Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Les probabilités
Expérience aléatoire, issues, événements, probabilité d'un événement, équiprobabilité, événement contraire et expériences à deux épreuves (programme de 3e)
Décrire une expérience aléatoire, calculer la probabilité d'un événement, utiliser le contraire, les événements incompatibles et un arbre à deux épreuves.
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Vocabulaire
- Expérience aléatoire : résultat imprévisible, issues connues.
- Issue : un résultat possible ; événement : ensemble d'issues.
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; certain → 1 ; impossible → 0 ; la somme des probabilités des issues vaut 1.
- Écritures : 3/8 = 0,375 = 37,5 %.
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Calculer une probabilité
- Équiprobabilité (dé équilibré, tirage au hasard) : P(A) = favorables ÷ total, fraction simplifiée.
- Sans équiprobabilité (dé truqué, punaise) : estimer par la fréquence sur un grand nombre d'essais.
- Nombre attendu = probabilité × nombre d'essais (prévision, pas certitude).
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Contraire et incompatibles
- Contraire : P(non A) = 1 − P(A). Raccourci pour « ne pas » et « au moins un » (1 − P(aucun)).
- Incompatibles (jamais ensemble) : P(A ou B) = P(A) + P(B).
- Sinon, retirer les issues communes : rouge ou figure = (26 + 12 − 6)/52.
- Contrôle : P(A) + P(B) > 1 ⟹ A et B ne sont pas incompatibles.
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Deux épreuves : arbre et tableau
- Arbre : sur chaque branche sa probabilité ; à chaque nœud, la somme vaut 1.
- Un chemin : on multiplie ses branches. Plusieurs chemins favorables : on additionne.
- Avec remise : mêmes branches aux deux niveaux. Sans remise : la seconde épreuve dépend de la première (3/5 × 2/4).
- Deux dés : tableau 6 × 6 = 36 issues ; P(somme 7) = 6/36 = 1/6.
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Pièges à éviter
- Oublier de simplifier la fraction.
- Additionner des événements qui ont des issues communes.
- Croire que le hasard « se rattrape » : après cinq Pile, P(Face) = 1/2.
- Confondre nombre attendu (10 fois sur 60) et résultat garanti.
- Utiliser favorables ÷ total sans équiprobabilité.
L'essentiel
- P(A) = favorables ÷ total en cas d'équiprobabilité ; toujours entre 0 et 1.
- P(contraire) = 1 − P(A) ; « au moins un » = 1 − P(aucun).
- Incompatibles : on additionne ; sinon on retire les issues communes.
- Arbre : multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins ; sans remise, la seconde épreuve change.
- Une fréquence sur beaucoup d'essais estime la probabilité ; le hasard n'a pas de mémoire.
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