Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Second degré : forme canonique, équations et factorisation

Trinôme et parabole, formes développée, canonique et factorisée, sommet et variations, discriminant et résolution de ax² + bx + c = 0, factorisation, somme et produit des racines, racine évidente.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés dans l’esprit de l’épreuve anticipée de maths : la trajectoire d’un ballon et un mur à franchir, le bénéfice maximal et le seuil de rentabilité d’un artisan, un enclos adossé à un mur et un champ de périmètre et d’aire donnés, une fonction Python qui résout ax² + bx + c = 0, un triangle rectangle et le nombre d’or.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé en une fonction ou une équation : je nomme l’inconnue, je précise son domaine (une longueur est positive).
Je reconnais le cas du cours : extremum (forme canonique), équation (discriminant), somme et produit connus (x² − Sx + P = 0).
Je rédige les « Démontrer » : développement complet, calcul de Δ avec a, b, c, propriété citée.
Je conclus dans la situation : je garde les solutions qui ont un sens et je donne l’unité.

Problème 1 · La trajectoire d’un ballon★★★Facile

Un joueur lance un ballon. Sa hauteur (en m) est modélisée par

h (x) = - 0, 05 x^{2} + 0, 9 x + 2

, où

x

est la distance horizontale parcourue depuis le lanceur (en m), avec

x ⩾ 0

, tant que le ballon n’a pas touché le sol.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$ , $h (x) = - 0, 05 (x - 9)^{2} + 6, 05$ . La hauteur maximale atteinte est m
Rédaction attendue. $- 0, 05 (x^{2} - 18 x + 81) + 6, 05$ $= - 0, 05 x^{2} + 0, 9 x - 4, 05 + 6, 05$ $= - 0, 05 x^{2} + 0, 9 x + 2 = h (x)$ . C’est une forme canonique avec $a = - 0, 05 < 0$ : $h$ admet un maximum égal à $6, 05$ , atteint pour $x = 9$ . Le ballon, lâché à $h (0) = 2$ m, monte à $6, 05$ m à $9$ m du lanceur.
2. Le ballon touche le sol à m du lanceur.
$h (x) = 0$ ; en multipliant par $- 20 \neq 0$ : $x^{2} - 18 x - 40 = 0$ . $Δ = 324 + 160 = 484 = 22^{2}$ : $x = \frac{18 - 22}{2} = - 2$ (exclu car $x ⩾ 0$ ) ou $x = \frac{18 + 22}{2} = 20$ .
3. Un mur de $3$ m de haut est à $17$ m du lanceur. Hauteur du ballon à cet endroit : $h (17) =$ m
$h (17) = - 0, 05 \times 8^{2} + 6, 05$ $= - 3, 2 + 6, 05 = 2, 85$ m. Comme $2, 85 < 3$ , le ballon ne passe pas au-dessus du mur : il le heurte $15$ cm sous le sommet.
4. Le ballon est exactement à $5, 6$ m de haut en deux points. Le plus proche du lanceur est à m
Forme canonique : $- 0, 05 (x - 9)^{2} + 6, 05 = 5, 6$ $⟺ (x - 9)^{2} = \frac{0, 45}{0, 05} = 9$ $⟺ x - 9 = 3$ ou $x - 9 = - 3$ . Donc $x = 12$ ou $x = 6$ , symétriques par rapport à $9$ .

Problème 2 · Le bénéfice d’un artisan★★★Moyen

Un artisan fabrique et vend entre

0

50

lampes par mois. Pour

q

lampes vendues, la recette est

R (q) = 60 q

et le coût de production

C (q) = 2 q^{2} - 36 q + 630

(en euros). Le bénéfice est

B (q) = R (q) - C (q)

