Additionner, soustraire et simplifier les écritures
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Nombres relatifs : additions & soustractions » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel : les nombres relatifs, L'idée de l'addition : avancer ou reculer, Additionner deux relatifs de MÊME signe, Additionner deux relatifs de signes CONTRAIRES. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappel : les nombres relatifs
2 · L'idée de l'addition : avancer ou reculer
3 · Additionner deux relatifs de même signe
4 · Additionner deux relatifs de signes contraires
5 · L'opposé d'un nombre relatif
6 · Soustraire un relatif = ajouter son opposé
7 · Simplifier les écritures (supprimer les parenthèses)
8 · Calculer une somme algébrique
1Rappel : les nombres relatifs
Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe : un signe + (c'est un nombre positif) ou un signe − (c'est un nombre négatif). On les a rencontrés en 6e ; en 5e, on apprend à calculer avec eux.
Nombres positifs : +3 ; +7,5 ; +12 (souvent on n'écrit pas le +, donc +3 = 3).
Nombres négatifs : −2 ; −5,4 ; −10.
0 n'est ni positif ni négatif : c'est le « point neutre ».
Vocabulaire. La distance à zéro d'un nombre relatif, c'est ce nombre sans son signe. C'est toujours un nombre positif (ou nul).
Distance à zéro de −7 : c'est 7. · Distance à zéro de +4,2 : c'est 4,2.
On peut visualiser les relatifs sur une droite graduée : les positifs à droite de 0, les négatifs à gauche. Plus un point est à droite, plus le nombre est grand.
💡 « Distance à zéro » est le mot précis ; dans la tête, dis-toi simplement « le nombre sans son signe ». C'est l'outil clé pour additionner deux relatifs.
2L'idée de l'addition : avancer ou reculer
Additionner un relatif, c'est se déplacer sur la droite graduée à partir d'un point de départ :
ajouter un nombre positif → on avance vers la droite (on monte) ;
ajouter un nombre négatif → on recule vers la gauche (on descend).
Exemple : (+2) + (−5). On part de +2, puis on recule de 5 (car on ajoute −5). On arrive sur −3.
Autre exemple : (−3) + (+1) : on part de −3, on avance de 1 → on arrive sur −2. Cette image « avancer / reculer » explique toutes les règles qui suivent.
💡 Pense à un thermomètre : ajouter un positif = la température monte ; ajouter un négatif = la température descend.
3Additionner deux relatifs de MÊME signe
Règle 1 — mêmes signes. On ajoute les distances à zéro (les nombres sans signe) et on garde le signe commun.
Si les deux nombres « vont dans le même sens », les déplacements s'additionnent.
Deux positifs
(+4) + (+3) : on ajoute 4 + 3 = 7, signe + → +7
(+8,5) + (+1,5) : 8,5 + 1,5 = 10, signe + → +10
Deux négatifs
(−4) + (−3) : on ajoute 4 + 3 = 7, signe − → −7
(−6) + (−2,5) : 6 + 2,5 = 8,5, signe − → −8,5
Image. (−4) + (−3) : je dois 4 €, puis encore 3 € → je dois 7 € en tout, c'est-à-dire −7.
⚠️ Erreur classique : (−4) + (−3) = −1. Faux ! Deux négatifs qui s'ajoutent donnent un résultat plus négatif : −7. On n'a rien à soustraire ici, on additionne.
4Additionner deux relatifs de signes CONTRAIRES
Règle 2 — signes contraires. On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
Ici, les deux nombres « tirent dans des sens opposés » : ils se compensent en partie, et le plus « fort » l'emporte.
Méthode pas à pas
1. Je regarde les distances à zéro (les nombres sans signe).
2. Je fais la soustraction : grande distance − petite distance.
3. Je donne au résultat le signe du nombre le plus grand en distance.
Exemple A. (+7) + (−2). Distances : 7 et 2. Soustraction : 7 − 2 = 5. Le plus grand en distance est +7 (signe +) → résultat +5.
Exemple B. (−7) + (+2). Distances : 7 et 2. Soustraction : 7 − 2 = 5. Le plus grand en distance est −7 (signe −) → résultat −5.
