Devoir surveillé : Nombres relatifs : repérage, additions, produits et quotients

1. a)L'opposé de $+3,8$ est $-3,8$ (0,5 pt) ; la distance à zéro de $-12$ est $12$, sans signe (0,5 pt). (1)
2. b)Les deux nombres sont négatifs ; leurs distances à zéro sont $5,6$ et $5,16$, et $5,6>5,16$ (0,5 pt). Entre deux négatifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro : $-5,6<-5,16$ (0,5 pt). (1)
3. c)Les négatifs d'abord, du plus éloigné de zéro au plus proche, puis les positifs : $-3,1<-1,4<-0,9<+0,5<+2$ (1 pt ; 0,5 pt si une seule erreur). (1)
4. d)L'opposé de $-6$ est $+6$ (0,5 pt). On cherche l'écart : $6-(-6)=6+6=12$ ; vérification : $-6+12=6$. Il faut ajouter $12$ (0,5 pt). (1)

Piège — chez les négatifs, l'ordre est inversé : $5,6$ est plus grand que $5,16$, donc $-5,6$ est plus petit que $-5,16$. On compare d'abord les distances à zéro, puis on retourne l'inégalité.

1. a)Même signe : on additionne les distances à zéro, $18+7=25$, et on garde le signe $-$ (0,5 pt) : $-25$ (0,5 pt). (1)
2. b)Signes différents : $26-11=15$ ; le signe est celui de $-26$, le plus éloigné de zéro (0,5 pt) : $-15$ (0,5 pt). (1)
3. c)Soustraire $-9$, c'est ajouter $+9$ : $(-4,5)+(+9)$ (0,5 pt) $=+4,5$ (0,5 pt). (1)
4. d)$7-13,2=7+(-13,2)$ (0,5 pt) ; $13,2-7=6,2$, signe de $-13,2$ : $-6,2$ (0,5 pt). (1)

Méthode — avant toute soustraction, on la transforme en addition de l'opposé ; il ne reste alors qu'une seule question : les deux nombres ont-ils le même signe ou non ?

1. a)Signes différents : résultat négatif (0,5 pt) ; $8\times 0,5=4$, donc $-4$ (0,5 pt). (1)
2. b)Deux facteurs négatifs : résultat positif (0,5 pt) ; $11\times 6=66$, donc $+66$ (0,5 pt). (1)
3. c)Signes différents : quotient négatif (0,5 pt) ; $2,4÷3=0,8$, donc $-0,8$ (0,5 pt). (1)
4. d)$(-7)+(-7)=-14$ puis $-14+(-7)=-21$ (0,5 pt) ; $3\times (-7)=-21$ : on trouve le même résultat, car multiplier par $3$, c'est additionner trois fois le même nombre (0,5 pt). (1)

Astuce — on règle toujours le signe en premier, puis on calcule avec les distances à zéro comme en primaire : deux étapes simples valent mieux qu'une seule confuse.

1. a)Faux (0,5 pt) : $2>1,5$, donc $-2$ est plus éloigné de zéro vers la gauche ; $-2<-1,5$ (0,5 pt). (1)
2. b)Vrai (0,5 pt) : $(-3)-(+8)=(-3)+(-8)=-11$ (0,5 pt). (1)
3. c)Faux (0,5 pt) : contre-exemple $(-2)\times (-4)=+8$, qui est positif (0,5 pt). (1)
4. d)Faux (0,5 pt) : l'abscisse est la première coordonnée ; l'abscisse de $P$ est $5$ et son ordonnée est $-2$ (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — inverser abscisse et ordonnée : dans $(5;-2)$, on lit toujours d'abord l'horizontale (abscisse), puis la verticale (ordonnée).

1. a)De 7 h à 12 h, il s'écoule $5$ heures (0,5 pt) ; variation : $5\times (+2)=+10$ °C (0,5 pt). (1)
2. b)$-9+(+10)=+1$ : il fait $1$ °C à 12 h (1 pt ; 0,5 pt si le calcul n'est pas écrit). (1)
3. c)De 17 h à 21 h : $4$ heures, variation $4\times (-3)=-12$ °C (0,5 pt) ; température : $1+(-12)=-11$ °C (0,5 pt). (1)
4. d)$-11<-9$, donc il fait plus froid à 21 h (0,5 pt) ; écart : $-9-(-11)=-9+11=2$ °C (0,5 pt). (1)

Méthode — une hausse s'écrit avec un nombre positif, une baisse avec un négatif ; la variation totale se calcule par un produit (durée × variation par heure), puis on l'ajoute à la température de départ.

1. a)Distances à zéro : $7,08$ ; $7,8$ ; $7,78$, et la plus grande est $7,8$ (0,5 pt). Entre négatifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro : c'est $-7,8$ (0,5 pt). (1)
2. b)Signes différents : $4,2-1,7=2,5$, signe de $-4,2$, donc la somme vaut $-2,5$ (0,5 pt) ; son opposé est $+2,5$ (0,5 pt). (1)
3. c)Facteurs de signes différents : produit négatif (0,5 pt) ; dividende et diviseur négatifs : quotient positif (0,5 pt). (1)
4. d)Abscisse de $L$ : opposé de $-3$, soit $3$ (0,5 pt) ; ordonnée : $4-6=-2$ ; donc $L(3;-2)$ (0,5 pt). (1)

Astuce — pour le signe d'un produit ou d'un quotient de deux nombres, inutile de calculer : on ne regarde que les deux signes, les valeurs n'ont aucune importance.

