À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Second degré » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition et vocabulaire, Forme canonique, Discriminant et racines, Signe du trinôme. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Définition et vocabulaire
2 · Forme canonique
3 · Discriminant et racines
4 · Signe du trinôme
5 · Représentation graphique : la parabole
6 · Équations et inéquations du second degré
7 · Relations entre racines et coefficients
1Définition et vocabulaire
Un trinôme du second degré (ou polynôme du second degré) est une expression de la forme :
Définition. On appelle trinôme du second degré toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$. Les réels $a$, $b$, $c$ s'appellent coefficients du trinôme.
Le coefficient $a$ est appelé coefficient dominant. Le terme $bx$ est le terme du premier degré, et $c$ est le terme constant.
Exemple. $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ est un trinôme avec $a=2$, $b=-3$, $c=1$. $g(x) = -x^2 + 4$ est un trinôme avec $a=-1$, $b=0$, $c=4$.
Attention ! La condition $a \neq 0$ est indispensable : si $a = 0$, l'expression $bx + c$ est un polynôme du premier degré, pas du second.
Une racine (ou zéro) d'un trinôme $f$ est un réel $r$ tel que $f(r) = 0$.
2Forme canonique
On peut toujours réécrire un trinôme sous une forme qui fait apparaître un carré — c'est la forme canonique.
Théorème (forme canonique). Pour tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), on a : $$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$$On pose $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}$, ce qui donne la forme canonique : $$\boxed{f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta}$$
La forme canonique révèle le sommet $S(\alpha, \beta)$ de la parabole et permet de déterminer facilement le minimum ou le maximum de $f$.
Exemple. Mettons $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ sous forme canonique.
$a=2$, $b=-4$, $c=1$.
$\alpha = -\dfrac{-4}{2 \times 2} = 1$.
$\beta = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1$.
Donc $f(x) = 2(x-1)^2 - 1$.
Astuce. Pour trouver la forme canonique, on peut aussi compléter le carré directement :
$2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2\bigl[(x-1)^2 - 1\bigr] + 1 = 2(x-1)^2 - 1$.
| Quantité | Formule |
|---|
| Abscisse du sommet $\alpha$ | $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ |
| Ordonnée du sommet $\beta$ | $\beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}$ |
| Forme canonique | $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ |
3Discriminant et racines
Définition. Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ est le réel $$\Delta = b^2 - 4ac$$
Le signe de $\Delta$ détermine entièrement le nombre de racines réelles du trinôme :
Théorème. Soit $f(x) = ax^2+bx+c$ et $\Delta = b^2-4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : $f$ admet deux racines réelles distinctes $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$et $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$.
- Si $\Delta = 0$ : $f$ admet une racine double $$x_0 = \frac{-b}{2a} = \alpha$$et $f(x) = a(x-x_0)^2$.
- Si $\Delta < 0$ : $f$ n'admet aucune racine réelle. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Exemple 1 ($\Delta > 0$). $f(x) = x^2 - 5x + 6$. $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$. Racines : $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$, $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$. Donc $f(x) = (x-2)(x-3)$.
Exemple 2 ($\Delta = 0$). $g(x) = x^2 - 4x + 4$. $\Delta = 16 - 16 = 0$. Racine double $x_0 = 2$. Donc $g(x) = (x-2)^2$.
Exemple 3 ($\Delta < 0$). $h(x) = x^2 + x + 1$. $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$. Pas de racine réelle.
Attention ! Ne confondez pas $\Delta$ (discriminant) avec la lettre grecque utilisée ailleurs. Ici, $\Delta = b^2 - 4ac$ exclusivement.
4Signe du trinôme
Le tableau de signes de $f(x) = ax^2+bx+c$ se détermine grâce aux racines et au signe de $a$.
Règle du signe.- Si $\Delta > 0$ (racines $x_1 < x_2$) : $f(x)$ est du signe de $a$ pour $x < x_1$ ou $x > x_2$, et du signe de $-a$ pour $x_1 < x < x_2$.
- Si $\Delta = 0$ (racine double $x_0$) : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et $f(x_0)=0$.
- Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (signe constant).
Exemple. Signe de $f(x) = -2x^2 + 2x + 4$.
