À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Nombres relatifs : multiplier & diviser » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel : qu'est-ce qu'un nombre relatif ?, La règle des signes pour multiplier, Multiplier deux nombres relatifs, Produit de plusieurs facteurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappel : qu'est-ce qu'un nombre relatif ?
2 · La règle des signes pour multiplier
3 · Multiplier deux nombres relatifs
4 · Produit de plusieurs facteurs
5 · Diviser deux nombres relatifs
6 · Calculs en chaîne et priorités
7 · Erreurs à éviter et méthode
1Rappel : qu'est-ce qu'un nombre relatif ?
Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe : il peut être positif (comme $+5$) ou négatif (comme $-3$). Le nombre $0$ n'a pas de signe.
Vocabulaire. Dans $-7$, le signe est $-$ et la distance à zéro (ou « partie numérique ») est $7$. Dans $+4$, le signe est $+$ et la distance à zéro est $4$. La distance à zéro est toujours un nombre positif.
En 5e, on a déjà appris à additionner et soustraire des nombres relatifs. On va maintenant apprendre à les multiplier et à les diviser : c'est plus simple, car tout repose sur une seule idée, la règle des signes.
2La règle des signes pour multiplier
Pour multiplier deux nombres relatifs, le plus important est de trouver le signe du résultat. Tout tient dans une phrase à retenir par cœur.
Règle des signes. Le produit de deux nombres relatifs est :
• positif si les deux nombres ont le même signe ($+$ et $+$, ou $-$ et $-$) ;
• négatif si les deux nombres ont des signes contraires ($+$ et $-$).
| Signes des facteurs | Signe du produit | Exemple |
|---|
| $(+)\times(+)$ | $+$ | $(+4)\times(+3)=+12$ |
| $(-)\times(-)$ | $+$ | $(-4)\times(-3)=+12$ |
| $(+)\times(-)$ | $-$ | $(+4)\times(-3)=-12$ |
| $(-)\times(+)$ | $-$ | $(-4)\times(+3)=-12$ |
Astuce. « Même signe → $+$, signes différents → $-$. » On peut aussi penser : « les ennemis de mes ennemis sont mes amis » : un $-$ multiplié par un $-$ redonne un $+$.
3Multiplier deux nombres relatifs
Pour calculer un produit de deux relatifs, on procède toujours en deux étapes.
Méthode. Pour multiplier deux nombres relatifs :
1. on cherche le signe du résultat grâce à la règle des signes ;
2. on multiplie les distances à zéro (les nombres « sans le signe »).
Exemple 1. $(-6)\times(+4)$. Signes contraires → le résultat est négatif. On multiplie $6\times 4=24$. Donc $(-6)\times(+4)=-24$.
Exemple 2. $(-7)\times(-5)$. Même signe → le résultat est positif. On multiplie $7\times 5=35$. Donc $(-7)\times(-5)=+35$.
Attention ! Multiplier par un nombre négatif n'enlève pas forcément quelque chose. $(-5)\times(-2)=+10$ : le résultat est plus grand que $0$. C'est différent de l'addition $(-5)+(-2)=-7$.
Cas particulier. Multiplier par $-1$ change juste le signe : $(-1)\times(+8)=-8$ et $(-1)\times(-8)=+8$. Multiplier par $0$ donne toujours $0$.
4Produit de plusieurs facteurs
Quand on multiplie plusieurs nombres relatifs à la suite, on n'est pas obligé d'aller deux par deux pour le signe : il existe une astuce rapide.
Règle du nombre de signes « moins ». Pour un produit de plusieurs facteurs, on compte le nombre de facteurs négatifs :
• s'il y en a un nombre pair (0, 2, 4…), le produit est positif ;
• s'il y en a un nombre impair (1, 3, 5…), le produit est négatif.
On multiplie ensuite toutes les distances à zéro.
