À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Statistiques : les indicateurs » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Série statistique, effectifs et fréquences, La moyenne d'une série, La moyenne pondérée, La médiane. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Série statistique, effectifs et fréquences
2 · La moyenne d'une série
3 · La moyenne pondérée
4 · La médiane
5 · L'étendue : mesurer la dispersion
6 · Lire et interpréter un graphique
7 · Méthode : choisir le bon indicateur
1Série statistique, effectifs et fréquences
Faire des statistiques, c'est recueillir des données, les organiser, puis les résumer par quelques nombres clés appelés indicateurs.
Définitions. Le caractère étudié est ce qu'on observe (la taille, une note, une couleur…). Une valeur est un résultat possible du caractère. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. L'effectif total $N$ est le nombre total de données.
Définition. La fréquence d'une valeur est la part qu'elle représente dans le total : $$f = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total } N}.$$ C'est un nombre entre $0$ et $1$, souvent exprimé en pourcentage.
Exemple. Dans une classe de $25$ élèves, $10$ ont eu la note $12$. L'effectif de la valeur $12$ est $10$ et sa fréquence est $\dfrac{10}{25} = 0{,}4 = 40\,\%$.
| Note | $8$ | $10$ | $12$ | $15$ |
|---|
| Effectif | $5$ | $7$ | $10$ | $3$ |
Ce diagramme en barres montre la répartition des notes de cette classe :
Astuce. La somme de tous les effectifs vaut $N$, et la somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$ (soit $100\,\%$). C'est un bon moyen de vérifier ton tableau.
2La moyenne d'une série
La moyenne est l'indicateur le plus connu : elle répond à la question « si tout le monde avait la même valeur, laquelle serait-ce ? ».
Définition. La moyenne $\overline{x}$ d'une série de valeurs s'obtient en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par leur nombre : $$\overline{x} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}.$$
Exemple. Un élève a obtenu $11$, $14$, $9$, $16$ et $15$. Sa moyenne est $$\overline{x} = \dfrac{11 + 14 + 9 + 16 + 15}{5} = \dfrac{65}{5} = 13.$$
Attention ! On divise toujours par le nombre de valeurs, pas par le nombre de valeurs différentes. Si une note revient trois fois, elle compte trois fois dans la somme et dans le décompte.
Astuce. La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. Si tu trouves une moyenne en dehors de cet intervalle, c'est qu'il y a une erreur.
3La moyenne pondérée
Quand les valeurs se répètent ou n'ont pas le même poids (coefficient), on utilise la moyenne pondérée : c'est la situation la plus fréquente avec un tableau d'effectifs.
Définition. Pour des valeurs $x_1, x_2, \ldots$ d'effectifs (ou coefficients) $n_1, n_2, \ldots$, la moyenne pondérée est $$\overline{x} = \dfrac{n_1 \times x_1 + n_2 \times x_2 + \cdots}{n_1 + n_2 + \cdots}.$$ On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total.
Exemple — avec des effectifs. Reprenons le tableau de notes ($8$ : $5$ fois ; $10$ : $7$ fois ; $12$ : $10$ fois ; $15$ : $3$ fois), soit $N = 25$ élèves. $$\overline{x} = \dfrac{5 \times 8 + 7 \times 10 + 10 \times 12 + 3 \times 15}{25} = \dfrac{40 + 70 + 120 + 45}{25} = \dfrac{275}{25} = 11.$$
Exemple — avec des coefficients. Un trimestre : maths $14$ (coef $4$), français $11$ (coef $4$), sport $16$ (coef $2$). $$\overline{x} = \dfrac{4 \times 14 + 4 \times 11 + 2 \times 16}{4 + 4 + 2} = \dfrac{56 + 44 + 32}{10} = \dfrac{132}{10} = 13{,}2.$$
Astuce. Un coefficient élevé « attire » la moyenne vers la note correspondante. C'est pour cela qu'une bonne note dans une matière à fort coefficient pèse davantage.
4La médiane
La médiane partage la série en deux moitiés de même effectif. Contrairement à la moyenne, elle n'est presque pas influencée par une valeur extrême.
Définition. La médiane d'une série rangée dans l'ordre croissant est une valeur telle qu'au moins la moitié des données lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié supérieures ou égales.
Méthode. On range d'abord les valeurs dans l'ordre croissant, puis :
• si l'effectif total $N$ est impair, la médiane est la valeur du milieu (position $\dfrac{N+1}{2}$) ;
• si $N$ est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales.
Exemple — $N$ impair. Série rangée : $7 \; 9 \; 12 \; 14 \; 18$ ($N = 5$). La valeur du milieu est la $3^\text{e}$ : la médiane vaut $12$. Il y a deux valeurs avant et deux après.
