À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les nombres relatifs » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : À quoi servent les nombres relatifs, Signe, positif, négatif et opposé, La droite graduée : repérer un nombre, Distance à zéro. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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À quoi servent les nombres relatifs
Jusqu'ici tu travaillais avec des nombres « ordinaires » : , , , … On les appelle des nombres positifs. Mais dans la vie on a souvent besoin de nombres plus petits que zéro : une température de °C, une plongée à m, un compte en banque à €.
Définition. Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe : signe (nombre positif) ou signe (nombre négatif). Exemples : , , , .
Exemple. Sur un thermomètre, °C veut dire 8 degrés au-dessus de zéro, et °C huit degrés au-dessous. Le signe indique le sens par rapport à la référence .
Le nombre est à part : il n'est ni positif ni négatif. C'est la frontière entre les deux.
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Signe, positif, négatif et opposé
Un nombre relatif est formé d'un signe ( ou ) et d'une partie numérique. Dans , le signe est et la partie numérique est .
Astuce. Pour un nombre positif, le signe peut être omis : s'écrit aussi . Pour un nombre négatif, le signe est obligatoire.
Définition (opposé). L'opposé d'un nombre relatif a la même partie numérique mais le signe contraire. L'opposé de est ; l'opposé de est ; l'opposé de est .
Exemple. et sont opposés : tous deux sont à 5 unités de , mais de part et d'autre.
| Nombre | Son opposé |
|---|
| |
| |
| |
| |
Attention ! L'opposé d'un nombre négatif est positif. L'opposé de n'est pas .
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La droite graduée : repérer un nombre
Pour visualiser les nombres relatifs on utilise une droite graduée : une droite munie d'une origine (le point qui correspond à ), d'une unité de longueur et d'un sens.
Règle. Les nombres positifs sont à droite de l'origine, les nombres négatifs à gauche. Plus on va vers la droite, plus le nombre est grand.
Exemple. Pour placer : je pars de et je compte 3 unités vers la gauche. Pour placer : 2 unités vers la droite.
L'abscisse d'un point est le nombre relatif qui le repère sur la droite. On écrit : le point a pour abscisse .
Astuce. Une graduation ne vaut pas forcément . Si chaque carreau vaut , le 3e carreau à gauche de l'origine est à : repère d'abord la valeur d'un carreau.
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Distance à zéro
La distance à zéro d'un nombre relatif mesure son éloignement de l'origine, sans tenir compte du signe.
Définition. La distance à zéro d'un nombre relatif est sa partie numérique. Celle de est ; celle de est aussi .
Exemple. et ont la même distance à zéro () : ils sont à égale distance de l'origine, de chaque côté.
Attention ! La distance à zéro est toujours positive ou nulle. Celle de n'est pas , mais .
Astuce. Deux nombres opposés ont toujours la même distance à zéro : c'est ce qui les place symétriquement par rapport à .
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Comparer deux nombres relatifs
Comparer, c'est dire lequel est le plus grand. Le réflexe : la droite graduée, car le plus grand est le plus à droite.
Règles de comparaison.
• Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif : .
• Entre deux nombres positifs, le plus grand a la plus grande distance à zéro : .
• Entre deux nombres négatifs, le plus grand a la plus petite distance à zéro, c'est-à-dire le plus proche de : .
Exemple. Comparons et . Sur la droite, est plus à droite, donc — même si est plus grand que : le signe inverse l'ordre.
Attention au piège ! Avec des décimaux négatifs, on compare les distances à zéro. et : comme , on a .
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Ranger des nombres relatifs
Ranger des nombres, c'est les écrire dans l'ordre : croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant (du plus grand au plus petit).
Méthode. Pour l'ordre croissant : 1) je sépare les négatifs des positifs ; 2) je range les négatifs du plus éloigné de au plus proche ; 3) je place ; 4) je range les positifs du plus proche de au plus éloigné.
Exemple. Rangeons ; ; ; ; dans l'ordre croissant : .
Attention ! Ordre décroissant ne veut pas dire « l'ordre croissant avec des signes changés » : on relit simplement la liste de droite à gauche sur la droite graduée.
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Repérer un point dans le plan (coordonnées)
On repère aussi un point dans un plan avec deux droites graduées perpendiculaires qui se croisent à l'origine : c'est un repère. L'horizontale est l'axe des abscisses, la verticale l'axe des ordonnées.
Définition. Chaque point a deux coordonnées notées : est l'abscisse (déplacement horizontal), est l'ordonnée (déplacement vertical).
Exemple. : depuis l'origine, 3 vers la droite puis 2 vers le haut. : 4 vers la gauche puis 1 vers le haut.
Attention ! L'ordre compte : et ne désignent pas le même point. Un point de l'axe des abscisses a pour ordonnée ; un point de l'axe des ordonnées a pour abscisse .
En bref
- Un nombre relatif a un signe : positif () ou négatif (). Le n'est ni l'un ni l'autre.
- L'opposé change le signe : l'opposé de est ; l'opposé de est .
- Sur une droite graduée : négatifs à gauche, positifs à droite ; le plus grand est le plus à droite.
- La distance à zéro de est : toujours positive.
- Entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de : et .
- Dans un repère, un point a deux coordonnées : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.