Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Second degré : forme canonique, équations et factorisation

Q: Comment choisir entre forme développée, canonique et factorisée ?

On choisit la forme qui répond à la question : la forme développée donne f(0) = c et sert à calculer le discriminant ; la forme canonique a(x − α)² + β donne le sommet, l’extremum et les variations ; la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) donne les solutions de f(x) = 0. Le coefficient a est le même dans les trois.

Q: Comment trouver la forme canonique d’un trinôme ?

On calcule α = −b/(2a), puis β = f(α), et on écrit f(x) = a(x − α)² + β. On peut aussi factoriser a dans les termes en x² et en x et compléter le carré : x² + px = (x + p/2)² − p²/4. Le sommet de la parabole est S(α ; β).

Q: Comment résoudre une équation du second degré avec le discriminant ?

On ramène l’équation à la forme ax² + bx + c = 0, on calcule Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, deux solutions (−b − √Δ)/(2a) et (−b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, une seule solution −b/(2a) ; si Δ < 0, aucune solution réelle. Si b = 0 ou c = 0, on factorise directement.

Q: Comment factoriser un trinôme du second degré ?

On cherche ses racines : si Δ > 0, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) ; si Δ = 0, ax² + bx + c = a(x − x₀)² ; si Δ < 0, le trinôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré. Il ne faut pas oublier le coefficient a devant les parenthèses.

Q: À quoi servent la somme et le produit des racines ?

Si Δ ≥ 0, les racines vérifient x₁ + x₂ = −b/a et x₁x₂ = c/a. Avec une racine évidente (1 est racine quand a + b + c = 0), le produit donne l’autre racine sans calculer Δ. Et deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de x² − Sx + P = 0.

Trinôme et parabole, formes développée, canonique et factorisée, sommet et variations, discriminant et résolution de ax² + bx + c = 0, factorisation, somme et produit des racines, racine évidente.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re sur le second degré suit cinq parties : les trois formes d’un trinôme (développée, canonique, factorisée), la forme canonique avec le sommet de la parabole et le tableau de variations, le discriminant et la résolution de ax² + bx + c = 0, la factorisation, puis la somme et le produit des racines avec la racine évidente. La démonstration de la formule des solutions, exigible, y est rédigée.

Les trois formes d’un trinôme

Ce qu’il faut savoir

Définition. Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ . Sa courbe représentative est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .

Trois écritures d’un même trinôme.

• forme développée $a x^{2} + b x + c$ : elle donne $f (0) = c$ et sert au calcul de $Δ$ ;

• forme canonique $a (x - α)^{2} + β$ : elle donne le sommet $S (α; β)$ , l’extremum et les variations ;

• forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , quand elle existe : elle donne les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ , solutions de $f (x) = 0$ .

Le coefficient $a$ est le même dans les trois écritures. Pour prouver que deux écritures sont égales, on développe et on compare.

Cas simples de modélisation. $x \mapsto a x^{2}$ : parabole de sommet l’origine ; $x \mapsto a x^{2} + c$ : même parabole décalée verticalement, de sommet $(0; c)$ ; $x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ : parabole qui coupe l’axe des abscisses en $x_{1}$ et $x_{2}$ .

Exemples

Reconnaître un trinôme. $x (5 - 2 x) = - 2 x^{2} + 5 x$ est un trinôme, avec $a = - 2$ , $b = 5$ et $c = 0$ . En revanche, $(x + 3)^{2} - x^{2} = x^{2} + 6 x + 9 - x^{2}$ $= 6 x + 9$ est une fonction affine : les termes en $x^{2}$ s’annulent.

Vérifier trois formes. Soit $f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24$ . En développant : $3 (x + 1)^{2} - 27$ $= 3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27$ $= 3 x^{2} + 6 x - 24$ et $3 (x - 2) (x + 4) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$ $= 3 x^{2} + 6 x - 24$ . Donc, pour tout réel $x$ , $f (x) = 3 (x + 1)^{2} - 27$ $= 3 (x - 2) (x + 4)$ .

Choisir la forme. Forme développée : $f (0) = - 24$ . Forme canonique : $3 (x + 1)^{2} ⩾ 0$ , donc $f (x) ⩾ - 27$ , avec égalité pour $x = - 1$ ; le minimum de $f$ vaut $- 27$ . Forme factorisée : $f (x) = 0 ⟺ x - 2 = 0$ ou $x + 4 = 0 ⟺ x = 2$ ou $x = - 4$ .