Exemple — $N$ pair. Série rangée : $6 \; 8 \; 11 \; 13 \; 15 \; 19$ ($N = 6$). Les deux valeurs centrales sont la $3^\text{e}$ et la $4^\text{e}$ : $11$ et $13$. La médiane est $\dfrac{11 + 13}{2} = 12$.
Attention ! Il faut toujours ranger la série dans l'ordre avant de chercher la médiane. Sur une série non rangée, le « milieu » n'a aucun sens.
5L'étendue : mesurer la dispersion
Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais être très différentes : l'une regroupée, l'autre très étalée. L'étendue mesure cet écart.
Définition. L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $$\text{étendue} = x_{\max} - x_{\min}.$$ C'est un indicateur de dispersion : plus elle est grande, plus les valeurs sont étalées.
Exemple. Pour les notes $7, 9, 12, 14, 18$, la plus petite est $7$ et la plus grande $18$, donc l'étendue est $18 - 7 = 11$.
Exemple comparatif. Classe A : notes entre $9$ et $13$, étendue $= 4$ (notes regroupées). Classe B : notes entre $2$ et $20$, étendue $= 18$ (notes très dispersées). Les deux peuvent avoir la même moyenne de $11$.
Astuce. Pense « max moins min ». L'étendue ne renseigne que sur les extrêmes : elle ne dit rien sur la façon dont les valeurs se répartissent entre les deux.
6Lire et interpréter un graphique
Les données sont souvent présentées sous forme de graphiques. Savoir les lire et en tirer un indicateur fait partie du programme.
Les graphiques courants. Le diagramme en barres compare des effectifs ; le diagramme circulaire (camembert) montre des parts d'un tout ; le graphique en courbe suit une évolution dans le temps.
Exemple — courbe d'évolution. Voici les températures relevées à midi sur une semaine. On peut lire le maximum, le minimum, et calculer la moyenne.
Lecture. Maximum $= 20\,°\text{C}$ (vendredi), minimum $= 14\,°\text{C}$ (lundi). Étendue $= 20 - 14 = 6\,°\text{C}$. Moyenne $= \dfrac{14+16+15+18+20+19+17}{7} = \dfrac{119}{7} = 17\,°\text{C}$.
Camembert et fréquences. Sur un diagramme circulaire, l'angle d'un secteur est proportionnel à sa fréquence : $\text{angle} = f \times 360°$. Un secteur de $25\,\%$ occupe donc $0{,}25 \times 360° = 90°$.
Astuce. Avant de lire un graphique, repère toujours ce que représentent l'axe horizontal et l'axe vertical, ainsi que l'unité utilisée.
7Méthode : choisir le bon indicateur
Moyenne, médiane et étendue ne disent pas la même chose. Bien les choisir permet de décrire correctement une série.
| Indicateur | Ce qu'il mesure | Quand l'utiliser |
|---|
| Moyenne | La valeur « moyenne » de toute la série | Quand il n'y a pas de valeur extrême |
| Médiane | La valeur centrale qui coupe en deux | Quand il y a des valeurs extrêmes (salaires, prix) |
| Étendue | La dispersion (max $-$ min) | Pour comparer l'étalement de deux séries |
Exemple. Dans une entreprise, $9$ salariés gagnent $1\,800\,€$ et le patron $20\,000\,€$. La moyenne ($\approx 3\,620\,€$) est trompeuse : presque personne ne gagne autant. La médiane ($1\,800\,€$) décrit mieux le salaire « typique ».
Bon réflexe. Pour résumer une série, on donne souvent deux indicateurs : un de position (moyenne ou médiane) et un de dispersion (étendue). Ensemble, ils décrivent où se situent les données et à quel point elles sont étalées.
Astuce. Vérifie la cohérence : la moyenne et la médiane sont toujours comprises entre le minimum et le maximum, et l'étendue est toujours positive ou nulle.
★À retenir
En bref :
• Effectif $=$ nombre de fois où une valeur apparaît ; fréquence $= \dfrac{\text{effectif}}{N}$ (entre $0$ et $1$).
• Moyenne : $\overline{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$.
• Moyenne pondérée : $\overline{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots}{n_1 + n_2 + \cdots}$.
• Médiane : on range la série, puis on prend la valeur du milieu ($N$ impair) ou la demi-somme des deux centrales ($N$ pair).
• Étendue $= x_{\max} - x_{\min}$ : mesure la dispersion.
• On choisit la médiane plutôt que la moyenne quand il y a des valeurs extrêmes.