Devoir surveillé : Second degré : forme canonique, équations, signe du trinôme et inéquations

1. a)$a=2$, $b=1$, $c=-6$ : $\Delta =1^2-4\times 2\times (-6)=1+48=49=7^2>0$. Deux solutions : $x_1={\displaystyle \frac{-1-7}{4}}=-2$ et $x_2={\displaystyle \frac{-1+7}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. $\mathcal{S}=\{-2;{\displaystyle \frac{3}{2}}\}$. (1 pt) (1)
2. b)$\Delta =(-12{)}^2-4\times 4\times 9=144-144=0$ : une seule solution $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}={\displaystyle \frac{12}{8}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. D'ailleurs $4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2$. $\mathcal{S}=\left\{{\displaystyle \frac{3}{2}}\right\}$. (1 pt) (1)
3. c)$\Delta =2^2-4\times (-1)\times (-5)=4-20=-16<0$ : le trinôme ne s'annule pas et garde le signe de $a=-1$. Donc $-x^2+2x-5<0$ pour tout réel $x$. (1 pt) (1)
4. d)$x^2-7x=x(x-7)$, trinôme de racines $0$ et $7$, avec $a=1>0$ : il est négatif ou nul entre les racines. $\mathcal{S}=[0;7]$. (1 pt) (1)
5. e)$\Delta =1+48=49$ ; racines ${\displaystyle \frac{-1-7}{2}}=-4$ et ${\displaystyle \frac{-1+7}{2}}=3$. Avec $a=1>0$, le trinôme est strictement positif à l'extérieur des racines : $\mathcal{S}=]-\infty ;-4[\cup ]3;+\infty [$. (1 pt) (1)

Méthode — Pour une inéquation du second degré, on cherche d'abord les racines, puis on applique la règle : signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles.

1. a)Énoncé : on travaille avec $a=2$, $b=-8$, $c=6$. (0 pt) (1)
2. b)$2(x-2{)}^2-2=2(x^2-4x+4)-2=2x^2-8x+8-2=2x^2-8x+6=f(x)$. (1 pt) (1)
3. c)Forme $a(x-\alpha {)}^2+\beta$ avec $a=2>0$, $\alpha =2$, $\beta =-2$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty ;2]$ et croissante sur $[2;+\infty [$. Elle admet un minimum égal à $-2$, atteint en $x=2$. (1,5 pt) (1)
4. d)$f(x)=0⟺2(x-2{)}^2=2⟺(x-2{)}^2=1⟺x-2=1$ ou $x-2=-1⟺x=3$ ou $x=1$. $\mathcal{S}=\{1;3\}$. (1 pt) (1)
5. e)Les racines sont $1$ et $3$, donc $f(x)=2(x-1)(x-3)$. Comme $a=2>0$, $f(x)<0$ strictement entre les racines : $\mathcal{S}=]1;3[$. (1,5 pt) (1)

Astuce — Quand la forme canonique est déjà connue, isoler le carré $(x-\alpha {)}^2$ donne les racines plus vite que le discriminant.

1. a)Énoncé : $a=5$, $b=-2$, $c=-3$. (0 pt) (0,833333)
2. b)$g(1)=5\times 1^2-2\times 1-3=5-2-3=0$ : $1$ est bien une racine. (1 pt) (0,833333)
3. c)Le produit des racines vaut ${\displaystyle \frac{c}{a}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$. Avec $x_1=1$, on obtient $x_2=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$. Contrôle : $x_1+x_2=1-{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{2}{5}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. (1 pt) (0,833333)
4. d)$g(x)=5(x-1)(x+{\displaystyle \frac{3}{5}})=(x-1)(5x+3)$. (1 pt) (0,833333)
5. e)$a=5>0$ : $g(x)$ est positif ou nul à l'extérieur des racines (racines incluses). $\mathcal{S}=]-\infty ;-{\displaystyle \frac{3}{5}}]\cup [1;+\infty [$. (1 pt) (0,833333)
6. f)Ces nombres sont les solutions de $x^2-11x+28=0$ : $\Delta =121-112=9$, d'où $x={\displaystyle \frac{11\pm 3}{2}}$, soit $4$ et $7$. Contrôle : $4+7=11$ et $4\times 7=28$. (1 pt) (0,833333)

Erreur fréquente — Dans une factorisation, on n'oublie pas le coefficient $a$ : $g(x)=5(x-1)(x+\frac{3}{5})$ et non $(x-1)(x+\frac{3}{5})$.

