Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Nombres relatifs : additions & soustractions
Signe, opposé, repérage sur un axe, additionner et soustraire des nombres positifs et négatifs (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Nombres relatifs : additions & soustractions » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel express : signe, distance à zéro, opposé, Additionner deux relatifs de même signe, Additionner deux relatifs de signes différents, Soustraire, c'est ajouter l'opposé. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
1
Rappel express : signe, distance à zéro, opposé
Un nombre relatif porte un signe ($+$ ou $-$) et une distance à zéro (le nombre sans son signe, toujours positive). Dans $-6$ : signe $-$, distance à zéro $6$.
Opposé. Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ont la même distance à zéro et des signes contraires : $-7$ et $+7$. L'opposé de $0$ est $0$.
Attention ! Le nombre $0$ n'est ni positif ni négatif : il sépare les deux familles.
| Nombre | Signe | Distance à zéro | Opposé |
|---|---|---|---|
| $+9$ | positif | $9$ | $-9$ |
| $-12$ | négatif | $12$ | $+12$ |
| $-0{,}5$ | négatif | $0{,}5$ | $+0{,}5$ |
Tout le chapitre repose sur ces deux informations : dans un calcul, on traite d'abord les signes, ensuite les distances à zéro.
2
Additionner deux relatifs de même signe
Premier cas : les deux nombres tirent dans le même sens.
Règle. Deux nombres de même signe : on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.
Exemple 1. $(+4) + (+5)$ : $4 + 5 = 9$, signe $+$ → $+9$.
Exemple 2. $(-6) + (-3)$ : $6 + 3 = 9$, signe $-$ → $-9$.
Exemple 2. $(-6) + (-3)$ : $6 + 3 = 9$, signe $-$ → $-9$.
Astuce. Deux dettes s'ajoutent : devoir $6$ € puis encore $3$ €, c'est devoir $9$ € au total, soit $-9$ €.
Attention ! $(-6)+(-3)$ ne vaut pas $-3$ : on n'a pas le droit de soustraire, les deux nombres vont du même côté de zéro.
3
Additionner deux relatifs de signes différents
Deuxième cas : les deux nombres tirent dans des sens opposés. Le plus « fort » l'emporte.
Règle. Deux nombres de signes différents : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
Exemple 1. $(+8) + (-3)$ : $8 - 3 = 5$ ; le plus éloigné de $0$ est $+8$ → $+5$.
Exemple 2. $(-7) + (+2)$ : $7 - 2 = 5$ ; le plus éloigné est $-7$ → $-5$.
Exemple 2. $(-7) + (+2)$ : $7 - 2 = 5$ ; le plus éloigné est $-7$ → $-5$.
| Calcul | On fait | Signe gardé | Résultat |
|---|---|---|---|
| $(+9)+(-4)$ | $9-4=5$ | $+$ (de $+9$) | $+5$ |
| $(-10)+(+6)$ | $10-6=4$ | $-$ (de $-10$) | $-4$ |
| $(+5)+(-5)$ | $5-5=0$ | — | $0$ |
Astuce. Deux nombres opposés s'annulent : $(+5)+(-5)=0$. Repère-les en priorité dans un long calcul.
4
Soustraire, c'est ajouter l'opposé
Il n'existe qu'une seule règle de soustraction, et elle ramène tout à l'addition.
Règle. Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : $a - b = a + (\text{opposé de } b)$.
Exemple 1. $5 - (+8) = 5 + (-8) = -3$.
Exemple 2. $3 - (-5) = 3 + (+5) = +8$ : soustraire un négatif, c'est ajouter.
Exemple 2. $3 - (-5) = 3 + (+5) = +8$ : soustraire un négatif, c'est ajouter.
| Soustraction | Devient | Résultat |
|---|---|---|
| $-2 - (+6)$ | $-2 + (-6)$ | $-8$ |
| $-2 - (-6)$ | $-2 + (+6)$ | $+4$ |
| $7 - (-3)$ | $7 + (+3)$ | $+10$ |
Attention ! Une soustraction peut augmenter le résultat : $-2-(-6)=+4$ est plus grand que $-2$. L'idée « soustraire, ça diminue » est fausse avec les relatifs.
