Probabilités : expériences à deux épreuves

On lance un dé équilibré à $10$ faces numérotées de $1$ à $10$. Donne chaque probabilité en fraction simplifiée (forme a/b) ou par un entier.

1. Nombre d’issues de cette expérience :
   Une issue par face : $10$ issues, toutes de même probabilité car le dé est équilibré.
2. $P(\text{obtenir }7)=$
   Une issue favorable sur $10$ : ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.
3. $P(\text{nombre pair})=$
   $2$, $4$, $6$, $8$, $10$ : ${\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
4. $P(\text{diviseur de }10)=$
   Diviseurs de $10$ : $1$, $2$, $5$, $10$, soit ${\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.
5. $P(\text{nombre inférieur ou égal à }10)=$
   Toutes les faces conviennent : événement certain, probabilité $1$.
6. $P(\text{obtenir }11)=$
   Aucune face ne porte $11$ : événement impossible, probabilité $0$.

Une urne contient $20$ boules indiscernables au toucher : $7$ rouges, $8$ bleues et $5$ vertes. On tire une boule au hasard.

1. $P(\text{rouge})$ en fraction :
   $7$ boules rouges sur $20$ : ${\displaystyle \frac{7}{20}}$, qui ne se simplifie pas.
2. $P(\text{rouge})$ en pourcentage : %
   ${\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{35}{100}}=35\%$.
3. $P(\text{pas bleue})$ en fraction simplifiée :
   $P(\text{bleue})={\displaystyle \frac{8}{20}}$, donc $P(\text{pas bleue})=1-{\displaystyle \frac{8}{20}}={\displaystyle \frac{12}{20}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$.
4. On ajoute $5$ boules rouges dans l’urne. Nouvelle probabilité de tirer une boule rouge (fraction simplifiée) :
   Il y a maintenant $7+5=12$ rouges sur $20+5=25$ boules : ${\displaystyle \frac{12}{25}}$.

Raisonne avec l’événement contraire et le nombre d’objets.

1. $P(A)=0,43$. $P(\bar{A})=$
   $P(\bar{A})=1-0,43=0,57$.
2. $P(B)={\displaystyle \frac{7}{12}}$. $P(\bar{B})=$
   $1-{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{12}{12}}-{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$.
3. Un sac contient $48$ billes et la probabilité de tirer une bille noire est ${\displaystyle \frac{3}{8}}$. Nombre de billes qui ne sont pas noires :
   Billes noires : ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ de $48$, soit $48÷8\times 3=18$. Les autres : $48-18=30$.
4. Une urne contient $3$ boules blanches et d’autres boules ; $P(\text{blanche})=0,12$. Nombre total de boules :
   ${\displaystyle \frac{3}{n}}=0,12$, donc $n=3÷0,12=25$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{3}{25}}=0,12$.
5. Avec le dé à $10$ faces, $P(\text{obtenir au moins }4)$ en fraction :
   Le contraire est « obtenir au plus $3$ » : $1$, $2$, $3$, soit ${\displaystyle \frac{3}{10}}$. Donc $P=1-{\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$.

Donne chaque résultat en écriture décimale.

1. $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A)=0,2$ et $P(B)=0,45$. $P(A\text{ ou }B)=$
   Incompatibles : on additionne, $0,2+0,45=0,65$.
2. Avec ces mêmes $A$ et $B$, $P(\text{ni }A\text{ ni }B)=$
   « Ni $A$ ni $B$ » est le contraire de « $A$ ou $B$ » : $1-0,65=0,35$.
3. $A$ et $B$ sont incompatibles et $P(A)=0,3$. Plus grande valeur possible de $P(B)$ :
   $P(A)+P(B)=P(A\text{ ou }B)$, qui ne dépasse pas $1$ : $P(B)⩽1-0,3=0,7$.

On tire une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes ($4$ couleurs de $13$ cartes : as, $2$ à $10$, valet, dame, roi ; pique et trèfle sont noirs). Fractions simplifiées.