1. a)Situation : deux côtés de longueur $x$ et un côté parallèle au mur de longueur $20-2x$. (0 pt) (0,833333)
2. b)Les longueurs doivent être strictement positives : $x>0$ et $20-2x>0$, soit $x<10$. L'aire vaut $x(20-2x)=-2x^2+20x$. (1 pt) (0,833333)
3. c)$-2(x-5{)}^2+50=-2(x^2-10x+25)+50=-2x^2+20x-50+50=-2x^2+20x=A(x)$. (1 pt) (0,833333)
4. d)$-2(x-5{)}^2⩽0$, donc $A(x)⩽50$, avec égalité pour $x=5$ (qui est bien dans $]0;10[$). Aire maximale : $50$ m², pour un enclos de $5$ m sur $20-10=10$ m. (1 pt) (0,833333)
5. e)$A(x)⩾42⟺-2x^2+20x-42⩾0⟺x^2-10x+21⩽0$ (division par $-2<0$, on change le sens). $\Delta =100-84=16$, racines ${\displaystyle \frac{10\pm 4}{2}}$ : $3$ et $7$. Le trinôme ($a=1>0$) est négatif ou nul entre les racines : $x\in [3;7]$, intervalle contenu dans $]0;10[$. (1,5 pt) (0,833333)
6. f)Non : l'aire maximale est $50$ m² d'après c), donc $52$ m² est impossible. (0,5 pt) (0,833333)

Piège — Diviser une inéquation par un nombre négatif, comme $-2$, oblige à changer le sens de l'inégalité : $⩾$ devient $⩽$.

1. a)$3x^2-2x-8=0$ : $\Delta =(-2{)}^2-4\times 3\times (-8)=4+96=100={10}^2$. Solutions ${\displaystyle \frac{2-10}{6}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{2+10}{6}}=2$. $\mathcal{S}=\{-{\displaystyle \frac{4}{3}};2\}$. (1 pt) (1)
2. b)$\Delta =25+24=49$ ; racines ${\displaystyle \frac{-5-7}{-4}}=3$ et ${\displaystyle \frac{-5+7}{-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Avec $a=-2<0$ : le trinôme est négatif sur $]-\infty ;-{\displaystyle \frac{1}{2}}[$, nul en $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, positif sur $]-{\displaystyle \frac{1}{2}};3[$, nul en $3$, négatif sur $]3;+\infty [$. (1 pt) (1)
3. c)$\Delta =4-28=-24<0$ et $a=1>0$ : $x^2+2x+7>0$ pour tout réel $x$. L'inéquation n'a aucune solution : $\mathcal{S}=\varnothing$. (1 pt) (1)
4. d)$x^2-6x+11=(x-3{)}^2-9+11=(x-3{)}^2+2$. Un carré est positif, donc $(x-3{)}^2+2⩾2>0$ : le trinôme ne s'annule jamais. (1 pt) (1)

Méthode — Avant d'appliquer une formule, on ramène toujours l'équation à la forme $a{x}^2+bx+c=0$ : tout passe dans le même membre.

1. a)Consigne : une réponse sans justification ne rapporte pas de point. (0 pt) (0,8)
2. b)Vrai. $\Delta =9-12=-3<0$ et $a=1>0$ : le trinôme est du signe de $a$, donc strictement positif sur $ℝ$. (1 pt) (0,8)
3. c)Faux. Contre-exemple : $x=-3$ vérifie $x^2=9>4$ mais pas $x>2$. En fait $x^2-4=(x-2)(x+2)>0⟺x\in ]-\infty ;-2[\cup ]2;+\infty [$. (1 pt) (0,8)
4. d)Vrai. Si $ac<0$, alors $-4ac>0$, donc $\Delta =b^2-4ac⩾-4ac>0$ : deux solutions distinctes. (1 pt) (0,8)
5. e)Faux. Contre-exemple : $x=-1$ donne ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-1<1$. Pour $x\ne 0$ : ${\displaystyle \frac{1}{x}}<1⟺{\displaystyle \frac{1-x}{x}}<0$. Tableau de signes (valeurs clés $0$ et $1$) : quotient négatif pour $x<0$ et pour $x>1$. $\mathcal{S}=]-\infty ;0[\cup ]1;+\infty [$. (1 pt) (0,8)

Piège — On ne multiplie pas une inéquation par $x$ sans connaître son signe : on passe tout dans un membre et on étudie le signe d'un quotient.

