Fiche de révision : les probabilités

Rappels de 5e et de 4e (issues, équiprobabilité, événement contraire, événements « et », « ou » et incompatibles, issues non équiprobables), fréquence et probabilité avec la simulation d’un grand nombre d’expériences, expériences à deux épreuves avec le tableau à double entrée et, en complément, l’arbre avec ou sans remise.

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Probabilités : expériences à deux épreuves

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Organisation et gestion de données · Probabilités)

La démarche pour calculer une probabilité

1. Je décris l’expérience. Une ou deux épreuves ? Je liste les issues (liste, tableau à double entrée, arbre) et je vérifie si elles ont la même probabilité.

2. Je traduis l’événement. « Ne pas » ou « au moins un » → le contraire ; « ou » → je cherche les issues communes ; peu d’essais ou beaucoup → fréquence et estimation.

3. Je calcule et je contrôle. Le résultat est entre $0$ et $1$ , la fraction est simplifiée, et je réponds par une phrase.

Le réflexe — favorables ÷ total seulement si les issues ont la même probabilité ; sinon, j’additionne les probabilités des issues.

Cas 1 · Rappels : équiprobabilité et événement contraire

Réflexe — je compte les issues favorables et le nombre total d’issues ; pour « ne pas », je fais $1 - P (A)$ .

Exemple 1. Une roue a $18$ secteurs égaux numérotés de $1$ à $18$ . Probabilité d’obtenir un nombre premier ?

Nombres premiers : $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , soit $7$ issues sur $18$ .

$P = \frac{7}{18}$ , qui ne se simplifie pas.

Exemple 2. $P (A) = 0, 62$ . Probabilité de l’événement contraire ?

$P (\overset{―}{A}) = 1 - 0, 62 = 0, 38$ .

Attention — le dénominateur est le nombre total d’issues, pas le nombre d’issues défavorables.

Cas 2 · Événements « et », « ou » et incompatibles

Réflexe — aucune issue commune → j’additionne les probabilités ; sinon je compte les issues de « $A$ ou $B$ » une seule fois.

Exemple 1. On choisit un entier au hasard de $1$ à $15$ . Probabilité de « multiple de $3$ ou multiple de $5$ » ?

Multiples de $3$ : $3$ , $6$ , $9$ , $12$ , $15$ ; de $5$ : $5$ , $10$ , $15$ . L’issue $15$ est commune.

$5 + 3 - 1 = 7$ issues : $P = \frac{7}{15}$ .

Exemple 2. $A$ et $B$ sont incompatibles, $P (A) = 0, 15$ et $P (B) = 0, 6$ . Probabilité de « ni $A$ ni $B$ » ?

$P (A ou B) = 0, 15 + 0, 6 = 0, 75$ ; « ni $A$ ni $B$ » est son contraire : $1 - 0, 75 = 0, 25$ .

Attention — additionner deux événements qui ont des issues communes les compte deux fois.

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Cas 3 · Issues non équiprobables, fréquence et simulation

Réflexe — sans équiprobabilité, j’additionne les probabilités des issues ; sur beaucoup d’essais, fréquence ≈ probabilité.

Exemple 1. Une roue a trois secteurs : $P (rouge) = 0, 45$ et $P (bleu) = 0, 3$ . $P (vert)$ ?

La somme vaut $1$ : $P (vert) = 1 - 0, 45 - 0, 3 = 0, 25$ .

Exemple 2. Sur $2 000$ lancers simulés d’un dé truqué, le $1$ sort $640$ fois. Estimer $P (1)$ , puis le nombre de $1$ sur $500$ lancers.

Fréquence : $\frac{640}{2 000} = 0, 32$ , donc $P (1) \approx 0, 32$ .

Sur $500$ lancers : $500 \times 0, 32 = 160$ fois environ.

Attention — une fréquence sur peu d’essais n’est pas la probabilité ; le hasard n’a pas de mémoire.

Cas 4 · Deux épreuves : le tableau à double entrée

Réflexe — une ligne par résultat de la première épreuve, une colonne par résultat de la seconde ; je compte les cases favorables.

Exemple. On lance deux fois un dé équilibré à $6$ faces. Probabilité d’obtenir deux nombres pairs ? au moins un nombre pair ?

$36$ cases ; deux pairs : $3 \times 3 = 9$ cases, $P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ .

Au moins un pair : contraire de « deux impairs » ( $9$ cases), $1 - \frac{9}{36} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ .

Attention — $(1; 2)$ et $(2; 1)$ sont deux cases différentes ; le nombre de cases est un produit.

Cas 5 · Deux épreuves : l’arbre (complément)

Réflexe — je multiplie le long d’un chemin, j’additionne les chemins ; sans remise, il reste un objet de moins.

Exemple. Une boîte contient $6$ crayons : $5$ bleus et $1$ rouge. On en prend deux, l’un après l’autre. Probabilité de deux bleus sans remise ? avec remise ?

Sans remise : $\frac{5}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ .

Avec remise : $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$ .

Attention — sans remise, la probabilité du second tirage change.

Les pièges

Diviser par le nombre d’issues défavorables : $7$ boules rouges sur $20$ , c’est $\frac{7}{20}$ , pas $\frac{7}{13}$ .
Additionner $P (A)$ et $P (B)$ alors que $A$ et $B$ ont des issues communes.
Utiliser favorables ÷ total avec un dé truqué ou une roue à secteurs inégaux.
Croire que le hasard « se rattrape », ou qu’une fréquence sur $20$ essais est la probabilité.
Regrouper $(1; 2)$ et $(2; 1)$ , ou compter $6 + 6$ issues au lieu de $6 \times 6$ pour deux dés.
Garder la même probabilité au second tirage alors qu’il est sans remise.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour calculer une probabilité en 3e : décrire l’expérience, traduire l’événement, calculer et contrôler. Un exemple corrigé par cas (nombre premier sur une roue, multiples de 3 ou de 5, simulation d’un dé truqué, deux lancers de dé, crayons tirés sans remise) et les pièges classiques.

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