1. a)Écriture simplifiée : $A=-12+5+9-14$ (0,5 pt). Positifs : $5+9=14$ ; négatifs : $-12-14=-26$ (0,5 pt). $A=14-26=-12$ (0,5 pt). (1,25)
2. b)Écriture simplifiée : $B=3,6+2,4-7,5-1,5$ (0,5 pt). Positifs : $3,6+2,4=6$ ; négatifs : $-7,5-1,5=-9$ (0,5 pt). $B=6-9=-3$ (0,5 pt). (1,25)
3. c)$A\times B=(-12)\times (-3)=+36$ (0,5 pt) ; $A÷B=(-12)÷(-3)=+4$ (0,5 pt). (1,25)
4. d)On calcule $B-A=-3-(-12)=-3+12=9$ (0,5 pt) ; vérification : $-12+9=-3$. Il faut ajouter $9$ (0,5 pt). (1,25)

Méthode — dans une somme algébrique, regrouper d'abord tous les positifs, puis tous les négatifs, ne laisse plus qu'une seule opération à signes différents : c'est plus sûr que d'avancer terme à terme.

1. a)Le nombre cherché vaut $-2+6,5=4,5$ (0,5 pt) ; vérification : $4,5-6,5=-2$ (0,5 pt). (1)
2. b)Le nombre cherché vaut $54÷(-9)=-6$ (0,5 pt) ; vérification : $(-9)\times (-6)=54$ (0,5 pt). (1)
3. c)Le nombre cherché vaut $(-2,5)\times (-4)=10$ (0,5 pt) ; vérification : $10÷(-4)=-2,5$ (0,5 pt). (1)
4. d)On retire un nombre et on obtient plus que $7$ : ce nombre est négatif. $7-15=-8$ (0,5 pt) ; vérification : $7-(-8)=7+8=15$ (0,5 pt). (1)

Piège — « retirer un nombre fait toujours diminuer » est faux avec les relatifs : soustraire un négatif fait augmenter, d'où le $-8$ du dernier calcul.

1. a)$(-6)+(-9)=-15$ (0,5 pt) : pour une somme de deux négatifs, on additionne les distances à zéro et on garde le signe $-$ ; « moins par moins donne plus » ne vaut que pour les produits (0,5 pt). (1)
2. b)$(-2,5)\times (-4)=+10$ (0,5 pt) : le produit de deux nombres négatifs est positif (0,5 pt). (1)
3. c)$-3,25<-3,2$ (0,5 pt) : $3,25>3,2$, et entre deux négatifs, le plus éloigné de zéro est le plus petit (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — appliquer la règle des signes à une addition : $(-6)+(-9)$ n'est pas un produit, et deux dettes qui s'ajoutent ne font jamais un gain.

1. a)Chaque place fait baisser le solde de $11$ € : $4\times (-11)$ (0,5 pt) $=-44$ € (0,5 pt). (1)
2. b)$85-44-120+30$ (0,5 pt). Positifs : $85+30=115$ ; négatifs : $-44-120=-164$ ; solde $115-164=-49$ € (0,5 pt). (1)
3. c)$-49-8=-57$ € (0,5 pt) ; $57>50$, donc $-57<-50$ : le solde est inférieur à $-50$ € (0,5 pt). (1)
4. d)Il faut une variation totale de $0-(-57)=+57$ € (0,5 pt) ; $57÷3=19$ : elle verse $19$ € par semaine (0,5 pt). (1)

Astuce — un solde bancaire est un nombre relatif comme un autre : une dépense est un terme négatif, une rentrée d'argent un terme positif, et le solde final est leur somme algébrique.

1. a)Les signes sont différents ; la somme prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro (0,5 pt). Comme $4,7>3,95$, la somme est négative (0,5 pt). (1)
2. b)Le produit a deux facteurs de signes différents : il est négatif (0,5 pt). La somme a le signe de $23$, plus éloigné de zéro que $-17$ : elle est positive. Donc $(-17)\times 23<(-17)+23$ (0,5 pt). (1)
3. c)$x<0$ donc son opposé $-x$ est positif ; $x-1$ est $1$ unité à gauche de $x$ sur la droite graduée (0,5 pt). D'où $x-1<x<0<-x$ (0,5 pt). (1)
4. d)Le produit est strictement positif : $a$ et $b$ sont non nuls et de même signe (0,5 pt). S'ils étaient tous deux positifs, leur somme serait positive ; comme $a+b<0$, $a$ et $b$ sont tous deux négatifs (0,5 pt). (1)

Astuce — « sans calculer » veut dire raisonner sur les signes et les distances à zéro : une comparaison entre un négatif et un positif est immédiate, quelle que soit la taille des nombres.

