À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les nombres relatifs » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : À quoi servent les nombres relatifs, Signe, positif, négatif et opposé, La droite graduée : repérer un nombre, Distance à zéro. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · À quoi servent les nombres relatifs
2 · Signe, positif, négatif et opposé
3 · La droite graduée : repérer un nombre
4 · Distance à zéro (valeur absolue simple)
5 · Comparer deux nombres relatifs
6 · Ranger des nombres relatifs
7 · Repérer un point dans le plan (coordonnées)
1À quoi servent les nombres relatifs
Jusqu'à présent, tu connaissais les nombres « ordinaires » : $0$, $1$, $2$, $3$… On les appelle des nombres positifs. Mais dans la vie, on a souvent besoin de nombres plus petits que zéro : une température de $-5$ °C l'hiver, une plongée à $-30$ m sous la mer, un compte en banque qui affiche $-20$ €.
Définition. Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe : un signe $+$ (nombre positif) ou un signe $-$ (nombre négatif). Exemples : $+7$, $-3$, $+12{,}5$, $-0{,}5$.
Exemple. Sur un thermomètre, $+8$ °C signifie 8 degrés au-dessus de zéro, et $-8$ °C signifie 8 degrés au-dessous de zéro. Le signe indique le sens (au-dessus ou au-dessous de la référence $0$).
Le nombre $0$ est particulier : il n'est ni positif ni négatif. C'est la frontière entre les deux.
2Signe, positif, négatif et opposé
Un nombre relatif est composé d'un signe ($+$ ou $-$) et d'une partie numérique (la « quantité »). Dans $-3$, le signe est $-$ et la partie numérique est $3$.
Astuce. Pour un nombre positif, on peut ne pas écrire le signe $+$ : $+7$ s'écrit aussi $7$. Mais pour un nombre négatif, le signe $-$ est obligatoire.
Définition (opposé). L'opposé d'un nombre relatif est le nombre de même partie numérique mais de signe contraire. L'opposé de $+4$ est $-4$ ; l'opposé de $-9$ est $+9$. L'opposé de $0$ est $0$.
Exemple. Deux nombres opposés sont à la même distance de zéro, mais de part et d'autre. $+5$ et $-5$ sont opposés : tous deux sont à 5 unités de $0$.
| Nombre | Son opposé |
|---|
| $+6$ | $-6$ |
| $-2$ | $+2$ |
| $+10{,}5$ | $-10{,}5$ |
| $0$ | $0$ |
3La droite graduée : repérer un nombre
Pour visualiser les nombres relatifs, on utilise une droite graduée : une droite horizontale avec un point appelé origine qui correspond à $0$. On gradue régulièrement à droite (nombres positifs) et à gauche (nombres négatifs).
Règle. Sur une droite graduée : les nombres positifs sont à droite de $0$, les nombres négatifs sont à gauche de $0$. Plus on va vers la droite, plus le nombre est grand.
Exemple. Pour placer $-3$, je pars de $0$ et je compte 3 graduations vers la gauche. Pour placer $+2$, je compte 2 graduations vers la droite.
L'abscisse d'un point est le nombre relatif qui lui correspond sur la droite graduée. On note par exemple $A(-3)$ : le point $A$ a pour abscisse $-3$.
4Distance à zéro
La distance à zéro d'un nombre relatif, c'est de combien de graduations il est éloigné de l'origine, sans tenir compte du signe.
Définition. La distance à zéro d'un nombre relatif est sa partie numérique. La distance à zéro de $-7$ est $7$ ; celle de $+7$ est aussi $7$.
Exemple. $-4$ et $+4$ ont la même distance à zéro ($4$), car ils sont à la même distance de l'origine, mais de chaque côté.
Attention ! La distance à zéro est toujours positive (ou nulle). Ce n'est pas le nombre lui-même : la distance à zéro de $-9$ n'est pas $-9$, mais $9$.
Astuce. Deux nombres opposés ont toujours la même distance à zéro. C'est ce qui les place symétriquement par rapport à $0$ sur la droite graduée.
5Comparer deux nombres relatifs
Comparer, c'est dire lequel est le plus grand. Le truc : se repérer sur la droite graduée, car le plus grand est toujours le plus à droite.
Règles de comparaison.
• Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif : $+1 > -100$.
• Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui de plus grande distance à zéro : $+8 > +3$.
• Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui de plus petite distance à zéro (le plus proche de $0$) : $-2 > -7$.
Exemple. Comparons $-5$ et $-2$. Sur la droite, $-2$ est plus à droite que $-5$, donc $-2 > -5$. (Même si $5$ est plus grand que $2$, le signe $-$ inverse l'ordre !)
Attention au piège ! Avec les négatifs, le nombre qui « paraît le plus gros » est en fait le plus petit : $-9 < -1$. Pense à la température : $-9$ °C, c'est plus froid donc plus petit que $-1$ °C.
6Ranger des nombres relatifs
Ranger des nombres, c'est les écrire les uns à la suite des autres dans l'ordre. On range dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant (du plus grand au plus petit).
Méthode. Pour ranger dans l'ordre croissant : 1) je place les nombres mentalement sur la droite graduée, 2) je les lis de la gauche vers la droite, des plus négatifs aux plus positifs.
Exemple. Rangeons $+3$ ; $-2$ ; $0$ ; $-5$ ; $+1$ dans l'ordre croissant.
Sur la droite, de gauche à droite : $-5 < -2 < 0 < +1 < +3$.
Astuce. Sépare d'abord les négatifs des positifs. Range les négatifs (le plus loin de $0$ en premier), puis place $0$, puis range les positifs (le plus proche de $0$ en premier).
7Repérer un point dans le plan (coordonnées)
On peut aussi repérer un point dans un plan grâce à deux droites graduées perpendiculaires qui se croisent en $0$ : c'est un repère. La droite horizontale est l'axe des abscisses, la droite verticale est l'axe des ordonnées.
Définition. Chaque point a deux coordonnées notées entre parenthèses : $(x\,;\,y)$. Le premier nombre $x$ est l'abscisse (on se déplace horizontalement) ; le second $y$ est l'ordonnée (on se déplace verticalement).
Exemple. Le point $A(3\,;\,2)$ : je pars de l'origine, je vais à $3$ vers la droite, puis à $2$ vers le haut. Le point $B(-4\,;\,1)$ : je vais à $4$ vers la gauche, puis à $1$ vers le haut.
Attention ! L'ordre compte : $(3\,;\,2)$ et $(2\,;\,3)$ ne désignent pas le même point. On lit toujours l'abscisse en premier.
★À retenir
En bref :
• Un nombre relatif a un signe : positif ($+5$) ou négatif ($-3$). Le $0$ n'est ni l'un ni l'autre.
• L'opposé change le signe : l'opposé de $-9$ est $+9$.
• Sur une droite graduée, les négatifs sont à gauche, les positifs à droite ; le plus grand est le plus à droite.
• La distance à zéro de $-7$ est $7$ (toujours positive).
• Entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de $0$ : $-2 > -7$.
• Dans un repère, un point a deux coordonnées $(x\,;\,y)$ : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.