Résoudre $f (x) = - 24$ . La forme développée est la bonne : $3 x^{2} + 6 x - 24 = - 24 ⟺ 3 x^{2} + 6 x$ $= 0 ⟺ 3 x (x + 2) = 0 ⟺ x = 0$ ou $x = - 2$ .

Réflexe — Avant de calculer, je regarde ce qu’on me demande. Une image en $0$ , une équation $f (x) = c$ : forme développée. Un sommet, un extremum, des variations : forme canonique. L’équation $f (x) = 0$ , les points de la parabole sur l’axe des abscisses : forme factorisée.

Attention — La forme factorisée n’existe pas toujours (parabole qui ne coupe pas l’axe des abscisses). Et le coefficient $a$ ne disparaît jamais : $3 (x - 2) (x + 4)$ n’est pas égal à $(x - 2) (x + 4)$ .

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Forme canonique, sommet et variations

Ce qu’il faut savoir

Propriété (forme canonique). Tout trinôme $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ) s’écrit de façon unique $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ , avec $α = - \frac{b}{2 a}$ et $β = f (α)$ .

Sommet. La parabole a pour sommet $S (α; β)$ ; elle est symétrique par rapport à la droite d’équation $x = α$ (remarque, non exigible).

Variations.

	$a > 0$	$a < 0$
sur $] - \infty; α]$	$f$ décroissante	$f$ croissante
sur $[α; + \infty [$	$f$ croissante	$f$ décroissante
extremum	minimum $β$ , atteint en $α$	maximum $β$ , atteint en $α$

Symétrie. Deux réels distincts $x_{1}$ et $x_{2}$ ont la même image par $f$ si et seulement s’ils sont symétriques par rapport à $α$ : $α = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

Exemples

Démonstration de la forme canonique (le calcul général sert à démontrer la formule des solutions ; en pratique, on complète le carré sur des exemples simples). Comme $a \neq 0$ , on factorise par $a$ les termes en $x^{2}$ et en $x$ , puis on reconnaît le début d’une identité remarquable : $a x^{2} + b x + c = a [x^{2} + \frac{b}{a} x] + c$ $= a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] + c$ $= a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ . On obtient la forme annoncée avec $α = - \frac{b}{2 a}$ et $β = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ . En remplaçant $x$ par $α$ , le carré s’annule : $f (α) = β$ .

Compléter le carré. $h (x) = 2 x^{2} + 12 x + 13$ $= 2 (x^{2} + 6 x) + 13$ . Or $x^{2} + 6 x = (x + 3)^{2} - 9$ . Donc $h (x) = 2 [(x + 3)^{2} - 9] + 13$ $= 2 (x + 3)^{2} - 5$ . Contrôle : $α = - \frac{12}{2 \times 2} = - 3$ et $h (- 3) = 18 - 36 + 13 = - 5$ .

Avec $α$ et $β$ . $g (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ : $α = - \frac{6}{2 \times (- 1)} = 3$ et $β = g (3) = - 9 + 18 - 5 = 4$ , donc $g (x) = - (x - 3)^{2} + 4$ . Comme $a = - 1 < 0$ , $g$ est croissante sur $] - \infty; 3]$ , décroissante sur $[3; + \infty [$ , et admet un maximum égal à $4$ en $x = 3$ . Le sommet de sa parabole est $S (3; 4)$ .

Symétrie. $g (1) = - 1 + 6 - 5 = 0$ et $g (5) = - 25 + 30 - 5 = 0$ : $1$ et $5$ ont la même image, et leur milieu $\frac{1 + 5}{2} = 3$ est bien l’abscisse du sommet.

Réflexe — Pour le sommet, je calcule $α = - \frac{b}{2 a}$ , puis $β = f (α)$ en remplaçant dans la forme développée. Le signe de $a$ donne le sens de la parabole : minimum si $a > 0$ , maximum si $a < 0$ . Je contrôle en développant $a (x - α)^{2} + β$ .

Attention — Le signe de $α$ se lit dans $x - α$ : dans $5 (x + 4)^{2} - 1$ , on a $x + 4 = x - (- 4)$ , donc $α = - 4$ et non $4$ . Et $β$ n’est pas le terme constant $c$ de la forme développée.

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Discriminant et résolution de ax² + bx + c = 0

Ce qu’il faut savoir

Définition. Le discriminant du trinôme $a x^{2} + b x + c$ est le réel $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Théorème (résolution de $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ ).

Signe de $Δ$	Solutions dans $ℝ$
$Δ > 0$	deux solutions distinctes : $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$
$Δ = 0$	une seule solution (dite double) : $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
$Δ < 0$	aucune solution réelle

Les solutions de $f (x) = 0$ sont les racines du trinôme : ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses.