Exemple C. (+3) + (−9). Distances : 3 et 9 → 9 − 3 = 6. Le plus grand est −9 (signe −) → −6.
Cas particulier : deux opposés (même distance, signes contraires) donnent 0.
(+5) + (−5) = 0 · (−8) + (+8) = 0
⚠️ Ne mélange pas les deux règles ! Mêmes signes → on ajoute et on garde le signe. Signes contraires → on soustrait et on garde le signe du plus grand en distance.
Les deux signes
Calcul sur les distances
Signe du résultat
mêmes signes
addition
le signe commun
signes contraires
soustraction
signe du plus grand en distance
5L'opposé d'un nombre relatif
Définition. L'opposé d'un nombre relatif, c'est le nombre qui a la même distance à zéro mais le signe contraire.
L'opposé de +5 est −5.
L'opposé de −3 est +3.
L'opposé de −7,2 est +7,2.
L'opposé de 0 est 0.
Deux nombres opposés sont symétriques par rapport à 0 sur la droite graduée, et leur somme vaut toujours 0 :
(+a) + (−a) = 0
💡 La notion d'opposé est essentielle : elle sert à transformer une soustraction en addition (section suivante).
6Soustraire un relatif = ajouter son opposé
Règle 3 — la soustraction.Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé. a − b = a + (opposé de b)
On transforme donc toute soustraction en addition, puis on applique les règles des sections 3 et 4.
Soustraction
On transforme en…
Résultat
(+8) − (+3)
(+8) + (−3)
+5
(+8) − (−3)
(+8) + (+3)
+11
(−8) − (+3)
(−8) + (−3)
−11
(−8) − (−3)
(−8) + (+3)
−5
Détail. (−2) − (−6) : l'opposé de −6 est +6, donc (−2) + (+6). Signes contraires : 6 − 2 = 4, signe du plus grand (+6) → +4.
⚠️ Le piège des deux signes − qui se suivent : soustraire un négatif augmente le résultat. (+5) − (−3) = (+5) + (+3) = +8. « Moins moins, ça fait plus. »
7Simplifier les écritures (supprimer les parenthèses)
Pour aller plus vite, on supprime les parenthèses et les signes d'opération en suivant la règle des signes. On regarde le couple : signe d'opération + signe du nombre.
Règle des signes. + (+a) → + a · + (−a) → − a − (+a) → − a · − (−a) → + a
En résumé : deux signes identiques → + ; deux signes différents → −.
Exemple. (+7) + (−4) − (+2) − (−5)
= 7 − 4 − 2 + 5 (on a supprimé les parenthèses)
Cette écriture simplifiée s'appelle une somme algébrique.
Écriture avec parenthèses
Écriture simplifiée
+ (+6)
+ 6
+ (−6)
− 6
− (+6)
− 6
− (−6)
+ 6
💡 Quand un nombre est en tête d'expression, le signe + de début est facultatif : « +7 − 4 » s'écrit simplement « 7 − 4 ».
8Calculer une somme algébrique (méthode maligne)
Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions de relatifs, déjà simplifiée, comme : 7 − 4 − 2 + 5. On peut la calculer de gauche à droite, mais il existe une méthode plus rapide et plus sûre.
Méthode des deux paquets. 1. J'additionne tous les termes positifs entre eux. 2. J'additionne tous les termes négatifs entre eux. 3. Je fais l'addition des deux résultats (un positif + un négatif → règle des signes contraires).
Exemple. B = −12 + 5 − 3 + 8
Positifs : 5 + 8 = +13. Négatifs : −12 − 3 = −15.
Total : (+13) + (−15) → 15 − 13 = 2, signe du plus grand (−15) → −2.
L'ordre des termes n'a aucune importance dans une somme : on peut les regrouper comme on veut. C'est ce qui rend cette méthode possible.
💡 Récap express : mêmes signes → on ajoute, on garde le signe · signes contraires → on soustrait, signe du plus grand en distance · soustraire = ajouter l'opposé · « − (−) → + » · pour une longue somme : paquet des positifs, paquet des négatifs, puis on combine.