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Nombres relatifs : additions & soustractions
Additionner deux nombres relatifs (même signe ou signes contraires), soustraire en ajoutant l’opposé, écrire et calculer des sommes algébriques de plusieurs nombres, et résoudre des problèmes de températures, d’altitudes ou de comptes.
À propos de cette page
Additionner deux nombres relatifs
Rappel : un nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à zéro (le nombre sans son signe). Dans −6, le signe est − et la distance à zéro est 6. Un nombre positif peut s’écrire sans son signe : +9 s’écrit aussi 9.
Deux nombres de signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
Deux nombres opposés ont une somme nulle : 5 + (−5) = 0.
Sur une droite graduée
Ajouter un nombre positif, c’est avancer vers la droite ; ajouter un nombre négatif, c’est reculer vers la gauche. Pour (−2) + (+5), on part de −2 et on avance de 5 graduations : on arrive à 3.
Même signe : (+4) + (+5) = +9 · (−6) + (−3) = −9 · (−2,5) + (−1,7) = −4,2
(+8) + (−3) : on calcule 8 − 3 = 5 ; le plus éloigné de zéro est +8, le résultat est positif : (+8) + (−3) = +5
(−7) + (+2) : on calcule 7 − 2 = 5 ; le plus éloigné de zéro est −7, le résultat est négatif : (−7) + (+2) = −5
(−4,6) + (+1,2) : on calcule 4,6 − 1,2 = 3,4 ; le signe est celui de −4,6 : (−4,6) + (+1,2) = −3,4
Pour se représenter (−6) + (−3) : une dette de 6 €, puis encore une dette de 3 €, c’est une dette de 9 € en tout.
Réflexe — je regarde d’abord les signes. Même signe : j’additionne les distances à zéro. Signes contraires : je les soustrais, et le nombre le plus éloigné de zéro donne le signe.
Attention — (−6) + (−3) ne vaut ni −3 ni +9 : les deux nombres vont du même côté de zéro, on additionne 6 et 3 et on garde le signe −.
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Soustraire : ajouter l’opposé
On transforme donc chaque soustraction en addition, puis on applique les règles de la partie 1.
5 − (+8) = 5 + (−8) = −3
3 − (−5) = 3 + (+5) = 8 (soustraire un négatif, c’est ajouter)
−2 − (+6) = −2 + (−6) = −8 · −2 − (−6) = −2 + (+6) = 4
−1,5 − (−4) = −1,5 + (+4) = 2,5
Variation, écart et addition à trou
Écart entre deux nombres = le plus grand − le plus petit : un écart est toujours positif.
Addition à trou : pour compléter 4 + … = −3, on calcule une soustraction : −3 − 4.
Soustraction à trou : on se ramène à l’addition de l’opposé et on cherche de combien il faut monter ou descendre.
La température passe de −9 °C à −2 °C : variation = −2 − (−9) = −2 + 9 = 7 ; c’est une hausse de 7 °C.
Il fait −3 °C et la température baisse de 6 °C : −3 + (−6) = −9 ; il fait alors −9 °C.
Écart entre 2 °C et −7 °C : 2 − (−7) = 2 + 7 = 9 ; l’écart est de 9 °C.
4 + … = −3 : on calcule −3 − 4 = −7. Vérification : 4 + (−7) = −3.
2 − … = 6 : pour passer de 2 à 6, il faut monter de 4, donc ajouter 4 ; or ajouter 4, c’est soustraire −4. Le nombre manquant est −4. Vérification : 2 − (−4) = 2 + 4 = 6.
Réflexe — je vois « − ( » : je remplace le − par un + et je prends l’opposé du nombre entre parenthèses.
Attention — avec les relatifs, soustraire ne fait pas toujours diminuer : −2 − (−6) donne 4, qui est plus grand que −2. Et « baisser de 6 » se traduit par + (−6), pas par − (−6) : le mot « baisse » donne le signe de la variation, pas l’opération.