Si $b = 0$ ou $c = 0$ , on n’a pas besoin de $Δ$ : on factorise ou on isole $x^{2}$ .

Exemples

Démonstration (exigible). D’après la démonstration de la forme canonique, pour tout réel $x$ : $f (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]$ . Comme $a \neq 0$ , $f (x) = 0 ⟺ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a^{2}}$ , et $4 a^{2} > 0$ .

• Si $Δ < 0$ : le membre de droite est strictement négatif, alors qu’un carré est positif. Il n’y a aucune solution.

• Si $Δ = 0$ : l’équation devient ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0$ , soit $x = - \frac{b}{2 a}$ . Une seule solution.

• Si $Δ > 0$ : $\frac{Δ}{4 a^{2}} = {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}$ . Or $X^{2} = k^{2} ⟺ X = k$ ou $X = - k$ . Donc $x + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}$ ou $x + \frac{b}{2 a} = - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}$ , c’est-à-dire $x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ ou $x = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ . Deux solutions distinctes, car $\sqrt{Δ} \neq 0$ .

$Δ > 0$ . $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ : $Δ = (- 7)^{2} - 4 \times 1 \times 10 = 49 - 40 = 9$ , $\sqrt{9} = 3$ . Solutions : $\frac{7 - 3}{2} = 2$ et $\frac{7 + 3}{2} = 5$ . $𝒮 = {2; 5}$ .

$Δ = 0$ . $4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ : $Δ = 144 - 144 = 0$ , une seule solution $x_{0} = \frac{12}{2 \times 4} = \frac{3}{2}$ .

$Δ < 0$ . $x^{2} + x + 3 = 0$ : $Δ = 1 - 12 = - 11 < 0$ , donc $𝒮 = \emptyset$ .

Racines irrationnelles. $5 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ : $Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 5 \times (- 1) = 4 + 20 = 24$ et $\sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ . Les solutions sont $\frac{2 - 2 \sqrt{6}}{10} = \frac{1 - \sqrt{6}}{5}$ et $\frac{1 + \sqrt{6}}{5}$ .

Sans discriminant. $x^{2} = 6 x ⟺ x^{2} - 6 x = 0$ $⟺ x (x - 6) = 0 ⟺ x = 0$ ou $x = 6$ .

Se ramener au second degré. $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ . On pose $X = x^{2}$ : $X^{2} - 10 X + 9 = 0$ , $Δ = 100 - 36 = 64$ , d’où $X = 1$ ou $X = 9$ . Puis $x^{2} = 1$ ou $x^{2} = 9$ : $𝒮 = {- 3; - 1; 1; 3}$ . Une valeur négative de $X$ serait écartée, car $X = x^{2} ⩾ 0$ . La même idée vaut avec $X = \sqrt{x}$ : alors $x = X^{2}$ et l’on garde seulement $X ⩾ 0$ .

Réflexe — Je ramène tout dans un membre et je réduis pour obtenir $a x^{2} + b x + c = 0$ . Si $b = 0$ ou $c = 0$ , je factorise. Sinon, j’écris $a$ , $b$ , $c$ , je calcule $Δ$ en mettant les nombres négatifs entre parenthèses, et je conclus selon son signe en donnant l’ensemble $𝒮$ des solutions.

Attention — Pour $b = - 5$ , $b^{2} = (- 5)^{2} = 25$ et non $- 25$ . On ne divise jamais par $x$ : de $x^{2} = 6 x$ , on ne déduit pas « $x = 6$ », on perdrait $0$ . Avec un paramètre, $(m + 1) x^{2} + 2 x - 1 = 0$ n’est pas du second degré pour $m = - 1$ : ce cas se traite à part.

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Factoriser un trinôme, retrouver un trinôme

Ce qu’il faut savoir

Propriété (factorisation). Soit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ .

Signe de $Δ$	Forme factorisée
$Δ > 0$	$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les deux racines
$Δ = 0$	$f (x) = a (x - x_{0})^{2}$ , où $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
$Δ < 0$	pas de factorisation en produit de facteurs du premier degré

Si $Δ < 0$ , une écriture $a (x - u) (x - v)$ donnerait la racine $u$ , alors que $f (x) = 0$ n’a pas de solution : c’est impossible.

Retrouver un trinôme à partir de sa parabole. Sommet $S (α; β)$ connu : on part de $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ . Racines $x_{1}$ et $x_{2}$ connues : on part de $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Un point supplémentaire de la courbe donne $a$ .

