Fiche de révision : statistiques, médiane, étendue et histogrammes

Rappels de 5e et de 4e (effectifs, fréquences, diagramme circulaire, moyenne, valeur manquante, moyenne pondérée), médiane d’une liste ou d’un tableau d’effectifs cumulés, étendue, regroupement en classes de même amplitude et histogramme (lecture, moyenne estimée avec les centres, classe de la médiane), comparaison de deux séries et choix d’un indicateur (valeur extrême, transformations, tableur).

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Statistiques : médiane, étendue et histogrammes

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Organisation et gestion de données)

La démarche pour étudier une série statistique

1. Je lis les données. Liste, tableau d’effectifs, diagramme en barres ou histogramme : je repère les valeurs (ou les classes) et leurs effectifs, et je calcule l’effectif total N.

2. Je choisis l’indicateur. Une part du total : la fréquence. Un niveau global : la moyenne (pondérée s’il y a des effectifs ou des coefficients, estimée s’il y a des classes). La valeur du milieu : la médiane. La dispersion : l’étendue.

3. Je calcule et je conclus par une phrase, avec l’unité, et je contrôle : fréquences qui font 1, moyenne entre la plus petite et la plus grande valeur.

Le réflexe — on divise par l’effectif total ; on range avant de chercher la médiane ; pour comparer deux séries, une position et une dispersion.

Cas 1 · Rappels : fréquences et moyennes

Réflexe — fréquence = effectif ÷ $N$ ; moyenne pondérée = somme des (valeur × effectif) ÷ $N$ ; somme = moyenne × $N$ .

Exemple 1. Valeurs $2$ ; $4$ ; $6$ d’effectifs $5$ ; $3$ ; $2$ . Fréquence de la valeur $4$ et moyenne ?

$N = 5 + 3 + 2 = 10$ . Fréquence de $4$ : $3 \div 10 = 0, 3$ , soit $30 %$ .

Moyenne : $(2 \times 5 + 4 \times 3 + 6 \times 2) \div 10 = (10 + 12 + 12) \div 10 = 34 \div 10 = 3, 4$ .

Exemple 2. Cinq valeurs ont pour moyenne $8$ ; quatre d’entre elles sont $6$ , $9$ , $10$ et $5$ . Quelle est la cinquième ?

Somme : $8 \times 5 = 40$ . Valeurs connues : $6 + 9 + 10 + 5 = 30$ . Cinquième valeur : $40 - 30 = 10$ .

Attention — diviser par le nombre de valeurs différentes au lieu de l’effectif total est faux.

Cas 2 · Médiane et étendue

Réflexe — je range ; $N$ impair → rang $(N + 1) \div 2$ ; $N$ pair → demi-somme des rangs $N \div 2$ et $N \div 2 + 1$ ; étendue = max − min.

Exemple 1. Médiane et étendue de $14$ ; $3$ ; $9$ ; $21$ ; $7$ ; $12$ .

Rangée : $3$ ; $7$ ; $9$ ; $12$ ; $14$ ; $21$ . $N = 6$ : 3ᵉ et 4ᵉ valeurs. Médiane : $(9 + 12) \div 2 = 10, 5$ .

Étendue : $21 - 3 = 18$ .

Exemple 2. Valeurs $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ d’effectifs $3$ ; $8$ ; $5$ ; $5$ . Médiane ?

$N = 21$ : rang $(21 + 1) \div 2 = 11$ . Effectifs cumulés : $3$ ; $11$ ; $16$ ; $21$ . Les rangs 4 à 11 valent $2$ : médiane $2$ .

Attention — ranger d’abord ; le rang n’est pas la médiane ; l’étendue est une différence.

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Cas 3 · Histogramme et classes

Réflexe — je lis l’effectif sur la hauteur ; moyenne estimée = somme des (centre × effectif) ÷ $N$ ; je cherche la classe qui contient les rangs du milieu.

Exemple. Classes $[0; 4 [$ , $[4; 8 [$ , $[8; 12 [$ d’effectifs $5$ , $10$ , $5$ . Moyenne estimée et classe de la médiane ?

Centres : $2$ ; $6$ ; $10$ . $N = 20$ . Moyenne estimée : $(2 \times 5 + 6 \times 10 + 10 \times 5) \div 20 = 120 \div 20 = 6$ .

Rangs 10 et 11 ; effectifs cumulés $5$ ; $15$ ; $20$ : la médiane est dans la classe $[4; 8 [$ .

Attention — la borne de droite est exclue ; la moyenne estimée est une valeur approchée.

Cas 4 · Comparer deux séries

Réflexe — pour chaque série : moyenne (ou médiane) et étendue, puis une phrase ; valeur extrême → médiane.

Exemple. Série A : $8$ ; $10$ ; $12$ . Série B : $1$ ; $10$ ; $19$ . Compare-les.

Même moyenne ( $30 \div 3 = 10$ ) et même médiane ( $10$ ).

Étendues : $12 - 8 = 4$ et $19 - 1 = 18$ : la série A est bien plus homogène.

Attention — même moyenne ne veut pas dire séries pareilles : regarder la dispersion.

Les pièges

Diviser par le nombre de valeurs différentes au lieu de l’effectif total dans une moyenne pondérée.
Prendre la valeur du milieu d’une série qui n’est pas rangée, ou confondre le rang de la médiane avec la médiane.
Placer une valeur égale à une borne dans la mauvaise classe : $10$ est dans $[10; 15 [$ , pas dans $[5; 10 [$ .
Utiliser une borne au lieu du centre pour la moyenne estimée, ou oublier qu’elle n’est qu’une valeur approchée de la vraie moyenne.
Comparer deux séries avec la moyenne seule, sans regarder l’étendue, et sans conclure par une phrase.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour étudier une série statistique : lire les valeurs ou les classes et leurs effectifs, choisir l’indicateur, calculer et conclure par une phrase. Un exemple corrigé par cas (moyenne pondérée et valeur manquante, médiane rangée ou par effectifs cumulés, moyenne estimée d’un histogramme, deux séries de même moyenne) et les pièges classiques.

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