Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Second degré
Polynômes du second degré, discriminant et équations $ax^2+bx+c=0$ — programme de 1re Spé Maths
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Second degré » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition et vocabulaire, Forme canonique, Discriminant et racines, Signe du trinôme. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
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Définition et vocabulaire
Un trinôme du second degré (ou polynôme du second degré) est une expression de la forme :
Définition. On appelle trinôme du second degré toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$. Les réels $a$, $b$, $c$ s'appellent coefficients du trinôme.
Le coefficient $a$ est appelé coefficient dominant. Le terme $bx$ est le terme du premier degré, et $c$ est le terme constant.
Exemple. $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ est un trinôme avec $a=2$, $b=-3$, $c=1$. $g(x) = -x^2 + 4$ est un trinôme avec $a=-1$, $b=0$, $c=4$.
Attention ! La condition $a \neq 0$ est indispensable : si $a = 0$, l'expression $bx + c$ est un polynôme du premier degré, pas du second.
Une racine (ou zéro) d'un trinôme $f$ est un réel $r$ tel que $f(r) = 0$.
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Forme canonique
On peut toujours réécrire un trinôme sous une forme qui fait apparaître un carré — c'est la forme canonique.
Théorème (forme canonique). Pour tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), on a : $$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$$On pose $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}$, ce qui donne la forme canonique : $$\boxed{f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta}$$
La forme canonique révèle le sommet $S(\alpha, \beta)$ de la parabole et permet de déterminer facilement le minimum ou le maximum de $f$.
Exemple. Mettons $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ sous forme canonique.
$a=2$, $b=-4$, $c=1$.
$\alpha = -\dfrac{-4}{2 \times 2} = 1$.
$\beta = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1$.
Donc $f(x) = 2(x-1)^2 - 1$.
$a=2$, $b=-4$, $c=1$.
$\alpha = -\dfrac{-4}{2 \times 2} = 1$.
$\beta = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1$.
Donc $f(x) = 2(x-1)^2 - 1$.
Astuce. Pour trouver la forme canonique, on peut aussi compléter le carré directement :
$2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2\bigl[(x-1)^2 - 1\bigr] + 1 = 2(x-1)^2 - 1$.
$2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2\bigl[(x-1)^2 - 1\bigr] + 1 = 2(x-1)^2 - 1$.
| Quantité | Formule |
|---|---|
| Abscisse du sommet $\alpha$ | $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ |
| Ordonnée du sommet $\beta$ | $\beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}$ |
| Forme canonique | $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ |
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Discriminant et racines
Définition. Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ est le réel $$\Delta = b^2 - 4ac$$
Le signe de $\Delta$ détermine entièrement le nombre de racines réelles du trinôme :
Théorème. Soit $f(x) = ax^2+bx+c$ et $\Delta = b^2-4ac$.
- Si $\Delta \gt 0$ : $f$ admet deux racines réelles distinctes $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$et $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$.
- Si $\Delta = 0$ : $f$ admet une racine double $$x_0 = \frac{-b}{2a} = \alpha$$et $f(x) = a(x-x_0)^2$.
- Si $\Delta \lt 0$ : $f$ n'admet aucune racine réelle. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Exemple 1 ($\Delta \gt 0$). $f(x) = x^2 - 5x + 6$. $\Delta = 25 - 24 = 1 \gt 0$. Racines : $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$, $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$. Donc $f(x) = (x-2)(x-3)$.
Exemple 2 ($\Delta = 0$). $g(x) = x^2 - 4x + 4$. $\Delta = 16 - 16 = 0$. Racine double $x_0 = 2$. Donc $g(x) = (x-2)^2$.
Exemple 3 ($\Delta \lt 0$). $h(x) = x^2 + x + 1$. $\Delta = 1 - 4 = -3 \lt 0$. Pas de racine réelle.
Attention ! Ne confondez pas $\Delta$ (discriminant) avec la lettre grecque utilisée ailleurs. Ici, $\Delta = b^2 - 4ac$ exclusivement.
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Signe du trinôme
Le tableau de signes de $f(x) = ax^2+bx+c$ se détermine grâce aux racines et au signe de $a$.
Règle du signe.
- Si $\Delta \gt 0$ (racines $x_1 \lt x_2$) : $f(x)$ est du signe de $a$ pour $x \lt x_1$ ou $x \gt x_2$, et du signe de $-a$ pour $x_1 \lt x \lt x_2$.
- Si $\Delta = 0$ (racine double $x_0$) : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et $f(x_0)=0$.
- Si $\Delta \lt 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (signe constant).
Exemple. Signe de $f(x) = -2x^2 + 2x + 4$.
$a = -2 \lt 0$, $\Delta = 4 + 32 = 36 \gt 0$, $x_1 = \frac{-2-6}{-4} = -1$, $x_2 = \frac{-2+6}{-4} = -1$... Recalculons : $b=2$, $c=4$, $\Delta = 4 + 32 = 36$, $x_1 = \frac{-2-6}{2 \times (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$, $x_2 = \frac{-2+6}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$. Donc $x_1 = -1 \lt x_2 = 2$.