Exemples

$Δ > 0$ . $3 x^{2} + x - 2$ : $Δ = 1^{2} - 4 \times 3 \times (- 2) = 1 + 24 = 25$ . Racines : $\frac{- 1 - 5}{6} = - 1$ et $\frac{- 1 + 5}{6} = \frac{2}{3}$ . Donc $3 x^{2} + x - 2 = 3 (x + 1) (x - \frac{2}{3})$ $= (x + 1) (3 x - 2)$ .

$Δ = 0$ . $4 x^{2} + 4 x + 1$ : $Δ = 16 - 16 = 0$ et $x_{0} = - \frac{4}{8} = - \frac{1}{2}$ . Donc $4 x^{2} + 4 x + 1 = 4 {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ $= (2 x + 1)^{2}$ .

$Δ < 0$ . $x^{2} + x + 1$ : $Δ = 1 - 4 = - 3 < 0$ . Ce trinôme ne se factorise pas.

Par le sommet. Parabole de sommet $S (- 1; 6)$ passant par $A (1; - 2)$ : $f (x) = a (x + 1)^{2} + 6$ et $f (1) = 4 a + 6 = - 2$ , d’où $a = - 2$ . Ainsi $f (x) = - 2 (x + 1)^{2} + 6$ $= - 2 x^{2} - 4 x + 4$ .

Par les racines. Parabole qui coupe l’axe des abscisses en $1$ et $5$ et passe par $B (0; 10)$ : $g (x) = a (x - 1) (x - 5)$ et $g (0) = a \times (- 1) \times (- 5) = 5 a = 10$ , d’où $a = 2$ . Ainsi $g (x) = 2 (x - 1) (x - 5)$ $= 2 x^{2} - 12 x + 10$ .

Réflexe — Pour factoriser, je calcule $Δ$ , puis les racines, et j’écris $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ en gardant $a$ devant. Je contrôle en développant. Pour retrouver un trinôme, je pars de la forme qui contient ce que l’énoncé donne (sommet ou racines), puis un point de la courbe donne $a$ .

Attention — Oublier $a$ : $3 x^{2} + x - 2$ n’est pas égal à $(x + 1) (x - \frac{2}{3})$ , il manque le facteur $3$ . Et une racine négative donne un « $+$ » : la racine $- 1$ donne le facteur $x - (- 1) = x + 1$ .

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Somme et produit des racines, racine évidente

Ce qu’il faut savoir

Propriété (somme et produit des racines). Si $Δ ⩾ 0$ , les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ de $a x^{2} + b x + c$ (éventuellement égales) vérifient $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} et x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$

Réciproque utile (approfondissement du programme). Deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont les solutions de l’équation $x^{2} - S x + P = 0$ .

Racine évidente. On teste $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ … : $1$ est racine si et seulement si $a + b + c = 0$ ; $- 1$ est racine si et seulement si $a - b + c = 0$ . L’autre racine s’obtient alors par le produit $\frac{c}{a}$ (ou la somme $- \frac{b}{a}$ ).

Signe des racines. Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors $a c < 0$ , donc $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ : il y a deux racines, et leur produit $\frac{c}{a} < 0$ montre qu’elles sont de signes contraires.

Exemples

Démonstration. Si $Δ > 0$ : $x_{1} + x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ} - b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a}$ $= - \frac{b}{a}$ et $x_{1} x_{2} = \frac{(- b)^{2} - {(\sqrt{Δ})}^{2}}{4 a^{2}}$ $= \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a}$ . Si $Δ = 0$ , $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ : la somme vaut $- \frac{b}{a}$ et le produit $\frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a}$ , car $b^{2} = 4 a c$ .

Démonstration de la réciproque. Si $u + v = S$ et $u v = P$ , alors pour tout $x$ , $(x - u) (x - v) = x^{2} - (u + v) x + u v$ $= x^{2} - S x + P$ : les solutions de $x^{2} - S x + P = 0$ sont exactement $u$ et $v$ .

Racine $1$ . $2 x^{2} - 9 x + 7$ : $2 - 9 + 7 = 0$ , donc $1$ est racine. Le produit des racines vaut $\frac{7}{2}$ , donc l’autre racine est $\frac{7}{2}$ . Contrôle par la somme : $1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2} = - \frac{- 9}{2}$ .