1. $P(\text{trèfle})=$
   $13$ trèfles sur $52$ cartes : ${\displaystyle \frac{13}{52}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
2. $P(\text{as et trèfle})=$
   Une seule carte est à la fois un as et un trèfle : l’as de trèfle, ${\displaystyle \frac{1}{52}}$.
3. $P(\text{as ou trèfle})=$
   $4$ as et $13$ trèfles, dont l’as de trèfle commun : $4+13-1=16$ cartes, ${\displaystyle \frac{16}{52}}={\displaystyle \frac{4}{13}}$.
4. $P(\text{dame noire})=$
   La dame de pique et la dame de trèfle : ${\displaystyle \frac{2}{52}}={\displaystyle \frac{1}{26}}$.

Raisonne avec « et », « ou » et le contraire.

1. On choisit un entier au hasard de $1$ à $40$. Probabilité qu’il soit un multiple de $4$ ou un multiple de $6$ (fraction) :
   Multiples de $4$ : $10$ ($4$ à $40$). Multiples de $6$ : $6$, $12$, $18$, $24$, $30$, $36$, soit $6$. Communs : $12$, $24$, $36$.
   $10+6-3=13$ issues : ${\displaystyle \frac{13}{40}}$.
2. $P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$ et $P(A\text{ ou }B)=0,7$. $P(A\text{ et }B)=$
   $P(A\text{ ou }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ et }B)$, donc $P(A\text{ et }B)=0,5+0,4-0,7=0,2$. $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles.
3. Dans une classe de $25$ élèves, $14$ font du sport, $9$ font de la musique et $5$ font les deux. Probabilité qu’un élève choisi au hasard ne fasse ni sport ni musique (fraction) :
   « Sport ou musique » : $14+9-5=18$ élèves. Les autres : $25-18=7$, donc ${\displaystyle \frac{7}{25}}$.

Calcule la fréquence en écriture décimale, ou le nombre demandé.

1. Sur $160$ lancers francs, un joueur en réussit $124$. Fréquence de réussite :
   ${\displaystyle \frac{124}{160}}=124÷160=0,775$.
2. Une roue tourne $1200$ fois et s’arrête $450$ fois sur le rouge. Fréquence du rouge :
   ${\displaystyle \frac{450}{1200}}=0,375$.
3. Sur $80$ essais, la fréquence d’un événement est $0,35$. Nombre de réalisations :
   Réalisations = fréquence × essais : $0,35\times 80=28$.

Un dé à six faces est truqué : $P(1)=0,05$ ; $P(2)=0,15$ ; $P(3)=0,1$ ; $P(4)=0,2$ ; $P(5)=0,15$. Écriture décimale.

1. $P(6)=$
   La somme des probabilités vaut $1$ : $P(6)=1-(0,05+0,15+0,1+0,2+0,15)=1-0,65=0,35$.
2. $P(\text{nombre pair})=$
   Faces $2$, $4$, $6$ : $0,15+0,2+0,35=0,7$.
3. $P(\text{obtenir au moins }3)=$
   Le contraire est « $1$ ou $2$ » : $0,05+0,15=0,2$, donc $1-0,2=0,8$.

Simulation, estimation et nombre attendu.

1. Une roue a un secteur jaune de $54°$. $P(\text{jaune})$ en écriture décimale :
   ${\displaystyle \frac{54}{360}}=0,15$.
2. Un tableur simule $2000$ lancers d’une pièce équilibrée ; la fréquence de pile est $0,507$. Nombre de pile obtenus :
   $0,507\times 2000=1014$.
3. On lance $3000$ fois un dé équilibré à $6$ faces. Combien de nombres premiers peut-on attendre, environ ?
   Nombres premiers : $2$, $3$, $5$, donc $P={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Environ $3000\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=1500$.
4. On simule $5000$ tirages avec remise dans une urne de $20$ boules et l’on obtient $1012$ boules rouges. Combien de boules rouges l’urne contient-elle probablement ?
   Fréquence : ${\displaystyle \frac{1012}{5000}}=0,2024$, proche de $0,2$. On estime $P(\text{rouge})\approx 0,2$, soit ${\displaystyle \frac{4}{20}}$ : probablement $4$ boules rouges.

