Statistiques : médiane, étendue et histogrammes

Rappels de 5e et de 4e (effectifs, fréquences, diagramme circulaire, moyenne, valeur manquante, moyenne pondérée), médiane d’une liste ou d’un tableau d’effectifs cumulés, étendue, regroupement en classes de même amplitude et histogramme (lecture, moyenne estimée avec les centres, classe de la médiane), comparaison de deux séries et choix d’un indicateur (valeur extrême, transformations, tableur).

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de statistiques : le bulletin de Mia avec ses coefficients, les moyens de transport de 150 élèves, les notes de Clémence, des températures d’hiver, l’histogramme des temps du cross du collège et les salaires d’une entreprise où la moyenne trompe.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère les données : liste, tableau d’effectifs, coefficients, diagramme ou histogramme. Je calcule l’effectif total.
Je choisis l’indicateur : fréquence (une part), moyenne (pondérée avec des effectifs ou des coefficients, estimée avec des classes), médiane (on range d’abord), étendue (la dispersion).
Je calcule sans oublier les effectifs ; si une moyenne est donnée, je repasse par la somme : moyenne × nombre de valeurs.
Je contrôle (fréquences qui font 1, moyenne entre le minimum et le maximum) et je réponds par une phrase, avec l’unité ; pour comparer, une position et une dispersion.

Problème 1 · Le bulletin de Mia★★★Facile

Notes de Mia au trimestre : maths

12, 5

(coefficient

4

), français

14

(coefficient

4

), histoire-géographie

9

(coefficient

2

), SVT

16

(coefficient

1

), anglais

11

(coefficient

3

1. Somme des coefficients :
$4 + 4 + 2 + 1 + 3 = 14$ .
2. Moyenne pondérée, arrondie au centième :
$(12, 5 \times 4 + 14 \times 4 + 9 \times 2 + 16 \times 1 + 11 \times 3) \div 14 = (50 + 56 + 18 + 16 + 33) \div 14 = 173 \div 14 = 12, 357 \dots \approx 12, 36$ .
3. Moyenne simple des cinq notes, sans les coefficients :
$(12, 5 + 14 + 9 + 16 + 11) \div 5 = 62, 5 \div 5 = 12, 5$ . Elle est plus haute : sans coefficients, le $16$ de SVT pèse $1$ sur $5$ , alors qu’avec les coefficients il ne pèse que $1$ sur $14$ .
4. Quelle note en histoire-géographie lui aurait donné exactement $13$ de moyenne, les autres notes restant les mêmes ?
Somme pondérée voulue : $13 \times 14 = 182$ . Il manque $182 - 173 = 9$ points, répartis sur le coefficient $2$ : $9 \div 2 = 4, 5$ points de plus. Note : $9 + 4, 5 = 13, 5$ .

Problème 2 · Les transports★★★Facile

Enquête auprès de

150

élèves sur leur moyen de transport :

45

viennent en bus,

30

à vélo,

60

à pied et

15

en voiture.

1. Fréquence des élèves qui viennent à pied, en pourcentage : %
$60 \div 150 = 0, 4$ , soit $40 %$ .
2. Angle du secteur « bus » dans un diagramme circulaire : °
$45 \div 150 = 0, 3$ et $0, 3 \times 360 = 108$ , donc $108 °$ .
3. Angle du secteur « voiture » : °
$15 \div 150 = 0, 1$ et $0, 1 \times 360 = 36$ , donc $36 °$ .
4. Dans un autre collège de $220$ élèves, les fréquences sont les mêmes. Combien d’élèves viennent à vélo ?
Fréquence du vélo : $30 \div 150 = 0, 2$ . Effectif = fréquence × effectif total : $0, 2 \times 220 = 44$ élèves.