1. a)$A=-3,25+7,8+4,75-12,3-0,2-1,8$ (0,5 pt). Regroupements : $-3,25+4,75=1,5$ ; $7,8-1,8=6$ ; $-12,3-0,2=-12,5$ (0,5 pt). $A=1,5+6-12,5=7,5-12,5=-5$ (0,5 pt). (1,25)
2. b)$B=17+23-41-38+26+19-50+4$ (0,5 pt). Positifs : $17+23+26+19+4=89$ ; négatifs : $-41-38-50=-129$ (0,5 pt). $B=89-129=-40$ (0,5 pt). (1,25)
3. c)$A\times B=(-5)\times (-40)=+200$ (0,5 pt) ; $B÷A=(-40)÷(-5)=+8$ (0,5 pt). (1,25)
4. d)Signes différents, résultat négatif ; $2,5\times 48=2,5\times 4\times 12=10\times 12=120$, donc $-120$ (0,5 pt). Multiplier par $0,25$, c'est diviser par $4$ : $84÷4=21$, donc $-21$ (0,5 pt). (1,25)

Méthode — dans une longue somme de décimaux, on cherche les paires qui donnent des nombres ronds ($-3,25$ et $4,75$, $7,8$ et $-1,8$) : l'ordre des termes d'une somme peut être changé librement.

1. a)$-5+3=-2$ : l'égalité est vérifiée (0,5 pt), mais $-5<-4$ et $3>2$ : les coordonnées sont hors de l'intervalle, $E$ ne convient pas (0,5 pt). (1)
2. b)$x$ ne peut prendre que les $7$ valeurs entières $-4$ ; $-3$ ; $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$, et pour chacune $y=-2-x$ est imposé : il y a au plus $7$ points (0,5 pt). On obtient $y=2$ ; $1$ ; $0$ ; $-1$ ; $-2$ ; $-3$ ; $-4$, tous entre $-4$ et $2$ (0,5 pt). Les $7$ points : $(-4;2)$, $(-3;1)$, $(-2;0)$, $(-1;-1)$, $(0;-2)$, $(1;-3)$, $(2;-4)$ (0,5 pt). (1)
3. c)Un produit de deux nombres est strictement négatif quand ils sont non nuls et de signes différents (0,5 pt) : on écarte $(-2;0)$, $(0;-2)$ et $(-1;-1)$. Restent $(-4;2)$, $(-3;1)$, $(1;-3)$ et $(2;-4)$ (0,5 pt). (1)
4. d)Non : si $x$ et $y$ étaient opposés, on aurait $x+y=0$, et non $-2$ ; aucun point ne convient (0,5 pt). (1)

Méthode — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on fait varier une seule inconnue sur toutes ses valeurs possibles : l'autre est alors imposée par l'égalité, il suffit de vérifier qu'elle reste dans l'intervalle.

1. a)Descente : $40\times (-1,5)=-60$ m (0,5 pt) ; remontée : $25\times (+0,8)=+20$ m (0,5 pt) ; altitude finale : $0-60+20=-40$ m (0,5 pt). (1)
2. b)Variation d'altitude : $0-(-75)=+75$ m en $30$ s (0,5 pt) ; $75÷30=2,5$ m/s (0,5 pt). (1)
3. c)Il doit passer de $-75$ m à $-40$ m : $-40-(-75)=35$ m à remonter ; $35÷2,5=14$ s (1 pt ; 0,5 pt si l'écart de $35$ m est seul trouvé). (1)
4. d)Point le plus profond du premier drone : $-60$ m ; $-60-(-75)=15$ m, le départ du second est $15$ m plus bas (0,5 pt). (1)

Piège — le point le plus profond du premier drone n'est pas son altitude finale : il atteint $-60$ m au bout de $40$ s, avant de remonter à $-40$ m.

1. a)Chaque entier de $-15$ à $15$ s'associe à son opposé, et la somme de deux opposés est nulle ; $0$ ne change rien (0,5 pt). Il reste $S=16+17=33$ (0,5 pt). (1)
2. b)On groupe les termes par deux : $(1-2)+(3-4)+\dots +(99-100)$, soit $50$ paquets valant chacun $-1$ (0,5 pt). $T=50\times (-1)=-50$ (0,5 pt). (1)
3. c)Si l'on s'arrête à un entier $k$ négatif ou nul, on n'a ajouté que des nombres négatifs ou nuls, dont $-30$ : la somme est strictement négative. Si l'on s'arrête à $k$ compris entre $1$ et $29$, les termes de $-k$ à $k$ s'annulent deux à deux et il reste $(-30)+\dots +(-(k+1))$, strictement négatif. En $+30$, tous les termes s'annulent deux à deux : la somme est nulle pour la première fois (0,5 pt). De $-30$ à $30$, il y a $30+1+30=61$ termes (0,5 pt). (1)

Astuce — associer chaque nombre à son opposé est l'arme absolue des longues sommes de relatifs : tout ce qui se compense disparaît, et il ne reste que les termes « en trop ».