À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Expérience aléatoire, issues et événements, La probabilité d'un événement, Le cas de l'équiprobabilité, Événement certain, impossible, contraire. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Expérience aléatoire, issues et événements
2 · La probabilité d'un événement
3 · Le cas de l'équiprobabilité
4 · Événement certain, impossible, contraire
5 · Réunion d'événements incompatibles
6 · Expériences à deux épreuves : l'arbre
7 · Méthode : résoudre un problème de probabilités
1Expérience aléatoire, issues et événements
Une probabilité mesure la chance qu'un résultat se produise. Avant de calculer, il faut bien décrire la situation avec le bon vocabulaire.
Définition. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir à l'avance lequel va se produire. Chaque résultat possible s'appelle une issue.
Exemple. Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire. Les issues possibles sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$ : il y en a $6$. On ne sait pas à l'avance quel chiffre va sortir.
Définition. Un événement est un ensemble d'issues qui répondent à une même condition. Un événement est réalisé quand l'issue obtenue fait partie de cet ensemble.
Exemple. Avec le dé, l'événement « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $2$, $4$ et $6$. Si on lance le dé et qu'on obtient $4$, l'événement « obtenir un nombre pair » est réalisé.
Astuce. Pour ne rien oublier, commence toujours par lister toutes les issues possibles de l'expérience : c'est la base de tous les calculs qui suivront.
2La probabilité d'un événement
À chaque événement, on associe un nombre qui mesure sa chance de se produire : sa probabilité.
Définition. La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure la chance que cet événement se réalise. On a toujours $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$.
Règle. La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience est égale à $1$.
Une probabilité peut s'écrire de trois façons équivalentes : en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.
| Fraction | Décimal | Pourcentage |
|---|
| $\dfrac{1}{2}$ | $0{,}5$ | $50\,\%$ |
| $\dfrac{1}{4}$ | $0{,}25$ | $25\,\%$ |
| $\dfrac{1}{5}$ | $0{,}2$ | $20\,\%$ |
L'axe ci-dessous situe une probabilité entre l'impossible ($0$) et le certain ($1$) :
Attention ! Une probabilité ne peut jamais être négative ni dépasser $1$. Si tu trouves $1{,}3$ ou $-0{,}2$, tu as fait une erreur de calcul.
3Le cas de l'équiprobabilité
Quand toutes les issues ont la même chance d'arriver, le calcul devient une simple division : c'est le cas le plus fréquent en 3e.
Définition. Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité d'apparaître. On parle alors de dé équilibré, de pièce non truquée, de tirage au hasard.
Règle (formule de l'équiprobabilité). Dans une situation d'équiprobabilité, $$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre d'issues possibles}}.$$
Exemple — un dé équilibré. Chaque face a la probabilité $\dfrac{1}{6}$. La probabilité d'obtenir un nombre pair est $$P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},$$ car il y a $3$ issues favorables ($2$, $4$, $6$) sur $6$ issues possibles.
Exemple — une urne. Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes, soit $8$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge au hasard est $P(\text{rouge}) = \dfrac{5}{8}$.
Le diagramme circulaire montre la répartition des chances pour cette urne :
Astuce. Pense à simplifier la fraction obtenue, comme $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. C'est souvent attendu dans la réponse.
4Événement certain, impossible, contraire
Certains événements ont une probabilité particulière, et chaque événement possède un « jumeau opposé ».
Définitions. Un événement certain se réalise à coup sûr : sa probabilité est $1$. Un événement impossible ne peut jamais se produire : sa probabilité est $0$.
Exemple. Avec un dé, « obtenir un nombre inférieur à $7$ » est certain ($P = 1$) ; « obtenir un $7$ » est impossible ($P = 0$).
Définition. L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est l'événement qui se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas.
Règle. Un événement et son contraire ont des probabilités qui se complètent à $1$ : $$P(\overline{A}) = 1 - P(A).$$
Exemple. Si la probabilité de tirer une boule rouge est $P(\text{rouge}) = \dfrac{5}{8}$, alors la probabilité de ne pas tirer de rouge est $$P(\overline{\text{rouge}}) = 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}.$$
Astuce. Quand un calcul direct est long (« au moins une fois… »), il est souvent bien plus rapide de passer par l'événement contraire et la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
5Réunion d'événements incompatibles
Parfois on veut la probabilité d'obtenir « ceci ou cela ». Si les deux ne peuvent pas arriver en même temps, on additionne.
Définition. Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : ils n'ont aucune issue en commun.
Règle. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, la probabilité d'obtenir « $A$ ou $B$ » est la somme de leurs probabilités : $$P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B).$$
Exemple. Avec un dé équilibré, « obtenir $1$ » et « obtenir $6$ » sont incompatibles. La probabilité d'obtenir $1$ ou $6$ est $$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$$
Attention ! On ne peut additionner que si les événements sont incompatibles. « Obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de $3$ » ne le sont pas : ils partagent l'issue $6$. Additionner $P$ donnerait un résultat faux.
Astuce. Vérifie toujours qu'aucune issue n'est comptée deux fois avant d'additionner des probabilités.
6Expériences à deux épreuves : l'arbre
Quand on réalise deux expériences à la suite (deux tirages, deux lancers…), on utilise un arbre des probabilités pour ne rien oublier.
Méthode. On dessine un arbre : chaque branche porte une probabilité. Pour obtenir la probabilité d'un chemin complet, on multiplie les probabilités rencontrées le long des branches.
Règle. Au départ d'un même nœud, la somme des probabilités des branches vaut toujours $1$.
Exemple — lancer deux fois une pièce équilibrée. À chaque lancer, $P(\text{Pile}) = P(\text{Face}) = \dfrac{1}{2}$. La probabilité d'obtenir « Pile puis Pile » est $$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}.$$ Il y a en tout $4$ chemins équiprobables : PP, PF, FP, FF.
L'arbre ci-dessous représente les deux lancers de la pièce :
Astuce. Pour la probabilité d'un seul chemin, on multiplie ; pour réunir plusieurs chemins favorables (incompatibles), on additionne ensuite leurs probabilités.
7Méthode : résoudre un problème de probabilités
Face à un énoncé, suis toujours les mêmes étapes pour ne pas te tromper.
| Étape | Ce que tu fais |
|---|
| 1. Lire | Identifier l'expérience aléatoire et l'événement demandé |
| 2. Compter | Dénombrer les issues possibles et les issues favorables |
| 3. Vérifier | S'assurer qu'on est en équiprobabilité (« au hasard ») |
| 4. Calculer | Appliquer $P = \dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$, puis simplifier |
| 5. Contrôler | Vérifier que $0 \leqslant P \leqslant 1$ |
Exemple complet. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Probabilité d'obtenir un cœur ? Il y a $8$ cœurs (favorables) sur $32$ cartes (possibles), donc $$P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}.$$ On vérifie : $\dfrac{1}{4}$ est bien entre $0$ et $1$.
Astuce. Pour « au moins un… » dans une expérience à deux épreuves, pense au contraire « aucun… » : c'est presque toujours plus court.
★À retenir
En bref :
• Une expérience aléatoire a plusieurs issues ; un événement est un ensemble d'issues.
• La probabilité $P(A)$ est un nombre entre $0$ et $1$ (impossible $= 0$, certain $= 1$).
• En équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$, puis on simplifie.
• Événement contraire : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
• Événements incompatibles : $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$.
• Deux épreuves : on dessine un arbre et on multiplie le long d'un chemin.