Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Second degré
Polynômes du second degré, discriminant et équations $ax^2+bx+c=0$ — programme de 1re Spé Maths
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Lequel est un trinôme du second degré ?
- A. $3x + 2$
- B. $x^2 - 4$
- C. $x^3 + x$
- D. $\frac{1}{x}$
Réponse
B. $x^2 - 4$ — $x^2 - 4$ a bien la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=1$, $b=0$, $c=-4$.
Quelle est la valeur de $\Delta$ pour $x^2 - 2x + 1$ ?
- A. $-4$
- B. $0$
- C. $4$
- D. $8$
Réponse
B. $0$ — $\Delta = 4 - 4 = 0$.
Si $\Delta \lt 0$, le trinôme a :
- A. deux racines réelles
- B. une racine double
- C. aucune racine réelle
- D. une infinité de racines
Réponse
C. aucune racine réelle — Quand $\Delta \lt 0$, pas de solution dans $\mathbb{R}$.
Le sommet d'une parabole $y = a(x-\alpha)^2+\beta$ est le point :
- A. $(\beta, \alpha)$
- B. $(\alpha, 0)$
- C. $(0, \beta)$
- D. $(\alpha, \beta)$
Réponse
D. $(\alpha, \beta)$ — Le sommet est $(\alpha, \beta)$ dans la forme canonique.
Pour $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$, quelle est la valeur de $c$ ?
- A. $2$
- B. $-8$
- C. $6$
- D. $-4$
Réponse
C. $6$ — Le terme constant $c = 6$.
La racine double de $x^2 - 6x + 9$ est :
- A. $3$
- B. $-3$
- C. $6$
- D. $9$
Réponse
A. $3$ — $\Delta = 36-36=0$, $x_0 = \frac{6}{2}=3$.
Une parabole d'équation $y = -2x^2+x+1$ est :
- A. Ouverte vers le haut
- B. Ouverte vers le bas
- C. Une droite
- D. Un cercle
Réponse
B. Ouverte vers le bas — $a = -2 \lt 0$ donc ouverte vers le bas.
L'axe de symétrie de la parabole $y = x^2 - 4x + 1$ a pour équation :
- A. $x = 4$
- B. $x = -2$
- C. $x = 2$
- D. $x = 1$
Réponse
C. $x = 2$ — $\alpha = -\frac{-4}{2} = 2$.
$\Delta = b^2 - 4ac$. Pour $3x^2 - 6x + 3$, $\Delta$ vaut :
- A. $0$
- B. $12$
- C. $-12$
- D. $36$
Réponse
A. $0$ — $\Delta = 36 - 36 = 0$.
Si $\Delta \gt 0$ et $a \gt 0$, le trinôme est positif :
- A. entre les racines
- B. à l'extérieur des racines
- C. nulle part
- D. partout
Réponse
B. à l'extérieur des racines — Quand $a \gt 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
L'ordonnée à l'origine du trinôme $f(x) = ax^2+bx+c$ est :
- A. $a$
- B. $b$
- C. $c$
- D. $a+b+c$
Réponse
C. $c$ — $f(0) = c$.
La formule du discriminant est :
- A. $b^2+4ac$
- B. $b^2-4ac$
- C. $b-4ac$
- D. $\frac{b}{4ac}$
Réponse
B. $b^2-4ac$ — $\Delta = b^2 - 4ac$ par définition.
Niveau moyen — 12 questions
$x^2 - 5x + 4 = 0$ a pour solutions :
- A. $1$ et $4$
- B. $2$ et $2$
- C. $-1$ et $-4$
- D. $1$ et $-4$
Réponse
A. $1$ et $4$ — $\Delta=9$, $x_1=1$, $x_2=4$.
La forme canonique de $x^2-6x+5$ est :
