Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Nombres relatifs : multiplier & diviser
La règle des signes pour multiplier et diviser des nombres positifs et négatifs (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Nombres relatifs : multiplier & diviser » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel express et enjeu du chapitre, La règle des signes, Multiplier deux nombres relatifs, Produit de plusieurs facteurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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Rappel express et enjeu du chapitre
Un nombre relatif possède un signe : positif ($+5$) ou négatif ($-3$). Le nombre $0$ n'est ni positif ni négatif. Sa distance à zéro est le nombre « sans son signe » : celle de $-7$ est $7$.
Ce que tu vas apprendre. Multiplier et diviser des relatifs se fait en deux temps : on détermine d'abord le signe du résultat, puis on calcule avec les distances à zéro. Une seule règle sert pour les deux opérations.
Attention ! Ne confonds pas avec l'addition. $(-5) + (-2) = -7$, mais $(-5) \times (-2) = +10$ : multiplier deux négatifs donne un positif, alors que les additionner donne un négatif.
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La règle des signes
Tout le chapitre tient dans une phrase, à connaître par cœur.
Règle des signes. Le produit (ou le quotient) de deux nombres relatifs est :
• positif si les deux nombres ont le même signe ;
• négatif s'ils ont des signes contraires.
• positif si les deux nombres ont le même signe ;
• négatif s'ils ont des signes contraires.
| Signes des facteurs | Signe du produit | Exemple |
|---|---|---|
| $(+) \times (+)$ | $+$ | $(+4) \times (+3) = +12$ |
| $(-) \times (-)$ | $+$ | $(-4) \times (-3) = +12$ |
| $(+) \times (-)$ | $-$ | $(+4) \times (-3) = -12$ |
| $(-) \times (+)$ | $-$ | $(-4) \times (+3) = -12$ |
Astuce. « Même signe $\to +$, signes différents $\to -$. » Et un moyen de retenir $(-)\times(-)=+$ : enlever une dette, c'est gagner de l'argent.
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Multiplier deux nombres relatifs
Un produit se calcule toujours en deux étapes, jamais dans le désordre.
Méthode.
1. Je cherche le signe du résultat (règle des signes).
2. Je multiplie les distances à zéro.
3. J'assemble : signe + valeur.
1. Je cherche le signe du résultat (règle des signes).
2. Je multiplie les distances à zéro.
3. J'assemble : signe + valeur.
Exemple 1. $(-6) \times (+4)$ : signes contraires $\to$ négatif ; $6 \times 4 = 24$ ; résultat $-24$.
Exemple 2. $(-7) \times (-5)$ : même signe $\to$ positif ; $7 \times 5 = 35$ ; résultat $+35$.
Exemple 2. $(-7) \times (-5)$ : même signe $\to$ positif ; $7 \times 5 = 35$ ; résultat $+35$.
Cas particuliers. Multiplier par $-1$ change uniquement le signe : $(-1) \times (+8) = -8$. Multiplier par $0$ donne toujours $0$, quel que soit le signe de l'autre facteur.
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Produit de plusieurs facteurs
Avec trois facteurs ou plus, inutile de traiter les signes deux par deux : on les compte.
Règle de parité. Dans un produit de plusieurs facteurs non nuls, on compte les facteurs négatifs :
• un nombre pair de facteurs négatifs $\to$ produit positif ;
• un nombre impair $\to$ produit négatif.
On multiplie ensuite toutes les distances à zéro.
• un nombre pair de facteurs négatifs $\to$ produit positif ;
• un nombre impair $\to$ produit négatif.
On multiplie ensuite toutes les distances à zéro.
Exemple. $(-2) \times (-3) \times (-1)$ : trois facteurs négatifs, donc un nombre impair $\to$ le produit est négatif. $2 \times 3 \times 1 = 6$, donc le résultat est $-6$.
Attention ! Si un seul facteur vaut $0$, le produit vaut $0$ : la règle de parité ne s'applique plus, inutile de compter les signes.
