Comment trouver le signe d'un polynôme du second degré ?

On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Le trinôme ax² + bx + c est du signe de a sur tout ℝ, sauf entre ses deux racines lorsque Δ > 0 : entre les racines, il est du signe de −a. Si Δ = 0, il est du signe de a et s'annule seulement en −b/(2a).

Comment résoudre une inéquation du second degré en première ?

On passe tous les termes dans un seul membre pour comparer à 0, puis on étudie le signe du trinôme obtenu (discriminant, racines, signe de a). On lit enfin dans le tableau de signes les intervalles qui conviennent, avec des crochets fermés sur les racines si l'inégalité est large.

Que faire quand le discriminant est négatif dans une inéquation ?

Si Δ 0 a pour solutions ℝ, alors que x² + x + 5 < 0 n'a aucune solution.

Comment étudier la position relative de deux courbes au second degré ?

On étudie le signe de la différence f(x) − g(x). Là où elle est positive, la courbe de f est au-dessus de celle de g ; là où elle est négative, elle est en dessous ; ses racines donnent les abscisses des points d'intersection.

Comment résoudre une inéquation quotient avec un trinôme ?

On se ramène à une comparaison d'un quotient avec 0, sans jamais multiplier par une expression de signe inconnu. On dresse un tableau avec une ligne par facteur, on applique la règle des signes et on exclut toujours les valeurs interdites, marquées par une double barre.

Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Second degré : signe du trinôme et inéquations

Q: Comment étudier la position relative de deux courbes au second degré ?

On étudie le signe de la différence f(x) − g(x). Là où elle est positive, la courbe de f est au-dessus de celle de g ; là où elle est négative, elle est en dessous ; ses racines donnent les abscisses des points d'intersection.

Q: Comment résoudre une inéquation quotient avec un trinôme ?

On se ramène à une comparaison d'un quotient avec 0, sans jamais multiplier par une expression de signe inconnu. On dresse un tableau avec une ligne par facteur, on applique la règle des signes et on exclut toujours les valeurs interdites, marquées par une double barre.

Signe de ax² + bx + c selon le discriminant, tableau de signes, résolution d'inéquations du second degré, inéquations produit et quotient, position relative de deux courbes, problèmes d'optimisation simples

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Second degré : signe du trinôme et inéquations » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Signe du trinôme selon le discriminant, Inéquations du second degré, Inéquations produit et quotient. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel

Rappel (chapitre précédent). Pour

f (x) = a x^{2} + b x + c

avec

a \neq 0

, on pose

Δ = b^{2} - 4 a c

. Si

Δ > 0

: deux racines

x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

. Si

Δ = 0

f (x) = a (x - x_{0})^{2}

avec

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

. Si

Δ < 0

: aucune racine réelle.

Propriété — signe du trinôme. Un polynôme du second degré

a x^{2} + b x + c

est du signe de $a$ pour tout réel

x

, sauf entre ses racines (quand il en a deux), où il est du signe de

- a

À dire dans sa tête. « Signe de

a

à l'extérieur des racines. » Si

a > 0

, la parabole est tournée vers le haut : elle ne passe sous l'axe des abscisses qu'entre ses racines.

Signe du trinôme selon le discriminant

Cas	Signe de $f (x) = a x^{2} + b x + c$	Exemple
$Δ > 0$ , racines $x_{1} < x_{2}$	signe de $a$ sur $] - \infty; x_{1} [$ et sur $] x_{2}; + \infty [$ ; signe de $- a$ sur $] x_{1}; x_{2} [$ ; nul en $x_{1}$ et $x_{2}$	$2 x^{2} - x - 6$ : $Δ = 49$ , racines $- \frac{3}{2}$ et $2$ ; négatif sur $] - \frac{3}{2}; 2 [$
$Δ = 0$ , racine $x_{0}$	signe de $a$ sur $ℝ$ , nul seulement en $x_{0}$	$- x^{2} + 6 x - 9 = - (x - 3)^{2}$ : négatif, nul en $3$
$Δ < 0$	signe de $a$ sur $ℝ$ , jamais nul	$3 x^{2} + x + 2$ : $Δ = - 23$ , toujours strictement positif

