Probabilités : expériences à deux épreuves

Ce chapitre reprend tout ce qui a été vu en 5ᵉ et en 4ᵉ sur le hasard, avec de nouveaux exemples, puis le prolonge : simulation d’un grand nombre d’expériences et expériences à deux épreuves.

Passer par le contraire

Devant « ne pas… », « aucun… », ou quand les issues favorables sont nombreuses, on calcule la probabilité du contraire. Avec le dé à 20 faces, « obtenir au moins 5 » a pour contraire « obtenir au plus 4 » (issues 1, 2, 3 et 4) : $P(\text{au moins }5)=1-{\displaystyle \frac{4}{20}}={\displaystyle \frac{16}{20}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Réflexe — je vérifie que les issues ont la même probabilité, je compte les issues favorables et le nombre total d’issues, puis je simplifie ; devant « ne pas » ou « aucun », je calcule le contraire et je fais 1 moins sa probabilité.

Attention — le dénominateur est le nombre total d’issues : 9 boules rouges sur 25, c’est ${\displaystyle \frac{9}{25}}$, pas ${\displaystyle \frac{9}{16}}$ (9 rouges contre 16 autres). Le contraire de « au moins 5 » est « au plus 4 », pas « au plus 5 ». Une probabilité négative ou supérieure à 1 cache une erreur.

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Lire un tableau d’effectifs

Une bibliothèque de classe contient 80 livres. On en choisit un au hasard.

Une formule pour « ou » (complément)

En comptant les issues de « $A$ ou $B$ », on ajoute celles de $A$ et celles de $B$, puis on retire les issues communes, comptées deux fois : $P(A\text{ ou }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ et }B)$. Avec les cartes : ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{13}}-{\displaystyle \frac{3}{26}}={\displaystyle \frac{13}{26}}+{\displaystyle \frac{6}{26}}-{\displaystyle \frac{3}{26}}$, soit ${\displaystyle \frac{16}{26}}={\displaystyle \frac{8}{13}}$. Cette formule figure dans le nouveau programme de 3ᵉ, appliqué à la rentrée 2028 ; compter les issues reste toujours possible.

Réflexe — je cherche une issue commune : aucune, les événements sont incompatibles et j’additionne ; au moins une, je compte les issues de « $A$ ou $B$ » sans compter deux fois les issues communes.

Attention — en mathématiques, « ou » n’exclut pas les deux à la fois : le roi de cœur réalise « rouge ou figure ». Deux événements contraires sont toujours incompatibles, mais deux événements incompatibles ne sont pas toujours contraires : « noire » et « grise » laissent de côté les boules blanches.

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Une simulation au tableur

Lina simule un dé équilibré avec =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) et compte les 6 obtenus.

Réflexe — je me demande d’abord si les issues ont la même probabilité ; sinon, j’additionne les probabilités des issues. Une fréquence ne sert d’estimation de la probabilité que sur un grand nombre d’essais, réels ou simulés.

Attention — une fréquence calculée sur 10 essais n’est pas une probabilité : la simulation de Lina a donné 0,3. Un nombre attendu (environ 325 fois) est un ordre de grandeur, pas un résultat garanti.

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On lance deux dés équilibrés à 6 faces, un rouge et un bleu, et l’on note le plus grand des deux nombres (le nombre commun pour un double). Dans le tableau, les lignes donnent le dé rouge et les colonnes le dé bleu.

L’ordre compte : l’erreur de d’Alembert

On lance deux fois une pièce équilibrée. Le tableau a $2\times 2=4$ cases : (P ; P), (P ; F), (F ; P) et (F ; F). « Obtenir une fois pile et une fois face » correspond à deux cases, (P ; F) et (F ; P) : $P={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, et non ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. « Obtenir au moins une fois face » : 3 cases sur 4, soit ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

En 1754, dans l’article « Croix ou pile » de l’Encyclopédie, le mathématicien d’Alembert a soutenu que la probabilité d’amener « croix » (l’une des faces) au moins une fois en deux lancers valait ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ : il ne comptait que trois cas (croix au premier lancer ; pile puis croix ; pile puis pile), qui n’ont pas la même probabilité. Avec les quatre couples équiprobables, on trouve ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Réflexe — je dessine le tableau (lignes : première épreuve, colonnes : seconde), je vérifie que les cases ont la même probabilité, puis je compte les cases favorables ; pour « au moins un », je compte les cases du contraire.

Attention — (2 ; 5) et (5 ; 2) sont deux issues différentes : les regrouper donne des issues qui n’ont plus la même probabilité, comme chez d’Alembert. Le nombre d’issues est un produit ($6\times 6=36$), pas une somme ($6+6$).

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Complément (hors programme de 3ᵉ) — le programme de 3ᵉ fait traiter les expériences à deux épreuves avec un tableau à double entrée ; l’arbre de probabilités n’y figure pas. Il est pourtant très pratique, en particulier pour les tirages sans remise, et on le retrouve au lycée.

Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 4 bleues (B) et 1 rouge (R). On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on en tire une seconde.

Réflexe — j’écris sur chaque branche sa probabilité en me demandant combien d’objets il reste ; je multiplie le long d’un chemin, puis j’additionne les chemins qui réalisent l’événement.

Attention — sans remise, la seconde branche change : ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ et non ${\displaystyle \frac{4}{5}}$. Et l’on ne multiplie pas deux chemins entre eux : on additionne leurs probabilités.

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