À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Triangles, quadrilatères, cercle & symétrie » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le triangle et ses cas particuliers, Construire un triangle, Les quadrilatères usuels, Carré, rectangle, losange : propriétés. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le triangle et ses cas particuliers
2 · Construire un triangle
3 · Les quadrilatères usuels
4 · Carré, rectangle, losange : propriétés
5 · Le cercle : rayon, diamètre, corde
6 · La symétrie axiale
7 · Axes de symétrie d'une figure
1Le triangle et ses cas particuliers
Un triangle est une figure à trois côtés et trois sommets. C'est le polygone le plus simple. Selon les longueurs de ses côtés ou la mesure de ses angles, on lui donne un nom particulier.
Définition. Un triangle $ABC$ est formé de trois points $A$, $B$, $C$ non alignés, reliés par les segments $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$.
| Triangle isocèle | Deux côtés de même longueur (et deux angles égaux). |
| Triangle équilatéral | Les trois côtés de même longueur (et trois angles de $60°$). |
| Triangle rectangle | Un angle droit ($90°$). |
| Triangle quelconque | Aucune particularité : côtés et angles tous différents. |
Exemple. Dans un triangle $ABC$ tel que $AB = AC = 5$ cm, les côtés $[AB]$ et $[AC]$ ont la même longueur : le triangle est isocèle en $A$ (le sommet principal est $A$).
Astuce. Un triangle équilatéral est aussi isocèle (il a même deux côtés égaux, et même trois !). De même, un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle.
Attention ! On ne reconnaît pas un triangle isocèle « à l'œil » : il faut vérifier avec la règle ou le compas que deux côtés ont bien la même longueur.
2Construire un triangle
Pour construire un triangle quand on connaît les longueurs de ses trois côtés, on utilise la règle et le compas.
Méthode (triangle dont on connaît les 3 côtés).
1) Trace un premier côté, par exemple $[BC]$ à la règle.
2) Avec le compas, trace un arc de cercle de centre $B$ et de rayon $BA$.
3) Trace un arc de cercle de centre $C$ et de rayon $CA$.
4) Le point $A$ est à l'intersection des deux arcs. Relie $A$ à $B$ et à $C$.
Exemple. Construire $ABC$ avec $BC = 6$ cm, $BA = 4$ cm et $CA = 5$ cm : on trace $[BC]$, un arc de centre $B$ et de rayon $4$ cm, un arc de centre $C$ et de rayon $5$ cm ; leur croisement donne $A$.
Astuce. Garde des arcs assez longs : le point cherché est là où les deux arcs se croisent. Ne les efface pas, ils prouvent ta construction.
3Les quadrilatères usuels
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés et quatre sommets. Certains quadrilatères particuliers reviennent souvent : le carré, le rectangle, le losange et le parallélogramme.
Définitions.
• Un rectangle a quatre angles droits.
• Un losange a quatre côtés de même longueur.
• Un carré a quatre angles droits ET quatre côtés égaux : c'est à la fois un rectangle et un losange.
Exemple. Une feuille de cahier est un rectangle : ses quatre coins sont des angles droits, mais ses côtés ne sont pas tous égaux. Une case de carrelage carrée est un carré.
Attention ! Tout carré est un rectangle et un losange, mais l'inverse est faux : un rectangle n'est pas toujours un carré (ses côtés peuvent être inégaux).
4Carré, rectangle, losange : propriétés
Chaque quadrilatère particulier possède des propriétés sur ses côtés, ses angles et ses diagonales. Les diagonales sont les segments qui relient deux sommets opposés.
| Rectangle | Côtés opposés égaux et parallèles ; $4$ angles droits ; diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu. |
| Losange | $4$ côtés égaux ; côtés opposés parallèles ; diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu. |
| Carré | Toutes les propriétés du rectangle ET du losange : $4$ côtés égaux, $4$ angles droits, diagonales égales, perpendiculaires, se coupant en leur milieu. |
Exemple. Dans un rectangle $ABCD$, si $AB = 7$ cm alors le côté opposé $DC = 7$ cm aussi, car les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur.
