Second degré : signe du trinôme et inéquations

1. a)$\Delta =16+84=100$, racines $\frac{-4\pm 10}{2}$ : $-7$ et $3$ ; $a>0$ : positif sur $]-\infty ;-7[\cup ]3;+\infty [$, négatif sur $]-7;3[$. (1)
2. b)$\Delta =144-144=0$ ; $-3x^2+12x-12=-3(x-2{)}^2$ : négatif sur $ℝ$, nul seulement en $2$. (1)
3. c)$\Delta =16-40=-24<0$ et $a=5>0$ : strictement positif pour tout réel $x$. (1)
4. d)D'après a) : $S=]-\infty ;-7]\cup [3;+\infty [$ (racines incluses). (1)

Erreur fréquente — Un discriminant nul donne un trinôme de signe constant qui s'annule une fois : ce n'est pas « aucune racine ».

1. a)$x^2-3x=x(x-3)⩽0$ entre les racines $0$ et $3$ : $S=[0;3]$ (diviser par $x$ aurait perdu $0$). (1)
2. b)$\Delta =4+60=64$, racines $\frac{-2\pm 8}{6}$ : $-\frac{5}{3}$ et $1$ ; $a>0$ : $S=]-\infty ;-\frac{5}{3}[\cup ]1;+\infty [$. (1)
3. c)$\Delta =1-4=-3<0$ et $a=-1<0$ : trinôme toujours négatif, $S=\varnothing$. (1)
4. d)$x^2+2x-11⩾0$, $\Delta =48$, racines $-1\pm 2\sqrt{3}$ : $S=]-\infty ;-1-2\sqrt{3}]\cup [-1+2\sqrt{3};+\infty [$. (1)

À retenir — Avant tout calcul de discriminant, on ramène l'inéquation à une comparaison d'un trinôme avec 0.

1. a)$x^2-6x+5$ : racines $1$ et $5$, négatif entre ; $3-x>0$ pour $x<3$. $P(x)$ : $+$ sur $]-\infty ;1[$, $-$ sur $]1;3[$, $+$ sur $]3;5[$, $-$ sur $]5;+\infty [$ ; nul en $1$, $3$, $5$. (1)
2. b)$S=]-\infty ;1]\cup [3;5]$. (1)
3. c)Valeur interdite $-2$. Quotient : $-$ sur $]-\infty ;-2[$, $+$ sur $]-2;1[$, $-$ sur $]1;5[$, $+$ sur $]5;+\infty [$. $S=]-\infty ;-2[\cup ]1;5[$. (1)
4. d)Pour $x=-3$ : $\frac{9+18+5}{-1}=-32<0$, donc $-3$ est solution, alors que $x^2-6x+5=32>0$. Multiplier par $x+2<0$ inverse l'inégalité. (1)

Attention — On ne multiplie jamais une inéquation par une expression dont on ignore le signe : on étudie le signe du quotient.

1. a)$f(x)-g(x)=2x^2-4x-6$ et $2(x-3)(x+1)=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6$. (1)
2. b)$x=3$ ou $x=-1$ ; $g(-1)=6$, $g(3)=10$ : points $(-1;6)$ et $(3;10)$. (1)
3. c)$a=2>0$ : ${𝒞}_f$ au-dessus sur $]-\infty ;-1[\cup ]3;+\infty [$, en dessous sur $]-1;3[$. (1)
4. d)$f(x)-h(x)=x^2-3$, racines $\pm \sqrt{3}$ : ${𝒞}_f$ au-dessus hors de $[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$, en dessous sur $]-\sqrt{3};\sqrt{3}[$. (1)

Le point clé — La position relative se lit toujours sur le signe de la différence f(x) − g(x), jamais sur un simple dessin.

1. a)Demi-périmètre $13$ : l'autre côté mesure $13-x$, avec $x>0$ et $13-x>0$. $A(x)=x(13-x)=-x^2+13x$. (1)
2. b)$a<0$ : maximum en $\alpha =\frac{13}{2}=6,5$ ; $A(6,5)=42,25$ m² (le jardin est un carré). (1)
3. c)$x^2-13x+36⩽0$, $\Delta =169-144=25$, racines $4$ et $9$ : $x\in [4;9]$. (1)
4. d)$x^2-13x+42,5=0$ : $\Delta =169-170=-1<0$, pas de solution ; cohérent avec le maximum $42,25$ m². (1)

Astuce — Le signe du discriminant de A(x) − k indique immédiatement si l'aire k peut être atteinte.