$a = -2 < 0$, $\Delta = 4 + 32 = 36 > 0$, $x_1 = \frac{-2-6}{-4} = -1$, $x_2 = \frac{-2+6}{-4} = -1$... Recalculons : $b=2$, $c=4$, $\Delta = 4 + 32 = 36$, $x_1 = \frac{-2-6}{2 \times (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$, $x_2 = \frac{-2+6}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$. Donc $x_1 = -1 < x_2 = 2$.
Tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $2$ | | $+\infty$ |
|---|
| $f(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | |
Car $a=-2<0$ : $f$ est négatif à l'extérieur des racines, positif entre les racines.
5Représentation graphique : la parabole
La courbe représentative d'un trinôme est une parabole.
Propriétés de la parabole. La parabole $\mathcal{C}_f$ d'équation $y = ax^2+bx+c$ :
- admet l'axe de symétrie d'équation $x = \alpha = -\dfrac{b}{2a}$ ;
- a pour sommet le point $S(\alpha, \beta)$ ;
- est tournée vers le haut si $a > 0$ (minimum en $S$) ;
- est tournée vers le bas si $a < 0$ (maximum en $S$).
Astuce. Pour tracer la parabole : (1) calculer le sommet $S(\alpha, \beta)$, (2) placer les racines éventuelles sur l'axe des $x$, (3) calculer l'ordonnée à l'origine $f(0) = c$, (4) utiliser la symétrie.
Lecture graphique :
- L'axe de symétrie passe par le sommet.
- Les abscisses des points d'intersection avec l'axe des $x$ sont les racines.
- La valeur de $c = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine.
6Équations et inéquations du second degré
Résoudre une équation ou inéquation du second degré revient à étudier le signe du trinôme associé.
Méthode — équation $ax^2+bx+c = 0$.- Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : une solution $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ : pas de solution réelle.
Méthode — inéquation $ax^2+bx+c > 0$ (ou $\geq 0$, $< 0$, $\leq 0$).- Résoudre $ax^2+bx+c = 0$ pour trouver les racines.
- Dresser le tableau de signes.
- Lire la solution dans le tableau.
Exemple. Résoudre $2x^2 - 7x + 3 \leq 0$.
$\Delta = 49 - 24 = 25$, $x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{7+5}{4} = 3$.
$a = 2 > 0$ donc $2x^2-7x+3 \leq 0$ entre les racines : solution $\left[\frac{1}{2};3\right]$.
Attention ! Quand on divise ou multiplie une inégalité par un négatif, le sens de l'inégalité s'inverse. Préférez le tableau de signes pour éviter cette erreur.
7Relations entre racines et coefficients
Quand un trinôme admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (réelles, $\Delta \geq 0$), il existe des liens simples entre ces racines et les coefficients $a$, $b$, $c$.
Théorème (relations de Viète). Si $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines (éventuellement confondues) de $ax^2+bx+c = 0$, alors : $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
Exemple 1. $f(x) = 3x^2 - 7x + 2$. Sans calculer les racines : $x_1 + x_2 = \frac{7}{3}$ et $x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}$.
Exemple 2 (réciproque). Trouver un trinôme de coefficient dominant 1 dont les racines sont $2$ et $-5$.
Somme : $2 + (-5) = -3 = -b \Rightarrow b = 3$. Produit : $2 \times (-5) = -10 = c$.
Trinôme : $x^2 + 3x - 10$.
Astuce. Les relations de Viète permettent de vérifier les racines trouvées : si $x_1 + x_2 \neq -b/a$ ou $x_1 \cdot x_2 \neq c/a$, il y a une erreur de calcul.
| Relation | Formule |
|---|
| Somme des racines | $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ |
| Produit des racines | $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ |
| Factorisation | $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ |
★À retenir
En bref — Second degré :
• Trinôme : $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$.
• Discriminant : $\Delta = b^2-4ac$.
• Si $\Delta>0$ : deux racines $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta=0$ : racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta<0$ : pas de racine réelle.
• Forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$.
• Signe du trinôme : du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $-a$ entre les racines.
• Viète : $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1 x_2=\frac{c}{a}$.