On fait tourner deux fois une roue équilibrée à $3$ secteurs égaux marqués A, B et C. Fractions simplifiées.

1. Nombre d’issues (cases du tableau) :
   $3$ lignes et $3$ colonnes : $3\times 3=9$ couples, de même probabilité.
2. $P(\text{A puis A})=$
   Une seule case, (A ; A) : ${\displaystyle \frac{1}{9}}$.
3. $P(\text{deux lettres identiques})=$
   La diagonale : (A ; A), (B ; B), (C ; C), soit ${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
4. $P(\text{au moins un A})=$
   Contraire : « aucun A », un carré de $2\times 2=4$ cases. $1-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$ (la ligne A et la colonne A : $3+3-1=5$ cases).

On lance un dé équilibré à $6$ faces, puis on fait tourner une roue à $5$ secteurs égaux numérotés de $1$ à $5$. Fractions simplifiées.

1. Nombre d’issues :
   $6$ lignes (dé) et $5$ colonnes (roue) : $6\times 5=30$ cases.
2. $P(\text{les deux nombres sont égaux})=$
   (1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5) : ${\displaystyle \frac{5}{30}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Le $6$ du dé n’a pas de partenaire.
3. $P(\text{la somme vaut }8)=$
   (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2) : ${\displaystyle \frac{4}{30}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$.
4. Probabilité que le dé donne un nombre plus grand que la roue :
   Dé $2$ : $1$ case ; dé $3$ : $2$ ; dé $4$ : $3$ ; dé $5$ : $4$ ; dé $6$ : $5$. $1+2+3+4+5=15$ cases : ${\displaystyle \frac{15}{30}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
5. $P(\text{obtenir au moins un }5)=$
   Contraire : « aucun $5$ », $5\times 4=20$ cases. $1-{\displaystyle \frac{20}{30}}={\displaystyle \frac{10}{30}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

L’urne U contient $2$ boules rouges et $1$ verte ; l’urne V contient $1$ boule rouge et $3$ vertes. On tire une boule au hasard dans chaque urne. Fractions simplifiées.

1. Nombre de cases du tableau (une case par couple de boules) :
   On distingue les boules : $3$ boules dans U, $4$ dans V, donc $3\times 4=12$ couples de même probabilité.
2. $P(\text{deux rouges})=$
   $2$ rouges dans U et $1$ dans V : $2\times 1=2$ cases, ${\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.
3. $P(\text{deux boules de même couleur})=$
   Deux rouges : $2\times 1=2$ cases ; deux vertes : $1\times 3=3$ cases. ${\displaystyle \frac{2+3}{12}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$.
4. $P(\text{au moins une verte})=$
   C’est le contraire de « deux rouges » : $1-{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$.

Un sac contient $4$ jetons : $3$ rouges et $1$ bleu. On tire un jeton, on note sa couleur, on le remet, puis on en tire un second. Fractions simplifiées.

1. $P(\text{rouge puis rouge})=$
   Avec remise, chaque tirage donne rouge avec la probabilité ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{16}}$.
2. $P(\text{bleu puis bleu})=$
   ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$.
3. $P(\text{deux jetons de couleurs différentes})=$
   Deux chemins : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{6}{16}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{9}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{6}{16}}=1$.

Parmi $7$ cartes à gratter, $3$ sont gagnantes. Zoé en prend deux au hasard, l’une après l’autre, sans remise. Fractions simplifiées.

1. Si la première carte est gagnante, probabilité que la seconde le soit aussi :
   Il reste $6$ cartes, dont $2$ gagnantes : ${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
2. $P(\text{deux cartes gagnantes})=$
   ${\displaystyle \frac{3}{7}}\times {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{6}{42}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$.
3. $P(\text{aucune carte gagnante})=$
   $4$ perdantes sur $7$, puis $3$ sur $6$ : ${\displaystyle \frac{4}{7}}\times {\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{12}{42}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$.
4. $P(\text{au moins une carte gagnante})=$
   Contraire de « aucune » : $1-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$.