Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Second degré : forme canonique, équations et factorisation
Trinôme et parabole, formes développée, canonique et factorisée, sommet et variations, discriminant et résolution de ax² + bx + c = 0, factorisation, somme et produit des racines, racine évidente.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Laquelle de ces fonctions est une fonction polynôme du second degré ?
- A. f(x) = 3x² − √2·x
- B. f(x) = 2x³ + x²
- C. f(x) = 1/x² + 1
- D. f(x) = (x + 2)² − x²
Réponse
A. f(x) = 3x² − √2·x — 3x² − √2·x est de la forme ax² + bx + c avec a = 3 ≠ 0, b = −√2, c = 0. La dernière se réduit à 4x + 4, qui est affine.
Le discriminant de 2x² + 3x − 1 vaut :
- A. 1
- B. 17
- C. −1
- D. −17
Réponse
B. 17 — Δ = 3² − 4 × 2 × (−1) = 9 + 8 = 17.
La parabole d’équation y = 4(x − 5)² + 1 a pour sommet :
- A. (−5 ; 1)
- B. (1 ; 5)
- C. (5 ; 1)
- D. (5 ; −1)
Réponse
C. (5 ; 1) — Forme canonique a(x − α)² + β avec α = 5 et β = 1.
Si Δ < 0, l’équation ax² + bx + c = 0 :
- A. a deux solutions opposées
- B. a une solution double
- C. a deux solutions distinctes
- D. n’a aucune solution réelle
Réponse
D. n’a aucune solution réelle — Un discriminant strictement négatif signifie qu’il n’y a aucune solution réelle.
Si a < 0, la fonction x ↦ ax² + bx + c admet :
- A. un minimum en −b/(2a)
- B. un maximum en −b/(2a)
- C. un maximum égal à b/(2a)
- D. un minimum en b/(2a)
Réponse
B. un maximum en −b/(2a) — Parabole tournée vers le bas : maximum atteint en α = −b/(2a).
Les solutions de (x − 3)(2x + 8) = 0 sont :
- A. 3 et −4
- B. −3 et 4
- C. 3 et −8
- D. −3 et −8
Réponse
A. 3 et −4 — Produit nul : x − 3 = 0 ou 2x + 8 = 0, soit x = 3 ou x = −4.
Pour f(x) = 5x² − x + 2, les coefficients sont :
- A. a = −5, b = −1, c = 2
- B. a = 2, b = −1, c = 5
- C. a = 5, b = −x, c = 2
- D. a = 5, b = −1, c = 2
Réponse
D. a = 5, b = −1, c = 2 — a est le coefficient de x², b celui de x (ici −1, un nombre et non −x), c la constante.
La somme des racines de x² − 13x + 40 vaut :
- A. −13
- B. 40
- C. 13
- D. −40
Réponse
C. 13 — Δ = 169 − 160 = 9 > 0 et x₁ + x₂ = −b/a = 13 (les racines sont 5 et 8).
Les racines du trinôme 2(x − 1)(x + 6) sont :
- A. 1 et 6
- B. −1 et 6
- C. 1 et −6
- D. 2, 1 et −6
Réponse
C. 1 et −6 — Produit nul : x − 1 = 0 ou x + 6 = 0, soit 1 et −6. Le facteur 2 ne s’annule jamais.
Le trinôme f(x) = 2(x + 3)² − 7 atteint son minimum pour x égal à :
- A. 3
- B. −3
- C. −7
- D. 7
Réponse
B. −3 — x + 3 = x − (−3) : α = −3 et β = −7. Comme a = 2 > 0, f(x) ≥ −7, avec égalité pour x = −3 : le minimum −7 est atteint en x = −3.