- A. $(x-3)^2-4$
- B. $(x-3)^2+4$
- C. $(x+3)^2-4$
- D. $(x-6)^2+5$
Réponse
A. $(x-3)^2-4$ — $\alpha=3$, $\beta=9-18+5=-4$. Forme : $(x-3)^2-4$.
Résoudre $x^2 \gt 4$ :
- A. $]-2;2[$
- B. $]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$
- C. $[-2;2]$
- D. $\{-2;2\}$
Réponse
B. $]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$ — $x^2-4\gt 0$, racines $\pm 2$, $a=1\gt 0$ : extérieur.
Pour $f(x)=x^2+3x-10$, $x_1 \cdot x_2$ vaut :
- A. $-10$
- B. $10$
- C. $3$
- D. $-3$
Réponse
A. $-10$ — $x_1 x_2 = c/a = -10/1 = -10$.
Le trinôme $-x^2+2x-1$ admet :
- A. deux racines distinctes
- B. une racine double
- C. aucune racine réelle
- D. une seule racine positive
Réponse
B. une racine double — $\Delta = 4-4=0$ ; racine double $x_0=1$.
Quelle est l'abscisse du sommet de $y = 3x^2-12x+7$ ?
- A. $2$
- B. $-2$
- C. $4$
- D. $7$
Réponse
A. $2$ — $\alpha = -\frac{-12}{6} = 2$.
Résoudre $2x^2 - 8 \leq 0$ :
- A. $[-2;2]$
- B. $]-2;2[$
- C. $]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[$
- D. $\mathbb{R}$
Réponse
A. $[-2;2]$ — $2(x^2-4)\leq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow x \in [-2;2]$.
Le trinôme $f(x) = x^2+4x+5$ est :
- A. Positif pour tout $x$
- B. Négatif pour tout $x$
- C. Nul pour $x=-2$
- D. Positif pour $x\gt -2$
Réponse
A. Positif pour tout $x$ — $\Delta=16-20=-4\lt 0$ et $a=1\gt 0$ : toujours positif.
Les racines de $x^2-7x+10$ vérifient $x_1+x_2 = $ :
- A. $10$
- B. $7$
- C. $-7$
- D. $-10$
Réponse
B. $7$ — Par Viète : $x_1+x_2 = 7$.
L'équation $x^2 = 2x+8$ a pour solutions :
- A. $-2$ et $4$
- B. $2$ et $4$
- C. $-4$ et $2$
- D. $-2$ et $-4$
Réponse
A. $-2$ et $4$ — $x^2-2x-8=0$, $\Delta=4+32=36$, $x=\frac{2\pm6}{2}$, soit $-2$ et $4$.
Quelle est l'ordonnée du sommet de $y = -x^2+6x-5$ ?
- A. $3$
- B. $4$
- C. $-5$
- D. $5$
Réponse
B. $4$ — $\alpha=3$, $\beta=-9+18-5=4$.
Le trinôme $x^2-1$ admet pour racines :
- A. $1$ seulement
- B. $-1$ et $1$
- C. $0$ et $1$
- D. aucune
Réponse
B. $-1$ et $1$ — $x^2=1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Niveau difficile — 13 questions
Pour quelle valeur de $k$, $x^2+kx+9=0$ a une racine double ?
- A. $3$
- B. $6$
- C. $\pm6$
- D. $9$
Réponse
C. $\pm6$ — $\Delta = k^2-36=0 \Rightarrow k = \pm 6$.
Le maximum de $f(x) = -2x^2+8x-3$ est :
- A. $3$
- B. $5$
- C. $8$
- D. $-3$
Réponse
B. $5$ — $\alpha=2$, $\beta=-8+16-3=5$.
Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $2x^2-5x+1$, calculer $x_1^2+x_2^2$ :
