Collège · 6ᵉ · Mathématiques
Triangles, quadrilatères, cercle & symétrie
Reconnaître, décrire et construire les figures usuelles du plan, et utiliser la symétrie axiale (programme de 6e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Triangles, quadrilatères, cercle & symétrie » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Les triangles particuliers, Les quadrilatères particuliers, Le cercle : centre, rayon, diamètre, La symétrie axiale : principe. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
1
Les triangles particuliers
Selon la longueur de leurs côtés ou la mesure de leurs angles, certains triangles portent un nom particulier.
| Triangle | Propriété |
|---|---|
| Isocèle | a (au moins) deux côtés de même longueur |
| Équilatéral | a ses trois côtés de même longueur (et trois angles de $60°$) |
| Rectangle | a un angle droit ($90°$) |
Exemple. Un triangle de côtés $5$, $5$ et $8$ cm est isocèle. Un triangle de côtés $6$, $6$ et $6$ cm est équilatéral.
Attention ! Un triangle équilatéral est toujours aussi isocèle (il a bien deux côtés égaux, en plus du troisième), mais un triangle isocèle n'est pas forcément équilatéral.
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Les quadrilatères particuliers
Parmi les figures à quatre côtés, certaines ont des propriétés remarquables de côtés et d'angles.
Vocabulaire. Parallélogramme : côtés opposés parallèles et de même longueur. Rectangle : parallélogramme avec quatre angles droits. Losange : parallélogramme avec quatre côtés égaux. Carré : à la fois rectangle ET losange.
Attention ! Un carré est à la fois un rectangle et un losange : ce n'est pas une catégorie « à part », mais la plus particulière de toutes, qui cumule toutes les propriétés.
3
Le cercle : centre, rayon, diamètre
Le cercle est une figure définie très simplement, à partir d'un seul point et d'une seule distance.
Vocabulaire. Le centre $O$ est le point à égale distance de tous les points du cercle. Le rayon $r$ est cette distance. Le diamètre est un segment qui passe par le centre et relie deux points du cercle : $d = 2 \times r$. Une corde est un segment qui relie deux points du cercle (pas forcément par le centre).
Exemple. Un cercle de rayon $4$ cm a un diamètre de $8$ cm. Toute corde de ce cercle mesure au maximum $8$ cm (la plus longue corde est justement le diamètre).
Astuce. Le diamètre est la plus longue corde possible d'un cercle, car c'est la seule qui passe par le centre.
4
La symétrie axiale : principe
La symétrie axiale correspond à un pliage : la figure et son symétrique se superposent exactement quand on plie selon l'axe.
Définition. Le symétrique d'un point $A$ par rapport à une droite (axe) $(d)$ est le point $A'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice du segment $[AA']$ : $A$ et $A'$ sont à la même distance de $(d)$, de part et d'autre, et le segment $[AA']$ est perpendiculaire à $(d)$.
Exemple. Le symétrique de la lettre « E » par rapport à une droite verticale ressemble à un « E » inversé, comme dans un miroir.
Attention ! Un point de l'axe est son propre symétrique : il ne bouge pas lors de la symétrie.
5
Construire un symétrique
Construire le symétrique d'une figure demande une méthode précise, point par point.
Méthode. Pour chaque point de la figure : on trace la perpendiculaire à l'axe passant par ce point, puis on reporte la même distance à l'axe, de l'autre côté.
Exemple. Pour construire le symétrique d'un point $A$ situé à $3$ cm de l'axe, on place $A'$ également à $3$ cm de l'axe, sur la perpendiculaire, mais de l'autre côté.
Astuce. La symétrie conserve les longueurs : le symétrique d'un segment de $5$ cm mesure lui aussi $5$ cm. Elle conserve aussi les angles.
6
Les axes de symétrie des figures usuelles
Certaines figures possèdent un ou plusieurs axes de symétrie qui les laissent inchangées après pliage.
| Figure | Nombre d'axes de symétrie |
|---|---|
| Triangle équilatéral | $3$ |
| Carré | $4$ |
| Rectangle (non carré) | $2$ |
| Losange (non carré) | $2$ |
| Cercle | une infinité |
Attention ! Les diagonales d'un rectangle (non carré) ne sont PAS des axes de symétrie : seuls les médiatrices des côtés le sont. Pour le losange, au contraire, ce sont bien les diagonales qui sont axes de symétrie.
À retenir
- Triangle isocèle (2 côtés égaux), équilatéral (3 côtés égaux), rectangle (1 angle droit).
- Rectangle (4 angles droits), losange (4 côtés égaux), carré (les deux à la fois).
- Cercle : rayon $r$, diamètre $d=2r$ ; le diamètre est la plus longue corde.
- Symétrie axiale : $A$ et $A'$ à égale distance de l'axe, sur la perpendiculaire à l'axe.
- La symétrie conserve longueurs et angles.
- Axes de symétrie : triangle équilatéral (3), carré (4), rectangle/losange non carrés (2 chacun).
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