L’équation 9x² − 12x + 4 = 0 a pour unique solution :
- A. −2/3
- B. 3/2
- C. 4/9
- D. 2/3
Réponse
D. 2/3 — Δ = 144 − 144 = 0 et x₀ = 12/18 = 2/3 ; on reconnaît (3x − 2)² = 0.
La fonction f(x) = (x − 2)² + 5 admet sur ℝ :
- A. un minimum égal à 5
- B. un maximum égal à 5
- C. un minimum égal à 2
- D. un maximum égal à 2
Réponse
A. un minimum égal à 5 — a = 1 > 0 et (x − 2)² ≥ 0 : f(x) ≥ 5, avec égalité en x = 2. Le minimum vaut 5.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
La forme canonique de x² + 10x + 21 est :
- A. (x − 5)² − 4
- B. (x + 10)² − 79
- C. (x + 5)² − 4
- D. (x + 5)² + 21
Réponse
C. (x + 5)² − 4 — x² + 10x = (x + 5)² − 25, donc x² + 10x + 21 = (x + 5)² − 4.
Les solutions de x² − x − 12 = 0 sont :
- A. −3 et 4
- B. 3 et −4
- C. −4 et −3
- D. 3 et 4
Réponse
A. −3 et 4 — Δ = 1 + 48 = 49, solutions (1 ± 7)/2, soit 4 et −3.
Une factorisation de 2x² − 7x + 3 est :
- A. (x − 3)(x − 1/2)
- B. (2x + 1)(x + 3)
- C. 2(x − 3)(x − 1)
- D. (2x − 1)(x − 3)
Réponse
D. (2x − 1)(x − 3) — Δ = 49 − 24 = 25, racines 3 et 1/2 ; 2(x − 3)(x − 1/2) = (2x − 1)(x − 3). L’écriture (x − 3)(x − 1/2) oublie le facteur 2.
Le sommet de la parabole d’équation y = −2x² + 8x − 3 est :
- A. (−2 ; −27)
- B. (2 ; 5)
- C. (4 ; −3)
- D. (2 ; −5)
Réponse
B. (2 ; 5) — α = −8/(−4) = 2 et β = −8 + 16 − 3 = 5.
1 est racine de 4x² + x − 5. L’autre racine est :
- A. −5/4
- B. 5/4
- C. −5
- D. −1/4
Réponse
A. −5/4 — Produit des racines : c/a = −5/4, donc l’autre racine est −5/4.
Le nombre de solutions réelles de 3x² − 2x + 1 = 0 est :
- A. deux
- B. une
- C. aucune
- D. une infinité
Réponse
C. aucune — Δ = 4 − 12 = −8 < 0 : aucune solution réelle.
Deux nombres ont pour somme 6 et pour produit −16. Ils sont solutions de :
- A. x² + 6x − 16 = 0
- B. x² − 6x − 16 = 0
- C. x² − 6x + 16 = 0
- D. x² − 16x + 6 = 0
Réponse
B. x² − 6x − 16 = 0 — Ils sont solutions de x² − Sx + P = 0, soit x² − 6x − 16 = 0 (ce sont 8 et −2).
L’équation x² = 5x a pour solutions :
- A. 5 seulement
- B. −5 et 0
- C. √5 et −√5
- D. 0 et 5
Réponse
D. 0 et 5 — x² − 5x = 0 ⟺ x(x − 5) = 0 : x = 0 ou x = 5. Diviser par x ferait perdre 0.
Les solutions de 3x² − 12 = 0 sont :
- A. 4 et −4
- B. 2 et −2
- C. 2 seulement
- D. √12 et −√12
Réponse
B. 2 et −2 — b = 0 : 3x² = 12 ⟺ x² = 4 ⟺ x = 2 ou x = −2.
La parabole de sommet S(1 ; 4) passant par le point (0 ; 2) a pour coefficient a :
- A. 2
- B. 6
- C. −6
- D. −2
Réponse
D. −2 — f(x) = a(x − 1)² + 4 et f(0) = a + 4 = 2, donc a = −2.
La plus grande solution de x² − 2x − 6 = 0 est :
- A. 2 + √7
- B. 1 + √28
- C. 1 + √7
- D. −1 + √7
Réponse
C. 1 + √7 — Δ = 4 + 24 = 28 et √28 = 2√7 : x = (2 ± 2√7)/2 = 1 ± √7.
Pour x ≠ 1, (x² + 3x − 4)/(x − 1) est égal à :
- A. x + 4
- B. x − 4
- C. x + 3
- D. x² + 4
Réponse
A. x + 4 — 1 est racine évidente de x² + 3x − 4 (1 + 3 − 4 = 0), l’autre est −4 (produit) : x² + 3x − 4 = (x − 1)(x + 4).
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Pour quelle valeur de m l’équation x² + mx + 16 = 0 a-t-elle pour unique solution −4 ?