Autre racine évidente. $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ : $5^{2} + 2 \times 5 - 35 = 0$ , donc $5$ est solution. Le produit des solutions vaut $- 35$ , l’autre est $- 7$ . Contrôle : $5 + (- 7) = - 2 = - \frac{2}{1}$ .

Somme et produit donnés. Deux nombres ont pour somme $11$ et pour produit $28$ : ce sont les solutions de $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ . $Δ = 121 - 112 = 9$ , d’où $\frac{11 - 3}{2} = 4$ et $\frac{11 + 3}{2} = 7$ .

Expression symétrique. $3 x^{2} - 6 x - 1 = 0$ : $a$ et $c$ sont de signes contraires, il y a donc deux racines. $S = 2$ et $P = - \frac{1}{3}$ , donc $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $= (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ $= 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$ , sans calculer les racines.

Réflexe — Avant de calculer $Δ$ , je teste $1$ ( $a + b + c = 0$ ?) et $- 1$ ( $a - b + c = 0$ ?). Si l’un marche, le produit $\frac{c}{a}$ donne l’autre racine, et la somme $- \frac{b}{a}$ sert de contrôle.

Attention — Les formules $- \frac{b}{a}$ et $\frac{c}{a}$ ne décrivent des racines que si $Δ ⩾ 0$ : pour $x^{2} + x + 1$ , $Δ < 0$ , il n’y a pas de racines, même si $- \frac{b}{a} = - 1$ se calcule. Et l’équation associée à $S$ et $P$ est $x^{2} - S x + P = 0$ , avec un signe « $-$ » devant $S$ .

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Pour aller plus loin

Signe du trinôme et inéquations. Le signe de $a x^{2} + b x + c$ (signe de $a$ à l’extérieur des racines), les tableaux de signes, les inéquations du second degré et la position de deux courbes sont traités dans le chapitre Signe du trinôme et inéquations.

Variations par la dérivée. Le sens de variation d’un trinôme se retrouve aussi avec sa dérivée $f' (x) = 2 a x + b$ , qui s’annule en $α = - \frac{b}{2 a}$ : voir le chapitre Variations, extremums et courbes.

À retenir

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ) : forme développée ; $a (x - α)^{2} + β$ : forme canonique ; $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ : forme factorisée. Le même $a$ partout.
$α = - \frac{b}{2 a}$ , $β = f (α)$ ; sommet $S (α; β)$ ; minimum $β$ si $a > 0$ , maximum $β$ si $a < 0$ .
$Δ = b^{2} - 4 a c$ : deux solutions $\frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ si $Δ > 0$ , une solution $- \frac{b}{2 a}$ si $Δ = 0$ , aucune si $Δ < 0$ .
Factorisation : $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ si $Δ > 0$ , $a (x - x_{0})^{2}$ si $Δ = 0$ , impossible si $Δ < 0$ .
Si $Δ ⩾ 0$ : $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ et $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ; $1$ est racine si $a + b + c = 0$ ; deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont les solutions de $x^{2} - S x + P = 0$ .

Questions fréquentes

Comment choisir entre forme développée, canonique et factorisée ?

On choisit la forme qui répond à la question : la forme développée donne f(0) = c et sert à calculer le discriminant ; la forme canonique a(x − α)² + β donne le sommet, l’extremum et les variations ; la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) donne les solutions de f(x) = 0. Le coefficient a est le même dans les trois.

Comment trouver la forme canonique d’un trinôme ?

On calcule α = −b/(2a), puis β = f(α), et on écrit f(x) = a(x − α)² + β. On peut aussi factoriser a dans les termes en x² et en x et compléter le carré : x² + px = (x + p/2)² − p²/4. Le sommet de la parabole est S(α ; β).

Comment résoudre une équation du second degré avec le discriminant ?

On ramène l’équation à la forme ax² + bx + c = 0, on calcule Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, deux solutions (−b − √Δ)/(2a) et (−b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, une seule solution −b/(2a) ; si Δ < 0, aucune solution réelle. Si b = 0 ou c = 0, on factorise directement.

Comment factoriser un trinôme du second degré ?

On cherche ses racines : si Δ > 0, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) ; si Δ = 0, ax² + bx + c = a(x − x₀)² ; si Δ < 0, le trinôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré. Il ne faut pas oublier le coefficient a devant les parenthèses.

À quoi servent la somme et le produit des racines ?

Si Δ ≥ 0, les racines vérifient x₁ + x₂ = −b/a et x₁x₂ = c/a. Avec une racine évidente (1 est racine quand a + b + c = 0), le produit donne l’autre racine sans calculer Δ. Et deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de x² − Sx + P = 0.

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