Devoir surveillé : Statistiques et probabilités

1. a)Faux. On range d'abord la série : $3;5;7;8;12$. Il y a $5$ valeurs, la médiane est la 3ᵉ valeur : $7$. (0,5 pt rangement + 0,5 pt médiane) (1)
2. b)Vrai. Les $32$ cartes ont la même chance d'être tirées (équiprobabilité) : $P={\displaystyle \frac{4}{32}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$. (0,5 pt équiprobabilité + 0,5 pt calcul) (1)
3. c)Faux. « Il ne pleut pas » est l'événement contraire de « il pleut » : $P=1-0,35=0,65$. (0,5 pt événement contraire + 0,5 pt calcul) (1)
4. d)Vrai. Plus grande valeur $21$, plus petite valeur $6$ : étendue $=21-6=15$. (0,5 pt valeurs extrêmes + 0,5 pt calcul) (1)

Piège — la médiane se lit toujours sur la série rangée dans l'ordre croissant ; prendre la valeur du milieu de la liste non rangée est l'erreur la plus courante.

1. a)Somme : $12+15+9+14+18+11+15+10=104$. Moyenne : ${\displaystyle \frac{104}{8}}=13$ °C. (0,5 pt somme + 0,5 pt division) (1)
2. b)Série rangée : $9;10;11;12;14;15;15;18$. L'effectif $8$ est pair : la médiane est la moyenne des 4ᵉ et 5ᵉ valeurs, ${\displaystyle \frac{12+14}{2}}=13$ °C. (0,5 pt rangement + 0,5 pt médiane) (1)
3. c)$18-9=9$ °C : sur ces $8$ jours, l'écart entre le jour le plus chaud et le jour le plus frais est de $9$ °C. (0,5 pt calcul + 0,5 pt phrase) (1)
4. d)Jours strictement au-dessus de $13$ °C : $14$ ; $15$ ; $15$ ; $18$, soit $4$ jours sur $8$, tous équiprobables. $P={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,5 pt dénombrement + 0,5 pt probabilité) (1)

Méthode — avec un effectif pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales ; elle peut très bien ne figurer nulle part dans la série.

1. a)$12$ issues : les numéros de $1$ à $12$. Les secteurs sont identiques, donc chaque numéro a la même chance de sortir. (0,5 pt issues + 0,5 pt justification) (1)
2. b)Nombres pairs : $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $12$, soit $6$ issues : $P(A)={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Nombres supérieurs ou égaux à $9$ : $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$, soit $4$ issues : $P(B)={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Contraire de $B$ : « obtenir un nombre inférieur ou égal à $8$ ». $P(\bar{B})=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ; on vérifie : $8$ issues sur $12$, ${\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. (0,5 pt phrase + 0,5 pt calcul) (1)
4. d)$0,1\times 60=6$ fois. La probabilité vaut ${\displaystyle \frac{1}{12}}\approx 0,083$ : la fréquence observée en est proche ; sur seulement $60$ essais, un petit écart est normal et ne contredit pas la probabilité. (0,5 pt effectif + 0,5 pt commentaire) (1)

Erreur fréquente — confondre fréquence et probabilité : la fréquence dépend des essais réalisés et change d'une série d'essais à l'autre, la probabilité est fixée par l'expérience elle-même.

1. a)${\displaystyle \frac{6}{25}}=0,24$, soit $24\%$. (0,5 pt fraction + 0,5 pt pourcentage) (1)
2. b)Moyenne pondérée par les effectifs : ${\displaystyle \frac{0\times 5+1\times 9+2\times 6+3\times 3+4\times 2}{25}}={\displaystyle \frac{0+9+12+9+8}{25}}={\displaystyle \frac{38}{25}}=1,52$. (0,5 pt formule + 0,5 pt résultat) (1)
3. c)$25$ valeurs : la médiane est la 13ᵉ valeur de la série rangée. Effectifs cumulés : $5$ pour « aucun », $14$ pour « au plus $1$ » ; la 13ᵉ valeur vaut donc $1$. Au moins la moitié des élèves ont au plus $1$ frère ou sœur. (0,5 pt méthode + 0,5 pt résultat et phrase) (1)
4. d)« Au moins $3$ » signifie $3$ ou $4$ : $3+2=5$ élèves. Chaque élève a la même chance d'être choisi : $P={\displaystyle \frac{5}{25}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2$. (0,5 pt dénombrement + 0,5 pt probabilité) (1)

Astuce — les effectifs cumulés évitent d'écrire les $25$ valeurs une à une : on repère la première valeur dont l'effectif cumulé atteint le rang cherché.