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Diviser : quotient et écriture fractionnaire
La division suit exactement la même règle des signes que la multiplication.
Méthode. 1. Signe du quotient par la règle des signes. 2. Division des distances à zéro.
| Division | Signe | Résultat |
|---|---|---|
| $(+15) \div (+3)$ | $+$ | $+5$ |
| $(-15) \div (-3)$ | $+$ | $+5$ |
| $(+15) \div (-3)$ | $-$ | $-5$ |
| $(-15) \div (+3)$ | $-$ | $-5$ |
Exemple. $(-24) \div (+6)$ : signes contraires $\to$ négatif ; $24 \div 6 = 4$ ; résultat $-4$.
Écriture fractionnaire. $\dfrac{-24}{6} = -4$ et $\dfrac{-24}{-6} = +4$. Le signe « $-$ » peut se placer devant la fraction : $\dfrac{-24}{6} = -\dfrac{24}{6}$.
Attention ! On ne divise jamais par $0$ : $\dfrac{-7}{0}$ n'existe pas. En revanche $\dfrac{0}{-7} = 0$.
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Calculs en chaîne et priorités
Dans un calcul long, les priorités opératoires restent les mêmes qu'avec les nombres positifs.
Règle. On effectue d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les multiplications et divisions (de gauche à droite), et enfin les additions et soustractions.
Exemple 1. $(-3) \times 4 + (-2) \times (-5)$ : les deux produits d'abord, $-12$ et $+10$ ; il reste $-12 + 10 = -2$.
Exemple 2. $\dfrac{(-6) \times (-4)}{-8}$ : au numérateur $+24$, puis $\dfrac{+24}{-8} = -3$.
Exemple 2. $\dfrac{(-6) \times (-4)}{-8}$ : au numérateur $+24$, puis $\dfrac{+24}{-8} = -3$.
Attention ! Dans $-5 - 3 \times (-4)$, le produit passe en premier : $3 \times (-4) = -12$, puis $-5 - (-12) = -5 + 12 = +7$. Calculer de gauche à droite donnerait un résultat faux.
Conseil. Écris chaque produit ou quotient sur une ligne à part, avec son signe, avant de terminer par les additions : c'est ce qui évite le plus de fautes de signe.
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Produits et quotients dans un problème
Un produit de relatifs sert dès qu'une même variation se répète ; un quotient sert à trouver une variation moyenne ou un nombre de répétitions.
Règle. Répétition : variation totale = variation par étape $\times$ nombre d'étapes.
Moyenne : variation par étape = variation totale $\div$ nombre d'étapes.
Moyenne : variation par étape = variation totale $\div$ nombre d'étapes.
Exemple 1. Un sous-marin descend de $12$ m par minute pendant $7$ minutes : $(-12) \times 7 = -84$ m. Il est à l'altitude $-84$ m.
Exemple 2. Un glacier a reculé de $96$ m en $8$ ans : $(-96) \div 8 = -12$ m par an en moyenne.
Exemple 2. Un glacier a reculé de $96$ m en $8$ ans : $(-96) \div 8 = -12$ m par an en moyenne.
Attention ! Le signe se choisit d'après l'énoncé : une descente, une dette, une perte donnent un facteur négatif ; une remontée ou un gain donnent un facteur positif.
À retenir
- Règle des signes (multiplication et division) : même signe $\to$ résultat positif ; signes contraires $\to$ résultat négatif.
- On calcule en deux temps : le signe, puis les distances à zéro.
- Plusieurs facteurs : nombre pair de négatifs $\to +$ ; nombre impair $\to -$. Un facteur nul rend le produit nul.
- $\dfrac{-24}{-6} = +4$ ; on ne divise jamais par $0$.
- Priorités : parenthèses, puis $\times$ et $\div$, puis $+$ et $-$.
- Ne confonds pas : $(-5)+(-2) = -7$ mais $(-5)\times(-2) = +10$.
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