1. a)Remarque : le coefficient de $x^2$ vaut $1\ne 0$, l'équation est bien du second degré pour tout $m$. (0 pt) (0,8)
2. b)$a=1$, $b=-2m$, $c=m+6$ : $\Delta =(-2m{)}^2-4(m+6)=4m^2-4m-24=4(m^2-m-6)$. (1 pt) (0,8)
3. c)Trinôme en $m$ : discriminant $1+24=25$, racines ${\displaystyle \frac{1-5}{2}}=-2$ et ${\displaystyle \frac{1+5}{2}}=3$. Coefficient $1>0$ : $m^2-m-6>0$ pour $m<-2$ ou $m>3$, nul en $-2$ et $3$, négatif sur $]-2;3[$. (1 pt) (0,8)
4. d)$\Delta$ a le signe de $m^2-m-6$. Si $m<-2$ ou $m>3$ : deux solutions ; si $m=-2$ ou $m=3$ : une solution ; si $-2<m<3$ : aucune solution. (1 pt) (0,8)
5. e)Solution unique $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=m$. Pour $m=3$ : $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$, solution $3$. Pour $m=-2$ : $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, solution $-2$. (1 pt) (0,8)

Astuce — Quand le discriminant dépend d'un paramètre, c'est lui-même un trinôme : on étudie son signe exactement comme en $x$.

1. a)On étudie le signe de $d(x)=f(x)-g(x)$. (0 pt) (0,8)
2. b)$f(x)=g(x)⟺x^2-4x-5=0$ : $\Delta =16+20=36$, $x={\displaystyle \frac{4\pm 6}{2}}$, soit $-1$ et $5$. $g(-1)=2$ et $g(5)=14$ : points $(-1;2)$ et $(5;14)$ (contrôle : $f(-1)=1+2-1=2$, $f(5)=25-10-1=14$). (1 pt) (0,8)
3. c)$f(x)-g(x)=x^2-4x-5=(x+1)(x-5)$, de coefficient $1>0$ : positif à l'extérieur des racines. ${𝒞}_f$ est au-dessus de ${𝒞}_g$ sur $]-\infty ;-1[$ et $]5;+\infty [$, en dessous sur $]-1;5[$ ; elles se coupent en $x=-1$ et $x=5$. (1 pt) (0,8)
4. d)Valeur interdite : $x=2$. Tableau de signes : numérateur positif hors de $[-1;5]$, négatif sur $]-1;5[$ ; $2-x$ positif pour $x<2$, négatif pour $x>2$. Quotient : positif sur $]-\infty ;-1[$, négatif sur $]-1;2[$, positif sur $]2;5[$, négatif sur $]5;+\infty [$, nul en $-1$ et $5$. $\mathcal{S}=]-\infty ;-1]\cup ]2;5]$. (1,5 pt) (0,8)
5. e)En $-1$ et $5$ le numérateur s'annule : le quotient vaut $0$ et vérifie « $⩾0$ ». En $2$ le dénominateur s'annule : le quotient n'existe pas. (0,5 pt) (0,8)

Erreur fréquente — Dans un tableau de signes de quotient, la valeur qui annule le dénominateur reçoit une double barre et n'est jamais solution, même avec « $⩾$ ».

