À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Nombres relatifs : multiplier & diviser » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel : ce qu'est un nombre relatif, La règle des signes, Multiplier deux nombres relatifs, Produit de plusieurs facteurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappel : ce qu'est un nombre relatif
2 · La règle des signes
3 · Multiplier deux nombres relatifs
4 · Produit de plusieurs facteurs
5 · Diviser deux nombres relatifs
6 · Le quotient en écriture fractionnaire
7 · Enchaînements et priorités opératoires
8 · Calculer et vérifier — la fiche réflexe
1Rappel : ce qu'est un nombre relatif
En 5e, on calcule avec les nombres relatifs : ce sont les nombres positifs et les nombres négatifs. Un nombre relatif est formé d'un signe (+ ou −) et d'une distance à zéro (un nombre positif, toujours), appelée la valeur absolue.
- Nombres positifs : +3 ; +7,5 ; +12 (on a le droit de ne pas écrire le +, donc +3 = 3).
- Nombres négatifs : −3 ; −7,5 ; −12 (le signe − est obligatoire).
- Le nombre 0 n'est ni positif ni négatif.
Vocabulaire. La distance à zéro de −5 et de +5 vaut 5 dans les deux cas. On dit que +5 et −5 sont opposés : ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires.
💡 Dans ce chapitre, on s'intéresse à la multiplication et à la division des relatifs. La grande nouveauté de la 5e, c'est la règle des signes : savoir si le résultat sera + ou −.
2La règle des signes
Pour multiplier (ou diviser) deux nombres relatifs, on procède toujours en deux temps :
Méthode en 2 étapes.
- 1) on cherche le signe du résultat (grâce à la règle ci-dessous) ;
- 2) on multiplie (ou divise) les distances à zéro comme en 6e, avec des nombres positifs.
La règle des signes (à connaître par cœur)
(+) × (+) = + · (−) × (−) = +
(+) × (−) = − · (−) × (+) = −
| Signe du 1er facteur | Signe du 2e facteur | Signe du produit |
|---|
| + | + | + (positif) |
| − | − | + (positif) |
| + | − | − (négatif) |
| − | + | − (négatif) |
En une phrase. Deux nombres de même signe → le résultat est positif. Deux nombres de signes différents → le résultat est négatif.
💡 Moyen mnémotechnique : « les amis de mes amis sont mes amis » (+ et + → +), « les ennemis de mes ennemis sont mes amis » (− et − → +). Quand les deux « camps » sont opposés, ça donne un ennemi (−).
3Multiplier deux nombres relatifs
On applique la méthode en 2 étapes : d'abord le signe, ensuite le calcul des distances à zéro.
Exemple 1. (+6) × (+4). Même signe → résultat +. Distances : 6 × 4 = 24. Donc (+6) × (+4) = +24.
Exemple 2. (−6) × (−4). Même signe → résultat +. Distances : 6 × 4 = 24. Donc (−6) × (−4) = +24.
Exemple 3. (+6) × (−4). Signes différents → résultat −. Distances : 6 × 4 = 24. Donc (+6) × (−4) = −24.
Exemple 4. (−6) × (+4). Signes différents → résultat −. Distances : 6 × 4 = 24. Donc (−6) × (+4) = −24.
Avec des nombres décimaux
La méthode est exactement la même, on multiplie ensuite les distances à zéro décimales :
- (−2,5) × (+4) : signes différents → − ; 2,5 × 4 = 10 → −10.
- (−0,2) × (−3) : même signe → + ; 0,2 × 3 = 0,6 → +0,6.
⚠️ Ne confonds pas avec l'addition ! (−6) + (−4) = −10 (on additionne et on garde le signe), tandis que (−6) × (−4) = +24 (la multiplication de deux négatifs donne un positif). Le signe ne suit pas la même règle pour + et pour ×.
Cas particuliers utiles
- Multiplier par 1 ne change rien : (−7) × 1 = −7.
- Multiplier par −1 donne l'opposé : (−7) × (−1) = +7 ; (+7) × (−1) = −7.
- Multiplier par 0 donne toujours 0 : (−15) × 0 = 0.
4Produit de plusieurs facteurs
Quand on multiplie plusieurs nombres relatifs à la suite, on n'est pas obligé de tout faire deux par deux. Il existe une règle plus rapide : seul le nombre de facteurs négatifs compte pour le signe.
Règle du nombre de facteurs négatifs.
On regarde combien il y a de facteurs
négatifs dans le produit :
- s'il y en a un nombre pair (0, 2, 4, …) → le produit est positif ;
- s'il y en a un nombre impair (1, 3, 5, …) → le produit est négatif.
Ensuite, on multiplie toutes les distances à zéro entre elles.
Exemple 1. (−2) × (−3) × (−1). Il y a 3 facteurs négatifs (impair) → résultat −. Distances : 2 × 3 × 1 = 6. Donc −6.
Exemple 2. (−2) × (+5) × (−4). Il y a 2 facteurs négatifs (pair) → résultat +. Distances : 2 × 5 × 4 = 40. Donc +40.
