Les probabilités

On lance un dé équilibré à $12$ faces numérotées de $1$ à $12$ et on lit le nombre obtenu. Les probabilités sont attendues sous forme de fractions irréductibles.

1. Combien y a-t-il d'issues ? Pourquoi peut-on utiliser la formule « favorables ÷ total » ?
2. Calcule la probabilité d'obtenir un multiple de $4$, puis celle d'obtenir un nombre premier.
3. Calcule la probabilité de ne pas obtenir un multiple de $5$.
4. Donne un événement impossible et un événement certain pour cette expérience, avec leurs probabilités.

Le tableau donne le choix de menu des $240$ élèves de 6ᵉ et de 5ᵉ d'un collège un jour donné. On choisit un de ces élèves au hasard.

1. Calcule la probabilité que l'élève soit en 6ᵉ, puis la probabilité qu'il ait choisi le menu végétarien.
2. Calcule la probabilité que l'élève soit un élève de 5ᵉ ayant choisi le menu classique.
3. Calcule la probabilité que l'élève soit en 6ᵉ ou ait choisi le menu végétarien.
4. Un élève affirme que la réponse à la question précédente est ${\displaystyle \frac{120}{240}}+{\displaystyle \frac{75}{240}}={\displaystyle \frac{195}{240}}$. Explique son erreur.

Un sac contient $5$ jetons indiscernables au toucher : $3$ verts et $2$ orange. On tire un jeton, on note sa couleur, puis on tire un second jeton.

1. On remet le premier jeton dans le sac avant le second tirage. Construis l'arbre des probabilités et calcule la probabilité d'obtenir deux jetons verts.
2. Toujours avec remise, calcule la probabilité d'obtenir deux jetons de couleurs différentes.
3. On ne remet plus le premier jeton. Calcule la probabilité d'obtenir deux jetons verts. Compare avec la question 1.
4. Sans remise, calcule la probabilité d'obtenir au moins un jeton orange.

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. « Après cinq « Pile » consécutifs, on a plus de chances d'obtenir « Face » au lancer suivant. »
2. « Deux événements de probabilités $0,3$ et $0,8$ peuvent être incompatibles. »
3. « Une probabilité de ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ correspond à $37,5\%$. »
4. « Si l'on lance un dé $60$ fois, on obtiendra exactement $10$ fois le nombre $6$. »

À un stand, une partie coûte $2$ €. Le joueur lance un dé équilibré à six faces : s'il obtient $6$, il gagne un lot d'une valeur de $10$ € ; s'il obtient $5$, un lot de $3$ € ; sinon il ne gagne rien. Les organisateurs prévoient $600$ parties dans la journée.

1. Calcule la probabilité de gagner un lot lors d'une partie.
2. Combien de lots de $10$ € et de lots de $3$ € les organisateurs peuvent-ils prévoir sur $600$ parties ?
3. Compare la somme encaissée et la valeur totale des lots distribués. Le stand est-il rentable pour les organisateurs ?
4. Les organisateurs gardent le lot de $3$ € pour le $5$ et veulent que le stand ne perde pas d'argent. Quelle valeur maximale peuvent-ils donner au lot du $6$ ? Toute trace de recherche sera prise en compte.