1. a)Rappel : bénéfice $=$ recette $-$ coût. (0 pt) (0,666667)
2. b)$B(x)=10x-(x^2+2x+9)=-x^2+8x-9$. (0,5 pt) (0,666667)
3. c)$B(x)=-(x^2-8x)-9=-[(x-4{)}^2-16]-9=-(x-4{)}^2+7$. (1 pt) (0,666667)
4. d)$-(x-4{)}^2⩽0$, donc $B(x)⩽7$, avec égalité pour $x=4\in [0;10]$. Bénéfice maximal : $7$ centaines d'euros, soit $700$ euros, pour $400$ objets. (0,5 pt) (0,666667)
5. e)$B(x)>0⟺x^2-8x+9<0$. $\Delta =64-36=28$, $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ ; racines $4-\sqrt{7}\approx 1,354$ et $4+\sqrt{7}\approx 6,646$, toutes deux dans $[0;10]$. Le trinôme est négatif strictement entre les racines : $x\in ]4-\sqrt{7};4+\sqrt{7}[$. En nombre d'objets ($100x$ entre $135,4$ et $664,6$) : de $136$ à $664$ objets. (1,5 pt) (0,666667)
6. f)$800$ euros correspondent à $B(x)=8$ : $-(x-4{)}^2+7=8⟺(x-4{)}^2=-1$, impossible car un carré est positif. Le bénéfice ne peut pas atteindre $800$ euros. (0,5 pt) (0,666667)

Méthode — En contexte, on revient toujours à l'unité de l'énoncé : ici $x$ compte des centaines d'objets, et la réponse finale se donne en nombre d'objets.

1. a)Cadre général du trinôme. (0 pt) (1)
2. b)$a{x}^2+bx+c=a[x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}]=a[{(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2-{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}+{\displaystyle \frac{4ac}{4a^2}}]=a[{(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}]$, ce qui est la formule annoncée. (1,5 pt) (1)
3. c)Si $\Delta <0$, alors $-{\displaystyle \frac{\Delta }{4a^2}}>0$ ; le crochet est la somme d'un carré (positif) et d'un nombre strictement positif, donc il est strictement positif. Le produit $a\times [\dots ]$ a donc le signe de $a$, pour tout $x$ (et le trinôme ne s'annule pas). (1 pt) (1)
4. d)$x_1+x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\Delta }-b+\sqrt{\Delta }}{2a}}={\displaystyle \frac{-2b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{(-b-\sqrt{\Delta })(-b+\sqrt{\Delta })}{4a^2}}={\displaystyle \frac{b^2-\Delta }{4a^2}}={\displaystyle \frac{4ac}{4a^2}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$. (1,5 pt) (1)

Méthode — La forme canonique est la clé de tout le chapitre : racines, signe, variations et relations somme-produit s'en déduisent.

1. a)$\Delta =25-8=17>0$ : deux solutions, avec $S=5$ et $P=2\ne 0$. ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$. $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)=125-3\times 2\times 5=95$. (1,5 pt) (1,33333)
2. b)On cherche $x_1$ et $x_2=2x_1$. Somme : $3x_1=6$, donc $x_1=2$, $x_2=4$ ; produit : $m=2\times 4=8$. Réciproque : $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ a bien pour solutions $2$ et $4$. (1 pt) (1,33333)
3. c)Si $m=1$ : l'équation devient $-2x+4=0$, une seule solution $x=2$ : $m=1$ ne convient pas. Si $m\ne 1$ : $\Delta =4m^2-4(m-1)(m+3)=4m^2-4(m^2+2m-3)=-8m+12$, et $\Delta >0⟺m<{\displaystyle \frac{3}{2}}$. Conclusion : $m\in ]-\infty ;1[\cup \left]1;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$. (1,5 pt) (1,33333)

Piège — Quand le coefficient de $x^2$ dépend d'un paramètre, on traite à part la valeur qui l'annule : l'équation n'est alors plus du second degré.

1. a)Pour $x\ne -1$ : ${\displaystyle \frac{2x-1}{x+1}}-(x-1)={\displaystyle \frac{2x-1-(x^2-1)}{x+1}}={\displaystyle \frac{-x^2+2x}{x+1}}={\displaystyle \frac{-x(x-2)}{x+1}}$. L'inéquation équivaut à ${\displaystyle \frac{x(x-2)}{x+1}}⩾0$. Tableau (valeurs clés $-1$, $0$, $2$) : quotient négatif sur $]-\infty ;-1[$, positif sur $]-1;0[$, négatif sur $]0;2[$, positif sur $]2;+\infty [$. $\mathcal{S}=]-1;0]\cup [2;+\infty [$. (1,5 pt) (1,33333)
2. b)Avec $X=x^2$ : $X^2-5X+4=(X-1)(X-4)<0⟺1<X<4$. Donc $1<x^2<4$, soit $1<|x|<2$ : $\mathcal{S}=]-2;-1[\cup ]1;2[$. (1,5 pt) (1,33333)
3. c)Pour $-x^2+4x-5$ : $\Delta =16-20=-4<0$ et $a=-1<0$, donc ce facteur est strictement négatif pour tout $x$. L'inéquation équivaut à $x^2-2x-3⩽0$ ; racines $-1$ et $3$ ($\Delta =16$), d'où $\mathcal{S}=[-1;3]$. (1 pt) (1,33333)

