Moyenne, médiane, quartiles, étendue et dispersion
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Statistiques : les indicateurs » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vocabulaire : série, effectifs, fréquences, Le tableau d'effectifs et de fréquences, La moyenne (pondérée), La médiane. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Série, effectifs & fréquences
2 · Tableau d'effectifs et de fréquences
3 · La moyenne (pondérée)
4 · La médiane
5 · Les quartiles Q1 et Q3
6 · Étendue & écart interquartile
7 · Regrouper en classes
8 · Lire & comparer des séries
9 · Lire les diagrammes
1Vocabulaire : série, effectifs, fréquences
Une série statistique, c'est l'ensemble des résultats obtenus en observant un caractère sur une population. Par exemple : la note de chaque élève d'une classe, la pointure de chaque client, le nombre de frères et sœurs de chaque personne interrogée.
Définitions.
• L'effectif d'une valeur = le nombre de fois où cette valeur apparaît.
• L'effectif total N = le nombre total d'individus de la série (la somme de tous les effectifs).
• La fréquence d'une valeur = la part que cette valeur représente, exprimée par effectif de la valeureffectif total N.
On donne souvent une fréquence sous forme de fraction, de nombre décimal, ou de pourcentage (fréquence × 100).
Exemple. On demande à 20 élèves leur nombre de frères et sœurs. La valeur « 2 frères et sœurs » revient 6 fois.
Effectif de la valeur 2 : 6 · Effectif total : 20.
Fréquence : 620 = 0,3 = 30 %.
💡 La somme de toutes les fréquences vaut toujours 1 (soit 100 %). C'est un bon moyen de vérifier ses calculs.
⚠️ Ne confonds pas effectif (un nombre entier d'individus) et fréquence (une proportion, entre 0 et 1). « 6 élèves » est un effectif ; « 30 % des élèves » est une fréquence.
2Le tableau d'effectifs et de fréquences
Pour organiser une série, on remplit un tableau : une ligne pour les valeurs, une ligne pour les effectifs, une ligne pour les fréquences. La dernière colonne (le Total) sert à vérifier.
Série. Nombre de frères et sœurs de 20 élèves : 1·1·0·2·3·2·1·0·2·4·1·2·1·3·2·0·1·2·1·1.
Valeur (nb de frères/sœurs)
0
1
2
3
4
Total
Effectif
3
8
6
2
1
20
Fréquence
0,15
0,40
0,30
0,10
0,05
1
Fréquence (%)
15 %
40 %
30 %
10 %
5 %
100 %
Méthode pour remplir la ligne des fréquences
On divise chaque effectif par l'effectif total N = 20 :
Définition. La moyenne d'une série partage « équitablement » le total entre tous les individus. On l'obtient en faisant :
moyenne = somme de toutes les valeurseffectif total N
Quand une valeur se répète, on n'a pas besoin de tout réécrire : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par N. C'est la moyenne pondérée (« pondérée » = chaque valeur compte selon son poids, c'est-à-dire son effectif).
moyenne = (valeur₁ × effectif₁) + (valeur₂ × effectif₂) + …effectif total N
Étape 2 — on divise par N = 20 : moyenne = 3020 = 1,5.
En moyenne, ces élèves ont 1,5 frère ou sœur. Une moyenne peut être un nombre décimal, même si chaque valeur est un entier.
⚠️ Erreur classique : faire la moyenne des valeurs sans tenir compte des effectifs. Ici (0+1+2+3+4)÷5 = 2 serait FAUX : on oublierait que la valeur 1 revient 8 fois et pas la valeur 4.
💡 Moyenne d'une note sur des coefficients : c'est exactement une moyenne pondérée, où le « poids » est le coefficient. Ex. notes 12 (coef 1), 8 (coef 2), 15 (coef 3) → 12×1 + 8×2 + 15×31 + 2 + 3 = 736 ≈ 12,2.
4La médiane
Définition. La médiane est une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Avant tout calcul, on range la série dans l'ordre croissant.
Méthode : effectif total N
Si N est impair : la médiane est la valeur au milieu, c'est-à-dire la valeur de rang N + 12.
Si N est pair : il y a deux valeurs centrales (rangs N2 et N2 + 1). La médiane est leur moyenne (la « demi-somme »).
Exemple 1 (N impair). Série rangée : 4 · 7 · 8 · 11 · 15 · 16 · 20. Ici N = 7, le rang du milieu est 7+12 = 4. La 4ᵉ valeur est 11 → médiane = 11.
Vérif : 3 valeurs avant (4·7·8), 3 valeurs après (15·16·20).
Exemple 2 (N pair). Série rangée : 3 · 5 · 8 · 9 · 12 · 14. N = 6, les valeurs centrales sont aux rangs 3 et 4 : 8 et 9. Médiane = 8 + 92 = 8,5.
⚠️ La médiane peut être différente de la moyenne. Elle n'est presque pas sensible aux valeurs extrêmes : un seul résultat très grand fait bouger la moyenne, mais pas la médiane.
💡 Le rang N+12 ou les rangs N2 et N2+1 désignent une position dans la liste rangée, pas la valeur elle-même.
