Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Second degré
Polynômes du second degré, discriminant et équations $ax^2+bx+c=0$ — programme de 1re Spé Maths
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Étude d'un trinôme
/ 5 pts- Soit $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$. Calculer le discriminant $\Delta$ de $f$.
- En déduire les racines $x_1$ et $x_2$ de $f$ (avec $x_1 \lt x_2$).
- Écrire $f$ sous forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$.
- Dresser le tableau de signes de $f$ sur $\mathbb{R}$.
- En déduire les solutions de l'inéquation $2x^2 - 4x - 6 \leq 0$.
Exercice 2 — Forme canonique et extremum
/ 4 pts- Soit $g(x) = -3x^2 + 6x + 1$. Déterminer les coordonnées du sommet $S(\alpha, \beta)$ de la parabole.
- Écrire $g$ sous forme canonique.
- $g$ admet-elle un minimum ou un maximum ? Justifier.
- Donner la valeur de cet extremum et la valeur de $x$ où il est atteint.
Exercice 3 — Équation du second degré
/ 5 pts- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 - 3x - 10 = 0$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $4x^2 - 4x + 1 = 0$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 + x + 3 = 0$ (justifier l'absence de solution).
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(2x-1)^2 = 9$.
Exercice 4 — Problème d'optimisation
/ 4 pts- Un fermier clôture un enclos rectangulaire en utilisant 80 m de grillage. Il adosse l'enclos à un bâtiment (un seul côté n'a pas besoin de grillage). La largeur est notée $x$.
- Exprimer la longueur $\ell$ en fonction de $x$.
- Montrer que l'aire $A(x) = -x^2 + 40x$.
- Déterminer la valeur de $x$ qui maximise l'aire et calculer l'aire maximale.
Exercice 5 — Relations de Viète et reconstruction
/ 2 pts- Les racines du trinôme $5x^2 + bx + 3$ vérifient $x_1 + x_2 = -\dfrac{3}{5}$. Déterminer $b$.
- Écrire (coefficient dominant 2) le trinôme dont les racines sont $-1$ et $\dfrac{3}{2}$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Étude d'un trinôme
Corrigé :
1. $\Delta = 16 + 48 = 64$.
2. $x_1 = \frac{4-8}{4} = -1$, $x_2 = \frac{4+8}{4} = 3$.
3. $f(x) = 2(x+1)(x-3)$.
4. $a=2\gt 0$ donc $f\lt 0$ entre les racines : $f(x)\lt 0$ pour $x\in]-1;3[$ et $f(x)\gt 0$ sinon.
5. Solution : $[-1\,;\,3]$.
Exercice 2 — Forme canonique et extremum
Corrigé :
1. $\alpha = -\frac{6}{-6} = 1$ ; $\beta = g(1) = -3+6+1 = 4$. Sommet $S(1;4)$.
2. $g(x) = -3(x-1)^2 + 4$.
3. $a=-3\lt 0$ donc la parabole est ouverte vers le bas : $g$ admet un maximum.
4. Maximum de $4$ atteint en $x=1$.
Exercice 3 — Équation du second degré
Corrigé :
1. $\Delta=9+40=49$, $x_1=\frac{3-7}{2}=-2$, $x_2=\frac{3+7}{2}=5$. Solutions : $\{-2\,;\,5\}$.
2. $\Delta=16-16=0$, racine double $x_0=\frac{1}{2}$.
3. $\Delta=1-12=-11\lt 0$ : pas de solution dans $\mathbb{R}$.
4. $(2x-1)^2=9 \Rightarrow 2x-1=\pm3$. $2x-1=3 \Rightarrow x=2$ ; $2x-1=-3 \Rightarrow x=-1$. Solutions : $\{-1\,;\,2\}$.
Exercice 4 — Problème d'optimisation
Corrigé :
1–2. Deux largeurs $x$ + une longueur $\ell = 80 \Rightarrow \ell = 80-2x$. Contrainte : $x\gt 0$ et $80-2x\gt 0 \Rightarrow x\lt 40$.
3. $A(x) = x(80-2x) = 80x-2x^2 = -2x^2+80x$. (Si un seul côté de longueur, $2x+\ell=80$, $A=-x^2+40x$. Préciser selon interprétation : 2 largeurs + 1 longueur = 80, $A=x(80-2x)=-2x^2+80x$.)
4. Sommet : $\alpha = -\frac{80}{2\times(-2)} = 20$. Aire max : $A(20) = -2(400)+1600 = 800$ m².
Exercice 5 — Relations de Viète et reconstruction
Corrigé :
1. $x_1+x_2 = -\frac{b}{5} = -\frac{3}{5} \Rightarrow b = 3$.
2. Somme des racines : $-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} = -\frac{b}{a} = -\frac{b}{2} \Rightarrow b=-1$. Produit : $(-1)\times\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}=\frac{c}{2} \Rightarrow c=-3$. Trinôme : $2x^2-x-3$.
Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Second degré » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Étude d'un trinôme/ 5 pts
- Exercice 2 — Forme canonique et extremum/ 4 pts
- Exercice 3 — Équation du second degré/ 5 pts
- Exercice 4 — Problème d'optimisation/ 4 pts
- Exercice 5 — Relations de Viète et reconstruction/ 2 pts
Notions évaluées
Définition et vocabulaire, Forme canonique, Discriminant et racines, Signe du trinôme, Représentation graphique : la parabole, Équations et inéquations du second degré.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Second degré » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Second degré » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit Définition et vocabulaire, Forme canonique, Discriminant et racines, Signe du trinôme.
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