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Les nombres relatifs
Nombres positifs et négatifs, signe et partie numérique ; situations de la vie courante (températures, altitudes, étages, dates, comptes) ; opposé et distance à zéro ; lire et placer l’abscisse d’un point sur une droite graduée ; problèmes
À propos de cette page
Nombres positifs, nombres négatifs
Jusqu’ici, tous tes nombres étaient plus grands que 0, ou égaux à 0. Mais pour noter une température sous zéro ou un étage sous le rez-de-chaussée, il faut des nombres « de l’autre côté » de 0 : les nombres négatifs.
• Un nombre écrit avec le signe + est strictement positif : +6 ; +2,5. Le signe + peut être omis : +6 s’écrit aussi 6.
• Un nombre écrit avec le signe − est strictement négatif : −4 ; −0,8. Le signe − ne peut jamais être omis.
• 0 n’a pas de signe. On dit qu’il est nul : il est à la fois positif et négatif, mais ni strictement positif, ni strictement négatif.
Un nombre positif est strictement positif ou nul ; un nombre négatif est strictement négatif ou nul.
+6 et 2,5 sont strictement positifs (2,5 = +2,5 : le signe + est sous-entendu).
−4 et −0,8 sont strictement négatifs : signe −, parties numériques 4 et 0,8.
Les nombres positifs de la liste −4 ; 0 ; 2,5 ; −0,8 ; +6 sont 0 ; 2,5 et +6. Les négatifs sont −4 ; 0 et −0,8.
… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … sont les entiers relatifs. −0,8 et +2,5 sont des décimaux relatifs.
Réflexe — je regarde d’abord si c’est 0 : il est nul. Sinon, un signe − : il est strictement négatif ; un signe + ou pas de signe : il est strictement positif.
Attention — « positif » et « strictement positif » ne disent pas la même chose : 0 est positif, mais il n’est pas strictement positif. Et −0,8 est strictement négatif même si sa partie numérique est petite.
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Les nombres relatifs dans la vie courante
Les nombres relatifs servent à repérer une grandeur qui peut descendre sous une valeur de référence : une température, une altitude, un étage, une date, le solde d’un compte…
2. Au-dessus de la référence (ou après elle), on écrit un nombre positif ; en dessous (ou avant), un nombre négatif.
3. La partie numérique indique à quelle distance de la référence on se trouve.
| Situation | Référence (le 0) | Nombre relatif |
|---|---|---|
| Il fait 6 degrés sous zéro. | 0 °C | −6 °C |
| Un village est à 1 250 m au-dessus du niveau de la mer. | le niveau de la mer | +1 250 m |
| Une plongeuse est à 24 m sous la surface de la mer. | le niveau de la mer | −24 m |
| Une voiture est garée au 2e sous-sol. | le rez-de-chaussée (niveau 0) | −2 |
| Un compte bancaire est à découvert de 35 €. | un compte vide (0 €) | −35 € |
| La bataille de Marathon a eu lieu en 490 avant notre ère. | le début de notre ère | an −490 |
Réflexe — je cherche d’abord la référence (le 0), puis je me demande : suis-je au-dessus ou au-dessous, après ou avant ?
Attention — la partie numérique seule ne suffit pas : « 24 m » ne dit pas si la plongeuse est au-dessus ou au-dessous de la surface ; c’est le signe qui le dit. En histoire, le calendrier n’a pas d’année 0 : on passe directement de l’an −1 à l’an 1.
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Opposé et distance à zéro
La distance à zéro d’un nombre relatif est sa partie numérique : c’est le nombre d’unités qui le séparent de l’origine sur une droite graduée (voir partie 4). On l’appelle aussi la valeur absolue du nombre. Elle est toujours positive.
| Nombre | Son opposé | Sa distance à zéro |
|---|---|---|
| +8 | −8 | 8 |
| −2,3 | +2,3 | 2,3 |
| −15 | +15 | 15 |
| 0 | 0 | 0 |
M(−3) et N(3) : −3 et 3 sont opposés. Les deux points sont à 3 unités de l’origine, de part et d’autre : ils sont symétriques par rapport à l’origine.
Retrouver un nombre
Deux nombres opposés ont la même distance à zéro. Donc, si la distance à zéro vaut 7, il y a deux nombres possibles : 7 et −7. Seul 0 a pour distance à zéro 0.
L’opposé de l’opposé d’un nombre est ce nombre : l’opposé de −11 est +11, et l’opposé de +11 est −11.
Réflexe — pour l’opposé, je garde la partie numérique et je change le signe ; pour la distance à zéro, j’efface le signe.
Attention — l’opposé d’un nombre négatif est positif : l’opposé de −9 est +9, pas −9. Et une distance à zéro n’est jamais négative : celle de −5,5 est 5,5.
