un segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre. Le diamètre vaut 2 fois le rayon.
Corde : un segment qui relie deux points du cercle sans forcément passer par le centre.
Arc : une portion du cercle (un « morceau » de la courbe).
💡 Diamètre = 2 × rayon et rayon = diamètre ÷ 2. Exemple : un cercle de rayon 3 cm a un diamètre de 6 cm. Un cercle de diamètre 10 cm a un rayon de 5 cm.
⚠️ Le diamètre est la plus longue corde possible : toute corde qui passe par le centre est un diamètre, mais une corde « ordinaire » est plus courte.
7La symétrie axiale
La symétrie axiale, c'est le « pliage » : si on plie la feuille le long d'une droite (l'axe), les deux moitiés se superposent exactement. La figure obtenue est le symétrique de la figure de départ.
Construire le symétrique d'un point A par rapport à un axe (d).
1. On trace la perpendiculaire à (d) passant par A (à l'équerre).
2. Le symétrique A' est de l'autre côté de l'axe, à la même distance de l'axe que A.
Autrement dit, l'axe (d) est la médiatrice du segment [AA'] : il coupe [AA'] en son milieu, perpendiculairement.
Ce que la symétrie conserve
La symétrie axiale ne déforme rien : la figure symétrique est exactement « la même à l'envers ». Elle conserve :
les longueurs (un segment de 4 cm reste 4 cm) ;
les mesures des angles ;
l'alignement des points, le parallélisme et le périmètre ;
l'aire (la surface ne change pas).
⚠️ La symétrie inverse le sens (gauche ↔ droite), comme dans un miroir : la lettre « b » devient « d ». Mais les mesures, elles, ne changent pas.
8Les axes de symétrie des figures usuelles
Un axe de symétrie d'une figure est une droite telle que, si on plie la figure le long de cette droite, les deux parties se superposent. Certaines figures en ont plusieurs, d'autres aucun.
Figure
Nombre d'axes de symétrie
Carré
4 (2 médianes + 2 diagonales)
Rectangle
2 (les 2 médianes des côtés)
Losange
2 (ses 2 diagonales)
Triangle équilatéral
3
Triangle isocèle
1
Cercle
une infinité (toute droite passant par le centre)
Parallélogramme quelconque
0 (aucun axe !)
⚠️ Piège classique : le parallélogramme « penché » (ni rectangle ni losange) n'a aucun axe de symétrie, même s'il a l'air équilibré. Ses diagonales ne sont PAS des axes de symétrie.