Astuce — Un facteur de signe constant (discriminant négatif) ne crée aucune ligne utile dans le tableau : il suffit de retenir son signe et d'ajuster le sens de l'inéquation.

1. a)Les droites $D_m$ passent toutes par l'origine. (0 pt) (0,8)
2. b)$x^2-2x+4=mx⟺x^2-(m+2)x+4=0$. (0,5 pt) (0,8)
3. c)$\Delta =(m+2{)}^2-16=(m+2-4)(m+2+4)=(m-2)(m+6)$, trinôme en $m$ de racines $-6$ et $2$, positif à l'extérieur. Deux points communs si $m<-6$ ou $m>2$ ; un seul si $m=-6$ ou $m=2$ ; aucun si $-6<m<2$. (1,5 pt) (0,8)
4. d)Point unique d'abscisse ${\displaystyle \frac{m+2}{2}}$. Pour $m=2$ : $x=2$, $y=4$, point $(2;4)$. Pour $m=-6$ : $x=-2$, $y=12$, point $(-2;12)$. Position : $x^2-2x+4-2x=(x-2{)}^2⩾0$, donc $\mathcal{P}$ est au-dessus de $D_2$ et ne la touche qu'en $(2;4)$. (1 pt) (0,8)
5. e)$x^2-2x+4-5x=x^2-7x+4$ : $\Delta =49-16=33>0$, racines $x_1={\displaystyle \frac{7-\sqrt{33}}{2}}$ et $x_2={\displaystyle \frac{7+\sqrt{33}}{2}}$. Coefficient $1>0$ : $\mathcal{P}$ est en dessous de $D_5$ sur $]x_1;x_2[$, au-dessus sur $]-\infty ;x_1[$ et $]x_2;+\infty [$. (1 pt) (0,8)

Erreur fréquente — La position relative se lit sur le signe de la différence $f(x)-g(x)$, pas sur la comparaison des ordonnées en quelques points isolés.

1. a)Les quatre triangles d'angle droit $AMQ$, $BNM$, $CPN$, $DQP$ ont pour côtés de l'angle droit $x$ et $10-x$. (0 pt) (0,8)
2. b)Chaque triangle rectangle a pour aire ${\displaystyle \frac{x(10-x)}{2}}$. $S(x)=100-4\times {\displaystyle \frac{x(10-x)}{2}}=100-20x+2x^2$. (1 pt) (0,8)
3. c)$S(x)=2(x^2-10x)+100=2[(x-5{)}^2-25]+100=2(x-5{)}^2+50$. Minimum $50$ pour $x=5$ : $M$ est le milieu de $[AB]$. (1 pt) (0,8)
4. d)$S(x)⩽68⟺2x^2-20x+32⩽0⟺x^2-10x+16⩽0$. $\Delta =100-64=36$, racines $2$ et $8$ ; négatif ou nul entre elles : $x\in [2;8]$. (1 pt) (0,8)
5. e)Même calcul : $S(x)=a^2-2x(a-x)=2x^2-2ax+a^2=2{(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}⩾{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$. Ensuite $S(x)={\displaystyle \frac{3a^2}{4}}⟺2x^2-2ax+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}=0$ : $\Delta =4a^2-2a^2=2a^2$, d'où $x={\displaystyle \frac{2a\pm a\sqrt{2}}{4}}={\displaystyle \frac{(2\pm \sqrt{2})a}{4}}$, deux valeurs de $[0;a]$ car $0<{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{4}}<{\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{4}}<1$. (1 pt) (0,8)

Astuce — Pour généraliser, on refait le calcul avec la lettre $a$ au lieu de $10$ : la forme canonique montre que le minimum vaut toujours la moitié du carré, atteint aux milieux des côtés.