1. a)Premier niveau : Pile (${\displaystyle \frac{1}{2}}$) et Face (${\displaystyle \frac{1}{2}}$). Au bout de chaque branche : Rouge (${\displaystyle \frac{1}{3}}$) et Noire (${\displaystyle \frac{2}{3}}$). Issues : (P ; R), (P ; N), (F ; R), (F ; N), soit $4$ issues. (0,5 pt arbre + 0,5 pt issues) (1)
2. b)On multiplie les probabilités le long du chemin : ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. (0,5 pt chemin + 0,5 pt calcul) (1)
3. c)Deux chemins mènent à « Noire » : ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Le côté de la pièce n'influence pas le tirage. (0,5 pt chemins + 0,5 pt calcul) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{46}{300}}\approx 0,15$ et ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx 0,17$. Les deux valeurs sont proches : sur un grand nombre d'essais, la fréquence se rapproche de la probabilité, sans l'égaler exactement. (0,5 pt fréquence + 0,5 pt comparaison) (1)

Méthode — sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d'un chemin, puis on additionne les chemins qui réalisent l'événement.

1. a)Vrai. Avant : ${\displaystyle \frac{8+12+16}{3}}={\displaystyle \frac{36}{3}}=12$. Après : ${\displaystyle \frac{36+14}{4}}={\displaystyle \frac{50}{4}}=12,5$. Une note supérieure à la moyenne la fait monter. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Faux. Il y a $6\times 6=36$ couples équiprobables. Somme $7$ : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1), d'où $P={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Somme $12$ : seulement (6 ; 6), d'où $P={\displaystyle \frac{1}{36}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Vrai. La plus grande valeur $M$ devient $3M$ et la plus petite $m$ devient $3m$ ; la nouvelle étendue vaut $3M-3m=3(M-m)$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Vrai. Deux événements contraires ne peuvent jamais se réaliser en même temps. Pour la seconde partie, un contre-exemple : avec un dé, « obtenir $1$ » et « obtenir $2$ » sont incompatibles, mais la somme de leurs probabilités vaut ${\displaystyle \frac{2}{6}}\ne 1$ : ils ne sont pas contraires. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — avec deux dés, les sommes ne sont pas équiprobables : il faut revenir aux $36$ couples, qui eux le sont.

1. a)$1\times 4+2\times 7+3\times 12+4\times 9+5\times 5+6\times 3=4+14+36+36+25+18=133$. Moyenne : ${\displaystyle \frac{133}{40}}=3,325\approx 3,3$ h. (0,5 pt somme pondérée + 0,5 pt résultat) (1)
2. b)$40$ valeurs : la médiane est la moyenne des 20ᵉ et 21ᵉ valeurs rangées. Effectifs cumulés : $4$ ; $11$ ; $23$ ; les 20ᵉ et 21ᵉ valeurs valent donc $3$, et la médiane est $3$ h. Au moins la moitié des adhérents s'entraînent $3$ h ou moins, et au moins la moitié $3$ h ou plus. (0,5 pt calcul + 0,5 pt phrase) (1)
3. c)$4+7=11$ adhérents ; ${\displaystyle \frac{11}{40}}=0,275$, soit $27,5\%$. (0,5 pt effectif + 0,5 pt pourcentage) (1)
4. d)Plus de $3,325$ h, c'est $4$, $5$ ou $6$ h : $9+5+3=17$ adhérents. $P(E)={\displaystyle \frac{17}{40}}=0,425$ ; $P(\bar{E})=1-0,425=0,575$, soit ${\displaystyle \frac{23}{40}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — calculer la moyenne des valeurs $1$ à $6$ sans tenir compte des effectifs (on trouverait $3,5$) : chaque valeur doit être pondérée par son effectif.