Pourquoi ? Si

Δ > 0

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

. Pour

x_{1} < x < x_{2}

x - x_{1} > 0

x - x_{2} < 0

, donc le produit

(x - x_{1}) (x - x_{2})

est négatif et

f (x)

est du signe de

- a

. Hors de

[x_{1}; x_{2}]

, les deux facteurs ont le même signe :

f (x)

est du signe de

a

. Si

Δ ⩽ 0

, la forme canonique s'écrit

f (x) = a [(x - α)^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]

et le crochet est positif ou nul :

f (x)

est du signe de

a

Tableau de signes de $2 x^{2} - x - 6$ ( $a = 2 > 0$ ) :

$x$	$- \infty$		$- \frac{3}{2}$		$2$		$+ \infty$
$2 x^{2} - x - 6$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Inéquations du second degré

Définition. Une inéquation du second degré se ramène, après transposition, à l'une des formes

a x^{2} + b x + c > 0

⩾ 0

< 0

⩽ 0

avec

a \neq 0

. La résoudre, c'est lire dans le tableau de signes du trinôme les intervalles où le signe demandé est obtenu.

Exemple. Résoudre

- x^{2} + x + 12 > 0

. On a

Δ = 1 + 48 = 49

, d'où les racines

\frac{- 1 - 7}{- 2} = 4

\frac{- 1 + 7}{- 2} = - 3

. Comme

a = - 1 < 0

, le trinôme est positif entre ses racines :

S =] - 3; 4 [

Crochets. Inégalité stricte : racines exclues. Inégalité large : racines incluses.

Cas particuliers. Si

Δ < 0

, l'ensemble des solutions est

ℝ

\emptyset

. Si

Δ = 0

(x - 3)^{2} > 0

a pour solutions

ℝ ⧵ {3}

;

(x - 3)^{2} ⩽ 0

a pour unique solution

3

;

(x - 3)^{2} < 0

n'a aucune solution.

Inéquations produit et quotient

Règle des signes. Un produit ou un quotient est positif lorsque ses facteurs ont un nombre pair de signes «

-

». On dresse un tableau avec une ligne par facteur (premier degré ou trinôme), puis une ligne pour le résultat. Une valeur qui annule un dénominateur est interdite : double barre dans le tableau, toujours exclue des solutions.

Exemple. Résoudre

\frac{x^{2} - x - 2}{x + 4} ⩾ 0

. Le numérateur a pour racines

- 1

2

(

Δ = 9

a = 1 > 0

) ; le dénominateur s'annule en

- 4

(valeur interdite).

$x$	$- \infty$		$- 4$		$- 1$		$2$		$+ \infty$
$x^{2} - x - 2$		$+$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$x + 4$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
quotient		$-$	\|\|	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Donc

S =] - 4; - 1] \cup [2; + \infty [

Position relative de deux courbes et optimisation

Position relative. Sur un intervalle

I

, la courbe

𝒞_{f}

est au-dessus de

𝒞_{g}

si et seulement si

f (x) - g (x) ⩾ 0

pour tout

x \in I

. Les abscisses des points d'intersection sont les solutions de

f (x) - g (x) = 0

Exemple.

f (x) = x^{2} + 1

g (x) = 3 x + 5

. Alors

f (x) - g (x) = x^{2} - 3 x - 4 = (x + 1) (x - 4)

, positif hors de

[- 1; 4]

. La parabole est au-dessus de la droite sur

] - \infty; - 1 [

] 4; + \infty [

, en dessous sur

] - 1; 4 [

; elles se coupent en

(- 1; 2)

(4; 17)

Optimisation (modélisation quadratique). Si

a < 0

f

admet sur

ℝ

un maximum atteint en

α = - \frac{b}{2 a}

, égal à

f (α)

; si

a > 0

, c'est un minimum. Une contrainte du type « au moins », « au plus » se traduit par une inéquation du second degré.

Méthodes

Méthode 1 — Résoudre une inéquation du second degré

Tout passer dans un membre pour comparer un trinôme à $0$ .
Calculer $Δ$ et les éventuelles racines.
Appliquer la règle « signe de $a$ à l'extérieur des racines » et dresser le tableau de signes.
Lire les solutions en soignant les crochets.