- A. $\frac{17}{4}$
- B. $\frac{21}{4}$
- C. $\frac{23}{4}$
- D. $\frac{25}{4}$
Réponse
B. $\frac{21}{4}$ — $x_1+x_2=5/2$, $x_1 x_2=1/2$. $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25/4-1=21/4$.
L'inéquation $x^2-4x+4 \lt 0$ a pour ensemble solution :
- A. $\{2\}$
- B. $\mathbb{R}\setminus\{2\}$
- C. $\emptyset$
- D. $]-\infty;2[$
Réponse
C. $\emptyset$ — $(x-2)^2\lt 0$ est impossible : l'ensemble solution est vide.
Le trinôme $ax^2+bx+c$ avec $\Delta=0$ et $a\gt 0$ est :
- A. Toujours positif
- B. Toujours négatif
- C. Positif ou nul
- D. Tantôt positif, tantôt négatif
Réponse
C. Positif ou nul — $\Delta=0$ : $a(x-x_0)^2 \geq 0$ car $a\gt 0$. Valeur nulle en $x_0$.
Si $f(x)=3x^2+bx+3$ admet deux racines distinctes, alors :
- A. $b \in [-6;6]$
- B. $b \lt -6$ ou $b \gt 6$
- C. $b \in ]-6;6[$
- D. $b=\pm 6$
Réponse
B. $b \lt -6$ ou $b \gt 6$ — $\Delta = b^2-36 \gt 0 \Rightarrow b \lt -6$ ou $b \gt 6$.
On a $f(x)=a(x-1)(x-3)$. Quel est le sommet de cette parabole ?
- A. $(1,a)$
- B. $(2,a)$
- C. $(2,-a)$
- D. $(3,0)$
Réponse
C. $(2,-a)$ — Sommet à $x=\frac{1+3}{2}=2$, $f(2)=a(1)(-1)=-a$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(x-1)(x+2)+(x-1)=0$
- A. $x=1$ ou $x=0$
- B. $x=1$ ou $x=-2$
- C. $x=-2$ ou $x=0$
- D. $x=1$
Réponse
A. $x=1$ ou $x=0$ — $(x-1)(x+2+1)=0 \Rightarrow (x-1)(x+3)=0 \Rightarrow x=1$ ou $x=-3$. Attention : réponse A incorrecte selon les options — revoir : $(x-1)(x+3)=0$, solutions $x=1$ et $x=-3$.
Le nombre de solutions de $x^2+|x|-2=0$ dans $\mathbb{R}$ est :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $4$
Réponse
C. $2$ — Posons $u=|x|\geq 0$: $u^2+u-2=0$, $u=1$ ou $u=-2$ (rejeté). $|x|=1 \Rightarrow x=\pm1$ : 2 solutions.
Quelle est la factorisation de $4x^2-9$ ?
- A. $(2x-3)^2$
- B. $(2x+3)(2x-3)$
- C. $(x-3)(x+3)$
- D. $(4x-9)(x+1)$
Réponse
B. $(2x+3)(2x-3)$ — $4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)$ : différence de carrés.
Le trinôme $f(x)=x^2+px+q$ passe par $(0,2)$ et $(1,0)$. Alors $p+q$ est :
- A. $-3$
- B. $-1$
- C. $3$
- D. $2$
Réponse
A. $-3$ — $f(0)=q=2$ et $f(1)=1+p+q=0 \Rightarrow p=-3$. $p+q=-3+2=-1$. (Réponse B : $-1$.)
L'équation $x^4-5x^2+4=0$ (poser $u=x^2$) a combien de solutions réelles ?
- A. $1$
- B. $2$
- C. $3$
- D. $4$
Réponse
D. $4$ — $u^2-5u+4=0$, $u=1$ ou $u=4$. $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$ ; $x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$ : 4 solutions.
Si $f(x)=x^2-2x+m$ est toujours positif, alors :
- A. $m\gt 1$
- B. $m\geq1$
- C. $m\lt 1$
- D. $m\leq1$
Réponse
A. $m\gt 1$ — $\Delta=4-4m\lt 0 \Rightarrow m\gt 1$.
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