À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Nombres relatifs : additions & soustractions » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : À quoi servent les nombres relatifs, Signe, distance à zéro et opposé, Repérer et comparer sur un axe gradué, Additionner deux nombres relatifs de même signe. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · À quoi servent les nombres relatifs
2 · Signe, distance à zéro et opposé
3 · Repérer et comparer sur un axe gradué
4 · Additionner deux nombres relatifs de même signe
5 · Additionner deux nombres relatifs de signes différents
6 · Soustraire un nombre relatif
7 · Méthode pour une suite d'additions et de soustractions
1À quoi servent les nombres relatifs
Jusqu'ici, tu utilisais surtout des nombres positifs (les nombres pour compter). Mais dans la vie, on a souvent besoin d'aller en dessous de zéro : une température de $-5$ °C en hiver, une altitude de $-20$ m sous le niveau de la mer, un compte bancaire à $-30$ €. Ces nombres s'appellent les nombres relatifs.
Définition. Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe : le signe + (nombre positif) ou le signe − (nombre négatif). Exemples : $+7$, $-4$, $+2{,}5$, $-13$. Le nombre $0$ est à la fois positif et négatif : il sépare les deux.
Exemple. Le thermomètre indique trois températures : $+8$ °C le matin, $-3$ °C la nuit, $+1$ °C à midi. Le signe nous dit de quel côté de $0$ on se trouve.
On dit qu'un nombre est positif quand il est supérieur ou égal à $0$, et négatif quand il est inférieur ou égal à $0$. Souvent, on n'écrit pas le signe $+$ d'un nombre positif : $+7$ s'écrit aussi $7$.
2Signe, distance à zéro et opposé
Un nombre relatif a deux informations : son signe (+ ou −) et sa distance à zéro (le nombre « sans son signe », toujours positif).
Distance à zéro. La distance à zéro d'un nombre relatif est le nombre obtenu en oubliant son signe. La distance à zéro de $-6$ est $6$. La distance à zéro de $+4$ est $4$.
| Nombre | Signe | Distance à zéro |
|---|
| $+9$ | positif (+) | $9$ |
| $-12$ | négatif (−) | $12$ |
| $-0{,}5$ | négatif (−) | $0{,}5$ |
Opposé. Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires. L'opposé de $+7$ est $-7$ ; l'opposé de $-3$ est $+3$. L'opposé de $0$ est $0$.
Astuce. Deux nombres opposés sont à la même distance de $0$, mais de part et d'autre : ils se font « face » sur l'axe gradué.
Exemple. L'opposé de $-15$ est $+15$, car on garde la distance $15$ et on change le signe.
3Repérer et comparer sur un axe gradué
Pour visualiser les nombres relatifs, on les place sur un axe gradué : une droite avec une origine $0$, les positifs à droite, les négatifs à gauche.
Comparer. Sur l'axe, le plus grand nombre est celui qui est le plus à droite. Donc :
• un positif est toujours plus grand qu'un négatif ;
• entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite.
Exemple. $-2 > -7$ car $-2$ est plus proche de $0$ (plus à droite). De même $+1 > -100$ : un positif bat toujours un négatif.
Attention ! Avec les négatifs, c'est l'inverse de l'intuition : $-9$ est plus petit que $-3$, même si $9 > 3$. Pense au froid : $-9$ °C est plus froid (plus bas) que $-3$ °C.
4Additionner deux nombres relatifs de même signe
Pour additionner deux nombres relatifs, on regarde d'abord leurs signes.
Règle (même signe). Si les deux nombres ont le même signe : on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.
Exemple 1. $(+4) + (+5)$ : les deux sont positifs, $4 + 5 = 9$, donc le résultat est $+9$.
Exemple 2. $(-6) + (-3)$ : les deux sont négatifs, $6 + 3 = 9$, on garde le signe $-$, donc le résultat est $-9$.
Astuce. Deux dettes s'ajoutent : si tu dois $6$ € puis encore $3$ €, tu dois $9$ € en tout, soit $-9$ €.
5Additionner deux nombres relatifs de signes différents
Quand les signes sont différents, les deux nombres « se combattent ». Le plus fort l'emporte.
Règle (signes différents). Si les deux nombres ont des signes différents : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande.
Exemple 1. $(+8) + (-3)$ : distances $8$ et $3$, on fait $8 - 3 = 5$. Le plus éloigné de $0$ est $+8$ (positif), donc le résultat est $+5$.
Exemple 2. $(-7) + (+2)$ : distances $7$ et $2$, on fait $7 - 2 = 5$. Le plus éloigné est $-7$ (négatif), donc le résultat est $-5$.
| Calcul | On fait | Signe gardé | Résultat |
|---|
| $(+9)+(-4)$ | $9-4=5$ | + (de $+9$) | $+5$ |
| $(-10)+(+6)$ | $10-6=4$ | − (de $-10$) | $-4$ |
| $(+5)+(-5)$ | $5-5=0$ | — | $0$ |
Attention ! Deux nombres opposés s'annulent : $(+5)+(-5)=0$. C'est très utile pour simplifier les calculs.
6Soustraire un nombre relatif
La soustraction des relatifs se ramène toujours à une addition grâce à une règle clé.
Règle. Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. Autrement dit : $a - b = a + (\text{opposé de } b)$.
Exemple 1. $5 - (+8) = 5 + (-8) = -3$ (on ajoute l'opposé de $+8$, qui est $-8$).
Exemple 2. $3 - (-5) = 3 + (+5) = 8$ (on ajoute l'opposé de $-5$, qui est $+5$). Soustraire un négatif, c'est ajouter !
| Soustraction | Transformée en addition | Résultat |
|---|
| $-2 - (+6)$ | $-2 + (-6)$ | $-8$ |
| $-2 - (-6)$ | $-2 + (+6)$ | $+4$ |
| $7 - (-3)$ | $7 + (+3)$ | $+10$ |
Astuce du double signe. Deux signes qui se suivent se simplifient : $-(-)$ devient $+$, et $-(+)$ devient $-$. Ainsi $3 - (-5)$ se lit directement $3 + 5 = 8$.
7Méthode pour une suite d'additions et de soustractions
Quand un calcul mélange plusieurs $+$ et $-$, on suit toujours la même méthode.
Méthode en 3 étapes.
1. Transformer toutes les soustractions en additions (ajouter l'opposé).
2. Regrouper les positifs ensemble et les négatifs ensemble.
3. Calculer les deux totaux, puis additionner les deux relatifs obtenus.
Exemple résolu. Calculons $A = -7 + 4 - 2 - (-5)$.
1. On transforme : $A = -7 + 4 - 2 + 5$.
2. On regroupe : positifs $4 + 5 = 9$ ; négatifs $-7 - 2 = -9$.
3. On termine : $A = (+9) + (-9) = 0$.
Astuce. Repère vite les couples d'opposés ($+5$ et $-5$, $+3$ et $-3$…) : ils s'annulent et raccourcissent le calcul.
★À retenir
En bref :
• Un nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à zéro.
• L'opposé d'un nombre : même distance à zéro, signe contraire ($-7 \leftrightarrow +7$).
• Même signe → on additionne les distances, on garde le signe.
• Signes différents → on soustrait les distances, on garde le signe du plus éloigné de $0$.
• Soustraire, c'est ajouter l'opposé : $a - b = a + (-b)$, et $3 - (-5) = 3 + 5 = 8$.
• Pour une longue suite : transformer en additions, regrouper positifs et négatifs, conclure.