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Second degré : signe du trinôme et inéquations

Signe de ax² + bx + c selon le discriminant, tableau de signes, résolution d'inéquations du second degré, inéquations produit et quotient, position relative de deux courbes, problèmes d'optimisation simples

À propos de cette page

Ce QCM sur « Second degré : signe du trinôme et inéquations » en première teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de première. Au programme : L'essentiel, Signe du trinôme selon le discriminant, Inéquations du second degré, Inéquations produit et quotient. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en première.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Si le discriminant de $a x^{2} + b x + c$ est strictement négatif, le trinôme est :
- A. du signe de $a$ sur $ℝ$
- B. du signe de $- a$ sur $ℝ$
- C. positif sur $ℝ$
- D. négatif sur $ℝ$
Réponse
A. du signe de $a$ sur $ℝ$ — Sans racine, le trinôme ne change jamais de signe et garde celui de $a$ , qui peut être positif ou négatif.
Le trinôme $x^{2} - 11 x + 24$ a pour racines $3$ et $8$ . Il est strictement négatif pour :
- A. $x < 3$
- B. $3 < x < 8$
- C. $x > 8$
- D. $x < 3$ ou $x > 8$
Réponse
B. $3 < x < 8$ — $a = 1 > 0$ : le trinôme est du signe de $- a$ , donc négatif, strictement entre ses racines.
L'ensemble des solutions de $x^{2} ⩾ 25$ est :
- A. $[- 5; 5]$
- B. $[5; + \infty [$
- C. $] - \infty; - 5] \cup [5; + \infty [$
- D. $ℝ$
Réponse
C. $] - \infty; - 5] \cup [5; + \infty [$ — $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5) ⩾ 0$ à l'extérieur des racines $- 5$ et $5$ , bornes comprises.
Le trinôme $- x^{2} + 8 x - 16$ est :
- A. strictement positif sur $ℝ$
- B. positif sauf en $4$
- C. de signe variable
- D. négatif ou nul sur $ℝ$
Réponse
D. négatif ou nul sur $ℝ$ — $Δ = 64 - 64 = 0$ et $- x^{2} + 8 x - 16 = - (x - 4)^{2}$ : du signe de $a = - 1$ , nul en $4$ .
Dans le tableau de signes d'un quotient, une valeur interdite est signalée par :
- A. un 0 sur la ligne
- B. une double barre
- C. un signe « − » seul
- D. une flèche vers le bas
Réponse
B. une double barre — La double barre rappelle que le quotient n'existe pas : la valeur est exclue des solutions.
Le trinôme $2 (x + 1) (x - 6)$ est strictement positif sur :
- A. $] - \infty; - 1 [\cup] 6; + \infty [$
- B. $] - 1; 6 [$
- C. $] - \infty; - 6 [\cup] 1; + \infty [$
- D. $] - 6; 1 [$
Réponse
A. $] - \infty; - 1 [\cup] 6; + \infty [$ — Racines $- 1$ et $6$ , $a = 2 > 0$ : positif à l'extérieur des racines.
La première étape pour résoudre $3 x^{2} + x ⩽ 2 x + 4$ est de :
- A. diviser les deux membres par $x$
- B. prendre la racine carrée de chaque membre, puis conclure
- C. calculer $f (0)$ et lire le signe
- D. tout passer dans un membre pour comparer à $0$
Réponse
D. tout passer dans un membre pour comparer à $0$ — On se ramène à $3 x^{2} - x - 4 ⩽ 0$ , puis on étudie le signe de ce trinôme.
Sur un intervalle $I$ , la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ lorsque, pour tout $x$ de $I$ :
- A. $f (x) - g (x) ⩽ 0$
- B. $f (x) \times g (x) ⩾ 0$
- C. $f (x) - g (x) ⩾ 0$
- D. $f (x) + g (x) ⩾ 0$
Réponse
C. $f (x) - g (x) ⩾ 0$ — Être au-dessus signifie $f (x) ⩾ g (x)$ , c'est-à-dire une différence positive.

Niveau moyen — 8 questions

Les solutions de $x^{2} - x - 20 < 0$ sont :
- A. $] - \infty; - 4 [\cup] 5; + \infty [$
- B. $] - 5; 4 [$
- C. $] - 4; 5 [$
- D. $[- 4; 5]$
Réponse
C. $] - 4; 5 [$ — $Δ = 81$ , racines $- 4$ et $5$ ; $a > 0$ : négatif strictement entre les racines, bornes exclues.
Le trinôme $- 3 x^{2} + 2 x - 4$ est :
- A. strictement négatif sur $ℝ$
- B. strictement positif sur $ℝ$
- C. positif entre ses racines
- D. de signe changeant deux fois
Réponse
A. strictement négatif sur $ℝ$ — $Δ = 4 - 48 = - 44 < 0$ : aucune racine, signe de $a = - 3$ partout.
L'ensemble des solutions de $x^{2} + 10 x + 25 > 0$ est :
- A. $ℝ$
- B. $\emptyset$
- C. $] - 5; + \infty [$
- D. $ℝ ⧵ {- 5}$
Réponse
D. $ℝ ⧵ {- 5}$ — $x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$ , strictement positif sauf en $- 5$ où il est nul.
Les solutions de $2 x^{2} - 7 x + 6 ⩽ 0$ sont :
- A. $] - \infty; \frac{3}{2}] \cup [2; + \infty [$
- B. $[\frac{3}{2}; 2]$
- C. $[- 2; - \frac{3}{2}]$
- D. $[3; 4]$
Réponse
B. $[\frac{3}{2}; 2]$ — $Δ = 49 - 48 = 1$ , racines $\frac{7 \pm 1}{4}$ , soit $\frac{3}{2}$ et $2$ ; $a > 0$ : négatif entre les racines.
La parabole d'équation $y = x^{2} + 4$ et la droite d'équation $y = 5 x$ :
- A. se coupent en $x = 1$ et $x = 4$
- B. se coupent en $x = - 1$ et $x = - 4$
- C. ne se coupent pas
- D. sont tangentes en $x = 2$
Réponse
A. se coupent en $x = 1$ et $x = 4$ — $x^{2} + 4 - 5 x = x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ s'annule en $1$ et $4$ .
Le produit $(x - 3) (- x^{2} - 1)$ est positif ou nul pour :
- A. $x ⩾ 3$
- B. $x \in [- 1; 3]$
- C. $x ⩽ 3$
- D. tout réel $x$
Réponse
C. $x ⩽ 3$ — $- x^{2} - 1 < 0$ pour tout $x$ ; le produit est positif ou nul si et seulement si $x - 3 ⩽ 0$ .
Sur $ℝ$ , la fonction $f (x) = - x^{2} + 16 x - 39$ admet un maximum égal à :
- A. $8$
- B. $25$
- C. $- 39$
- D. $39$
Réponse
B. $25$ — $a < 0$ : maximum en $α = 8$ , et $f (8) = - 64 + 128 - 39 = 25$ . Le nombre $8$ est l'abscisse, pas le maximum.
L'ensemble des solutions de $\frac{x - 1}{x + 5} ⩾ 0$ est :
- A. $[- 5; 1]$
- B. $] - 5; 1]$
- C. $] - \infty; - 5] \cup [1; + \infty [$
- D. $] - \infty; - 5 [\cup [1; + \infty [$
Réponse
D. $] - \infty; - 5 [\cup [1; + \infty [$ — Le quotient est positif hors de $[- 5; 1]$ ; $1$ est inclus, mais $- 5$ est une valeur interdite.

Niveau difficile — 8 questions

On sait seulement que $a < 0$ et $Δ > 0$ . Alors $a x^{2} + b x + c > 0$ :
- A. pour aucun réel $x$
- B. strictement entre les racines
- C. strictement à l'extérieur des racines
- D. pour tout réel $x$
Réponse
B. strictement entre les racines — Entre les racines, le trinôme est du signe de $- a$ , ici positif.
Un élève résout $x^{2} < 49$ et écrit « $x < 7$ ». Que faut-il lui répondre ?
- A. aucune erreur, sa réponse est juste
- B. il fallait trouver $x > 7$
- C. il fallait trouver $x ⩽ 7$
- D. il fallait trouver $] - 7; 7 [$
Réponse
D. il fallait trouver $] - 7; 7 [$ — $x^{2} - 49 = (x - 7) (x + 7) < 0$ entre $- 7$ et $7$ : par exemple $- 10$ vérifie $x < 7$ mais pas $x^{2} < 49$ .
L'ensemble des solutions de $\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 2} ⩽ 0$ est :
- A. $] - \infty; 1] \cup] 2; 3]$
- B. $] - \infty; 1] \cup [2; 3]$
- C. $[1; 2 [\cup [3; + \infty [$
- D. $[1; 3]$
Réponse
A. $] - \infty; 1] \cup] 2; 3]$ — Numérateur nul en $1$ et $3$ , négatif entre ; dénominateur nul en $2$ . Le quotient est négatif sur $] - \infty; 1 [$ et $] 2; 3 [$ ; $2$ est interdit.
Le trinôme $x^{2} + 2 m x + 9$ est strictement positif sur $ℝ$ si et seulement si :
- A. $m < 3$
- B. $m > - 3$
- C. $- 3 < m < 3$
- D. $m ⩽ - 3$ ou $m ⩾ 3$
Réponse
C. $- 3 < m < 3$ — Il faut $Δ = 4 m^{2} - 36 < 0$ , soit $m^{2} < 9$ , c'est-à-dire $- 3 < m < 3$ .
On sait que $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a > 0$ et $f (- 1) < 0$ . Alors :
- A. $Δ < 0$ nécessairement
- B. $Δ = 0$ nécessairement
- C. on ne peut rien conclure sur $Δ$
- D. $Δ > 0$ nécessairement
Réponse
D. $Δ > 0$ nécessairement — Si $Δ ⩽ 0$ , $f$ serait positif ou nul partout ; une valeur négative impose donc $Δ > 0$ .
L'ensemble des solutions de $- 2 x^{2} + x - 3 ⩾ 0$ est :
- A. $ℝ$
- B. $\emptyset$
- C. $[- 1; \frac{3}{2}]$
- D. ${\frac{1}{4}}$
Réponse
B. $\emptyset$ — $Δ = 1 - 24 = - 23 < 0$ et $a < 0$ : le trinôme est strictement négatif partout.
Un élève résout $\frac{1}{x} ⩽ x$ en écrivant directement $1 ⩽ x^{2}$ . Que dire ?
- A. sa méthode est correcte
- B. l'inéquation n'a aucune solution
- C. il a multiplié par $x$ , de signe inconnu
- D. il aurait dû élever les deux membres au carré
Réponse
C. il a multiplié par $x$ , de signe inconnu — Pour $x = - \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{x} = - 2 ⩽ - \frac{1}{2}$ est vrai, mais $1 ⩽ \frac{1}{4}$ est faux. Multiplier par $x < 0$ inverse l'inégalité.
La droite d'équation $y = k x$ ne coupe pas la parabole d'équation $y = x^{2} + 9$ lorsque :
- A. $- 6 < k < 6$
- B. $k > 6$
- C. $k < - 6$ ou $k > 6$
- D. $- 3 < k < 3$
Réponse
A. $- 6 < k < 6$ — $x^{2} - k x + 9 = 0$ n'a pas de solution si $k^{2} - 36 < 0$ , soit $- 6 < k < 6$ .

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