Astuce. Pour reconnaître un quadrilatère, vérifie d'abord les angles (droits ?) puis les côtés (tous égaux ?). Angles droits seuls → rectangle ; côtés égaux seuls → losange ; les deux → carré.
5Le cercle : rayon, diamètre, corde
Le cercle est une ligne courbe fermée dont tous les points sont à la même distance d'un point fixe appelé le centre.
Définitions. Soit un cercle de centre $O$.
• Le rayon est un segment qui joint le centre $O$ à un point du cercle ; sa longueur se note $r$.
• Le diamètre est un segment qui passe par $O$ et relie deux points du cercle. On a : $$d = 2 \times r$$
• Une corde est un segment qui relie deux points du cercle sans forcément passer par le centre.
Exemple. Un cercle a un rayon $r = 3$ cm. Alors son diamètre vaut $d = 2 \times 3 = 6$ cm. Inversement, si $d = 10$ cm, alors $r = \frac{10}{2} = 5$ cm.
Attention ! Le diamètre est le double du rayon, pas l'inverse. Si on te donne le diamètre, divise par $2$ pour trouver le rayon. Pour tracer un cercle, on écarte le compas d'une longueur égale au rayon.
6La symétrie axiale
La symétrie axiale, c'est le « pliage » d'une figure le long d'une droite appelée l'axe de symétrie. Le pliage fait coïncider la figure avec son image.
Définition. Le symétrique d'un point $M$ par rapport à une droite $(d)$ est le point $M'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice du segment $[MM']$ : $M$ et $M'$ sont de part et d'autre de $(d)$, à la même distance, et $[MM']$ est perpendiculaire à $(d)$.
Propriétés. La symétrie axiale conserve : les longueurs, les angles, les aires et l'alignement. Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ; le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.
Exemple. Le symétrique du point $M$ situé à $2$ cm de l'axe se trouve de l'autre côté, lui aussi à $2$ cm de l'axe, sur la perpendiculaire à l'axe passant par $M$.
Astuce. Sur papier quadrillé, compte les carreaux qui séparent un point de l'axe, puis reporte le même nombre de carreaux de l'autre côté.
7Axes de symétrie d'une figure
Une figure possède un axe de symétrie si, en la pliant le long d'une droite, les deux parties se superposent exactement.
Définition. Un axe de symétrie d'une figure est une droite telle que la figure est son propre symétrique par rapport à cette droite.
| Triangle isocèle | $1$ axe de symétrie. |
| Triangle équilatéral | $3$ axes de symétrie. |
| Rectangle | $2$ axes de symétrie (les médiatrices des côtés). |
| Losange | $2$ axes de symétrie (ses diagonales). |
| Carré | $4$ axes de symétrie. |
| Cercle | Une infinité d'axes (toute droite passant par le centre). |
Attention ! Un parallélogramme (qui n'est ni rectangle ni losange) n'a aucun axe de symétrie, même s'il a un centre de symétrie. Ne confonds pas axe et centre.
★À retenir
En bref :
• Triangle isocèle : 2 côtés égaux ; équilatéral : 3 côtés égaux ($60°$) ; rectangle : un angle droit.
• On construit un triangle à la règle et au compas (intersection de deux arcs).
• Rectangle : 4 angles droits ; losange : 4 côtés égaux ; carré = rectangle ET losange.
• Cercle de centre $O$ : rayon $r$, diamètre $d = 2 \times r$, corde entre deux points.
• Symétrie axiale = pliage le long d'un axe : l'axe est la médiatrice de $[MM']$ ; elle conserve longueurs, angles et aires.
• Axes de symétrie : isocèle $1$, équilatéral $3$, rectangle/losange $2$, carré $4$, cercle une infinité.