1. Montrer que $B (q) = - 2 q^{2} + 96 q - 630$ , puis que $B (q) = - 2 (q - 24)^{2} + 522$ . Le bénéfice maximal vaut €
Rédaction attendue. $B (q) = 60 q - (2 q^{2} - 36 q + 630)$ $= 60 q - 2 q^{2} + 36 q - 630$ $= - 2 q^{2} + 96 q - 630$ . Puis $- 2 (q - 24)^{2} + 522$ $= - 2 (q^{2} - 48 q + 576) + 522$ $= - 2 q^{2} + 96 q - 1 152 + 522$ $= - 2 q^{2} + 96 q - 630 = B (q)$ . Le coefficient $- 2$ est négatif : $B$ admet un maximum égal à $522$ €, atteint pour $q = 24$ lampes.
2. Le bénéfice est nul pour $q = 24 - \sqrt{k}$ ou $q = 24 + \sqrt{k}$ , avec $k =$
$B (q) = 0 ⟺ (q - 24)^{2} = \frac{522}{2}$ $= 261 ⟺ q = 24 - \sqrt{261}$ ou $q = 24 + \sqrt{261}$ . Comme $16^{2} = 256 < 261 < 289 = 17^{2}$ , on a $16 < \sqrt{261} < 17$ : la première valeur est comprise entre $7$ et $8$ , la seconde entre $40$ et $41$ .
3. $B (8) =$ € (on admet que $B (7) = - 56$ )
$B (8) = - 2 \times (8 - 24)^{2} + 522$ $= - 2 \times 256 + 522 = 10$ . L’artisan perd de l’argent avec $7$ lampes et en gagne avec $8$ : le seuil de rentabilité est $8$ lampes. Par symétrie autour de $24$ , $B (40) = 10$ et $B (41) = - 56$ .
4. Justifier qu’aucun nombre entier de lampes ne donne un bénéfice d’exactement $400$ €. On obtient $(q - 24)^{2} =$
Rédaction attendue. $B (q) = 400 ⟺ - 2 (q - 24)^{2}$ $= - 122 ⟺ (q - 24)^{2} = 61$ . Si $q$ était entier, $q - 24$ serait un entier de carré $61$ ; or $7^{2} = 49$ et $8^{2} = 64$ : $61$ n’est le carré d’aucun entier. Les solutions réelles $24 \pm \sqrt{61}$ ( $7 < \sqrt{61} < 8$ , donc elles sont strictement comprises entre $16$ et $17$ , et entre $31$ et $32$ ) ne sont pas entières.

Problème 3 · Un enclos et un champ rectangulaires★★★Moyen

Partie A. Un éleveur dispose de

60

m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur forme un côté, le grillage les trois autres. On note

x

la longueur (en m) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Partie B. Il possède aussi un champ rectangulaire de demi-périmètre

47

m et d’aire

540

m².