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Lire et placer une abscisse sur une droite graduée
Chaque point de la droite est repéré par un nombre relatif : son abscisse. On écrit A(−4) : « le point A a pour abscisse −4 ».
Pour lire ou placer une abscisse : 1. je trouve le pas (la valeur d’une graduation) en comptant les intervalles entre deux nombres écrits ; 2. je compte les graduations depuis l’origine, vers la gauche pour un nombre négatif.
Le pas est 1. A est 4 graduations à gauche de l’origine : A(−4). C est 1 graduation à gauche : C(−1). B est 2 graduations à droite : B(2).
Entre 0 et 1, il y a 2 intervalles : le pas est 0,5.
D est 3 graduations à gauche de l’origine : 3 × 0,5 = 1,5, donc D(−1,5). E est 5 graduations à droite : 5 × 0,5 = 2,5, donc E(2,5).
Pour placer G(−3) sur cette droite : 3 = 6 × 0,5, je compte 6 graduations à gauche de l’origine.
Distance entre deux points
Sur une droite graduée, la distance entre deux points se lit : je compte les graduations (les intervalles) qui séparent les deux points, puis je multiplie par le pas.
Sur la première droite (pas 1), de A(−4) à C(−1), je compte 3 graduations : AC = 3 unités.
Sur la deuxième droite (pas 0,5), de D(−1,5) à E(2,5), je compte 8 graduations : DE = 8 × 0,5 = 4 unités.
Réflexe — avant de compter, je calcule le pas : il ne vaut pas toujours 1.
Attention — on compte les intervalles, pas les traits. Et pour un nombre négatif, on part de 0 vers la gauche : −1,5 est entre −2 et −1, à mi-chemin, et non entre −1 et 0.
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Pour aller plus loin
Comparer et ranger des nombres relatifs (−7 est-il plus petit que −2 ?) fait l’objet du chapitre suivant : Nombres relatifs : comparer et ranger.
Additionner et soustraire des nombres relatifs : chapitre sur l’addition et la soustraction. On y verra qu’une distance entre deux points se calcule aussi par une soustraction.
Repérer un point dans le plan avec deux coordonnées, comme (−3 ; 2), se voit dans le chapitre de repérage dans le plan, avec un repère formé de deux droites graduées.
Multiplier et diviser des nombres relatifs (la règle des signes) se verra en 4e.
Un peu d’histoire — vers l’an 600, le mathématicien indien Brahmagupta calcule déjà avec des nombres négatifs, qu’il présente comme des dettes. En Europe, leur existence était encore niée par certains savants au XVIIe siècle.
- Un nombre relatif = un signe (+ ou −) et une partie numérique. Le + peut être omis, jamais le −.
- 0 est à la fois positif et négatif ; il n’est ni strictement positif ni strictement négatif.
- Pour traduire une situation : je choisis la référence (le 0) ; au-dessus ou après → positif, en dessous ou avant → négatif.
- Opposé : même partie numérique, signe contraire. Distance à zéro (valeur absolue) : la partie numérique, toujours positive.
- Sur une droite graduée : positifs à droite de l’origine, négatifs à gauche ; je trouve le pas, puis je compte les graduations.
- Distance entre deux points : je compte les graduations qui les séparent sur la droite graduée, puis je multiplie par le pas.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un nombre relatif ?
C’est un nombre écrit avec un signe et une partie numérique : +6, 2,5 (signe + sous-entendu), −4, −0,8. Avec le signe +, il est strictement positif ; avec le signe −, obligatoire, il est strictement négatif.
Le nombre 0 est-il positif ou négatif ?
Les deux : 0 est à la fois positif et négatif. En revanche, il n’est ni strictement positif ni strictement négatif. On dit qu’il est nul.
À quoi servent les nombres relatifs dans la vie courante ?
À repérer une grandeur par rapport à une référence qui vaut 0 : 6 degrés sous zéro s’écrit −6 °C, une plongée à 24 m sous la surface −24 m, le 2e sous-sol −2, un découvert de 35 € −35 €.
Comment trouver l’opposé et la distance à zéro d’un nombre relatif ?
Pour l’opposé, on garde la partie numérique et on change le signe : l’opposé de −2,3 est +2,3. Pour la distance à zéro (ou valeur absolue), on efface le signe : celle de −15 est 15. Elle est toujours positive.
Comment lire l’abscisse d’un point sur une droite graduée ?
On trouve d’abord le pas en comptant les intervalles entre deux nombres écrits (2 intervalles entre 0 et 1 : pas de 0,5), puis on compte les graduations depuis l’origine, vers la gauche pour un nombre négatif : 3 graduations à gauche donnent −1,5.
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