5Les quartiles Q1 et Q3
Définition. Les quartiles découpent la série rangée en quatre parts.
• Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur telle qu'au moins un quart (25 %) des valeurs lui soient inférieures ou égales.
• Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu'au moins trois quarts (75 %) des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Méthode du rang (niveau 3ᵉ)
Q1 : on calcule N4. Si le résultat est entier, Q1 est la valeur de ce rang ; sinon on prend le rang entier juste au-dessus (on arrondit à l'entier supérieur).
Exemple, rang non entier. N = 10. 104 = 2,5 → on monte au rang 3 : Q1 = 3ᵉ valeur. 304 = 7,5 → rang 8 : Q3 = 8ᵉ valeur.
💡 Repère utile : Q1 ≈ le « quart bas », la médiane ≈ le « milieu », Q3 ≈ le « quart haut ». On a toujours Q1 ≤ médiane ≤ Q3.
6Étendue & écart interquartile
Ces deux indicateurs mesurent comment les valeurs sont dispersées (regroupées ou éparpillées).
Étendue. C'est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
étendue = valeur maximale − valeur minimale
Écart interquartile. C'est la différence Q3 − Q1. Il mesure la dispersion des 50 % de valeurs centrales, en ignorant les extrêmes :
écart interquartile = Q3 − Q1
Exemple (série de la carte 5 : min 5, max 18, Q1 = 6, Q3 = 13).
Étendue = 18 − 5 = 13.
Écart interquartile = 13 − 6 = 7.
💡 Une petite étendue ou un petit écart interquartile = série homogène (valeurs proches). Un grand écart = série dispersée.
⚠️ L'étendue se laisse tromper par une seule valeur extrême. L'écart interquartile, lui, l'ignore : c'est un indicateur de dispersion plus « robuste ».
7Regrouper en classes
Quand les valeurs sont nombreuses et variées (tailles, durées, salaires…), on les regroupe en classes : des intervalles de même largeur, par exemple [150 ; 160[, [160 ; 170[…
Convention des crochets. La classe [160 ; 170[ contient toutes les valeurs x telles que 160 ≤ x < 170. Le crochet « [ » à gauche inclut 160 ; le crochet « [ » à droite exclut 170 (qui ira dans la classe suivante).
Exemple. Tailles (en cm) de 30 élèves regroupées :
Classe (taille en cm)
[150;160[
[160;170[
[170;180[
Total
Effectif
7
15
8
30
Centre de classe
155
165
175
—
Moyenne d'une série regroupée en classes
On ne connaît plus les valeurs exactes : on remplace chaque classe par son centre (la moyenne des deux bornes), puis on fait une moyenne pondérée.
⚠️ Avec des classes, la moyenne est approchée (≈), car on a remplacé chaque valeur réelle par le centre de sa classe.
💡 La classe modale est celle qui a le plus grand effectif : ici [160;170[ (15 élèves).
8Lire & comparer des séries
Les indicateurs servent surtout à comparer deux séries. On ne se contente pas d'un seul nombre : on croise position (moyenne, médiane) et dispersion (étendue, écart interquartile).
Indicateur
Ce qu'il indique
Type
Moyenne
le « niveau » général, sensible aux extrêmes
position
Médiane
la valeur centrale, robuste
position
Étendue
l'écart total max − min
dispersion
Écart interquartile
la dispersion des 50 % du centre
dispersion
Exemple. Deux classes ont la même moyenne de 12 à un contrôle.
• Classe A : notes resserrées autour de 12 (étendue 6) → résultats homogènes.
• Classe B : beaucoup de 5 et beaucoup de 18 (étendue 13) → résultats dispersés.
Même moyenne, mais des profils très différents : seule la dispersion le révèle.
💡 Méthode pour comparer : 1) compare une mesure de position (qui a le « centre » le plus haut ?), 2) compare une mesure de dispersion (qui est le plus régulier ?), 3) conclus par une phrase.
9Lire les diagrammes
Les données se présentent souvent sous forme de graphiques. Savoir les lire (retrouver un effectif) est aussi important que savoir les construire.
Diagramme en bâtons (ou en barres)
La hauteur de chaque bâton donne l'effectif (ou la fréquence) de la valeur. On lit la hauteur sur l'axe vertical.
Ici on relit la série des frères et sœurs : valeur 0 → 3 ; valeur 1 → 8 ; valeur 2 → 6 ; valeur 3 → 2 ; valeur 4 → 1.
Diagramme circulaire (camembert)
Chaque part représente une fréquence. L'angle d'une part est proportionnel à l'effectif :
angle = fréquence × 360° = effectifN × 360°
Exemple. Si une catégorie représente 30 % du total : angle = 0,30 × 360° = 108°. Le camembert entier fait 360° = 100 %.
💡 Récap du chapitre : effectif (combien de fois) · fréquence = effectif ÷ N · moyenne pondérée = somme(valeur×effectif) ÷ N · médiane = valeur centrale de la série rangée · Q1 au rang N⁄4, Q3 au rang 3N⁄4 (arrondis au-dessus) · étendue = max − min · écart interquartile = Q3 − Q1 · en classes, on prend le centre · pour comparer, on croise position et dispersion.