1. Justifier que $x \in] 0; 30 [$ , que l’aire de l’enclos est $A (x) = - 2 x^{2} + 60 x$ et que $A (x) = - 2 (x - 15)^{2} + 450$ . L’aire maximale vaut m²
Rédaction attendue. Le côté parallèle au mur mesure $60 - 2 x$ . Les longueurs sont strictement positives : $x > 0$ et $60 - 2 x > 0$ , soit $0 < x < 30$ . L’aire vaut $A (x) = x (60 - 2 x) = - 2 x^{2} + 60 x$ . Puis $A (x) = - 2 (x^{2} - 30 x)$ $= - 2 [(x - 15)^{2} - 225]$ $= - 2 (x - 15)^{2} + 450$ . Comme $a = - 2 < 0$ , l’aire maximale est $450$ m², pour $x = 15$ : un enclos de $15$ m sur $30$ m.
2. L’éleveur veut un enclos de $400$ m². La plus petite valeur possible de $x$ est m
$A (x) = 400 ⟺ - 2 x^{2} + 60 x - 400$ $= 0 ⟺ x^{2} - 30 x + 200 = 0$ . $Δ = 900 - 800 = 100$ : $x = \frac{30 - 10}{2} = 10$ ou $x = \frac{30 + 10}{2} = 20$ , deux valeurs de $] 0; 30 [$ . Deux enclos conviennent : $10$ m sur $40$ m, ou $20$ m sur $20$ m.
3. Partie B. Montrer que les dimensions du champ sont les solutions de $x^{2} - 47 x + 540 = 0$ . Sa longueur vaut m
Rédaction attendue. Notons $L$ et $ℓ$ les dimensions : $L + ℓ = 47$ et $L ℓ = 540$ . Pour tout réel $x$ , $(x - L) (x - ℓ) = x^{2} - (L + ℓ) x + L ℓ$ $= x^{2} - 47 x + 540$ : ce produit s’annule en $L$ et en $ℓ$ , qui sont donc les solutions de $x^{2} - 47 x + 540 = 0$ . $Δ = 2 209 - 2 160 = 49$ : $\frac{47 - 7}{2} = 20$ et $\frac{47 + 7}{2} = 27$ . Le champ mesure $27$ m sur $20$ m.
4. Un voisin affirme posséder un champ de demi-périmètre $30$ m et d’aire $240$ m². Discriminant de l’équation associée :
Les dimensions seraient solutions de $x^{2} - 30 x + 240 = 0$ , de discriminant $900 - 960 = - 60 < 0$ : un tel champ n’existe pas. Plus généralement, un rectangle de demi-périmètre $S$ et d’aire $P$ existe si et seulement si $S^{2} - 4 P ⩾ 0$ : à demi-périmètre $30$ m, l’aire vaut au plus $\frac{30^{2}}{4} = 225$ m² (le carré de côté $15$ m).

Problème 4 · Programmer la résolution en Python★★★Difficile

La fonction Python ci-dessous doit renvoyer la liste des solutions réelles de

a x^{2} + b x + c = 0

. La variable d contient le discriminant

Δ = b^{2} - 4 a c

; les trois cas du programme sont ceux du théorème : deux solutions, une solution, aucune.

from math import sqrt
def solutions(a, b, c):
    d = b**2 - 4*a*c
    if d > 0:
        r = sqrt(d)
        return [(-b - r)/(2*a),
                (-b + r)/(2*a)]
    elif d == 0:
        return [-b/(2*a)]
    else:
        return []

1. L’appel solutions(1, -1, -6) renvoie une liste de deux nombres. Le plus grand est
$Δ = (- 1)^{2} - 4 \times 1 \times (- 6) = 25 > 0$ , $\sqrt{25} = 5$ : $\frac{1 - 5}{2} = - 2$ et $\frac{1 + 5}{2} = 3$ . La fonction renvoie [-2.0, 3.0]. Contrôle : somme $1$ , produit $- 6$ .
2. L’appel solutions(9, 6, 1) renvoie une liste de combien d’éléments ?
$Δ = 36 - 36 = 0$ : une seule solution $- \frac{6}{18} = - \frac{1}{3}$ ; la liste a un élément, environ [-0.3333333333333333] (car $9 x^{2} + 6 x + 1 = (3 x + 1)^{2}$ ).
3. Un élève a écrit (-b - r)/2*a et (-b + r)/2*a. Pour solutions(2, -10, 8), il obtient [4.0, 16.0]. Expliquer l’erreur ; la plus petite vraie solution est
Rédaction attendue. En Python, / et * ont la même priorité et s’évaluent de gauche à droite : (...)/2*a calcule $\frac{\dots}{2} \times a$ et non $\frac{\dots}{2 a}$ . Ici $Δ = 100 - 64 = 36$ : l’élève obtient $\frac{10 - 6}{2} \times 2 = 4$ et $\frac{10 + 6}{2} \times 2 = 16$ . Les vraies solutions sont $\frac{10 - 6}{4} = 1$ et $\frac{10 + 6}{4} = 4$ : il faut écrire /(2*a).
4. L’appel solutions(0, 3, -6) provoque une division par zéro : l’équation $3 x - 6 = 0$ n’est pas du second degré. Après l’ajout de if a == 0: return [-c/b] en début de fonction, l’appel renvoie la solution
Avec $a = 0$ , 2*a vaut $0$ et l’exécution s’arrête (ZeroDivisionError). Le cas $a = 0$ (avec $b \neq 0$ ) se traite à part : $3 x - 6 = 0 ⟺ x = 2$ , la fonction renvoie [2.0]. De même, une fonction somme_produit(a, b, c) qui renvoie -b/a, c/a ne décrit des racines que si $a \neq 0$ et $Δ ⩾ 0$ .

Problème 5 · Pythagore et nombre d’or★★★Difficile

Partie A. Un triangle rectangle a des côtés de longueurs

x

x + 7

x + 8

(en cm), avec

x > 0

; le plus grand côté,

x + 8

, est l’hypoténuse. Partie B. On cherche un rectangle de largeur

1

et de longueur

φ > 1

tel que, si l’on en retire un carré de côté

1

, le rectangle restant, de côtés

φ - 1

1

, ait les mêmes proportions :

\frac{φ}{1} = \frac{1}{φ - 1}

1. Démontrer que $x$ est solution de $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ . La longueur $x$ vaut cm
Rédaction attendue. Le triangle est rectangle, d’hypoténuse $x + 8$ : d’après le théorème de Pythagore, $(x + 8)^{2} = x^{2} + (x + 7)^{2}$ $⟺ x^{2} + 16 x + 64 = 2 x^{2} + 14 x + 49$ $⟺ x^{2} - 2 x - 15 = 0$ . $Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 1 \times (- 15) = 4 + 60 = 64$ , $\sqrt{64} = 8$ : $x = \frac{2 - 8}{2} = - 3$ ou $x = \frac{2 + 8}{2} = 5$ . Une longueur est positive : $x = 5$ . Le triangle a pour côtés $5$ , $12$ et $13$ cm (contrôle : $5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$ ).
2. Sans discriminant : les racines de $x^{2} - 2 x - 15$ ont pour somme $2$ et pour produit $- 15$ . On en déduit $x^{2} - 2 x - 15 = (x - 5) (x + n)$ avec $n =$
Somme $- \frac{b}{a} = 2$ , produit $\frac{c}{a} = - 15$ : les entiers $5$ et $- 3$ conviennent ( $5 - 3 = 2$ , $5 \times (- 3) = - 15$ ). Donc $x^{2} - 2 x - 15 = (x - 5) (x + 3)$ . Contrôle : $x^{2} + 3 x - 5 x - 15 = x^{2} - 2 x - 15$ .
3. Partie B. Démontrer que $φ^{2} - φ - 1 = 0$ , puis que $φ = \frac{1 + \sqrt{k}}{2}$ avec $k =$
Rédaction attendue. Comme $φ > 1$ , $φ - 1 \neq 0$ et $φ = \frac{1}{φ - 1} ⟺ φ (φ - 1) = 1 ⟺ φ^{2} - φ - 1 = 0$ . L’équation $x^{2} - x - 1 = 0$ a pour discriminant $Δ = 1 + 4 = 5 > 0$ : ses solutions sont $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ et $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ . Comme $\sqrt{5} > 1$ , la première est négative, donc exclue ; la seconde est supérieure à $1$ . Ainsi $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ : c’est le nombre d’or.
4. On note $ψ$ l’autre solution de $x^{2} - x - 1 = 0$ . Avec la somme et le produit des racines, justifier que $\frac{1}{φ} = φ - 1$ . Le produit $φ ψ$ vaut
Rédaction attendue. Pour $x^{2} - x - 1$ ( $Δ > 0$ ) : $φ + ψ = - \frac{- 1}{1} = 1$ et $φ ψ = \frac{- 1}{1} = - 1$ . Du produit, $\frac{1}{φ} = - ψ$ ; de la somme, $- ψ = φ - 1$ . Donc $\frac{1}{φ} = φ - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ , sans aucun calcul de racine.

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