Second degré : forme canonique, équations et factorisation

1. a)$(2x+1)(x-4)=2x^2-8x+x-4$ $=2x^2-7x-4$. (1)
2. b)$x+5=x-(-5)$ : $\alpha =-5$ et $\beta =3$. Le sommet est $S(-5;3)$. (1)
3. c)$\Delta =1^2-4\times 2\times 1=1-8=-7<0$ : aucune solution réelle. (1)

Repère — Dans a(x − α)² + β, le sommet se lit directement : attention au signe de α.

1. a)$a=-3$, $b=12$, $c=15$ : $\Delta ={12}^2-4\times (-3)\times 15=144+180$ $=324={18}^2$. (1)
2. b)Pour tout réel $x$ : $-3(x-2{)}^2+27$ $=-3(x^2-4x+4)+27$ $=-3x^2+12x-12+27$ $=-3x^2+12x+15=f(x)$. (1)
3. c)$\Delta =324>0$, $\sqrt{324}=18$ : les racines sont ${\displaystyle \frac{-12-18}{-6}}=5$ et ${\displaystyle \frac{-12+18}{-6}}=-1$. Donc $f(x)=-3(x+1)(x-5)$. (On peut aussi partir de la forme canonique : $27-3(x-2{)}^2=3[9-(x-2{)}^2]$ $=3(3-x+2)(3+x-2)$ $=3(5-x)(x+1)$.) (1)
4. d)Forme canonique avec $a=-3<0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty ;2]$ et décroissante sur $[2;+\infty [$. Elle admet un maximum égal à $27$, atteint en $x=2$. (1)

Méthode — Chaque forme a son usage : développée pour Δ, canonique pour les variations, factorisée pour les racines.

1. a)$\Delta =(-4{)}^2-4\times 4\times (-15)=16+240$ $=256={16}^2>0$. Deux solutions : $x={\displaystyle \frac{4-16}{8}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $x={\displaystyle \frac{4+16}{8}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$. $𝒮=\{-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\}$. (1)
2. b)$\Delta ={30}^2-4\times 9\times 25=900-900=0$. Une seule solution : $x_0=-{\displaystyle \frac{30}{18}}=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$. $𝒮=\{-{\displaystyle \frac{5}{3}}\}$. (1)
3. c)$\Delta =(-1{)}^2-4\times 2\times 6=1-48=-47<0$ : aucune solution réelle. $𝒮=\varnothing$. (1)
4. d)On ne divise pas par $x$ : $6x^2=11x⟺6x^2-11x=0$ $⟺x(6x-11)=0⟺x=0$ ou $x={\displaystyle \frac{11}{6}}$. $𝒮=\left\{0;{\displaystyle \frac{11}{6}}\right\}$. (1)

Piège — Quand c = 0, on factorise par x : diviser par x ferait perdre la solution 0.

1. a)Pour $x=1$, $7x^2-3x-4$ vaut $7-3-4=0$ : $1$ est solution (on a bien $a+b+c=0$). (1)
2. b)Le produit des solutions vaut ${\displaystyle \frac{c}{a}}=-{\displaystyle \frac{4}{7}}$. Comme l’une vaut $1$, l’autre vaut $-{\displaystyle \frac{4}{7}}$. Contrôle par la somme : $1-{\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{3}{7}}=-{\displaystyle \frac{-3}{7}}$. (1)
3. c)$\Delta =3^2-4\times 1\times (-1)=9+4=13>0$ : deux solutions distinctes. Leur somme vaut $S=-{\displaystyle \frac{b}{a}}=-3$ et leur produit $P={\displaystyle \frac{c}{a}}=-1$. Donc $x_1^2+x_2^2$ $=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$ $=S^2-2P=9+2=11$. (1)

Repère — x₁² + x₂² = S² − 2P : une expression symétrique des racines se calcule sans les racines.

1. a)La longueur vaut $x+4$, donc l’aire vaut $x(x+4)$. Ainsi $x(x+4)=96⟺x^2+4x-96=0$. (1)
2. b)$\Delta =4^2-4\times 1\times (-96)=16+384=400$ $={20}^2>0$. Deux solutions : $x={\displaystyle \frac{-4-20}{2}}=-12$ et $x={\displaystyle \frac{-4+20}{2}}=8$. $𝒮=\{-12;8\}$. (1)
3. c)Une largeur est positive : on écarte $-12$. Le jardin mesure $8$ m de large et $8+4=12$ m de long. Contrôle : $8\times 12=96$ m². (1)
4. d)$x(x+4)=50⟺x^2+4x-50=0$. $\Delta =16+200=216=36\times 6$, donc $\sqrt{216}=6\sqrt{6}$. Solutions : ${\displaystyle \frac{-4\pm 6\sqrt{6}}{2}}=-2\pm 3\sqrt{6}$. Seule $-2+3\sqrt{6}$ est positive (car $3\sqrt{6}>2$) : la largeur vaut $-2+3\sqrt{6}$ m et la longueur $2+3\sqrt{6}$ m. (1)

Méthode — Dans un problème, on garde seulement les solutions qui ont un sens : une longueur est positive.

1. a)L’élève a calculé $-6^2=-36$, alors que $b^2=(-6{)}^2=36$. En fait $\Delta =36-4\times 1\times 5=16>0$ : deux solutions ${\displaystyle \frac{6-4}{2}}=1$ et ${\displaystyle \frac{6+4}{2}}=5$. (On pouvait aussi voir que $1$ est racine évidente : $1-6+5=0$, et le produit $5$ donne l’autre.) $𝒮=\{1;5\}$. (1)
2. b)Pour tout réel $m$, $m^2+1⩾1>0$, donc le coefficient de $x^2$ n’est jamais nul : l’équation est du second degré. Son discriminant vaut $\Delta =1^2-4(m^2+1)(-1)$ $=1+4m^2+4=4m^2+5>0$. Elle a donc toujours deux solutions distinctes. (1)

Piège — b² se calcule avec des parenthèses : (−6)² = 36, alors que −6² = −36.