1. a)Lignes (roue A), colonnes (roue B). Ligne $1$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$. Ligne $2$ : $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$. Ligne $3$ : $3$ ; $6$ ; $9$ ; $12$. Il y a $3\times 4=12$ issues équiprobables. (0,5 pt tableau + 0,5 pt issues) (1)
2. b)Produits pairs : $2$ et $4$ (ligne $1$), $2$, $4$, $6$ et $8$ (ligne $2$), $6$ et $12$ (ligne $3$), soit $8$ cases. $P={\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. (0,5 pt dénombrement + 0,5 pt probabilité) (1)
3. c)Produits supérieurs ou égaux à $6$ : $6$ et $8$ (ligne $2$), $6$, $9$ et $12$ (ligne $3$), soit $5$ cases. $P={\displaystyle \frac{5}{12}}$. (0,5 pt dénombrement + 0,5 pt probabilité) (1)
4. d)Sommes des lignes : $10$, $20$ et $30$, total $60$ ; moyenne ${\displaystyle \frac{60}{12}}=5$. Série rangée : $1$ ; $2$ ; $2$ ; $3$ ; $3$ ; $4$ ; $4$ ; $6$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $12$ ; médiane $={\displaystyle \frac{4+4}{2}}=4$. (0,5 pt moyenne + 0,5 pt médiane) (1)

Astuce — le tableau à double entrée est plus lisible que l'arbre dès que chaque épreuve a plusieurs issues : chaque case est une issue, il suffit de compter les cases.

1. a)Série rangée : $2;4;5;7;9;11$ ; médiane $={\displaystyle \frac{5+7}{2}}=6$. L'élève a pris les valeurs du milieu sans ranger la série. (0,5 pt résultat + 0,5 pt explication) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{12\times 3+8\times 1}{3+1}}={\displaystyle \frac{36+8}{4}}={\displaystyle \frac{44}{4}}=11$. Il a oublié les coefficients : la note $12$ compte trois fois. (0,5 pt résultat + 0,5 pt explication) (1)
3. c)Les $4$ issues équiprobables sont PP, PF, FP, FF ; « un Pile et un Face » en regroupe deux : $P={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Les trois issues de l'élève n'étaient pas équiprobables. (0,5 pt résultat + 0,5 pt explication) (1)
4. d)« Rouge » et « verte » sont incompatibles, donc on additionne : ${\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{10}}={\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. On multiplie le long d'un chemin pour deux épreuves successives, pas pour un « ou » dans une seule épreuve. (0,5 pt résultat + 0,5 pt explication) (1)

Méthode — avant d'appliquer « cas favorables ÷ cas possibles », vérifier que les issues comptées sont bien équiprobables ; sinon, les découper en issues plus fines.

1. a)$0\times 6+1\times 5+2\times 4+3\times 2+5\times 2+8\times 1=0+5+8+6+10+8=37$ ; moyenne ${\displaystyle \frac{37}{20}}=1,85$ min. (0,5 pt somme + 0,5 pt résultat) (1)
2. b)$20$ valeurs : médiane entre la 10ᵉ et la 11ᵉ valeur. Effectifs cumulés : $6$ puis $11$ ; ces deux valeurs valent $1$, donc médiane $=1$ min. Étendue : $8-0=8$ min. Au moins un jour sur deux, le retard est d'au plus $1$ min ; la moyenne est tirée vers le haut par quelques gros retards, donc « presque $2$ minutes en général » est exagéré. (0,5 pt médiane et étendue + 0,5 pt commentaire) (1)
3. c)Fréquence : ${\displaystyle \frac{2+2+1}{20}}={\displaystyle \frac{5}{20}}=0,25$. Arbre : chaque jour, « retard d'au moins $3$ min » ($0,25$) ou non ($0,75$). Les deux jours : $0,25\times 0,25=0,0625$. (0,5 pt fréquence + 0,5 pt arbre et calcul) (1)
4. d)Événement contraire : « aucun des deux jours », de probabilité $0,75\times 0,75=0,5625$. Donc $P=1-0,5625=0,4375$. Vérification par les chemins : $0,25\times 0,75+0,75\times 0,25+0,0625=0,4375$. (0,5 pt méthode + 0,5 pt résultat) (1)

Piège — « au moins un » se calcule souvent plus vite par l'événement contraire « aucun » ; en passant par les chemins, on oublie facilement l'un d'eux.