Exemple. $(-2)\times(-3)\times(-1)$. Il y a trois facteurs négatifs (nombre impair) → le résultat est négatif. On calcule $2\times 3\times 1=6$. Donc le produit vaut $-6$.
Exemple. $(-2)\times(-5)\times(-1)\times(-3)$ : quatre facteurs négatifs (pair) → résultat positif. Valeur : $2\times 5\times 1\times 3=30$. Donc $+30$.
5Diviser deux nombres relatifs
Bonne nouvelle : la division des nombres relatifs suit exactement la même règle des signes que la multiplication.
Méthode. Pour diviser deux nombres relatifs :
1. on cherche le signe du quotient avec la règle des signes (même signe → $+$ ; signes contraires → $-$) ;
2. on divise les distances à zéro.
| Division | Signe | Résultat |
|---|
| $(+15)\div(+3)$ | $+$ | $+5$ |
| $(-15)\div(-3)$ | $+$ | $+5$ |
| $(+15)\div(-3)$ | $-$ | $-5$ |
| $(-15)\div(+3)$ | $-$ | $-5$ |
Exemple. $(-24)\div(+6)$. Signes contraires → négatif. On divise $24\div 6=4$. Donc $(-24)\div(+6)=-4$.
Astuce. Un quotient peut aussi s'écrire en fraction : $\dfrac{-24}{6}=-4$ et $\dfrac{-24}{-6}=+4$. La règle des signes s'applique de la même manière.
6Calculs en chaîne et priorités
Dans un calcul plus long, on respecte toujours les priorités opératoires : on effectue d'abord les multiplications et divisions, de gauche à droite, avant les additions et soustractions.
Exemple 1. $(-3)\times 4 + (-2)\times(-5)$. On calcule d'abord chaque produit : $(-3)\times 4=-12$ et $(-2)\times(-5)=+10$. Il reste $-12+10=-2$.
Exemple 2. $\dfrac{(-6)\times(-4)}{-8}$. En haut : $(-6)\times(-4)=+24$. Puis $\dfrac{+24}{-8}=-3$.
Attention aux parenthèses ! $-2^2$ et $(-2)^2$ ne donnent pas la même chose : $(-2)^2=(-2)\times(-2)=+4$, mais sans parenthèses $-2^2=-(2\times 2)=-4$.
Conseil. Calcule chaque produit ou quotient séparément, écris-le avec son signe, puis termine par les additions et soustractions. Cela évite la plupart des erreurs.
7Erreurs à éviter et méthode
La règle des signes est simple, mais les fautes de signe sont les plus fréquentes en 5e. Voici les pièges et la méthode pour les éviter.
Erreurs classiques.
• Confondre multiplication et addition : $(-5)\times(-2)=+10$ (et non $-7$, qui serait l'addition).
• Oublier que $(-)\times(-)=+$ : un produit de deux négatifs est positif.
• Se tromper en comptant les facteurs négatifs d'un produit en chaîne.
• Oublier les parenthèses : $(-3)^2=+9$, pas $-9$.
| Opération | Même signe | Signes contraires |
|---|
| Multiplication | résultat $+$ | résultat $-$ |
| Division | résultat $+$ | résultat $-$ |
Réflexe gagnant. 1) Quel est le signe du résultat ? 2) Quelle est la valeur (distances à zéro multipliées ou divisées) ? 3) J'assemble signe + valeur.
★À retenir
À retenir :
• Règle des signes (multiplication ET division) : même signe → résultat positif ; signes contraires → résultat négatif.
• $(-)\times(-)=+$ : deux négatifs donnent un positif.
• On calcule en deux temps : le signe, puis la valeur (distances à zéro).
• Produit de plusieurs facteurs : nombre pair de « $-$ » → $+$ ; nombre impair → $-$.
• Priorités : multiplications et divisions avant additions et soustractions.
• Parenthèses : $(-3)^2=+9$ mais $-3^2=-9$.