Problème 3 · Les notes de Clémence★★★Moyen

En mathématiques, Clémence a obtenu ce trimestre :

8, 5

;

13

;

11, 5

;

16

;

9

;

14

1. Moyenne de Clémence :
$(8, 5 + 13 + 11, 5 + 16 + 9 + 14) \div 6 = 72 \div 6 = 12$ .
2. Étendue :
$16 - 8, 5 = 7, 5$ .
3. Médiane :
Rangées : $8, 5$ ; $9$ ; $11, 5$ ; $13$ ; $14$ ; $16$ . $N = 6$ : $(11, 5 + 13) \div 2 = 12, 25$ .
4. Quelle note au 7ᵉ devoir lui donnerait une moyenne de $12, 5$ ?
Somme voulue : $12, 5 \times 7 = 87, 5$ . Somme actuelle : $72$ . Note : $87, 5 - 72 = 15, 5$ .

Problème 4 · Températures d’hiver★★★Moyen

Températures relevées à 7 h pendant une semaine (en °C) :

- 2

;

1

;

3

;

- 4

;

0

;

2

;

5

1. Température moyenne, arrondie au centième : °C
$(- 2 + 1 + 3 - 4 + 0 + 2 + 5) \div 7 = 5 \div 7 = 0, 714 \dots \approx 0, 71$ °C.
2. Température médiane : °C
Rangées : $- 4$ ; $- 2$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $5$ . La 4ᵉ valeur est $1$ .
3. Étendue : °C
$5 - (- 4) = 5 + 4 = 9$ °C.
4. La semaine suivante, chaque relevé est supérieur de $3$ °C au relevé correspondant. Nouvelle moyenne, arrondie au centième : °C
Toutes les valeurs augmentent de $3$ : la moyenne aussi, $5 \div 7 + 3 = 26 \div 7 = 3, 714 \dots \approx 3, 71$ °C. La médiane devient $4$ °C ; l’étendue, elle, reste $9$ °C.

Problème 5 · Le cross du collège★★★Difficile

L’histogramme donne les temps des

80

élèves qui ont couru le cross du collège.

1. Combien d’élèves ont couru en moins de $14$ min ?
Classes $[10; 12 [$ et $[12; 14 [$ : $8 + 20 = 28$ élèves.
2. Pourcentage des élèves qui ont mis au moins $16$ min : %
Classes $[16; 18 [$ et $[18; 20 [$ : $16 + 8 = 24$ élèves. $24 \div 80 = 0, 3$ , soit $30 %$ .
3. Temps moyen estimé avec les centres des classes : min
Centres : $11$ ; $13$ ; $15$ ; $17$ ; $19$ . $(11 \times 8 + 13 \times 20 + 15 \times 28 + 17 \times 16 + 19 \times 8) \div 80 = (88 + 260 + 420 + 272 + 152) \div 80 = 1 192 \div 80 = 14, 9$ min, une valeur approchée.
4. Borne de gauche de la classe qui contient le temps médian :
$N = 80$ : 40ᵉ et 41ᵉ valeurs. Effectifs cumulés : $8$ ; $28$ ; $56$ . Les rangs 29 à 56 sont dans la classe $[14; 16 [$ : au moins la moitié des élèves ont couru en moins de $16$ min.

Problème 6 · Les salaires★★★Difficile

Une entreprise compte

13

personnes :

8

employés à

1 650

€,

3

techniciens à

2 100

€, un cadre à

4 800

€ et la patronne à

9 500

€ (salaires mensuels).

1. Salaire moyen : €
$(1 650 \times 8 + 2 100 \times 3 + 4 800 + 9 500) \div 13 = (13 200 + 6 300 + 4 800 + 9 500) \div 13 = 33 800 \div 13 = 2 600$ €.
2. Salaire médian : €
$N = 13$ : la 7ᵉ valeur. Les $8$ premières valeurs rangées sont des salaires d’employés : médiane $1 650$ €.
3. Combien de personnes gagnent moins que le salaire moyen ?
Seuls le cadre et la patronne gagnent plus de $2 600$ € : $13 - 2 = 11$ personnes.
4. La patronne double son salaire. Nouveau salaire moyen, arrondi à l’euro : €
La somme augmente de $9 500$ € : $(33 800 + 9 500) \div 13 = 43 300 \div 13 = 3 330, 76 \dots \approx 3 331$ €. La médiane, elle, reste $1 650$ € : c’est elle qui décrit le salaire habituel.

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