1. a)Vrai. Écarts à $1000$ : $-2$ ; $+3$ ; $+1$ ; $-3$ ; $+6$, de somme $5$ ; écart moyen ${\displaystyle \frac{5}{5}}=1$, donc moyenne $=1000+1=1001$. (0,5 pt méthode + 0,5 pt conclusion) (1)
2. b)Faux. Il y a $36$ couples équiprobables, dont $6$ doubles. Par l'événement contraire : $P=1-{\displaystyle \frac{6}{36}}=1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$. (0,5 pt contraire + 0,5 pt résultat) (1)
3. c)Faux. Étendue nulle : la plus grande et la plus petite valeur sont égales, donc les $5$ nombres sont égaux. Leur moyenne est alors cette valeur commune, $10$ : les $5$ nombres valent $10$ et la médiane aussi. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — pour la moyenne de grands nombres voisins, on calcule la moyenne des écarts à une valeur ronde, puis on l'ajoute à cette valeur.

1. a)${\displaystyle \frac{12,5\times 4+15\times 2+8\times 2}{4+2+2}}={\displaystyle \frac{50+30+16}{8}}={\displaystyle \frac{96}{8}}=12$. (0,5 pt formule + 0,5 pt résultat) (1)
2. b)$P(V)=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{12}{12}}-{\displaystyle \frac{4}{12}}-{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$. Avec $48$ boules : ${\displaystyle \frac{48}{3}}=16$ rouges, ${\displaystyle \frac{48}{4}}=12$ bleues et $48\times {\displaystyle \frac{5}{12}}=20$ vertes ; vérification : $16+12+20=48$. (0,5 pt probabilité + 0,5 pt effectifs) (1)
3. c)Deux vertes : ${\displaystyle \frac{5}{12}}\times {\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{25}{144}}$. Même couleur, trois chemins incompatibles : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{25}{144}}={\displaystyle \frac{16}{144}}+{\displaystyle \frac{9}{144}}+{\displaystyle \frac{25}{144}}={\displaystyle \frac{50}{144}}={\displaystyle \frac{25}{72}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{24}{144}}$ et ${\displaystyle \frac{24}{144}}<{\displaystyle \frac{25}{144}}$ : la probabilité d'obtenir deux boules vertes est légèrement supérieure à ${\displaystyle \frac{1}{6}}$. (0,5 pt dénominateur commun + 0,5 pt conclusion) (1)

Méthode — pour comparer deux fractions sans calculatrice, on les écrit avec le même dénominateur ; ici $144$ est un multiple de $6$, le calcul est immédiat.

1. a)$5$ valeurs rangées : la médiane est la 3ᵉ, donc $c=6$. Moyenne $5$ : somme $=5\times 5=25$, d'où $a+b+d+e=25-6=19$. Étendue : $e-a=8$, donc $e=a+8$. (0,5 pt médiane + 0,5 pt somme et étendue) (1,25)
2. b)En remplaçant $e$ : $a+b+d+a+8=19$, soit $2a+b+d=11$. Or $b\ge a$ et $d\ge c=6$, donc $11=2a+b+d\ge 2a+a+6=3a+6$, d'où $3a\le 5$. Comme $a$ est un entier positif ou nul, $a=0$ ou $a=1$. (0,5 pt égalité + 1 pt inégalité et conclusion) (1,25)
3. c)Si $a=0$ : $e=8$ et $b+d=11$ avec $6\le d\le 8$ ; $d=6$, $7$ ou $8$ donne $b=5$, $4$ ou $3$, qui conviennent : $0;5;6;6;8$ puis $0;4;6;7;8$ puis $0;3;6;8;8$. Si $a=1$ : $e=9$ et $b+d=9$ avec $6\le d\le 9$ ; $d=6$, $7$ ou $8$ donne $b=3$, $2$ ou $1$, qui conviennent, et $d=9$ donnerait $b=0<a$, exclu : $1;3;6;6;9$ puis $1;2;6;7;9$ puis $1;1;6;8;9$. On a examiné toutes les valeurs possibles de $a$, puis de $d$ : il y a exactement $6$ séries. (0,5 pt cas $a=0$ + 0,5 pt cas $a=1$ + 0,5 pt justification d'exhaustivité) (1,25)
4. d)Séries avec une valeur répétée : $0;5;6;6;8$, $0;3;6;8;8$, $1;3;6;6;9$ et $1;1;6;8;9$, soit $4$ séries sur $6$, équiprobables : $P={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. (0,5 pt dénombrement + 0,5 pt probabilité) (1,25)