5
Supprimer les parenthèses : l'écriture simplifiée
Pour aller plus vite, on écrit les calculs sans parenthèses. Il faut alors savoir fusionner deux signes qui se suivent.
Règle des deux signes.
• $+ (+a)$ s'écrit $+a$ ; • $+ (-a)$ s'écrit $-a$ ;
• $- (+a)$ s'écrit $-a$ ; • $- (-a)$ s'écrit $+a$.
Deux signes identiques donnent $+$, deux signes différents donnent $-$.
• $+ (+a)$ s'écrit $+a$ ; • $+ (-a)$ s'écrit $-a$ ;
• $- (+a)$ s'écrit $-a$ ; • $- (-a)$ s'écrit $+a$.
Deux signes identiques donnent $+$, deux signes différents donnent $-$.
Exemple. $(-3) + (-4) - (-9) - (+2)$ s'écrit simplement $-3 - 4 + 9 - 2$.
Astuce. Un nombre écrit sans signe au début d'un calcul est positif : dans $-3-4+9-2$, le $9$ vaut $+9$.
Attention ! Cette règle concerne deux signes qui se suivent, pas un signe isolé : dans $-3-4$, il n'y a rien à simplifier, c'est une somme de deux négatifs.
6
Calculer une somme algébrique
Une somme algébrique est un calcul qui enchaîne additions et soustractions de relatifs. On applique toujours la même méthode.
Méthode en 3 étapes.
1. Simplifier l'écriture (supprimer les parenthèses).
2. Regrouper les positifs d'un côté, les négatifs de l'autre.
3. Calculer les deux totaux, puis les additionner.
1. Simplifier l'écriture (supprimer les parenthèses).
2. Regrouper les positifs d'un côté, les négatifs de l'autre.
3. Calculer les deux totaux, puis les additionner.
Exemple résolu. $A = -7 + 4 - 2 - (-5)$.
1. $A = -7 + 4 - 2 + 5$.
2. Positifs : $4 + 5 = +9$ ; négatifs : $-7 - 2 = -9$.
3. $A = (+9) + (-9) = 0$.
1. $A = -7 + 4 - 2 + 5$.
2. Positifs : $4 + 5 = +9$ ; négatifs : $-7 - 2 = -9$.
3. $A = (+9) + (-9) = 0$.
Astuce. L'ordre des termes d'une somme peut être changé librement : $-7+4-2+5 = 4+5-7-2$. C'est ce qui autorise le regroupement.
7
Variations : ce que le calcul veut dire
Dans un problème, un nombre relatif est souvent une variation : une hausse est positive, une baisse est négative.
Règle. Valeur d'arrivée = valeur de départ + variation. Et réciproquement : variation = arrivée $-$ départ.
Exemple. Il fait $-3$ °C et la température baisse de $6$ °C : $-3 + (-6) = -9$ °C.
La température passe ensuite de $-9$ °C à $-2$ °C : la variation vaut $-2 - (-9) = -2 + 9 = +7$ °C, c'est une hausse de $7$ °C.
La température passe ensuite de $-9$ °C à $-2$ °C : la variation vaut $-2 - (-9) = -2 + 9 = +7$ °C, c'est une hausse de $7$ °C.
Attention ! « Baisser de $6$ » se traduit par $+(-6)$, pas par $-(-6)$. Le mot « baisse » donne le signe de la variation, pas l'opération.
En bref
- Même signe → on additionne les distances à zéro et on garde le signe : $(-6)+(-3)=-9$.
- Signes différents → on soustrait les distances et on garde le signe du plus éloigné de $0$ : $(-7)+(+2)=-5$.
- Soustraire, c'est ajouter l'opposé : $3-(-5)=3+5=+8$.
- Deux signes identiques donnent $+$, deux signes différents donnent $-$ : $-(-4)=+4$.
- Somme algébrique : simplifier, regrouper positifs et négatifs, conclure.
- Deux nombres opposés s'annulent : repère-les d'abord.
- Variation = arrivée $-$ départ.
Bloqué sur ce chapitre ?
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs