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Statistiques : médiane, étendue et histogrammes
Rappels de 5e et de 4e (effectifs, fréquences, diagramme circulaire, moyenne, valeur manquante, moyenne pondérée), médiane d’une liste ou d’un tableau d’effectifs cumulés, étendue, regroupement en classes de même amplitude et histogramme (lecture, moyenne estimée avec les centres, classe de la médiane), comparaison de deux séries et choix d’un indicateur (valeur extrême, transformations, tableur).
À propos de cette page
Rappels de 5e et de 4e : effectifs, fréquences et moyennes
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît ; l’effectif total N est le nombre de données. La fréquence d’une valeur est effectif ÷ effectif total (en fraction, en décimal entre 0 et 1 ou en pourcentage) ; les fréquences font 1 en tout, soit 100 %. Dans un diagramme circulaire, angle = fréquence × 360°.
La moyenne est la somme des valeurs divisée par l’effectif total : moyenne = somme des valeurs ÷ N, donc somme des valeurs = moyenne × N.
Quand les valeurs sont données avec leurs effectifs (ou avec des coefficients), on calcule une moyenne pondérée : (valeur₁ × effectif₁ + valeur₂ × effectif₂ + …) ÷ effectif total (ou ÷ la somme des coefficients).
Nombre de livres lus pendant l’été par 20 élèves
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 7 | 6 | 2 | 1 | 20 |
| Fréquence | 0,2 | 0,35 | 0,3 | 0,1 | 0,05 | 1 |
Fréquence de la valeur « 2 livres » : 6 ÷ 20 = 0,3, soit 30 %. Contrôle : 4 + 7 + 6 + 2 + 1 = 20 et 0,2 + 0,35 + 0,3 + 0,1 + 0,05 = 1 ✓
Dans un diagramme circulaire, le secteur « 0 livre » mesurerait 0,2 × 360 = 72°.
Sur 200 élèves, 54 sont inscrits à l’association sportive : 54 ÷ 200 = 0,27, soit 27 %, et un secteur de 0,27 × 360 = 97,2°. Inversement, un secteur de 90° représente 90 ÷ 360 = 0,25, soit 25 % de l’effectif total.
Moyenne et valeur manquante
Âges des 7 joueurs d’une équipe : 19 ; 23 ; 21 ; 26 ; 20 ; 25 ; 34. Somme : 168. Moyenne : 168 ÷ 7 = 24 ans. Aucun joueur n’a 24 ans : la moyenne n’est pas forcément une valeur de la série, mais elle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
Quatre relevés de température ont pour moyenne 15 °C ; trois d’entre eux valent 14 °C, 17 °C et 11 °C. Somme des quatre relevés : 15 × 4 = 60. Quatrième relevé : 60 − (14 + 17 + 11) = 60 − 42 = 18 °C.
Moyenne pondérée
Livres lus : (0 × 4 + 1 × 7 + 2 × 6 + 3 × 2 + 5 × 1) ÷ 20 = (0 + 7 + 12 + 6 + 5) ÷ 20 = 30 ÷ 20 = 1,5 livre par élève.
Bulletin : maths 13 (coefficient 3), français 11 (coefficient 3), EPS 16 (coefficient 1). (13 × 3 + 11 × 3 + 16 × 1) ÷ (3 + 3 + 1) = (39 + 33 + 16) ÷ 7 = 88 ÷ 7 ≈ 12,57. Sans les coefficients, on trouverait 40 ÷ 3 ≈ 13,33 : ce serait faux.
Réflexe — je repère les valeurs et leurs effectifs et je calcule l’effectif total ; fréquence = effectif ÷ effectif total ; moyenne pondérée = somme des (valeur × effectif) ÷ effectif total ; dès qu’une moyenne est donnée, je repasse par la somme : moyenne × N.
Attention — on divise par l’effectif total (20 élèves), jamais par le nombre de valeurs différentes (5). Ne confonds pas une valeur (2 livres) et son effectif (6 élèves) : dans le diagramme en barres, la hauteur d’une barre est un effectif.
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Médiane et étendue
• N impair : la médiane est la valeur du milieu, de rang (N + 1) ÷ 2.
• N pair : la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales, de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1.
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : étendue = valeur maximale − valeur minimale. Elle mesure la dispersion : plus elle est grande, plus les valeurs sont étalées.
Âges des 7 joueurs, rangés : 19 ; 20 ; 21 ; 23 ; 25 ; 26 ; 34. N = 7 est impair et (7 + 1) ÷ 2 = 4 : la médiane est la 4ᵉ valeur, 23 ans. Étendue : 34 − 19 = 15 ans.
Série rangée : 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 20 ; 24 ; 25 ; 29. N = 8 est pair : 4ᵉ et 5ᵉ valeurs. Médiane : (18 + 20) ÷ 2 = 19, qui n’est pas une valeur de la série. Étendue : 29 − 12 = 17.
Dans un tableau d’effectifs : les effectifs cumulés
Les valeurs d’un tableau sont déjà rangées. L’effectif cumulé d’une valeur est le nombre de données inférieures ou égales à cette valeur : il donne les rangs sans tout réécrire.
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 7 | 6 | 2 | 1 |
| Effectif cumulé | 4 | 11 | 17 | 19 | 20 |
N = 20 est pair : la médiane est la demi-somme des 10ᵉ et 11ᵉ valeurs. Les rangs 1 à 4 valent 0, les rangs 5 à 11 valent 1 : les 10ᵉ et 11ᵉ valeurs valent 1, la médiane est 1 livre. Au moins la moitié des élèves ont lu 1 livre ou moins.
Étendue : 5 − 0 = 5 livres. La moyenne (1,5 livre) est plus grande que la médiane : l’élève qui a lu 5 livres tire la moyenne vers le haut.
Une étendue nulle signifie que toutes les valeurs sont égales.
Réflexe — je range la série (un tableau l’est déjà), je compte N, je cherche le rang du milieu, ou les deux rangs centraux si N est pair, puis je lis la valeur, avec les effectifs cumulés dans un tableau ; étendue = max − min.
Attention — sans ranger la série, la « valeur du milieu » n’a aucun sens. Le rang (N + 1) ÷ 2 n’est pas la médiane, c’est sa position. Et l’étendue est une différence, pas la plus grande valeur.
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Regrouper en classes : l’histogramme
L’amplitude d’une classe est la différence entre ses bornes (9 − 8 = 1) ; son centre est le milieu des bornes ((8 + 9) ÷ 2 = 8,5).
Un histogramme représente une série regroupée en classes de même amplitude : chaque classe est représentée par un rectangle dont la base est la classe et dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif. Les rectangles sont accolés, car les classes se suivent sans trou.
Avec des classes, on ne connaît plus les valeurs exactes : on obtient une moyenne estimée en remplaçant chaque classe par son centre, et on peut seulement dire dans quelle classe se trouve la médiane.
Durée de sommeil, une nuit de semaine, de 50 élèves de 3ᵉ
| Durée (h) | [6 ; 7[ | [7 ; 8[ | [8 ; 9[ | [9 ; 10[ | [10 ; 11[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 14 | 18 | 9 | 3 | 50 |
| Centre | 6,5 | 7,5 | 8,5 | 9,5 | 10,5 |
Lire : le plus haut rectangle est celui de la classe [8 ; 9[ : 18 élèves dorment au moins 8 h et moins de 9 h.
Moins de 8 h : 6 + 14 = 20 élèves, soit 20 ÷ 50 = 0,4, c’est-à-dire 40 % des élèves.
Moyenne estimée : (6,5 × 6 + 7,5 × 14 + 8,5 × 18 + 9,5 × 9 + 10,5 × 3) ÷ 50 = (39 + 105 + 153 + 85,5 + 31,5) ÷ 50 = 414 ÷ 50 = 8,28 h. Comme 0,28 h = 16,8 min, les élèves dorment environ 8 h 17 min en moyenne.
