Probabilités : expériences à deux épreuves

Rappels de 5e et de 4e (issues, équiprobabilité, événement contraire, événements « et », « ou » et incompatibles, issues non équiprobables), fréquence et probabilité avec la simulation d’un grand nombre d’expériences, expériences à deux épreuves avec le tableau à double entrée et, en complément, l’arbre avec ou sans remise.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de probabilités de 3e : un sondage sur les transports, une pince à linge lancée 500 fois, le tableau d’un club de natation, le jeu de l’écart entre deux dés, des chocolats mangés l’un après l’autre et une simulation de deux dés au tableur.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je décris l’expérience : une ou deux épreuves ? Je liste les issues (liste, tableau à double entrée, arbre) et je me demande si elles ont la même probabilité.
Je traduis chaque question : « ne pas », « au moins un » → contraire ; « ou » → issues communes ? ; « environ combien sur … essais » → nombre d’essais × probabilité.
Je calcule avec la bonne règle : favorables ÷ total, somme des probabilités égale à 1, $1 - P (A)$ , cases du tableau, produit le long d’un chemin.
Je contrôle que chaque probabilité est entre $0$ et $1$ et que la fraction est simplifiée, puis je réponds par une phrase.

Problème 1 · Le sondage des transports★★★Facile

Dans une classe de

30

élèves,

12

viennent en bus,

9

à vélo,

6

à pied et

3

en voiture ; chacun n’utilise qu’un moyen de transport. On interroge un élève au hasard. Fractions simplifiées.

1. $P (vélo) =$
$\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ .
2. $P (bus ou à pied) =$
Un élève ne vient pas à la fois en bus et à pied : incompatibles. $\frac{12 + 6}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ .
3. Probabilité qu’il ne vienne pas en voiture, en pourcentage : %
$1 - \frac{3}{30} = \frac{27}{30} = 0, 9 = 90 %$ .
4. $P (ni en bus ni en voiture) =$
Il reste les élèves à vélo ou à pied : $9 + 6 = 15$ , soit $\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ .

Problème 2 · La pince à linge★★★Facile

On lance

500

fois une pince à linge en bois : elle retombe

320

fois à plat et

180

fois sur la tranche.

1. Fréquence de « à plat » (écriture décimale) :
$320 \div 500 = 0, 64$ .
2. On ne peut pas calculer $P (à plat)$ par favorables ÷ total, car les deux issues ne sont pas (un mot).
Une pince à linge n’est pas symétrique : « à plat » et « sur la tranche » n’ont pas la même probabilité. On estime donc la probabilité par la fréquence.
3. Estimation de $P (sur la tranche)$ (écriture décimale) :
$180 \div 500 = 0, 36$ , ou $1 - 0, 64 = 0, 36$ .
4. Sur $2 000$ lancers, combien de fois peut-on prévoir « à plat », environ ?
$2 000 \times 0, 64 = 1 280$ fois environ : une prévision, pas une certitude.

Problème 3 · Le club de natation★★★Moyen

Un club de natation compte

60

adhérents :

14

filles de moins de

15

ans,

18

filles de

15

ans ou plus,

11

garçons de moins de

15

ans et

17

garçons de

15

ans ou plus. On choisit un adhérent au hasard. Fractions simplifiées.

1. $P (fille) =$
$14 + 18 = 32$ filles : $\frac{32}{60} = \frac{8}{15}$ .
2. $P (15 ans ou plus) =$
$18 + 17 = 35$ adhérents : $\frac{35}{60} = \frac{7}{12}$ .
3. $P (garçon de moins de 15 ans) =$
« Garçon et moins de $15$ ans » se lit dans une seule case : $\frac{11}{60}$ .
4. $P (fille ou moins de 15 ans) =$
Les $32$ filles et les $11$ garçons de moins de $15$ ans : $\frac{43}{60}$ . Les $14$ filles de moins de $15$ ans ne sont comptées qu’une fois ( $32 + 25 - 14 = 43$ ).

Problème 4 · Le jeu de l’écart★★★Moyen

Léo et Inès lancent deux dés équilibrés à

6

faces et calculent l’écart entre les deux nombres (le plus grand moins le plus petit ;

0

pour un double). Léo gagne si l’écart vaut au moins

3

, Inès s’il vaut au plus

1

; sinon, personne ne gagne. Fractions simplifiées.

1. Nombre de cases du tableau à double entrée :
$6 \times 6 = 36$ couples de même probabilité.
2. $P (écart = 0) =$
Les $6$ doubles, sur la diagonale : $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .
3. Probabilité que Léo gagne :
Écart $3$ : (1 ; 4), (2 ; 5), (3 ; 6) et leurs inverses, $6$ cases ; écart $4$ : $4$ cases ; écart $5$ : $2$ cases. $6 + 4 + 2 = 12$ , donc $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ .
4. Probabilité qu’Inès gagne :
Écart $0$ : $6$ cases ; écart $1$ : (1 ; 2)… (5 ; 6) et leurs inverses, $10$ cases. $\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ : le jeu avantage Inès.
5. Probabilité que personne ne gagne :
Il reste l’écart $2$ : $36 - 12 - 16 = 8$ cases, soit $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ .

Problème 5 · Les chocolats★★★Difficile

Une boîte contient

4

chocolats noirs et

2

chocolats blancs, d’apparence identique. Léa en prend un au hasard, le mange, puis en prend un second. Tu peux compter les couples ou utiliser un arbre. Fractions simplifiées.

1. En distinguant les $6$ chocolats, nombre de couples possibles (premier chocolat ; second chocolat) :
$6$ choix pour le premier, puis $5$ pour le second (le premier est mangé) : $6 \times 5 = 30$ .
2. $P (noir puis noir) =$
$4 \times 3 = 12$ couples : $\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ . Avec l’arbre : $\frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{30}$ .
3. $P (blanc puis blanc) =$
$2 \times 1 = 2$ couples : $\frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ .
4. $P (un chocolat de chaque couleur) =$
Contraire de « deux de la même couleur » : $1 - \frac{12}{30} - \frac{2}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ .
5. Si Léa remettait le premier chocolat dans la boîte, $P (noir puis noir)$ vaudrait :
Avec remise : $6 \times 6 = 36$ couples, dont $4 \times 4 = 16$ noirs puis noirs. $\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ , plus que $\frac{2}{5}$ .

Problème 6 · La simulation au tableur★★★Difficile

Nina simule au tableur

1 000

lancers de deux dés équilibrés à

6

faces avec la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) + ALEA.ENTRE.BORNES(1;6), qui donne la somme des deux dés. Elle obtient

172

fois une somme d’au moins

10

1. Fréquence de « somme d’au moins $10$ » dans sa simulation (écriture décimale) :
$172 \div 1 000 = 0, 172$ .
2. Dans le tableau à double entrée des sommes, nombre de cases où la somme vaut au moins $10$ :
Somme $10$ : (4 ; 6), (5 ; 5), (6 ; 4) ; somme $11$ : (5 ; 6), (6 ; 5) ; somme $12$ : (6 ; 6). $3 + 2 + 1 = 6$ cases.
3. Probabilité exacte de « somme d’au moins $10$ » (fraction simplifiée) :
$\frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0, 167$ : la fréquence $0, 172$ en est proche, l’écart vient de la fluctuation.
4. Sur $30 000$ lancers simulés, combien de sommes d’au moins $10$ peut-on attendre, environ ?
$30 000 \times \frac{1}{6} = 5 000$ environ.

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