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Sommes algébriques et écriture simplifiée
Écriture simplifiée : on supprime les parenthèses en remplaçant les deux signes qui se suivent par un seul :
+ (+3) devient + 3 · + (−3) devient − 3 · − (+3) devient − 3 · − (−3) devient + 3
Deux signes identiques donnent +, deux signes différents donnent −.
Dans une écriture simplifiée, chaque nombre emporte le signe écrit devant lui : −3 − 4 + 9 − 2 est la somme des nombres −3, −4, +9 et −2. Un nombre écrit sans signe au début est positif.
Calculer une somme de plusieurs nombres
Une somme qui enchaîne additions et soustractions de relatifs s’appelle une somme algébrique. Méthode : 1. je simplifie l’écriture ; 2. je regroupe les positifs d’un côté et les négatifs de l’autre (on peut changer l’ordre des termes d’une somme, chaque nombre gardant son signe) ; 3. je calcule les deux totaux, puis je les additionne.
(−3) + (−4) − (−9) − (+2) s’écrit simplement −3 − 4 + 9 − 2.
On peut le calculer de gauche à droite : −3 − 4 donne −7 ; puis −7 + 9 donne 2 ; puis 2 − 2 donne 0.
A = −7 + 4 − 2 − (−5)
Écriture simplifiée : A = −7 + 4 − 2 + 5
Positifs : 4 + 5 = 9 · négatifs : −7 − 2 = −9
Donc A = 9 + (−9) = 0
Réflexe — devant une longue somme, je simplifie l’écriture, je repère les nombres opposés (ils s’annulent), puis je regroupe les positifs et les négatifs.
Attention — la règle des deux signes ne concerne que deux signes qui se suivent. Dans −3 − 4, il n’y a rien à fusionner : c’est la somme de −3 et de −4, qui vaut −7 (et non +7 ni −1).
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Pour aller plus loin
Rappel — le signe, la distance à zéro, l’opposé d’un nombre et la droite graduée sont traités dans le chapitre Les nombres relatifs ; comparer et ranger des relatifs, dans Nombres relatifs : comparer et ranger.
Pour la suite — multiplier et diviser des nombres relatifs (la règle des signes du produit) se verra en 4e.
- Même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
- Signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro ; deux opposés ont une somme nulle.
- Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : une soustraction peut faire augmenter.
- Variation = arrivée − départ ; écart = le plus grand − le plus petit ; une addition à trou se complète par une soustraction.
- Parenthèses autour d’un négatif placé après + ou − ; écriture simplifiée : deux signes identiques donnent +, deux signes différents donnent −.
- Somme de plusieurs relatifs : simplifier, regrouper les positifs et les négatifs, additionner les deux totaux.
Questions fréquentes
Comment additionner deux nombres relatifs de même signe ?
On additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun : (−6) + (−3) = −9, car 6 + 3 = 9 et les deux nombres sont négatifs. Deux dettes s’ajoutent.
Comment additionner deux nombres relatifs de signes contraires ?
On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, puis on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro : (−7) + (+2) = −5. Deux nombres opposés ont une somme nulle : 5 + (−5) = 0.
Comment soustraire un nombre relatif ?
Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : 5 − (+8) = 5 + (−8) = −3 et 3 − (−5) = 3 + 5 = 8. Une soustraction peut donc augmenter un nombre.
Comment supprimer les parenthèses dans un calcul avec des relatifs ?
On remplace les deux signes qui se suivent par un seul : deux signes identiques donnent +, deux signes différents donnent −. Ainsi (−3) + (−4) − (−9) − (+2) s’écrit −3 − 4 + 9 − 2.
Comment calculer une somme de plusieurs nombres relatifs ?
On simplifie l’écriture, on regroupe les positifs d’un côté et les négatifs de l’autre, puis on additionne les deux totaux : −7 + 4 − 2 + 5 donne 9 pour les positifs et −9 pour les négatifs, soit 0.
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