- A. m = −8
- B. m = 8
- C. m = 8 ou m = −8
- D. m = 4
Réponse
B. m = 8 — Δ = m² − 64 = 0 donne m = 8 ou m = −8 ; la solution −m/2 vaut −4 seulement pour m = 8.
On a f(x) = a(x − 1)(x + 2) et f(0) = 4. Alors a vaut :
- A. 2
- B. −1/2
- C. −4
- D. −2
Réponse
D. −2 — f(0) = a × (−1) × 2 = −2a = 4, donc a = −2.
Si a et c sont de signes contraires, l’équation ax² + bx + c = 0 :
- A. a deux racines de signes contraires
- B. n’a aucune solution réelle
- C. a deux racines de même signe
- D. peut n’avoir qu’une racine double
Réponse
A. a deux racines de signes contraires — ac < 0 donne Δ = b² − 4ac > 0 : deux racines ; leur produit c/a est négatif, elles sont de signes contraires.
La fonction f(x) = (x − 2)(x + 6) atteint son minimum en :
- A. x = 2
- B. x = −6
- C. x = −2
- D. x = −16
Réponse
C. x = −2 — Le minimum est atteint en α = −b/(2a) ; ici f(x) = x² + 4x − 12, donc α = −4/2 = −2, le milieu des racines 2 et −6 (−16 est la valeur du minimum).
L’équation (m − 2)x² + 3x + 1 = 0 est du second degré :
- A. pour tout réel m
- B. uniquement lorsque m > 2
- C. seulement si m = 2
- D. pour tout m ≠ 2
Réponse
D. pour tout m ≠ 2 — Il faut et il suffit que le coefficient de x² soit non nul : m − 2 ≠ 0.
Un élève écrit : « x² + 4x + 7 se factorise en (x + 2)² + 3 ». Qu’en penser ?
- A. C’est une factorisation correcte du trinôme
- B. C’est la forme canonique, pas un produit
- C. C’est faux : (x + 2)² + 3 = x² + 4x + 3
- D. C’est faux, car son discriminant est nul
Réponse
B. C’est la forme canonique, pas un produit — L’égalité est juste, mais c’est une somme, pas un produit ; comme Δ = 16 − 28 < 0, le trinôme ne se factorise pas.
Les racines x₁ et x₂ de x² − 5x + 2 vérifient 1/x₁ + 1/x₂ =
- A. 2/5
- B. −5/2
- C. 5/2
- D. 10
Réponse
C. 5/2 — Δ = 17 > 0 ; 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 5/2.
Un trinôme f s’annule en −3 et en 11. Il atteint son extremum pour x égal à :
- A. 4
- B. 7
- C. −4
- D. 8
Réponse
A. 4 — f(x) = a(x + 3)(x − 11) = a(x² − 8x − 33), donc l’extremum est atteint en α = −b/(2a) = 8a/(2a) = 4, le milieu de −3 et 11. Répondre 7, c’est prendre la demi-distance entre les racines.
Pour quelle valeur de c le nombre 2 est-il racine de x² + 3x + c ?
- A. c = 10
- B. c = −10
- C. c = −2
- D. c = 4
Réponse
B. c = −10 — 2 est racine si 4 + 6 + c = 0, soit c = −10.
L’équation x⁴ − 3x² − 4 = 0 a, dans ℝ :
- A. quatre solutions
- B. une seule solution
- C. deux solutions
- D. aucune solution
Réponse
C. deux solutions — Avec X = x² : X² − 3X − 4 = 0 donne X = 4 ou X = −1. x² = −1 est impossible et x² = 4 donne x = 2 ou x = −2.
Les racines x₁ et x₂ de 2x² − 6x + 1 vérifient x₁² + x₂² =
- A. 9
- B. 17/2
- C. 10
- D. 8
Réponse
D. 8 — Δ = 28 > 0 ; S = 3 et P = 1/2, donc x₁² + x₂² = S² − 2P = 9 − 1 = 8.
Un trinôme f vérifie f(1) = f(9). L’abscisse du sommet de sa parabole est :
- A. 4
- B. 5
- C. 10
- D. 8
Réponse
B. 5 — Deux réels distincts de même image sont symétriques par rapport à α : α = (1 + 9)/2 = 5.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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