Médiane : N = 50, on cherche les 25ᵉ et 26ᵉ valeurs. Effectifs cumulés : 6 ; 20 ; 38 ; 47 ; 50. Les rangs 21 à 38 sont dans la classe [8 ; 9[ : la médiane est comprise entre 8 h et 9 h.
Répartir des données en classes et tracer l’histogramme
Durées (en min) de 15 appels reçus par un standard : 3 ; 12 ; 7 ; 18 ; 4 ; 9 ; 14 ; 2 ; 11 ; 6 ; 16 ; 8 ; 13 ; 5 ; 10.
| Durée (min) | [0 ; 5[ | [5 ; 10[ | [10 ; 15[ | [15 ; 20[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 5 | 2 | 15 |
5 va dans la classe [5 ; 10[ et 10 dans la classe [10 ; 15[ : une valeur égale à une borne va dans la classe dont elle est la borne de gauche. Contrôle : 3 + 5 + 5 + 2 = 15 ✓
Pour tracer l’histogramme : sur l’axe horizontal, on place les bornes 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 régulièrement espacées ; sur l’axe vertical, les effectifs ; au-dessus de chaque classe, on dessine un rectangle de hauteur égale à son effectif (3, 5, 5 puis 2), les rectangles se touchant.
Réflexe — je lis les bornes sur l’axe et l’effectif sur la hauteur ; pour une moyenne estimée, je multiplie chaque centre par l’effectif de sa classe, j’additionne et je divise par N ; pour la médiane, je cherche la classe qui contient le ou les rangs du milieu.
Attention — la borne de droite n’est pas dans la classe ([8 ; 9[ ne contient pas 9). La moyenne calculée avec les centres est une valeur approchée : on écrit « environ ». Et dans un diagramme en barres, ou en bâtons (valeurs isolées, comme les livres), les barres sont séparées ; dans un histogramme, les rectangles sont accolés.
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Comparer deux séries et choisir un indicateur
Pour comparer deux séries, on donne un indicateur de position et un indicateur de dispersion, puis on conclut par une phrase.
Une valeur extrême, très éloignée des autres, tire la moyenne mais change peu ou pas la médiane : elle tire aussi l’étendue, qui ne dépend que de deux valeurs.
Si l’on ajoute un même nombre à toutes les valeurs, la moyenne et la médiane augmentent de ce nombre et l’étendue ne change pas. Si l’on multiplie toutes les valeurs par un même nombre positif, la moyenne, la médiane et l’étendue sont multipliées par ce nombre.
| Indicateur | Ce qu’il dit | Sa faiblesse |
|---|---|---|
| Moyenne | le niveau global, en tenant compte de toutes les valeurs | très sensible aux valeurs extrêmes |
| Médiane | la valeur du milieu : au moins la moitié en dessous, au moins la moitié au-dessus | ignore la taille des écarts |
| Étendue | l’étalement des données | ne dépend que de deux valeurs |
Deux pharmacies reçoivent en moyenne 11 clients par heure. À la pharmacie C, le nombre de clients par heure va de 7 à 18 (étendue 18 − 7 = 11) ; à la pharmacie D, de 9 à 13 (étendue 13 − 9 = 4). Même niveau moyen, mais l’affluence de la pharmacie D est bien plus régulière ; celle de la pharmacie C varie beaucoup d’une heure à l’autre.
Prix (en €) des 9 trottinettes d’un magasin : 180 ; 195 ; 210 ; 220 ; 230 ; 240 ; 250 ; 265 ; 1 190. Moyenne : 2 980 ÷ 9 = 331,11… ≈ 331 € ; médiane (5ᵉ valeur) : 230 €. Huit trottinettes sur neuf coûtent moins que la moyenne : la médiane décrit mieux le prix habituel, la moyenne est tirée vers le haut par un seul modèle.
Effet d’une transformation
Notes sur 10 : 2 ; 6 ; 7 ; 9. Moyenne 24 ÷ 4 = 6, médiane (6 + 7) ÷ 2 = 6,5, étendue 9 − 2 = 7. Converties sur 20 (multipliées par 2) : 4 ; 12 ; 14 ; 18. Moyenne 48 ÷ 4 = 12, médiane (12 + 14) ÷ 2 = 13, étendue 18 − 4 = 14 : les trois indicateurs sont multipliés par 2.
Avec un tableur
Si les notes d’une classe sont dans les cellules B2 à B21, on obtient la moyenne avec =MOYENNE(B2:B21), la médiane avec =MEDIANE(B2:B21) et l’étendue avec =MAX(B2:B21)-MIN(B2:B21). Au brevet, il faut savoir lire ces formules et retrouver leur résultat à la main.
Réflexe — pour comparer, je calcule pour chaque série la moyenne (ou la médiane) et l’étendue, puis j’écris une phrase : « même niveau moyen, mais la série … est plus homogène » ; s’il y a une valeur extrême, je préfère la médiane pour décrire une valeur habituelle.
Attention — deux séries de même moyenne ne sont pas pareilles pour autant : il faut regarder leur dispersion. Et un nombre seul ne suffit jamais : on interprète par une phrase.
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Pour aller plus loin
Liens — les bases vues en 4ᵉ : Statistiques : moyenne pondérée et médiane (4e). Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d’une issue se stabilise autour de sa probabilité : voir Probabilités.
- Fréquence = effectif ÷ effectif total ; angle d’un diagramme circulaire = fréquence × 360°. Moyenne = somme des valeurs ÷ N ; somme = moyenne × N.
- Moyenne pondérée : somme des (valeur × effectif) ÷ effectif total, ou somme des (note × coefficient) ÷ somme des coefficients.
- Médiane : on range ; N impair → valeur de rang (N + 1) ÷ 2 ; N pair → demi-somme des valeurs de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1 ; dans un tableau, on utilise les effectifs cumulés. Étendue = max − min.
- Histogramme : classes de même amplitude [a ; b[ (a compris, b exclu), rectangles accolés de hauteur proportionnelle à l’effectif ; moyenne estimée avec les centres des classes.
- Comparer deux séries : un indicateur de position (moyenne ou médiane) et l’étendue, puis une phrase. Une valeur extrême tire la moyenne, pas la médiane.
Questions fréquentes
Comment calculer une moyenne pondérée ?
On multiplie chaque valeur par son effectif (ou son coefficient), on additionne, puis on divise par l’effectif total (ou la somme des coefficients). Pour 20 élèves qui ont lu 0, 1, 2, 3 ou 5 livres, on divise par 20, pas par 5 : (0 × 4 + 1 × 7 + 2 × 6 + 3 × 2 + 5 × 1) ÷ 20 = 1,5 livre.
Comment trouver la médiane d’une série ?
On range la série dans l’ordre croissant. Si l’effectif total N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1) ÷ 2 ; s’il est pair, c’est la demi-somme des valeurs de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1 : pour 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 20 ; 24 ; 25 ; 29, la médiane est (18 + 20) ÷ 2 = 19. Dans un tableau, on utilise les effectifs cumulés.
À quoi sert l’étendue ?
L’étendue (plus grande valeur − plus petite valeur) mesure la dispersion d’une série. Deux pharmacies reçoivent en moyenne 11 clients par heure, l’une de 7 à 18 clients selon l’heure (étendue 11), l’autre de 9 à 13 (étendue 4) : l’affluence de la seconde est bien plus régulière.
Comment lire un histogramme et estimer une moyenne ?
Chaque rectangle représente une classe [a ; b[ (a compris, b exclu) et sa hauteur donne l’effectif de la classe. Pour estimer la moyenne, on remplace chaque classe par son centre : pour des durées de sommeil de 6 à 11 h chez 50 élèves, on trouve 414 ÷ 50 = 8,28 h environ.
Faut-il choisir la moyenne ou la médiane ?
Une valeur extrême tire la moyenne mais pas la médiane. Pour des prix de trottinettes de 180 € à 265 € plus un modèle à 1 190 €, la moyenne (environ 331 €) dépasse huit prix sur neuf, alors que la médiane (230 €) décrit le prix habituel. Pour comparer deux séries, on donne aussi l’étendue.
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