Exemple 3. (−1) × (−1) × (−1) × (−1). 4 facteurs négatifs (pair) → + ; distances : 1 × 1 × 1 × 1 = 1 → +1.
| Nombre de facteurs négatifs | Pair ou impair ? | Signe du produit |
|---|
| 0 | pair | + |
| 1 | impair | − |
| 2 | pair | + |
| 3 | impair | − |
| 4 | pair | + |
⚠️ Si un seul des facteurs est 0, le produit entier vaut 0, peu importe les signes : (−7) × (−9) × 0 × (−2) = 0.
💡 Astuce pour aller vite : on calcule d'abord le signe en comptant les « − », puis on multiplie tranquillement tous les nombres comme s'ils étaient positifs.
5Diviser deux nombres relatifs
Pour la division, la règle des signes est exactement la même que pour la multiplication. On procède encore en 2 étapes : signe d'abord, calcul des distances ensuite.
(+) ÷ (+) = + · (−) ÷ (−) = +
(+) ÷ (−) = − · (−) ÷ (+) = −
Exemple 1. (+12) ÷ (+3). Même signe → + ; 12 ÷ 3 = 4 → +4.
Exemple 2. (−12) ÷ (−3). Même signe → + ; 12 ÷ 3 = 4 → +4.
Exemple 3. (−12) ÷ (+3). Signes différents → − ; 12 ÷ 3 = 4 → −4.
Exemple 4. (+12) ÷ (−3). Signes différents → − ; 12 ÷ 3 = 4 → −4.
⚠️ On ne peut jamais diviser par 0 : une écriture comme (−5) ÷ 0 n'a pas de résultat. En revanche 0 ÷ (−5) = 0.
6Le quotient en écriture fractionnaire
Une division peut s'écrire sous forme de fraction (on dit aussi un quotient). La règle des signes s'applique de la même façon, et le signe « − » peut se placer à trois endroits équivalents.
−84 = 8−4 = − 84 = −2
Autrement dit : un quotient est négatif dès que le numérateur et le dénominateur ont des signes différents, et positif s'ils ont le même signe.
- −15−3 : même signe → + ; 15 ÷ 3 = 5 → +5.
- +20−5 : signes différents → − ; 20 ÷ 5 = 4 → −4.
- −4,2+6 : signes différents → − ; 4,2 ÷ 6 = 0,7 → −0,7.
💡 Pour vérifier une division, on multiplie : si −84 = −2, alors (−2) × 4 doit redonner −8. ✓
7Enchaînements et priorités opératoires
Dans un calcul qui mélange plusieurs opérations, on respecte les priorités, comme en 6e, mais cette fois avec des relatifs.
Ordre des priorités.
- 1) ce qui est entre parenthèses d'abord ;
- 2) les multiplications et divisions (de gauche à droite) ;
- 3) les additions et soustractions (de gauche à droite).
Exemple 1. −3 + (−2) × (−5).
On fait d'abord la multiplication : (−2) × (−5) = +10.
Puis : −3 + 10 = +7.
Exemple 2. (−4) × 3 − (−6) ÷ 2.
Multiplication : (−4) × 3 = −12. Division : (−6) ÷ 2 = −3.
Il reste : −12 − (−3) = −12 + 3 = −9.
Exemple 3. (−2 + 5) × (−4).
Parenthèses d'abord : −2 + 5 = +3. Puis +3 × (−4) = −12.
⚠️ Erreur fréquente : faire les calculs « dans l'ordre de lecture » sans respecter les priorités. Dans −3 + (−2) × (−5), on ne calcule pas −3 + (−2) en premier !
💡 Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : − (−3) = + 3. C'est très utile pour transformer les soustractions en additions.
8Calculer et vérifier — la fiche réflexe
Voici la marche à suivre, valable pour toute multiplication ou division de relatifs :
Réflexe en 3 temps.
- 1) Signe : même signe → + ; signes différents → − (pour un produit long, on compte les facteurs négatifs : pair → +, impair → −).
- 2) Calcul : on multiplie ou divise les distances à zéro (des nombres positifs).
- 3) Vérification : on relit le signe et, pour une division, on remultiplie pour contrôler.
| Opération | Signe | Distances | Résultat |
|---|
| (−7) × (+3) | différents → − | 7 × 3 = 21 | −21 |
| (−8) × (−5) | mêmes → + | 8 × 5 = 40 | +40 |
| (−36) ÷ (+9) | différents → − | 36 ÷ 9 = 4 | −4 |
| (−24) ÷ (−6) | mêmes → + | 24 ÷ 6 = 4 | +4 |
| (−1)×(−2)×(−3) | 3 « − » impair → − | 1 × 2 × 3 = 6 | −6 |
🎓 Récap express : même signe → +, signes différents → − (pour × comme pour ÷) · produit long : on compte les « − » (pair → +, impair → −) · un facteur 0 → produit nul · jamais de division par 0 · dans une fraction, le signe peut se placer en haut, en bas ou devant · priorités : parenthèses, puis ×÷, puis +−.