Méthode — pour ne rien oublier, on encadre d'abord la plus petite valeur, puis on passe en revue une à une les valeurs possibles d'une autre inconnue : la liste est complète par construction.

1. a)$6$ boules : $P(R)={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $P(B)={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Deux chemins, (R ; B) et (B ; R) : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$. (0,5 pt chemins + 0,5 pt calcul) (1)
2. b)$n+4$ boules : $P(R)={\displaystyle \frac{4}{n+4}}$ et $P(B)={\displaystyle \frac{n}{n+4}}$. Les deux chemins ont la même probabilité : $2\times {\displaystyle \frac{4}{n+4}}\times {\displaystyle \frac{n}{n+4}}={\displaystyle \frac{8n}{(n+4{)}^2}}$. (0,5 pt probabilités + 0,5 pt produit) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{8n}{(n+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$ donne $72n=4(n+4{)}^2$, soit $18n=n^2+8n+16$, donc $n^2-10n+16=0$. Or $(n-2)(n-8)=n^2-8n-2n+16=n^2-10n+16$. Équation produit : $n=2$ ou $n=8$. Vérification pour $n=8$ : ${\displaystyle \frac{64}{144}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$. Le sac contient $2$ ou $8$ boules bleues. (0,5 pt mise en équation + 0,5 pt factorisation + 0,5 pt conclusion) (1)
4. d)On attend environ ${\displaystyle \frac{4}{9}}\times 900=400$ fois ; $412$ en est proche (${\displaystyle \frac{412}{900}}\approx 0,46$ contre ${\displaystyle \frac{4}{9}}\approx 0,44$) : c'est cohérent, la fréquence fluctue autour de la probabilité. (0,5 pt) (1)

Piège — trouver une solution ($n=2$) ne suffit pas : l'équation en a une seconde, et « toutes les valeurs » oblige à passer par une équation plutôt que par des essais.

1. a)Moyenne : ${\displaystyle \frac{2+3+4+15}{4}}={\displaystyle \frac{24}{4}}=6$ ; médiane : ${\displaystyle \frac{3+4}{2}}=3,5$. Seul $15$ dépasse $6$ : $P(S)={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut. (0,5 pt indicateurs + 0,5 pt probabilité) (1)
2. b)Par exemple $0;10;10;10$ : moyenne ${\displaystyle \frac{30}{4}}=7,5$, et trois valeurs sur quatre dépassent $7,5$, d'où $P(S)={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Toute série correcte et vérifiée est acceptée. (0,5 pt série + 0,5 pt vérification) (1)
3. c)Raisonnement par l'absurde : supposons que les $n$ valeurs soient toutes strictement supérieures à la moyenne $m$. En les additionnant, leur somme serait strictement supérieure à $n\times m$. Or $n\times m$ est exactement la somme des valeurs : la somme serait strictement supérieure à elle-même, c'est impossible. Au moins une valeur est donc inférieure ou égale à $m$, et $P(S)<1$. (0,5 pt hypothèse + 0,5 pt somme + 0,5 pt conclusion) (1)
4. d)La somme initiale vaut $n\times m$. Nouvelle moyenne : ${\displaystyle \frac{n\times m+m}{n+1}}={\displaystyle \frac{m(n+1)}{n+1}}=m$. (0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — croire que la moitié des valeurs dépasse toujours la moyenne : c'est la médiane qui partage la série en deux, pas la moyenne.