Tableau de signes :
Car $a=-2\lt 0$ : $f$ est négatif à l'extérieur des racines, positif entre les racines.
$a = -2 \lt 0$, $\Delta = 4 + 32 = 36 \gt 0$, $x_1 = \frac{-2-6}{-4} = -1$, $x_2 = \frac{-2+6}{-4} = -1$... Recalculons : $b=2$, $c=4$, $\Delta = 4 + 32 = 36$, $x_1 = \frac{-2-6}{2 \times (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$, $x_2 = \frac{-2+6}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$. Donc $x_1 = -1 \lt x_2 = 2$.
Tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
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Représentation graphique : la parabole
La courbe représentative d'un trinôme est une parabole.
Propriétés de la parabole. La parabole $\mathcal{C}_f$ d'équation $y = ax^2+bx+c$ :
- admet l'axe de symétrie d'équation $x = \alpha = -\dfrac{b}{2a}$ ;
- a pour sommet le point $S(\alpha, \beta)$ ;
- est tournée vers le haut si $a \gt 0$ (minimum en $S$) ;
- est tournée vers le bas si $a \lt 0$ (maximum en $S$).
Astuce. Pour tracer la parabole : (1) calculer le sommet $S(\alpha, \beta)$, (2) placer les racines éventuelles sur l'axe des $x$, (3) calculer l'ordonnée à l'origine $f(0) = c$, (4) utiliser la symétrie.
Lecture graphique :
- L'axe de symétrie passe par le sommet.
- Les abscisses des points d'intersection avec l'axe des $x$ sont les racines.
- La valeur de $c = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine.
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Équations et inéquations du second degré
Résoudre une équation ou inéquation du second degré revient à étudier le signe du trinôme associé.
Méthode — équation $ax^2+bx+c = 0$.
- Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta \gt 0$ : deux solutions $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : une solution $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
- Si $\Delta \lt 0$ : pas de solution réelle.
Méthode — inéquation $ax^2+bx+c \gt 0$ (ou $\geq 0$, $\lt 0$, $\leq 0$).
- Résoudre $ax^2+bx+c = 0$ pour trouver les racines.
- Dresser le tableau de signes.
- Lire la solution dans le tableau.
Exemple. Résoudre $2x^2 - 7x + 3 \leq 0$.
$\Delta = 49 - 24 = 25$, $x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{7+5}{4} = 3$.
$a = 2 \gt 0$ donc $2x^2-7x+3 \leq 0$ entre les racines : solution $\left[\frac{1}{2};3\right]$.
$\Delta = 49 - 24 = 25$, $x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{7+5}{4} = 3$.
$a = 2 \gt 0$ donc $2x^2-7x+3 \leq 0$ entre les racines : solution $\left[\frac{1}{2};3\right]$.
Attention ! Quand on divise ou multiplie une inégalité par un négatif, le sens de l'inégalité s'inverse. Préférez le tableau de signes pour éviter cette erreur.
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Relations entre racines et coefficients
Quand un trinôme admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (réelles, $\Delta \geq 0$), il existe des liens simples entre ces racines et les coefficients $a$, $b$, $c$.
Théorème (relations de Viète). Si $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines (éventuellement confondues) de $ax^2+bx+c = 0$, alors : $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
Exemple 1. $f(x) = 3x^2 - 7x + 2$. Sans calculer les racines : $x_1 + x_2 = \frac{7}{3}$ et $x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}$.
Exemple 2 (réciproque). Trouver un trinôme de coefficient dominant 1 dont les racines sont $2$ et $-5$.
Somme : $2 + (-5) = -3 = -b \Rightarrow b = 3$. Produit : $2 \times (-5) = -10 = c$.
Trinôme : $x^2 + 3x - 10$.
Somme : $2 + (-5) = -3 = -b \Rightarrow b = 3$. Produit : $2 \times (-5) = -10 = c$.
Trinôme : $x^2 + 3x - 10$.
Astuce. Les relations de Viète permettent de vérifier les racines trouvées : si $x_1 + x_2 \neq -b/a$ ou $x_1 \cdot x_2 \neq c/a$, il y a une erreur de calcul.
| Relation | Formule |
|---|---|
| Somme des racines | $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ |
| Produit des racines | $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ |
| Factorisation | $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ |
En bref — Second degré
- Trinôme : $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$.
- Discriminant : $\Delta = b^2-4ac$.
- Si $\Delta\gt 0$ : deux racines $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta=0$ : racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta\lt 0$ : pas de racine réelle.
- Forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$.
- Signe du trinôme : du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $-a$ entre les racines.
- Viète : $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1 x_2=\frac{c}{a}$.
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