Comment calculer une moyenne en 3e ?

La moyenne d'une série s'obtient en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par le nombre de valeurs : $\overline{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$. Par exemple, la moyenne de $12$, $14$ et $16$ est $\dfrac{12 + 14 + 16}{3} = \dfrac{42}{3} = 14$. Quand certaines valeurs se répètent, on utilise la moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif avant de diviser par l'effectif total.

Quelle est la différence entre moyenne et médiane ?

La moyenne tient compte de toutes les valeurs et peut être tirée vers le haut ou le bas par une valeur extrême. La médiane est la valeur qui partage la série rangée dans l'ordre en deux moitiés de même effectif : la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, l'autre moitié supérieures ou égales. La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes, c'est pourquoi on l'utilise pour les salaires ou les prix.

Comment trouver la médiane d'une série ?

On range d'abord toutes les valeurs dans l'ordre croissant. Si l'effectif total $N$ est impair, la médiane est la valeur du milieu (en position $\dfrac{N+1}{2}$). Si $N$ est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales. Par exemple, pour $7$ valeurs, la médiane est la $4^\text{e}$ ; pour $8$ valeurs, c'est la moyenne de la $4^\text{e}$ et de la $5^\text{e}$.

Qu'est-ce que l'étendue d'une série statistique ?

L'étendue mesure la dispersion d'une série : c'est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Étendue $=$ valeur maximale $-$ valeur minimale. Par exemple, si les notes vont de $6$ à $18$, l'étendue est $18 - 6 = 12$. Une grande étendue signale des valeurs très dispersées.

Collège · 3ᵉ · Mathématiques

Statistiques : les indicateurs

Effectifs, fréquences, moyenne (simple et pondérée), médiane, étendue et lecture de graphiques (programme de 3e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en troisième sur « Statistiques : les indicateurs » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Série statistique, effectifs et fréquences, La moyenne d'une série, La moyenne pondérée, La médiane. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.

Série statistique, effectifs et fréquences

Définitions. Une série statistique est une liste de données (notes, tailles, réponses…). Pour une valeur, l'effectif est le nombre de fois où elle apparaît ; l'effectif total $N$ est le nombre total de données. La fréquence d'une valeur est $\dfrac{\text{effectif}}{N}$ ; on l'exprime en fraction, en décimal ou en pourcentage.

Exemple. Nombre de livres lus pendant l'été par $20$ élèves : $0$ livre ($4$ élèves), $1$ livre ($7$), $2$ livres ($6$), $3$ livres ($2$), $5$ livres ($1$). Effectif total $N = 4 + 7 + 6 + 2 + 1 = 20$. Fréquence de « $2$ livres » : $\dfrac{6}{20} = 0{,}3 = 30\,\%$.

Contrôle. La somme des effectifs vaut $N$ ; la somme des fréquences vaut $1$ (soit $100\,\%$). Si ce n'est pas le cas, une erreur s'est glissée dans le tableau.

La moyenne d'une série

Définition. La moyenne d'une série est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total : $$\text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{N}$$ Elle répond à la question : « si toutes les données étaient égales, combien vaudraient-elles ? »

Exemple. Âges des $7$ joueurs d'une équipe : $19$ ; $23$ ; $21$ ; $26$ ; $20$ ; $25$ ; $34$. Somme $= 168$, moyenne $= \dfrac{168}{7} = 24$ ans.

Propriétés. La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur, mais ce n'est pas forcément l'une des valeurs. Si l'on ajoute un même nombre à toutes les valeurs, la moyenne augmente de ce nombre. Somme des valeurs $=$ moyenne $\times N$ : c'est la clé pour retrouver une valeur manquante.

Valeur manquante. Trois notes : $11$, $13$, $9$ ; quelle note pour une moyenne de $12$ sur $4$ notes ? Somme voulue $= 12 \times 4 = 48$ ; il faut $48 - 33 = 15$.

La moyenne pondérée

Définition. Quand les valeurs sont données avec des effectifs (ou des coefficients), on calcule la moyenne pondérée : $$\text{moyenne} = \frac{\text{somme des (valeur} \times \text{effectif)}}{\text{somme des effectifs}}$$

Exemple — livres lus. $\dfrac{0 \times 4 + 1 \times 7 + 2 \times 6 + 3 \times 2 + 5 \times 1}{20} = \dfrac{30}{20} = 1{,}5$ livre par élève.

Exemple — bulletin. Maths $13$ (coef $3$), français $11$ (coef $3$), EPS $16$ (coef $1$) : $\dfrac{13 \times 3 + 11 \times 3 + 16 \times 1}{3 + 3 + 1} = \dfrac{88}{7} \approx 12{,}57$.

Attention ! On divise par la somme des effectifs (ou des coefficients), jamais par le nombre de valeurs différentes : $\dfrac{13 + 11 + 16}{3} = 13{,}33$ serait la moyenne simple, qui ignore les coefficients.

La médiane

Définition. La médiane d'une série rangée dans l'ordre croissant est une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié supérieures ou égales.

$N$ impair	La médiane est la valeur du milieu (la $\dfrac{N+1}{2}$-ième). Pour $7$ valeurs, c'est la $4$^e.
$N$ pair	On prend la moyenne des deux valeurs centrales (la $\dfrac{N}{2}$-ième et la suivante). Pour $8$ valeurs, la moyenne de la $4$^e et de la $5$^e.

Exemples. Âges rangés : $19$ ; $20$ ; $21$ ; $23$ ; $25$ ; $26$ ; $34$ → médiane $23$ ans. Série $12$ ; $15$ ; $15$ ; $18$ ; $20$ ; $24$ ; $25$ ; $29$ ($N = 8$) → médiane $\dfrac{18 + 20}{2} = 19$.

Attention ! Toujours ranger la série avant de chercher la médiane. Dans un tableau d'effectifs, on compte les effectifs cumulés pour repérer la position centrale.

L'étendue : mesurer la dispersion

Définition. L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : étendue $=$ max $-$ min. Elle mesure la dispersion : plus elle est grande, plus les valeurs sont étalées.

Exemples. Âges de $19$ à $34$ ans : étendue $= 34 - 19 = 15$ ans. Deux classes de même moyenne $11$ : la classe C a une étendue de $11$ (notes de $7$ à $18$), la classe D une étendue de $4$ (de $9$ à $13$) : la classe D est plus homogène.

Propriétés. Une étendue nulle signifie que toutes les valeurs sont égales. Ajouter un même nombre à toutes les valeurs ne change pas l'étendue.

Lire et interpréter un graphique

Les données sont souvent présentées par un graphique ; il faut savoir en extraire les effectifs pour calculer les indicateurs.

Diagramme en bâtons	Une barre par valeur, hauteur = effectif. On y lit la valeur la plus fréquente ($1$ livre) et on reconstitue le tableau.
Diagramme circulaire	L'angle d'un secteur est proportionnel à la fréquence : $360° \times$ fréquence. Une fréquence de $30\,\%$ occupe $108°$.
Histogramme	Valeurs regroupées en classes (tailles de $150$ à $160$ cm…) ; on calcule alors une moyenne approchée avec le centre des classes.

Exemple — camembert. Sur $120$ élèves, $42$ mangent à la cantine : fréquence $35\,\%$, angle $= 0{,}35 \times 360 = 126°$. Inversement, un secteur de $90°$ correspond à $\dfrac{90}{360} = 25\,\%$.

Méthode : choisir le bon indicateur

Indicateur	Ce qu'il dit	Sa faiblesse
Moyenne	le « niveau global », en tenant compte de toutes les valeurs	très sensible aux valeurs extrêmes
Médiane	la valeur « du milieu » : la moitié en dessous, la moitié au-dessus	ignore la taille des écarts
Étendue	l'étalement des données	ne dépend que de deux valeurs

Exemple — salaires. Dans une agence de $10$ personnes : $7$ salaires à $1\,700$ €, $2$ à $2\,300$ € et la directrice à $11\,000$ €. Moyenne $= \dfrac{27\,500}{10} = 2\,750$ € ; médiane $= 1\,700$ € (moyenne des $5$^e et $6$^e valeurs). La médiane décrit mieux le salaire « habituel » : la moyenne est tirée vers le haut par un seul salaire exceptionnel.

Au brevet, on demande souvent de comparer deux séries : même moyenne mais étendues différentes (homogénéité), ou moyenne et médiane très différentes (présence de valeurs extrêmes). Il faut toujours interpréter les nombres par une phrase.

En bref

Effectif = nombre d'apparitions ; fréquence = effectif ÷ $N$ (somme des fréquences $= 1$).
Moyenne = somme des valeurs ÷ $N$ ; pondérée : somme des (valeur × effectif) ÷ somme des effectifs. Somme = moyenne × $N$ pour retrouver une valeur manquante.
Médiane : ranger, puis valeur du milieu ($N$ impair) ou moyenne des deux valeurs centrales ($N$ pair).
Étendue = max − min : mesure la dispersion.
Camembert : angle $= 360° \times$ fréquence.
Moyenne sensible aux extrêmes, médiane non ; toujours conclure par une phrase.

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