Exemple rédigé. Résoudre

3 x^{2} ⩽ 5 x + 2

3 x^{2} ⩽ 5 x + 2 ⟺ 3 x^{2} - 5 x - 2 ⩽ 0

Δ = 25 + 24 = 49

, racines

\frac{5 - 7}{6} = - \frac{1}{3}

\frac{5 + 7}{6} = 2

. Comme

a = 3 > 0

, le trinôme est négatif entre ses racines :

S = [- \frac{1}{3}; 2]

Méthode 2 — Résoudre une inéquation quotient

Noter les valeurs interdites.
Tout passer dans un membre et réduire au même dénominateur (ne jamais multiplier par une expression de signe inconnu).
Étudier le signe de chaque facteur du numérateur et du dénominateur.
Dresser le tableau, appliquer la règle des signes, exclure les valeurs interdites.

Exemple rédigé. Résoudre

\frac{3}{x} ⩾ x + 2

pour

x \neq 0

\frac{3}{x} - (x + 2) = \frac{3 - x^{2} - 2 x}{x} = \frac{- x^{2} - 2 x + 3}{x}

. Le numérateur a pour racines

- 3

1

a = - 1 < 0

: il est positif sur

] - 3; 1 [

, négatif ailleurs. Le dénominateur est du signe de

x

. Quotient :

+

sur

] - \infty; - 3 [

-

sur

] - 3; 0 [

+

sur

] 0; 1 [

-

sur

] 1; + \infty [

. Donc

S =] - \infty; - 3] \cup] 0; 1]

Méthode 3 — Résoudre un problème d'optimisation

Choisir la variable, préciser son domaine et exprimer la grandeur étudiée : un trinôme.
Pour l'extremum : calculer $α = - \frac{b}{2 a}$ et $f (α)$ , vérifier que $α$ est dans le domaine.
Pour un seuil : écrire l'inéquation, la résoudre, puis intersecter avec le domaine.
Conclure avec les unités.

Exemple rédigé. Un cinéma associatif estime qu'à un prix

p

euros le billet (

0 ⩽ p ⩽ 15

), il vend

600 - 40 p

billets. Recette :

R (p) = p (600 - 40 p) = - 40 p^{2} + 600 p

. Maximum en

α = \frac{- 600}{- 80} = 7, 5

R (7, 5) = 2 250

€. Recette d'au moins

2 000

€ :

- 40 p^{2} + 600 p - 2 000 ⩾ 0 ⟺ p^{2} - 15 p + 50 ⩽ 0 ⟺ (p - 5) (p - 10) ⩽ 0

, soit

p \in [5; 10]

Pièges et erreurs classiques

Diviser par $x$ .

x^{2} > 4 x

ne donne pas «

x > 4

» : on perd les solutions négatives. On écrit

x^{2} - 4 x > 0 ⟺ x (x - 4) > 0

, d'où

S =] - \infty; 0 [\cup] 4; + \infty [

Prendre la racine carrée.

x^{2} > 9

n'équivaut pas à

x > 3

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3) > 0

donne

S =] - \infty; - 3 [\cup] 3; + \infty [

Oublier le signe de $a$ . « Positif à l'extérieur des racines » n'est vrai que si

a > 0

. Pour

a < 0

, c'est l'inverse.

$Δ < 0$ ne veut pas dire « pas de solution ».

x^{2} + x + 5 > 0

a pour ensemble de solutions

ℝ

tout entier (

Δ = - 19

a > 0

Valeur interdite. Le crochet est toujours ouvert sur une valeur qui annule le dénominateur, même si l'inégalité est large.

En bref

$a x^{2} + b x + c$ est du signe de $a$ , sauf entre ses racines (si $Δ > 0$ ) où il est du signe de $- a$ .
$Δ = 0$ : signe de $a$ , nul en $- \frac{b}{2 a}$ ; $Δ < 0$ : signe de $a$ partout, solutions $ℝ$ ou $\emptyset$ .
Inéquation : tout dans un membre, $Δ$ , racines, tableau de signes, crochets.
Produit, quotient : une ligne par facteur ; valeurs interdites exclues ; jamais de multiplication par une expression de signe inconnu.
Position relative : signe de $f (x) - g (x)$ .
Optimisation : extremum en $α = - \frac{b}{2 a}$ ; un seuil se traduit par une inéquation.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs