Comment calculer une probabilité en 3e ?

Dans une situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance d'arriver), la probabilité d'un événement se calcule avec la formule : $P = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$. Par exemple, la probabilité de tirer un roi dans un jeu de $32$ cartes est $\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$, car il y a $4$ rois pour $32$ cartes.

Quelle est la valeur d'une probabilité ?

Une probabilité est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$. Une probabilité de $0$ correspond à un événement impossible, et une probabilité de $1$ à un événement certain. On peut l'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : par exemple $\dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$.

Qu'est-ce qu'un événement contraire ?

L'événement contraire d'un événement $A$, noté $\overline{A}$, est l'événement qui se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas. Leurs probabilités sont liées par la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. Par exemple, si la probabilité qu'il pleuve est $0{,}3$, la probabilité qu'il ne pleuve pas est $1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

Comment utiliser un arbre des probabilités ?

Pour une expérience à deux épreuves (par exemple lancer deux fois un dé, ou tirer deux jetons), on construit un arbre : chaque branche représente une issue. On obtient la probabilité d'un chemin en multipliant les probabilités rencontrées le long des branches. Le total des probabilités au départ d'un même nœud vaut toujours $1$.

Collège · 3ᵉ · Mathématiques

Les probabilités

Expérience aléatoire, issues, événements, probabilité d'un événement, équiprobabilité, événement contraire et expériences à deux épreuves (programme de 3e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en troisième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Expérience aléatoire, issues et événements, La probabilité d'un événement, Le cas de l'équiprobabilité, Événement certain, impossible, contraire. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.

Expérience aléatoire, issues et événements

Définitions. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat (lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue). Chaque résultat possible est une issue. Un événement est un ensemble d'issues ; il est réalisé quand l'issue obtenue en fait partie.

Exemple. On lance un dé à $8$ faces numérotées de $1$ à $8$ : il y a $8$ issues. L'événement « obtenir un multiple de $3$ » est réalisé par les issues $3$ et $6$ ; l'événement « obtenir plus de $6$ » par $7$ et $8$.

Réflexe. Commence toujours par lister (ou compter) les issues : c'est le dénominateur de presque tous les calculs du chapitre.

La probabilité d'un événement

Définition. La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure la chance que $A$ se réalise. On l'écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage : $\dfrac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%$. La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.

Lien avec les fréquences. Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité. On peut donc estimer une probabilité inconnue par une fréquence.

Exemple. Un dé truqué lancé $400$ fois donne $130$ fois le $6$ : fréquence $\dfrac{130}{400} = 0{,}325$. On estime que $P(6) \approx 0{,}325$ ; sur $1\,000$ lancers, on attend environ $325$ fois le $6$.

Attention ! Une probabilité ne prédit pas un lancer particulier : après cinq « Pile » de suite, la probabilité d'obtenir « Face » est toujours $\dfrac{1}{2}$. La pièce n'a pas de mémoire.

Le cas de l'équiprobabilité

Définition. Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, pièce équilibrée, tirage « au hasard »). Alors $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$$

Exemples. Dé à $8$ faces : $P(\text{multiple de } 3) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$. Urne de $25$ boules dont $9$ rouges : $P(\text{rouge}) = \dfrac{9}{25} = 0{,}36$. Jeu de $52$ cartes : $P(\text{as}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$.

Attention ! Sans équiprobabilité, la formule est fausse : avec un dé truqué où $P(6) = \dfrac{1}{2}$, les cinq autres faces se partagent $\dfrac{1}{2}$, soit $\dfrac{1}{10}$ chacune. Et on simplifie toujours la fraction finale.

Événement certain, impossible, contraire

Définitions. Un événement certain a une probabilité $1$ (« obtenir un nombre inférieur à $9$ » avec un dé à $8$ faces). Un événement impossible a une probabilité $0$ (« obtenir $9$ »). L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est réalisé quand $A$ ne l'est pas : $$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

Exemples. Si $P(\text{pluie}) = 0{,}35$, alors $P(\text{pas de pluie}) = 0{,}65$. Dans un jeu de $52$ cartes, $P(\text{pas un pique}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

Le contraire, un raccourci. Pour « au moins un… », on calcule souvent la probabilité de « aucun » puis on soustrait de $1$ : avec deux dés, $P(\text{aucun six}) = \dfrac{25}{36}$ donc $P(\text{au moins un six}) = \dfrac{11}{36}$.

Réunion d'événements incompatibles

Définition. Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Dans ce cas : $$P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$$

Exemple. Urne : $4$ noires, $6$ blanches, $10$ grises ($20$ boules). « Noire » et « grise » sont incompatibles : $P(\text{noire ou grise}) = \dfrac{4}{20} + \dfrac{10}{20} = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}$.

Attention ! Si les événements peuvent se produire ensemble, on ne peut plus additionner : avec un jeu de $52$ cartes, « rouge » et « figure » ont en commun $6$ cartes ; $P(\text{rouge ou figure}) = \dfrac{26 + 12 - 6}{52} = \dfrac{32}{52} = \dfrac{8}{13}$, et non $\dfrac{38}{52}$. Autre contrôle : deux événements de probabilités $0{,}3$ et $0{,}8$ ne peuvent pas être incompatibles, car $0{,}3 + 0{,}8 \gt 1$.

Expériences à deux épreuves : l'arbre et le tableau

Arbre des probabilités. Pour deux épreuves successives, on dessine un arbre : chaque branche porte une probabilité, et la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$. La probabilité d'un chemin (une issue complète) est le produit des probabilités de ses branches.

Exemple — avec remise. Urne de $5$ boules : $4$ bleues, $1$ rouge. On tire une boule, on la remet, on en tire une seconde. $P(\text{bleue puis bleue}) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{16}{25}$. $P(\text{une de chaque couleur}) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{25}$ (deux chemins).

Exemple — sans remise. Même urne, mais on ne remet pas la première boule : au second tirage il reste $4$ boules. $P(\text{bleue puis bleue}) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$. Les probabilités de la seconde épreuve dépendent du premier tirage.

Tableau à double entrée. Pour deux dés, un tableau $6 \times 6$ liste les $36$ issues équiprobables. $P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ ; $P(\text{double}) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ ; $P(\text{somme} = 1) = 0$.

Méthode : résoudre un problème de probabilités

1. Décrire	l'expérience et compter les issues ; vérifier s'il y a équiprobabilité.
2. Traduire	l'événement en issues favorables (liste, tableau, arbre).
3. Calculer	favorables ÷ total ; contraire ($1 - P$) pour « ne pas » ou « au moins un » ; somme pour « ou » incompatibles ; produit le long d'un chemin.
4. Vérifier	le résultat est entre $0$ et $1$, la fraction est simplifiée, la réponse est une phrase.

Exemple — tableau à double entrée. Une bibliothèque de classe contient $80$ livres : $25$ romans en français, $15$ romans en langue étrangère, $30$ BD en français, $10$ BD en langue étrangère. On choisit un livre au hasard. $P(\text{roman}) = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$ ; $P(\text{BD en langue étrangère}) = \dfrac{10}{80} = \dfrac{1}{8}$ ; $P(\text{roman ou en français}) = \dfrac{25 + 15 + 30}{80} = \dfrac{7}{8}$ (on ne compte pas deux fois les romans en français).

En bref

Issue = résultat possible ; événement = ensemble d'issues ; $0 \leq P(A) \leq 1$ ; la somme des probabilités des issues vaut $1$.
Équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$, fraction simplifiée.
Contraire : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ; raccourci pour « au moins un ».
Incompatibles : $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$.
Deux épreuves : arbre (produit le long d'un chemin, somme des chemins favorables) ; sans remise, la seconde épreuve change.
Une fréquence sur un grand nombre d'essais estime une probabilité ; le hasard n'a pas de mémoire.

Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs