Arbres, tableaux et calculs · Cours, exercices, QCM & évaluation
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Expérience aléatoire, issues et événements, Probabilité d'un événement, Situations d'équiprobabilité, L'événement contraire. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Expérience aléatoire, issues et événements
2 · Probabilité d'un événement (de 0 à 1)
3 · Situations d'équiprobabilité
4 · L'événement contraire
5 · Fréquences et probabilités
6 · Deux épreuves : le tableau à double entrée
7 · Deux épreuves : l'arbre de probabilités
8 · Probabilité le long d'un chemin
9 · Méthode complète + récapitulatif
1Expérience aléatoire, issues et événements
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais sans pouvoir prévoir à l'avance lequel va se produire. Le mot « aléatoire » vient du latin alea, qui signifie « dé ».
Vocabulaire.
Un résultat possible s'appelle une issue (ou une éventualité).
L'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers.
Un événement est un ou plusieurs résultats qui nous intéressent.
Exemple. On lance un dé à 6 faces. Les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'événement « obtenir un nombre pair » est constitué des issues 2, 4 et 6.
Un événement qui ne se réalise jamais est impossible (ex. « obtenir 7 » avec un dé à 6 faces).
Un événement qui se réalise toujours est certain (ex. « obtenir un nombre entre 1 et 6 »).
Un événement formé d'une seule issue est un événement élémentaire.
💡 Quelques expériences aléatoires classiques au brevet : lancer un dé, lancer une pièce, tirer une boule dans une urne, tirer une carte, faire tourner une roue de loterie.
2Probabilité d'un événement
Définition. La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure la « chance » qu'il a de se produire. C'est un nombre compris entre 0 et 1.
Une probabilité de 0 correspond à un événement impossible.
Une probabilité de 1 correspond à un événement certain.
Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement a de chances de se produire.
On peut écrire une probabilité sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage :
Exemple.12 = 0,5 = 50 %. On note souvent la probabilité d'un événement A par P(A).
⚠️ Une probabilité ne peut jamais être négative ni plus grande que 1. Un résultat comme « P = 1,4 » ou « P = −0,2 » est forcément faux : c'est un signal d'erreur de calcul.
3Situations d'équiprobabilité
Définition. Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se produire. On parle alors d'une situation « équitable » : dé non truqué, pièce bien équilibrée, boules indiscernables au toucher…
Dans ce cas, on calcule la probabilité avec une formule simple :
P(événement) = nombre d'issues favorablesnombre d'issues possibles
Une issue est favorable si elle réalise l'événement que l'on étudie.
Exemple 1. On lance un dé non truqué. Probabilité d'obtenir un 5 : une seule issue favorable (le 5), six issues possibles → P = 16.
Exemple 2. Probabilité d'obtenir un nombre pair : issues favorables 2, 4, 6 (soit 3), six possibles → P = 36 = 12.
Méthode pas-à-pas
Pour calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité :
1. Compter le nombre total d'issues possibles (le dénominateur).
2. Compter le nombre d'issues favorables à l'événement (le numérateur).
3. Écrire la fraction, puis la simplifier si possible.
💡 Pense à toujours simplifier ta fraction : 410 s'écrit mieux 25. La réponse reste juste, mais elle est plus claire.
4L'événement contraire
Définition. L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui se réalise exactement quand A ne se réalise pas. On le note « non A » (ou Ā).
Comme A est réalisé, ou bien ne l'est pas, les deux probabilités se complètent toujours jusqu'à 1 :
P(A) + P(non A) = 1 donc P(non A) = 1 − P(A)
Exemple. Avec un dé, P(obtenir 6) = 16. Donc P(ne pas obtenir 6) = 1 − 16 = 66 − 16 = 56.
💡 L'événement contraire est une arme de calcul très efficace. Quand un énoncé demande « au moins un… », il est souvent plus rapide de calculer le contraire « aucun… » puis de faire 1 − ce résultat.
⚠️ Le contraire de « obtenir au moins 2 » n'est pas « obtenir au plus 2 », mais « obtenir au plus 1 » (c'est-à-dire « moins de 2 »). Attention au vocabulaire « au moins / au plus ».
5Fréquences et probabilités
Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'apparition d'un résultat se rapproche de sa probabilité. C'est la loi des grands nombres.
Fréquence. La fréquence d'un résultat = nombre de fois où il apparaîtnombre total d'essais. C'est un nombre observé après l'expérience.
La probabilité se calcule avant (théorie), la fréquence se mesure après (observation).
Plus le nombre d'essais est grand, plus la fréquence se stabilise autour de la probabilité.
Exemple. On lance une pièce 1000 fois et on obtient 503 fois « pile ». La fréquence de pile est 5031000 = 0,503, très proche de la probabilité théorique 0,5.
💡 La fréquence permet d'estimer une probabilité quand on ne connaît pas la situation (dé peut-être truqué, punaise qui tombe sur le dos ou la pointe…). On dit qu'on l'estime « par l'expérience ».
6Deux épreuves : le tableau à double entrée
Beaucoup d'expériences se font en deux étapes (deux épreuves) : lancer deux dés, tirer deux boules, lancer une pièce puis un dé… Pour ne pas oublier d'issue, on les organise dans un tableau à double entrée.
On place les résultats de la 1re épreuve en lignes et ceux de la 2e épreuve en colonnes. Chaque case est une issue de l'expérience complète.
Exemple. On lance deux dés et on s'intéresse à la somme des deux faces. Le tableau ci-dessous donne, dans chaque case, la somme obtenue.
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Il y a 36 cases, donc 36 issues équiprobables. On lit alors directement les probabilités :
P(somme = 7) = 636 = 16 (la diagonale de 7).
P(somme = 12) = 136 (une seule case : 6 et 6).
P(somme = 2) = 136 (une seule case : 1 et 1).
💡 Le tableau est idéal quand chaque épreuve a peu de résultats et qu'on veut les compter. On compte simplement les cases favorables sur le nombre total de cases.
7Deux épreuves : l'arbre de probabilités
L'arbre de probabilités est l'autre outil pour les expériences à deux épreuves. On part d'un point, et chaque branche mène à un résultat possible. Au bout de chaque branche, on écrit sa probabilité.
Exemple. Une urne contient 3 boules Rouges et 2 boules Vertes. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on en tire une seconde. À chaque tirage : P(R) = 35 et P(V) = 25.
Comment lire un arbre.
Le 1er niveau de branches = la 1re épreuve.
Le 2e niveau = la 2e épreuve, pour chaque cas précédent.
Un chemin complet (de la racine au bout) correspond à une issue de l'expérience à deux épreuves.
💡 L'arbre est préférable au tableau quand les épreuves n'ont pas la même probabilité (urne avec des couleurs en nombres différents), ou quand on enchaîne des étapes.
8Probabilité le long d'un chemin
Règle (le produit). La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Reprenons l'urne (3 R, 2 V, avec remise). On calcule la probabilité de chaque chemin :
P(R puis R) = 35 × 35 = 925
P(R puis V) = 35 × 25 = 625
P(V puis R) = 25 × 35 = 625
P(V puis V) = 25 × 25 = 425
Règle (la somme). Quand un événement est réalisé par plusieurs chemins différents, on additionne les probabilités de ces chemins.
Exemple. P(obtenir une boule de chaque couleur) = P(R,V) + P(V,R) = 625 + 625 = 1225.
💡 Vérification. La somme des probabilités de tous les chemins doit valoir 1 : 925 + 625 + 625 + 425 = 2525 = 1. Si tu ne tombes pas sur 1, il y a une erreur.
⚠️ Avec remise ≠ sans remise. Si on ne remet pas la boule, l'urne change entre les deux tirages : au 2e tirage il ne reste que 4 boules, donc les probabilités du 2e niveau de l'arbre sont différentes. Lis bien l'énoncé !
9Méthode complète + récapitulatif
Méthode générale (deux épreuves)
1. Repère s'il y a une ou deux épreuves, et si c'est avec ou sans remise.
2. Construis l'outil adapté : tableau (issues à compter, mêmes chances) ou arbre (probabilités différentes, étapes).
3.Multiplie le long d'un chemin ; additionne les chemins qui conviennent.
4.Simplifie la fraction et vérifie (résultat entre 0 et 1, somme totale = 1).
Le tableau qui résume tout
Situation
Outil / formule
Ce qu'on fait
Une épreuve, équiprobable
favorables ÷ possibles
compter et simplifier
Contraire d'un événement
P(non A) = 1 − P(A)
soustraire à 1
Deux épreuves à compter
tableau à double entrée
cases favorables ÷ total
Le long d'un chemin
on multiplie
×
Plusieurs chemins
on additionne
+
🎓 Récap express : probabilité = nombre entre 0 et 1 · équiprobabilité → favorables sur possibles · contraire → 1 − P(A) · fréquence ≈ probabilité quand on répète beaucoup · deux épreuves → tableau ou arbre · le long d'un chemin on multiplie · plusieurs chemins on additionne · la somme de tous les chemins vaut 1.